Применение пакета MathCAD для исследования критических нагрузок

Размещено на http://www.allbest.ru/

"Применение пакета MathCAD для исследования критических нагрузок"

проектирование mathcad математический модель

Введение

В наше время идёт бурное развитие техники, характеризующееся быстрой сменой моделей выпускаемой продукции, возрастающим количеством разработок, выполненных на совершенно новом уровне, неизвестном ранее, наддающем изделиям более высокие свойства и качества.

Эффективный путь решения указанной проблемы состоит в глубоком освоении и широком использовании на практике языков программирования, позволяющих записывать алгоритмы решаемых задач в довольно естественном для пользователя виде и затем использовать средства системного программного обеспечения ЭВМ для доводки программ до машинной реализации.

Создание нового технического объекта - сложный и длительный процесс, в котором стадия проектирования имеет решающее значение в осуществлении замысла и достижении высокого технического уровня.

Современная методология проектирования базируется на системном подходе. Одно из важнейших требований системного подхода заключается в необходимости рассматривать существование и функционирование технического объекта во времени и в пространстве.

Технический объект при системном подходе рассматривается как сложная система, состоящая из взаимосвязанных, целенаправленно функционирующих элементов и находящаяся во взаимодействии с окружающей средой.

Проектирование - это сложный процесс, включающий множество взаимосвязанных стадий и этапов. Всевозможное разнообразие процессов приводит к необходимости применения множества разнообразных моделей. Математическое моделирование технических объектов занимает центральное место в построении эффективной технологии автоматизированного проектирования.

Применение математических моделей и расчет их на ЭВМ позволяет получить новые результаты или новые свойства какого-либо объекта исследования, причем эти объекты могут быть очень сложными -- например, погодные условия в какой-либо области земного шара. Это очень удобно в случае невозможности использования самого объекта. Используя всю мощь современную вычислительную технику можно моделировать очень сложные физические процессы. Вручную выполнить такие расчеты невозможно, т.к. это займет огромное количество времени. Именно автоматизации таких расчетов на ЭВМ позволяет проводить моделирование таких процессов. В данной работе рассматривается довольно простая система, однако автоматизация этого расчета позволит сэкономить значительное количество времени.

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие моделирования и модели

Моделирование - процесс замещения объекта исследования некоторой его моделью и проведение исследований на модели с целью получения необходимой информации об объекте. Модель - это физический или абстрактный образ моделируемого объекта, удобный для проведения исследований и позволяющий адекватно отображать интересующие исследователя физические свойства и характеристики объекта. Удобство проведения исследований может определятся различными факторами: легкостью и доступностью получения информации, сокращением сроков и уменьшением материальных затрат на исследование.

Различают моделирование предметное и абстрактное. При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает основные физические свойства и характеристики моделируемого объекта. При этом модель может иметь иную физическую природу в сравнении с моделируемым объектом. Если модель или объект одной и той же природы, то моделирование называют физическим.

Физическое моделирование сложных технических систем сопряжено с большими временными и материальными затратами. Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели. Такая модель представляет собой математические соотношения, графы, схемы, диаграммы и т.п. Наиболее мощным и универсальным методом абстрактного моделирования является математическое моделирование. Оно широко используется как в научных исследованиях, так и при проектировании. Математическое моделирование - это теоретико-экспериментальный метод познавательно-созидательной деятельности, это метод исследования и объяснения явлений, процессов и систем на основе создания новых объектов - математических моделей. Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта. Применение математического моделирования при проектировании в большинстве случаев позволяет отказываться от испытаний и доводочных работ, обеспечить создание технических объектов с высокими показателями эффективности и качества. Одним из основных компонентов системы проектирования в этом случае становится математическая модель.

Математическая модель - это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами. Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства объекта, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Посредством математического моделирования осуществляется решение исследовательских, поисковых, проектно - конструкторских и эксплуатационных задач. На этапе доводки конструкции приходится моделировать процессы функционирования технического объекта для выявления причин неудовлетворительных показателей надежности или эффективности. В период эксплуатации технического объекта моделирование осуществляется с целью определения наиболее эффективных режимов функционирования, целесообразных областей и условий использования и т. п. Процесс создания разделяется на стадии: предпроектные исследования, техническое задание, техническое предложение, эскизный проект, технический проект, рабочий проект, изготовление опытных образцов, испытания и доводка, приемочные испытания. Первые две стадии и частично третья составляют этап внешнего проектирования, на котором осуществляется научно - технический поиск и прогнозирование, формирование описания среды функционирования технического объекта, моделирование и исследование, направленные на разработку концепции и технического решения.

