Математичний апарат економічної динаміки
Економічна динаміка - розділ економічної науки, у якому досліджують детерміновану поведінку економічних систем у часі. Застосування математичних інструментів у завданнях економічної динаміки. Диференціальні рівняння та нелінійні різницеві рівняння.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курс лекций |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 24.02.2013 |
| Размер файла | 1,5 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лекція. Математичний апарат економічної динаміки
Содержание
- Вступ
- 1.1.1 Про застосування математичних інструментів у завданнях економічної динаміки
- 1.2.2 Поняття про диференціальні рівняння
- 1.2.3 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
- 1.1.4 Різницеві рівняння
Вступ
Економічна динаміка - розділ економічної науки, у якому досліджують детерміновану поведінку економічних систем у часі.
З кібернетичної точки зору економічні системи є складними динамічними системами. Складність та динамізм економічних систем зумовлені загальним збільшенням обсягів матеріального і нематеріального виробництва; зростанням темпів науково-технічного прогресу, появою нових високопродуктивних технологій; процесами світової інтеграції та кооперації, які ведуть до збільшення різноманітності світової економіки; нестабільністю політичних процесів та іншими факторами.
Дослідження динаміки поведінки економічних систем дає змогу визначити перспективи їхнього розвитку, виявити можливі резерви, розробити комплекс адаптивних управлінських рішень, які забезпечать ефективне функціонування економічних об'єктів.
Економічна статика вивчає допустимі та оптимальні стани економічних систем. Економічна динаміка досліджує процеси, тобто послідовність станів і переходи від одних станів до інших, визначає можливі та оптимальні траєкторії розвитку систем.
У рамках статичного підходу передбачається, що ресурсно-технологічні можливості виробника і структура потреб споживача незмінні, в економічній динаміці особлива увага звертається на те, як зміни в часі впливають на взаємодію факторів виробництва та споживання.
Методологічним апаратом економічної динаміки є економіко-математичне моделювання, методи математичного аналізу, диференціального та варіаційного числення, теорії катастроф.
Відомі вчені П. Самуельсон та В. Фріск дають таке означення динамічної системи:". систему називають динамічною, якщо її поведінка в часі визначена функціональними рівняннями, в яких змінні в різні моменти часу включені у явному вигляді", іншими словами, економічна система динамічна, якщо всі значення змінних, що описують її стан, упорядковані в часі. Методи економічної динаміки передбачають, що закономірності поведінки системи, зумовлені дією внутрішніх та зовнішніх факторів, детерміновані.
Будь-який економічний об'єкт функціонує в часі, і його динаміка відображає його суттєві властивості. Але багато властивостей об'єкта неможливо вивчати чи намагатись удосконалювати, застосовуючи лише статичні моделі.
Статичні моделі є кращими за своєю конструкцією, більш легкодоступними для розуміння і застосування, але ступінь адекватності цих моделей реальним економічним процесам часто виявляється незадовільним. Перехід до ринкової економіки суттєво збільшив роль обліку динаміки при моделюванні. Ринок є сам по собі динамічним - і настільки ж динамічний його вплив на економічні процеси.
Орієнтація на ринок неможлива без прогнозів, і глибина обліку цього впливу збільшує вимоги до глибини прогнозів. Поглиблення прогнозів значно ускладнює моделі обліку динаміки. Крім того, ринкова економіка значно розширює кількість явищ категорій і процесів, які використовують для аналізу. Нові умови вимагають дослідження не тільки динаміки попиту, а й динаміки поведінки суб'єктів ринку, зокрема виробників, споживачів, конкурентів. Усе це значно розширює області модельних досліджень динамічних процесів.
Дослідження динаміки економічних систем - складна й об'ємна галузь. У її межах висвітлюються принципи моделювання економічних процесів, лінійні динамічні моделі, рівновага та нерівновага, стійкість динамічних моделей економіки, нелінійні динамічні моделі, невизначеність та ризики економічних об'єктів, стохастичні моделі, моделі економічних змін та їх аналіз. У цій галузі наука володіє потужним модельним апаратом, висвітленим у світовій та вітчизняній науковій літературі.
