Расчёт теплоёмкости органических веществ при повышенных давлениях

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Тема проекта: «Расчёт теплоёмкости органических веществ при повышенных давлениях».

Цель курсового проекта: Научиться рассчитывать теплоёмкость органических веществ при повышенных давлениях с помощью современных информационных технологий и программ, а также научиться представлять полученные результаты в аналитическом и графическим видах в программе MathCad.

Для расчёта теплоты в процессе изменения состояния тела в теплотехнике необходимо знать его теплоёмкость. Согласно одному из определений: теплоёмкость численно равна теплоте, которую необходимо сообщить телу, чтобы в данном процессе при данных параметрах изменить его температуру на 1 С. Согласно другого определения: теплоёмкость - это свойство вещества, характеризующее отношение количества тепла, сообщённого этому веществу, к вызванному им изменению температуры. Удельное значение теплоёмкости зависит от: количественной единицы, к которой её относят, от природы тела, характера процесса изменения состояния и параметров состояния тела. Следовательно можем сделать вывод, что теплоёмкость для газа будет рассматриваться как функция температуры и давления.

В данном курсовом проекте в среде MathCad будет рассчитана теплоёмкость органического вещества «Этилен» при повышенных давлениях, а результаты расчетов будут представлены в виде расчётов и графиков.

1. Математическое моделирование технических объектов

1.1 Понятие математической модели, её классификация и свойства

Нас окружают сложные технические системы. В процессе проектирования новой или модернизации существующей технической системы решаются задачи расчета параметров и исследования процессов в этой системе. При проведении многовариантных расчетов реальную систему заменяют моделью. В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта.

Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).

Формы представления модели:

1. инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

2. аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

3. алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма;

4. схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);

5. физическая;

6. аналоговая.

Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования. Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров R_x (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров. Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных R_y. В том случае, когда каждый компонент пространства R_y задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства R_y.

Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект.

Это могут быть:

- технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;

- физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;

- тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Противоречивость требований к модели обладать широкой областью адекватности, высокой степени универсальности и высокой экономичности обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа.

Получение моделей в общем случае - процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В тоже время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов проектируемой системы обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных экспериментальных исследований.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирование имеет ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют методика макро моделирования, математические методы планирования экспериментов, алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

Вычислительная мощность современных компьютеров в сочетании с предоставлением пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении задачи и анализе результатов позволяют свести к минимуму время решения задачи.

При составлении математической модели от исследователя требуется:

1. изучить свойства исследуемого объекта;

2. умение отделить главные свойства объекта от второстепенных;

3. оценить принятые допущения.

Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом. Алгоритм решения задачи на ЭВМ связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы.

1.2 Расчет теплоемкостей органического вещества методом Бенсона, Питцера

Теплоемкость есть свойство вещества, характеризующее отношение количества тепла, сообщенного этому веществу, к вызванному им изменению температуры. Согласно более строгому определению, теплоемкость - термодинамическая величина, определяемая выражением:

Где - количество теплоты, сообщенное системе и вызвавшее изменение ее температуры на .

Знание теплоемкости необходимо для выполнения самых разнообразных расчетов, например, при расчете тепловых балансов, при проектировании всевозможной теплообменной аппаратуры и реакторов, при расчете химического равновесия и пр. Знание температурной зависимости теплоемкости необходимо при определении энтропии вещества, изучение теплоемкости вещества несет важную информацию о строении его молекул и пр. При практических расчетах используются следующие понятия:

- средняя теплоемкость - это отношение конечных разностей ;

- истинная теплоемкость - это отношение бесконечно малых величин ;

- теплоемкость при постоянном объеме - соответствует процессу подвода тепла при постоянном объеме, когда не совершается работа расширения и количество тепла соответствует изменению внутренней энергии:

- теплоемкость при постоянном давлении

- соответствует процессу подвода тепла при постоянном давлении, когда повышение температуры приводит к изменению объема и, таким образом, одновременно совершается некоторая работа расширения . Поскольку при изобарическом нагревании часть тепла помимо увеличения внутренней энергии идет на работу расширения, то .

Для идеального газа:

Где:

R - газовая постоянная.

На величину теплоемкости влияет природа вещества. Так, газы со сходным строением молекул имеют близкие значения теплоемкостей. С усложнением строения молекул теплоемкость, как правило, возрастает. Повышение температуры также обычно приводит к росту теплоемкости. Температурную зависимость теплоемкости нельзя получить на основе законов термодинамики, ее определяют опытным путем. Зависимость теплоемкости от температуры имеет достаточно сложный вид, для описания ее в относительно узком интервале температур в большинстве случаев используют степенные уравнения вида:

Метод Бенсона:

Расчет при указанных температурах выполняется аналогично прогнозированию энтальпии образования и энтропии соединений путем суммирования парциальных вкладов схемы Бенсона и введением соответствующих поправок. В отличие от энтропии при расчете теплоемкости веществ используются только те поправки. При расчете теплоемкости следует иметь в виду, что таблица Бенсона составлена таким образом, что для каждого из парциальных вкладов в соседних столбцах корректной является линейная интерполяция. Последний прием используется при вычислении теплоемкостей веществ, находящихся при температурах, которые не кратны 100 К.