1.2 Классификация математических моделей

Классификация математических моделей, используемых при проектировании технических систем, приведена на рисунке 1.

Схема.

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или метауровень; средний или макроуровень; нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным стадиям проектирования, на которых осуществляется научно-технический поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения.

На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами.

На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами.

На всех рассмотренных иерархических уровнях используют следующие виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные, линейные и нелинейные, динамические и статические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования.

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений, вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма -последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин. Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п.

1.3 Система MathCAD

В настоящее время для научно-технических расчетов на компьютерах все чаще и чаще используются не традиционные языки программирования и не электронные таблицы, а специальные математические программы типа Mathematica, MatLab, Mathcad и др.

Математические пакеты, в особенности Mathcad -- самый популярный пакет из вышеперечисленного списка, -- позволяют специалистам в конкретной научно-технической области очень быстро освоить работу на компьютере и реализовать на них математические модели, не вдаваясь в тонкости программирования на традиционных языках (С, Pascal, BASIC и др.).

Неконкретные преимущества работы в среде математической программы Mathcad:

1. Математические выражения в среде Mathcad записываются в их общепринятой форме: числитель находится сверху, а знаменатель -- внизу; в интеграле пределы интегрирования также расположены на своих привычных местах. Казалось бы, это все мелочи, никак не влияющие на вычислительный процесс. Но!.. Программа должна быть понятной не только для компьютера, но и для человека. Пользователь, читая распечатку принтера или глядя на дисплей, видит, что данная величина записана в числителе и ее рост приводит к возрастанию всего выражения. А это очень важно при анализе математических моделей, форма и содержание которых едины;

2. В среде Mathcad процесс создания «программы» идет параллельно с ее отладкой. Пользователь, введя в Mathcad-документ новое выражение, может не только сразу подсчитать, чему оно равно при определенных значениях переменных, но и построить график или поверхность, беглый взгляд на которые может безошибочно показать, где кроется ошибка, если она была допущена при вводе формул или при создании самой математической модели. «Отладочные» фрагменты можно оставить в готовом документе для того, чтобы, например, еще раз убедить воображаемого или реального оппонента в правильности модели;

В пакет Mathcad интегрирован довольно мощный математический аппарат, позволяющий решать возникающие проблемы без вызова внешних процедур.

1.4 Основные функции Mathcad

решение алгебраических уравнений и систем (линейных и нелинейных);

решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем (задача Коши и краевая задача);

решение дифференциальных уравнений в частных производных;

статистическая обработка данных (интерполяция, экстраполяция, аппроксимация и многое другое);

работа с векторами и матрицами (линейная алгебра и др.);

поиск минимумов и максимумов функциональных зависимостей;

решая поставленную задачу, пользователь может вводить не только числовые значения переменных, но и дополнить их размерностями. При этом пользователь вправе выбирать и систему единиц (СИ, кг-м-с, г-см-с), и конкретные размерности (мм, дюймы, футы и т.д.): система Mathcad в них сама разберется и выдаст ответ с заданной пользователем размерностью;

система Mathcad оборудована средствами анимации, что позволяет реализовать созданные модели не только в статике (числа, таблицы, графики), но и в динамике (анимационные клипы);

в систему Mathcad интегрированы средства символьной математики, что позволяет решать поставленные задачи (этап задачи) не только численно, но и аналитически;

не выходя из среды Mathcad, возможно открывать новые документы на других серверах и пользоваться теми преимуществами информационных технологий, предоставляемых Internet;

Кроме того, не следует забывать, что пакет Mathcad -- это полноценное Windows-приложение. Решая поставленную задачу, можно через буфер обмена Windows передать данные в среду другой программы и там решить часть задачи.

1.5 Web технологии

World Wide Web является одной из самых молодых услуг Internet. В 1992 году началось практическое применение этой технологии. С конца 1993 года начался поистине взрывной рост WWW, который привел к тому, что сегодня этот вид информационного сервиса Internet является самым популярным, наиболее динамично развивающимся и во многом определяет современный облик всемирной сети.