1.1.1 Про застосування математичних інструментів у завданнях економічної динаміки
Перш ніж перейти до обговорення завдань економічної динаміки й математичних методів, які використовуються при їхньому аналізі, зробимо кілька зауважень, позначивши гносеологічний контур наступних тверджень. Ми не схильні "обожнювати" математику, розуміючи, що вона являє собою більш-менш "щасливе" сполучення деякої кількості аксіом, визначень і правил перетворення з наступними висновками. У математиці висновки вважаються правильними, якщо перетворення виконані правильно. Всі "правильні висновки" лежать у безлічі різних висновків, заздалегідь певних аксіомам й правил. Таким чином, математика по своїй природі не додає нічого нового, вона лише допомагає побачити те, що на перший погляд непомітно в явищі, і цим вона корисна в додатках.
Наприклад, якщо нашим завданням є оцінити майбутні видатки жителів міста Санкт-Петербурга на покупку легкових автомобілів, ми збираємо інформацію про поводження цієї величини в минулому, встановимо наближену функцію часу, що у деякому змісті "схожа" на досліджуваний параметр, і використовуємо її для прогнозу. Економіка була задіяна тільки при постановці завдання, зборі інформації й інтерпретації результату. У середині процесу виявилася математика, що як аксіому сприйняла модель. Математика не відповідає за те, що зробила економіка, і тим більше вона не відповідає за проміжні проблеми, наприклад, з якого класу функцій вибиралася модель і т.п. Прогнозоване значення видатків на машини найімовірніше не реалізується, може бути, воно виявиться близько до того, що буде спостерігатися в майбутньому. Однак виділити внесок кожного фактору в загальну помилку практично неможливо. Могли допускатися помилки при зборі інформації, сама методика збору даних є предметом спеціальних досліджень. Так що економісти, передаючи дані математики, закладають в остаточний прогноз більшу частку невизначеності. Фахівець із моделювання, володіє й економічним аналізом, і математичним апаратом, але він також вносить похибку у прогноз, віддаючи переваги деякому вузькому класу моделей. Далі, математик "строго логічно й правильно" трансформує модель так, щоб одержати прогноз у вигляді, зручному для інтерпретації. У нашому прикладі він міг би звучати в такий спосіб: "Видатки на автомобілі зростуть за рік на 33%". Але невизначеність, внесена на перших двох етапах роботи над прогнозом, навряд чи буде нейтралізована математичною строгістю. Із сказаного вище випливає, що в неправильних прогнозах не завжди винний застосовуваний математичний апарат.
Диференціальні та різницеві рівняння застосовують для описування динамічних процесів.
У задачах природознавства і економіки часто доводиться відшукувати функцію на підставі співвідношення між цією функцією та її похідними .
Це співвідношення називається звичайним диференціальним рівнянням. Аналогічно, при пошуку функції спочатку складається рівняння для функції f (х) та її різниць
.
Це співвідношення називається різницевим рівнянням.
Різницеві рівняння найчастіше зустрічаються в економічних задачах. При використанні ПК усі неперервні за часом процеси дискретизуються. Від неперервно змінних аргументів переходять до дискретно змінних аргументів, бо ПК може діяти тільки з числами. При цьому від диференціальних рівнянь переходять до різницевих рівнянь. Зокрема, економічні дані фіксуються дискретно, наприклад, через тиждень, місяць, рік і т.п. Аналіз цих даних також приводить до різницевих рівнянь. Наведемо основні положення про лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
1.2.2 Поняття про диференціальні рівняння
Розглянемо узагальнення класу рівнянь першого порядку на випадок рівнянь більш високих порядків.
Диференціальне рівняння n-го порядку називається лінійним, якщо воно має вигляд:
де - неперервні функції, - похідна п-го порядку функції у (t) за змінною t.
Диференціальне рівняння
(1)
називається лінійним диференціальним неоднорідним (В ? 0) рівнянням. п-го порядку з сталими коефіцієнтами. Рівняння
(2)
називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням п-го порядку з постійними коефіцієнтами. У даному випадку це рівняння відповідає рівнянню (1).
Загальним розв'язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння (1) є сума частинного розв'язку у* цього рівняння і загального розв'язку відповідного йому лінійного однорідного диференціального рівняння (2)
(3)
Для пошуку загального розв'язку рівняння (2) застосовують характеристичне рівняння вигляду:
(4)
Характеристичне рівняння (4) є звичайним алгебраїчним рівнянням, функція лівої частини рівняння є поліном п-степеня змінної л. При цьому змінні А мають назву характеристичні числами. Характеристичне рівняння одержують з вихідного диференціального рівняння (4) заміщенням у ньому похідних шуканої функції відповідним степенем характеристичного числа л, причому сама функція у (t)"як похідна нульового порядку" заміщується одиницею .