Метод Питцера:

Экспериментальные сведения о теплоемкости при высоких давлениях являются ограниченными. Поэтому прогнозирование теплоемкости оказывается неизбежным в большинстве практических расчетов. Поскольку речь идет о свойстве веществ в реальном состоянии, методы прогнозирования основаны на принципе соответственных состояний. При массовых расчетах широко используется подход, основанный на разложении Питцера, которое для теплоемкости принимает вид:

Где щ - ацентрический фактор.

Это формула поправка к теплоемкости на давление, характеризующая поведение простого вещества.

Приведена функция отклонения в поведении рассматриваемого вещества от поведения простого вещества,

- идеально-газовая теплоемкость вещества при рассматриваемой температуре,

- искомая теплоемкость,

R - газовая постоянная, равная 8,31441 Дж/(мольК), или 1,98725 кал/(мольК).

Значения:

Представлены в таблицах Ли-Кеслера как функции приведенной температуры и давления. Таблицы Ли-Кеслера составлены на основе уравнения состояния Бенедикта-Уэбба-Рубина с соблюдением общепринятых принципов, т.е. между любыми соседними значениями в столбцах или строках таблицы корректной является линейная интерполяция. В таблицах область, лежащая выше линии бинодали (в таблицах это жирная ломаная линия), принадлежит жидкому состоянию вещества, ниже - газообразному состоянию.

2. Алгоритмический анализ задачи

2.1 Постановка задачи, исходные данные

Рассчитать теплоемкость органического вещества в идеально-газовом состоянии методом Бенсона.

Представить графически и аналитически зависимость теплоемкости от температуры по регрессионным зависимостям.

Рассчитать теплоемкость органического вещества при повышенных давлениях, полученные результаты представить графически и аналитически.

Исходные данные для исследования:

Вариант 8.

Ход работы:

1) Из справочных данных определить химическую формулу своего вещества, критическую температуру, критическое давление и ацентрический фактор.

2) Определить теплоёмкость вещества в идеально-газовом состоянии при ряде температур (300,400,500,600,800 К). Ниже приведена таблица №1 вкладов в теплоёмкость органических групп.

Таблица 1:

3) Провести регрессионный анализ по своим видам регрессии. Получить аналитические зависимости, построить график функции. Определить коэффициент для каждой регрессии и определить лучшую.

4) Определить приведённое значение температуры и давления относительно критического давления и температуры, чтобы они присутствовали в таблице Ли-Кеслера.

5) Из данных таблиц составляем матрицы для значений:

6) Рассчитываем для реальной теплоёмкости данного вещества. Для полученной матрицы теплоёмкости строим 3-х мерный график.

7) Для зафиксированного параметра провести аппроксимацию данных (интерполяцию) по своему варианту; предсказать значение теплоёмкости на к шагов вперёд (экстраполяция).

2.2 Описание математической модели

2.3 Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - статистический метод исследования зависимости между зависимой переменной Y и одной или несколькими независимыми переменными X1,X2,...,Xp. Независимые переменные иначе называют регрессорами или предикторами, а зависимые переменные - критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных, а не причинно-следственные отношения. Независимые переменные иначе называются регрессорами или предикторами, а зависимые переменные - критериальными. Терминология зависимых и независимых переменных отражает лишь математическую зависимость переменных а не причинно-следствинные отношения.

Цели регрессионного анализа:

1) Определение наличия связи между переменными и характера этой связи (т. е. нахождение описывающего её математического уравнения);

2) Определение степени детерминированности вариации критериальной переменной предикторами;

3) Предсказание значения зависимой переменной с помощью независимой(-ых);

4) Определение вклада отдельных независимых переменных в вариацию зависимой.

Нелинейная регрессия общего вида:

Регрессия нелинейная общего вида статистическая нелинейная связь причинного характера между двумя количественными переменными x и y, которая может быть представлена одной из нелинейных математических функций:

y = f * (x)

Где x -независимая переменная (предиктор) , y -переменная зависимая. В уравнении могут использоваться логарифмические, экспоненциальные, степенные, тригонометрические и прочие функции. В социологии наиболее часто применяются модели логарифмической:

y = a * b * ln(x)

И экспоненциальной:

y = ea * bx

- для регрессии. Наиболее простая техника построения этих моделей состоит в том, чтобы преобразовать исходные переменные и затем использовать процедуру построения регрессии линейной парной. Так, построение модели логарифмической регрессии:

y = a * b * ln(x)

Эквивалентно построению парной линейной регрессии

y = a * bx

Где x = ln(x); построение экспоненциальной модели:

y = ea * bx

Эквивалентно построению модели:

y = a * bx

Где y = ln(x).