На WWW-серверах можно найти разнообразную информацию: информационные системы университетов и научных организаций; правовые справочные системы; рекламу коммерческих фирм с перечнем товаров и услуг; электронные версии общественно-политических и специализированных печатных изданий; мультимедиа путеводители по городам; выставки произведений изобразительного искусства; сетевые брачные агентства и др. Разрабатывая информационные системы на Основе WWWсерверов, их создатели ставят перед собой разные задачи, и, как следствие, появляются системы разного качества, уровня сложности степени проработки структуры и дизайна, с различными функциональными возможностями и разной скоростью пополнения и обновления информации.

HyperText Markup Language (HTML) является стандартным языком, предназначенным для создания гипертекстовых документов в среде WEB. Прежде чем создавать свои собственные HTML-страницы, следует разобраться в их структуре и функционировании. Конечно, существуют специальные редакторы, такие как FrontPage, Dreamweaver и другие, которые позволяют создавать Web - страницы, но для того, чтобы уметь профессионально подготавливать гипертекстовые документы, необходимо знать код HTML - документа. Язык HTML позволяет формировать различную гипертекстовую информацию на основе структурированных документов, а браузер определяет сформированные ссылки и, через протокол передачи гипертекста HTTP, открывает доступ к документу другим пользователям Internet. Большинство документов имеют стандартные элементы, такие, как заголовок, параграфы или списки. Используя тэги HTML вы можете обозначать данные элементы, обеспечивая WEB-броузеры минимальной информацией для отображения данных элементов, сохраняя вцелом общую структуру и информационную полноту документов. Все что необходимо, чтобы прочитать HTML-документ - это WEB-браузер, который интерпретирует тэги HTML и воспроизводит на экране документ в виде, который ему придает автор.

HTML - документ, по сути, представляет собой обычный текстовый файл. Редактировать Web-страницы, опубликованные в сети Internet, может лишь тот, кто их создал, а не любой пользователь, поскольку каждая страница имеет свой уникальный адрес (URL) и существование двух разных страниц с одинаковым адресом исключено. . Следует обратить внимание, что HTML - страница содержит как обычный текст, так и специальные команды разметки (теги), заключенные в угловые скобки (< и >). Теги языка HTML задают правила, по которым браузер отображает документ на экране: размещение текста в окне, представление графических объектов, а также вывод звуковых файлов, видеоклипов и т.д. Теги бывают одиночными и контейнерными. Контейнером называется пара: открывающий <ТЕГ> и закрывающий </ТЕГ>. <ТЕГ>Контейнер</ТЕГ>. Открывающий тег служит для указания программе браузеру начала какого-либо объекта или задания свойств объектов помещенных в контейнер. Закрывающий тег служит для указания программе браузеру о конце объекта или окончания применения свойств, заданных в открывающем теге. Атрибуты тега задают значения свойств данного объекта или объектов помещенных в контейнер. Значения свойств, содержащие пробелы, берутся в кавычки, в остальных случаях кавычки можно опустить.

Структура HTML - документа

HTML - страница имеет следующую структуру:

<HTML> <HEAD> <TITLE> Название </TITLE> </HEAD> <BODY> Текст </BODY> </HTML>

В таком простом документе используются следующие теги: <HTML> Данный тег используется для открытия HTML - документа. Каждая Web - страница начинается тегом <HTML> и заканчивается закрывающим тегом </HTML>. <HEAD> Любой HTML - документ состоит как минимум из двух частей: заголовка и собственно документа. Данный тег определяет заголовок Web - страницы и должен иметь обязательный закрывающий тег </HEAD>. Также обязательным атрибутом этого тега является тег <TITLE>. <TITLE> Каждый HTML - документ имеет название, заключенное между тегами <TITLE> и </TITLE>. По названию документа HTML броузеры могут найти информацию, поэтому место для названия всегда определено - оно находится вверху и отдельно от содержимого HTML - документа. <BODY> Данный тег заключает в себе непосредственно документ. Также необходим закрывающийся тег </BODY>.