Під час розв'язання рівняння (4) можливі такі розв'язки:
1. Характеристичні числа є дійсними числами та не дорівнюють одне одному. Тоді загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння (2) має вигляд:
2. Характеристичні числа є дійсними числами, крім того кратними коренями кратності m<п. Тоді корені
також є коренями однорідного рівняння.
3. Серед характеристичних чисел є комплексно-спря- жені числа (числа вигляду ).
Тоді загальний розв'язок однорідного диференціального рівняння (2) має також корені вигляду:
1.2.3 Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
Надалі в загальному випадку розглядатимемо динамічні економічні системи, математичними моделями яких є лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами вигляду:
(1)
Відповідне йому лінійне однорідне диференціальне рівняння має вигляд:
(2)
Згідно з теоремою 3 загальним розв'язком у (t) лінійного неоднорідного диференціального рівняння (1) є сума частинного розв'язку у* цього рівняння і загального розв'язку відповідного йому лінійного однорідного диференціального рівняння (2).
Відшукаємо загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння (2). Характеристичне рівняння має вигляд:
(3)
Це звичайне квадратне рівняння, корені якого (характеристичні числа) мають вигляд:
(4)
Залежно від значення дискримінанта квадратного рівняння (3) можливі три варіанти.
1. Характеристичні числа є дійсними числами і не дорів- нюють одне одному. Тоді загальний розв'язок однорідного дифе- ренціального рівняння (2) має вигляд:
2. Характеристичні числа є дійсними числами, крім того . Тоді загальний розв'язок рівняння (2) має вигляд:
3. Характеристичні числа є комплексно-спряженими.
Тоді загальний розв'язок рівняння (2) є функцією вигляду:
Приклад 1. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:
D = 2 p?? - p? - p + 12, S = 8 p?? + p? + p + 6
де p - ціна на товар; p? - тенденція формування ціни; p?? - темп зміни ціни.
Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:
p (0) = 2,D (0) = S (0) = 9.
Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.
Розв`язання
Вимога відповідності попиту до пропозиції має вигляд:
D=S
Отже,
2 p?? - p? - p + 12 = 8 p?? + p? + p + 6
У результаті одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
3 p??+ p?+ p = 3 (1.1)
Відповідне однорідне диференціальне рівняння має вигляд:
3 p??+ p?+ p = 0 (1.2)
характеристичне рівняння має вигляд:
Корені характеристичного рівняння є комплексно-спряженими:
де
Загальний розв'язок однорідного рівняння (1.2) є таким:
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння (1.1) відшукуватимемо у вигляді . Тоді,
Підставивши ці значення в диференціальне рівняння (1.1), одержимо: ,
Отже, загальний розв'язок неоднорідного рівняння (1.1) має вигляд:
(1.3)
Визначимо постійні , використовуючи початкові умови. По-перше, урахуємо початкову умову: , підставляючи у формулу загального розв'язку замість t його значення 0, замість його значення 6. Тоді (1.3) приймає вигляд:
,
Обчислимо першу й другу похідну функції (1.3):
=
=
Звідси
;
Використовуючи другу початкову умову D (0) = 9, знаходимо
. Отже,
Відповідно до даних початкових умов розв'язок має такий вигляд:
Приклад 2. Нехай попит та пропозиція на товар визначаються співвідношеннями:
D = 4 p?? - p? - p + 11, S = 3 p?? + p? + p + 3
де p - ціна на товар; p? - тенденція формування ціни;
p?? - темп зміни ціни.
Нехай також у початковий момент часу виконуються такі початкові умови:
p (0) = 2,D (0) = S (0) = 8.
Враховуючи вимогу відповідності попиту до пропозиції, знайти залежність ціни від часу.
Розв'язок
Вимога відповідності попиту до пропозиції має вигляд: D=S
Отже,
У результаті одержуємо лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Відповідне однорідне диференціальне рівняння має вигляд:
характеристичне рівняння має вигляд:
Корені характеристичного рівняння є дійсними числами і не дорівнюють один одному:
Загальний розв'язок однорідного рівняння (2) має наступний вигляд:
Частинний розв'язок неоднорідного рівняння (1) відшукуватимемо у вигляді . Тоді
Підставивши ці значення в диференціальне рівняння (1), одержимо:
Отже, загальний розв'язок неоднорідного рівняння (1) має вигляд:
Визначимо постійні C1, C2, використовуючи початкові умови.