Качество (объясняющая способность) уравнения нелинейной регрессии y = f(x) измеряется долей объясненной дисперсии независимой переменной y, аналогом коэффициента детерминации:

R2 = 1 - sum (yi - yi) / sum (yi - y) * 2

Где yi - измеренное значение переменной y для объекта с номером i; yi- значение переменной y для объекта с номером i, предсказанное по уравнению y - среднее арифметическое переменной y.

Синусоидальная регрессия:

Для простых типовых формул аппроксимации предусмотрен ряд функций регрессии, в которых параметры функций подбираются программой Mathcad самостоятельно. К ним относят функция sinfit(X,Y,S) - то же, для выражения:

y(x) = a·sin(x+b)+c

Подбирает коэффициенты для синусоидальной функции регрессии. Рисунок синусоиды общеизвестен.

При сопоставлении синусоидальной регрессии модельного массива данных по базовой синусоиде и зональную регрессию полинома второй степени по среднеквадратическим приближениям к базовой кривой и к исходным данным, известность функции математического ожидания для статистических данных с ее использованием в качестве базовой для функции регрессии дает возможность с более высокой точностью определять параметры регрессии в целом по всей совокупности данных, хотя при этом кривая регрессии не отражает локальных особенностей фактических отсчетов данной реализации. Это имеет место и для всех других методов с заданием функций регрессии.

Логистическая регрессия:

Логистическая регрессия - полезный классический инструмент для решения задачи регрессии классификации. Без логистической регрессии - невозможно построение моделей в медицине и проведение клинических исследований. В последние годы логистическая регрессия получила распространение в скоринге для расчета рейтинга.

Логистическая регрессия - это разновидность множественной регрессии, общее назначение которой состоит в анализе связи между несколькими переменными (называемыми также регрессорами или предикторами) и зависимой переменной. Бинарная логистическая регрессия, как следует из названия, применяется в случае, когда зависимая переменная является бинарной (т.е. может принимать только два значения). Иными словами, с помощью логистической регрессии можно оценивать вероятность того, что событие наступит для конкретного испытуемого .Как известно, все регрессионные модели могут быть записаны в виде формулы:

3.2 Выводы о проделанной работе, анализ полученных результатов

В ходе курсовой работы я получил новые теоретические знания в области MathCAD. С помощью пакета MathCAD я рассчитал теплоемкость своего органического вещества в идеально-газовом состоянии методом Бенсона, представил графически и аналитически зависимость теплоемкости от температуры по своим регрессионным зависимостям. Рассчитал теплоемкость своего вещества при повышенных давлениях. Главный плюс в этой работе заключаются в том , что без особых усилий можно рассчитать теплоёмкость данного вещества, а так же получить графики разных типов по результатам. Данная работа предоставила мне навыки в вычислительной науке и компьютерных технологиях.

Заключение

Созданный в интегрированном пакете MathCad программный продукт удовлетворяет всем начальным требованиям и условиям. В удобной и наглядной форме, представлены ввод значений и необходимые расчеты; программа позволяет вносить любые требуемые изменения в исходные данные, при этом программа автоматически выполняет необходимые корректировки в расчетах и построенных графиках. Также у системы MathCad есть и свои недостатки: например, программу нельзя назвать гибкой, так как для расчета по другим формулам необходимо исправлять программу и записывать другие формулы для расчетов.

В данной курсовой работе по расчету теплоемкости органических веществ при повышенных давлениях были решены все поставленные задачи. Тема курсовой работы довольно актуальна в современной промышленности и производстве, т.к. для проведения научных практических опытов необходимо знать как будет себя вести вещество в изменяемых условиях. Теплоёмкость необходима при расчете тепловых балансов, при проектировании всевозможной теплообменной аппаратуры и реакторов, при расчете химического равновесия и пр. А т.к. теплоёмкость при повышенных давлениях можно определить лишь экспериментально, а эти данные являются ограниченными, следовательно, прогнозирование теплоемкости оказывается неизбежным в большинстве практических расчетов.

Список используемых источников

1. Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. Часть I. Книга 1. Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 1999. 454.

2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики.\ л.и. Бородич, А.И. Герасимович, М: Высш. шк., 1986 - 194 с.

3. Дьяконов В. «Mathcad 2000».

4. Норман Дрейпер, Гарри Смит Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия = Applied Regression Analysis. - 3-е изд. - М.: «Диалектика», 2007. - С. 912. - ISBN 0-471-17082-8.

5. Шведов И. А. Компактный курс математического анализа, 2003: Часть 1. Функции одной переменной, Часть 2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

моделирование теплоемкость математический

Приложение

Таблица соответствия переменных:

Размещено на Allbest.ru