2. Создание математической модели

2.1 Постановка задачи

1. Исследовать зависимость диаметра балки от нагрузки Р4 и зависимость максимального прогиба балки от длины L4;

2. В пакете MathCAD по полученной математической модели исследовать действие критических нагрузок на балку;

3. Построить эпюру поперечной силы и крутящего момента;

4. По найденным экстремальным значениям крутящего момента определить размер сечения балки;

5. Рассчитать и построить графики угла поворота и максимального прогиба.

Условие задачи. Материал балки - углеродистая сталь.

Длины участков: L1=4м, L2=11м, L3=20м, L4=27м, L5=33м, L6=40м;

Нагружающие силы: Р1=13000Н, Р2=14000Н, Р3=15000Н, Р4=16000Н;

Распределенная нагрузка: Q1=18000Н/м, Q2=10500Н/м, Q3=11000Н/м;

Нагружающий момент: М0=12500Н*м.

Рис.

2.2 Математическая модель

Для решения поставленной задачи необходимо составить математическую модель задачи.

Определяем опорные реакции. Для их определения используется условие равенства нулю изгибающего момента на правой опоре:

?М_b=0

Разбив систему на участки, рассмотрим влияние заданных сил и распределенных нагрузок на поперечную силу и на изгибающий момент каждого из участков:

2.3 Структурный анализ задачи в MathCAD

Строим эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М

Находим по графику максимальное значений изгибающего момента М_max;

Определяем размеры сечения балки: для этого находим по формуле - минимальный осевой момент сопротивления сечения, где у_доп - допускаемое напряжение для заданного материала балки. И по формуле определяем размеры сечения балки.

Определяем перемещений балки с помощью интеграла Мора: для этого задаём реакцию в точке А от единичной нагрузки, приложенной в точке xx - R_a1(xx)=(L6-xx)/L6 , и момент реакции в точке А от единичного момента, приложенного а точке xx - R_a2=1/L6 ;

Составляем уравнения действия реакции и момента реакций на участках:

Прогиб балки определяется по формуле:

где, J=рd⁴/64 - момент инерции;

Е - Модуль упругости для заданного материала балки;

Угол поворота определяется по формуле:

Строим графики угла поворота и максимального прогиба:

Заключение

В ходе данной курсовой работы я закрепил свои знания в области вычислительной техники, математики и механики материалов. Это связано с тем, что для создания программы необходимо было исследовать механизм на изгиб и прочность, и производить расчеты в среде MathCAD. В ходе данной курсовой роботы мы исследовали нашу математическую модель. Определили численно уравнения моментов, напряжений. Построили графики.

Первая глава посвящена алгоритмическому анализу задачи. В ней приводится постановка задачи, на основании которой разрабатывается графическая схема алгоритма решения задачи .

Во второй главе дается краткий анализ понятия алгоритм, математическая модель, приводится классификация математических моделей, а также классификация методов алгебры и анализа в математическом моделировании.

Построенная модель может быть использована для исследования процессов в механизме. Работа в среде MathCAD даёт значительное повышение точности в расчётах, облегчает процесс программирования при вычислении функций, даёт возможность создания опрятных, красочных, понятных любому пользователю документов.

Литература

1.Корн Г., Корн T. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). - M.: Наука, 1978.

2.Токочаков В. И. Практическое пособие по теме «Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде Mathcad для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. - Гомель: ГГТУ, 2000.

3.Mathcad 6.0 PLUS. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95. - M.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996.

4.Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. - М., 1970 г.

5.Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. Теоретическая механика в примерах и задачах, т. II (Динамика). - М., 1972 г.

6.Краскевич В.Е.,Зеленский К.Х. Численные методы в инженерных исследованиях. - Киев:1986.

7.Останина А.М. Применение математических методов и ВМ.Мн.:1985.

10. Тарасик В. П. Математическое моделирование технических систем: Учебник для вузов. - Мн.: ДизайнПРО, 1997. - 640с.: ил..

8.Теоретическая механика в примерах и задачах, т. 2 (динамика), Бать М. И., Джанелидзе Г. Ю., Кельзон А. С. - М., 1972 г., 624 стр. с ил.

9.Гусак А.А.Элементы методов вычислений,издание II.-Мн.:Издательство БГУ им.В.И. Ленина,1982.

Размещено на Allbest.ru