По-перше, урахуємо початкову умову: p (0) =2, підставляючи у формулу загального розв'язку замість t його значення 0, замість p (t) його значення 2. Тоді (3) приймає вигляд: . Обчислимо першу й другу похідну функції (3):
Звідси
Використовуючи другу початкову умову D (0) =8, знаходимо
Отримаємо систему рівнянь:
Розв'язавши дану систему, отримаємо С1=0, 19, С2=-2, 19
Отже, відповідно до даних початкових умов розв'язок має такий вигляд:
1.1.4 Різницеві рівняння
У нинішній час спостерігається підвищений інтерес до складних дискретних систем, більшість з яких є нелінійними. Для їх адекватного опису потрібні нові, порівняно з добре розвинутими методами лінійного аналізу, методи моделювання.
Нелінійна динаміка (англійський термін nonlinear science - нелінійна наука) фокусує свою увагу на нових типах поведінки в нелінійних системах, а саме, динамічному хаосі - виникненні нерегулярних рухів у детермінованих системах, у яких без джерел випадкових шумів можливі складні незавбачувані рухи.
Нелінійні різницеві рівняння часто зустрічаються при дослідженні і моделюванні різних прикладних завдань в техніці, економіці, соціології, демографії і інших дисциплінах. У математиці нелінійні різницеві рівняння з'являються, зокрема, при аналізі збіжності різних ітераційних процесів.
Відзначимо дві форми запису нелінійних різницевих рівнянь:
1) у вигляді одного рівняння порядку k:
F (xn+k.,xn) =0 (1)
2) у вигляді системи рівнянь першого порядку (опис в просторі станів)
xn+1=f (xn), (2)
де xn+1 - вектор стану; f (xn) - нелінійна векторна функція.
Загальної теорії дослідження нелінійних різницевих рівнянь немає. При їх вивченні прагнуть відповісти на якісні питання, такі як відшукання стаціонарних точок, аналіз стійкості, періодичності, наявність граничних циклів і аттракторів.
Поняття про різницеві рівняння
У теорії різницевих рівнянь передбачається, що показники економічного процесу, що досліджується, визначені в дискретні моменти часу Інтервал часу як правило, передбачається постійним для будь-якого
Доцільність такого розгляду визначається вихідними даними про економічний процес, які часто вимірюються в дискретні моменти часу (офіційна статистика, періодичні опитування, переписи тощо). Інтервалом часу може бути п'ятирічка, рік, квартал, місяць, тиждень тощо.
Якщо інтервал часу стає нескінченно малим , то процес розглядається як неперервний і вивчається за допомогою теорії диференціальних рівнянь.
Поведінка системи в дискретному часі визначається за допомогою різницевого рівняння, яке пов'язує значення економічного показника у, що досліджується, у сусідні моменти часу, тобто Різниця першого порядку має вигляд:
різниця другого порядку має вигляд:
різниця п-го порядку -
Визначення. Рівняння вигляду
де п - фіксоване, а - довільне натуральне число,, - члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням п-го порядку.
Розв'язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності {уп}, що задовольняють рівнянню (2.64). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв'язання диференціальних рівнянь.
Визначення. Різницеве рівняння вигляду
де - деякі функції від t, називається лінійним неоднорідним різницевим рівнянням п-го порядку. При К = 0 рівняння називають однорідним.
У випадку, коли коефіцієнти є константами, методи розв'язання даного класу рівнянь багато в чому аналогічні методам розв'язання лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Продемонструємо це для різницевих рівнянь другого порядку:
Аналогічно випадку для лінійних диференціальних рівнянь загальний розв'язок рівняння (2.66) визначається як сума частинного розв'язкурівняння (2.66) та загального розв'язкувідповідного однорідного рівняння (випадок К = 0).
Для визначення загального розв'язку однорідного різницевого рівняння
що відповідає неоднорідному різницевому рівнянню (2.66), необхідно знайти розв'язки характеристичного рівняння
У результаті можуть виникнути три варіанти.
1. Обидва корені - дійсні і не дорівнюють один одному.
Тоді загальний розв'язок має вигляд:
Де - довільні константи.
2. Обидва корені дійсні і дорівнюють один одному , тому
3. У випадку комплексно-спряжених коренів І
Приклад. Розв'язати рівняння
економічна динаміка математичний рівняння
Знайдемо частинний розв'язок цього рівняння. Скористаємося для цього методом невизначених коефіцієнтів. Шукатимемо частинний розв'язок у вигляді . Підставляючи цей вираз у наше рівняння, одержимо:
Отже,, тому
Розв'язуючи характеристичне рівняння
знаходимо корені , Таким чином, загальний розв'язок рівняння має вигляд:
.
Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами
Лінійним різницевим рівнянням n-го порядку називається рівняння
(1),
де - сталі коефіцієнти. Якщо виразимо оператори різниць через оператор зсуву S, то можемо записати різницеве рівняння в рівнозначній формі
(2)
Число n називається порядком різницевого рівняння. Це рівняння можна також записати в операторній формі
(3)
Якщо , то різницеве рівняння називається однорідним, якщо , то рівняння називається неоднорідним.
Нагадаємо, що оператор зсуву S має таку властивість
(4)
Для однозначного визначення розв'язків РР достатньо задати початкові умови
(5)
Розв'язком РР (2) називається послідовність (k=0, 1, 2,.), яка при підстановці її в РР (2) перетворює його в тотожність.
Однорідні різницеві рівняння
Наведемо деякі властивості розв'язків однорідного РР:
(6)
1. Якщо РР (6) має частинні розв'язки , то воно має також розв'язок
2. Якщо РР (6) має два розв'язки то воно має також розв'язок Звідси маємо, що РР має розв'язок:
Розв'язок РР (6) при .
(7)
називають загальним, якщо за рахунок вибору довільних сталих С1, С2,., Сn можна задовольнити довільні початкові умови (6).
Якщо (7) - загальне рішення РР (7), то система лінійних алгебраїчних алгебраїчних рівнянь завжди має розвязок відносно сталих С1, С2,., Сn.
Визначник
(8)
називається визначником Вронського.
Замінюючи k на k+1 у визначнику (8), одержимо рівняння для визначника Вронського
Л. Ейлер запропонував загальний метод розв'язання РР (6). Розглянемо спочатку РР першого порядку . З рівняння при k=0, 1, 2. одержимо рівняння
Виходячи з цього, РР (6) має частинний розв'язок.
Розв'язок обмежений при , прямує до нуля при , якщо необмежено зростає по модулю при
Л. Ейлер запропонував шукати розв'язок РР (6) у вигляді , Число м називається мультиплікатором розв'язків РР (6).
Оскільки справедлива рівність , то для визначення мультиплікаторів одержимо алгебраїчні рівняння
або
Це рівняння називається мультиплікаторним або характеристичним.
І. Якщо рівняння має n різних коренів , то загальний розв'язок РР (6) має вигляд
Частинні розв'язки будуть лінійно незалежні, так як визначник Вронського.
є визначником Вандермонда і відрізняється від нуля при .
Приклад 1. Знайти загальний розв'язок РР.
Мультиплікаторне рівняння має розв'язок у1=2, у2=3. Тому РР має загальний розв'язок (k=0, 1, 2,.).
Приклад 2. Знайдемо частинний розв'язок РР
з початковими умовами у0=0, у1=1.
Мультиплікаторне рівняння має комплексні корені . Загальний розв'язок в комплексній формі має вигляд
(k=0, 1, 2,.).
Цей розв'язок у дійсній формі має вигляд
Для визначення сталих С3, С4 одержимо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
З цієї системи рівнянь знайдемо С3=0, С4= Остаточно знаходимо частковий розв'язок
що задовольняє задані початкові умови.
ІІ. Якщо рівняння має корінь м1 кратності п1, то РР (6) має п1 лінійно незалежних часткових розв'язків
Наведемо теорему про загальний розв'язок РР (6).
Якщо мультиплікаторне рівняння має корені кратності , то загальний розв'язок РР (6) одержимо у вигляді
Приклад 3. Знайдемо загальний розв'язок РР
Мультиплікаторне рівняння має трикратний корінь Тому загальний розв'язок має вигляд
Неоднорідні різницеві рівняння
Різницеве рівняння вигляду
де - деякі функції від t, називається лінійним неоднорідним різницевим рівнянням п-го порядку. При К = 0 рівняння називають однорідним.
У випадку, коли коефіцієнти є константами, методи розв'язання даного класу рівнянь багато в чому аналогічні методам розв'язання лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Продемонструємо це для різницевих рівнянь другого порядку:
(9)
Аналогічно випадку для лінійних диференціальних рівнянь загальний розв'язок рівняння (9) визначається як сума частинного розв'язку рівняння (9) та загального розв'язку відповідного однорідного рівняння (випадок К = 0). Для визначення загального розв'язку однорідного різницевого рівняння
що відповідає неоднорідному різницевому рівнянню (9), необхідно знайти розв'язки характеристичного рівняння
У результаті можуть виникнути три варіанти.
1. Обидва корені - дійсні і не дорівнюють один одному.
Тоді загальний розв'язок має вигляд:
Де - довільні константи.
2. Обидва корені дійсні і дорівнюють один одному , тому
3. У випадку комплексно-спряжених коренів І
Приклад 4. Розв'язати рівняння
Знайдемо частинний розв'язок цього рівняння. Скористаємося для цього методом невизначених коефіцієнтів. Шукатимемо частинний розв'язок у вигляді . Підставляючи цей вираз у наше рівняння, одержимо:
Отже,, тому
Розв'язуючи характеристичне рівняння
знаходимо корені , Таким чином, загальний розв'язок рівняння має вигляд:
.
Неоднорідне РР
(10)
завжди може бути зведене до підсумовування відомих функцій, якщо використовувати метод варіації довільних сталих.
Загальний розв'язок неоднорідного РР (9) є сумою частинного розв'язку неоднорідного РР та загального розв'язку однорідного РР.
Найбільш часто зустрічається РР
(10)
де
Qq (k) - многочлен від k степеня q. Можна довести теорему.
Якщо , то рівняння (10) має частковий розв'язок виду , де Rq (k) деякий многочлен від k степеня q.
Якщо є коренем кратності т рівняння , то РР (10) має частковий розв'язок виду .
Многочлен Rq (k) можна знайти методом невизначенних коефіцієнтів.
Приклад 5. Знайти частининй розв'язок РР
Частинний розв'язок шукаємо у вигляді
Підставляючи у РР, одержимо рівняння для визначення А, В.
з якого знаходимо
Розв'язок РР (10) можна знайти у виді . При цьому приходимо до РР
і розв'язок zk шукається у виді многочлена , де т - кратність кореня м рівняння .
Приклад.6. Знайти частинний розв'язок РР
Покладаючи , одержимо РР
Шукаємо розв'язок zk у виді многочлена . Підставляючи zk знаходимо
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Особливі точки системи, що описана моделлю динаміки ринкового середовища. Дослідження моделі динаміки ринкового середовища за допомогою біфуркаційної діаграми та за допомогою коренів характеристичного рівняння. Умови стійкості та точки біфуркації.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 22.04.2014Поняття математичного моделювання. Види математичних моделей. Поняття диференціальних рівнянь. Приклади процесів, що моделюються диференціальними рівняннями експоненціальної змінної. Рівняння гармонічних коливань. Застосування диференціальних рівнянь.
курсовая работа [291,1 K], добавлен 01.10.2014Теоретичні основи економічного прогнозування: сутність, види і призначення, принципи і методи. Особливості вибору моделей та створення систем державних прогнозів і соціально-економічних програм України. Порядок моделювання динаміки господарської системи.
курсовая работа [869,6 K], добавлен 16.02.2011Приведення рівняння до безрозмірної форми. Знаходження точного розв'язку рівняння. Складання М-файлу правих частин рівняння у формі Коші. Створення підпрограми інтегрування, керуючої програми. Графік залежності амплітуди похибки від кроку інтегрування.
контрольная работа [1,2 M], добавлен 07.08.2013Методика визначення динаміки різних об’єктів різними лінійними кінцево-різницевими рівняннями. Характеристичний стан об'єкта у будь-який момент часу зі станами в попередні моменти часу. Порядок вирахування стаціонарної, аналіз стійкості рівноважної ціни.
курсовая работа [93,5 K], добавлен 16.07.2010Застосування математичних методів у економіці. Об'єкти та предмети економетрії. Аналіз реальних економічних систем за допомогою економетричних методів і моделей. Непрямий метод найменших квадратів при оцінюванні параметрів ідентифікованої системи рівнянь.
контрольная работа [41,1 K], добавлен 12.02.2010Теоретичні основи побудови комплексної економічної безпеки. Аналіз існуючих методів та алгоритмів щодо вирішення задачі моделювання характеристик комплексної економічної безпеки на малому підприємстві. Розрахунок захищеності від фізичного проникнення.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 07.03.2011Вихідні поняття прогнозування, його сутність, принципи, предмет і об'єкт. Суть адаптивних методів. Прогнозування економічної динаміки на основі трендових моделей. Побудова адаптивної моделі прогнозування прибутку на прикладі стоматологічної поліклініки.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 18.06.2015Математичне введення в теорію ланцюгів Маркова: дискретні і безперервні ланцюги та теореми. Рішення матричного рівняння, рівняння Чепмена-Колмогорова. Класифікація систем масового обслуговування, формула Літтла, коефіцієнт використовування системи.
реферат [146,4 K], добавлен 26.04.2009Основні поняття і попередній аналіз рядів динаміки. Систематичні та випадкові компоненти часового ряду. Перевірка гіпотези про існування тренда. Методи соціально-економічного прогнозування. Прогнозування тенденцій часового ряду за механічними методами.
презентация [1,3 M], добавлен 10.10.2013Розкриття суті і визначення ролі фінансової складової в системі забезпечення економічної безпеки банківської діяльності. Класифікація моделей економічної безпеки і проведення кластерного і ієрархічного моделювання фінансової безпеки комерційного банку.
дипломная работа [2,4 M], добавлен 09.11.2013- Конкурентоспроможність національної економіки і валютний курс: оцінка впливу, прогнозування динаміки
Створення економіко-математичної моделі на основі рівняння множинної регресії та прогнозування конкурентоспроможності національної економіки за допомогою системи показників її розвитку. Оцінка впливу валютного курсу, практика його державного регулювання.
автореферат [50,3 K], добавлен 06.07.2009 Використання абсолютних, відносних та середніх величин, рядів динаміки у фінансовому аналізі, складання аналітичних таблиць. Застосування індексного та графічного методів. Послідовність аналізу економічних показників, взаємозв’язок факторних показників.
курсовая работа [145,2 K], добавлен 31.05.2010Сутність та принципи визначення оптимального керування процесом в будь-який момент часу. Загальна характеристика методу динамічного програмування. Порівняльний аналіз рівняння Беллмана в задачах швидкодії та з фіксованим часом і вільним правим кінцем.
реферат [224,0 K], добавлен 28.11.2010Структурна схема ВАТ "Вагоно-ремонтний завод". Аналіз фінансового та економічного стану підприємства. Методики побудови апроксимаційних нелінійних залежностей за допомогою методу Ньютона нелінійного оптимального пошуку. Розробка методики прогнозування.
дипломная работа [986,3 K], добавлен 08.03.2010Аналіз виробничої діяльності державного підприємства. Підготовка до впровадження реального інвестиційного проекту та оцінка його економічної ефективності. Інформаційна система підтримки прийняття рішень по мінімізації витрат на державному підприємстві.
дипломная работа [4,6 M], добавлен 14.10.2009Побудова економетричної моделі парної регресії. На основі даних про витрати обігу (залежна змінна) і вантажообігу (незалежна змінна) побудувати економетричну модель. Рівняння регресії. Коефіцієнт парної детермінації та кореляції. Перевірка надійності.
задача [563,6 K], добавлен 28.12.2008Процедури та моделювання систем зв’язку, формальний опис та оцінювання ефективності. Специфіка цифрового зображення сигналів. Особливості та методи побудови математичних моделей систем та мереж зв'язку. Математичні моделі на рівні функціональних ланок.
реферат [120,1 K], добавлен 19.02.2011Аналіз коефіцієнтів лінійних моделей: розрахунок коефіцієнтів цільової функції. Аналіз діапазону зміни компонент вектора обмежень. Приклад практичного використання двоїстих оцінок у аналізі економічної задачі. Складання по ній симплексної таблиці.
лекция [543,5 K], добавлен 10.10.2013Характеристика економетрії, яка є галуззю економічної науки, що вивчає методи кількісного вимірювання взаємозв’язків між економічними показниками. Розрахунок та побудова споживчої функції. Методи дослідження мультиколінеарності між пояснюючими змінними.
курсовая работа [211,9 K], добавлен 29.01.2010
