Оптимальный план выпуска продукции
Определение оптимального плана выпуска продукции для максимизации прибыли предприятия. Использование симплексного метода для решения задач линейного программирования. Расчёт увеличения стоимости продукции и плана её выпуска при увеличении запасов.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | задача |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 12.03.2013 |
| Размер файла | 489,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
1) Условие оптимизационной задачи на максимум:
Для изготовления двух видов продукции Х1 и Х2 на предприятии используются три вида различного сырья: А1, А2, А3.
Запасы сырья каждого вида известны и равны:
- для А1: 372 кг;
- для А2: 620 кг;
- для А3: 310 кг.
Для изготовления продукции Х1 необходимо использовать 5 ед. сырья А1, 2 ед. сырья А2 и 6 ед. сырья А3. А для изготовления продукции Х2 требуется 1 ед. сырья А1, 3 ед. сырья А2 и 5 ед. сырья А3.
Величина прибыли, получаемой от реализации единицы продукции Х1, равна 2 руб., а для Х2 -- 8 руб.
Необходимо найти оптимальный план выпуска продукции, т.е. чтобы при её реализации предприятие получало максимальную прибыль, и определить величину этой максимальной прибыли.
2) Условие двойственной задачи:
Необходимо найти такие цены ресурсов (yi), чтобы суммарная стоимость ресурсов была минимальна (целевая задача), а стоимость ресурсов, затрачиваемых на производство единицы (например, 1 кг) продукции каждого вида, была не меньше прибыли от реализации единицы продукции этого вида (граничные условия).
3) Математические формулировки прямой и двойственной задач:
-- Прямая задача
-- Двойственная задача
4) Прямая задача
-- Двойственная задача
5) Прямая задача
|
Сырье |
Ограничения |
Необходимо |
|
|
А1 |
372 |
62 |
|
|
А2 |
620 |
186 |
|
|
А3 |
310 |
310 |
|
|
Х1 |
0 |
План выпуска |
|
|
Х2 |
62 |
||
|
Целевая функция(Z) |
496 |
Двойственная задача
|
Продукция |
Необходимо |
Ограничения |
|
|
Х1 |
9,6 |
2 |
|
|
Х2 |
8 |
8 |
|
|
у1 |
0 |
Плановые цены |
|
|
у2 |
0 |
||
|
у3 |
1,6 |
||
|
Целевая функция(Z') |
496 |
6) Канонический вид прямой задачи:
7) Прямая задача симплекс-методом
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 2x1 + 8x2 при следующих условиях-ограничений.
5x1 + x2?372
2x1 + 3x2?620
6x1 + 5x2?310
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
5x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 372
2x1 + 3x2 + 0x3 + 1x4 + 0x5 = 620
6x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 + 1x5 = 310
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x3, x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,372,620,310)
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x3 |
372 |
5 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
|
x4 |
620 |
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
|
|
x5 |
310 |
6 |
5 |
0 |
0 |
1 |
|
|
F(X0) |
0 |
-2 |
-8 |
0 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2 и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
min |
|
|
x3 |
372 |
5 |
1 |
1 |
0 |
0 |
372 |
|
|
x4 |
620 |
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
2062/3 |
|
|
x5 |
310 |
6 |
5 |
0 |
0 |
1 |
62 |
|
|
F(X1) |
0 |
-2 |
-8 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x3 |
310 |
34/5 |
0 |
1 |
0 |
-1/5 |
|
|
x4 |
434 |
-13/5 |
0 |
0 |
1 |
-3/5 |
|
|
x2 |
62 |
11/5 |
1 |
0 |
0 |
1/5 |
|
|
F(X1) |
496 |
73/5 |
0 |
0 |
0 |
13/5 |
Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x3 |
310 |
34/5 |
0 |
1 |
0 |
-1/5 |
|
|
x4 |
434 |
-13/5 |
0 |
0 |
1 |
-3/5 |
|
|
x2 |
62 |
11/5 |
1 |
0 |
0 |
1/5 |
|
|
F(X2) |
496 |
73/5 |
0 |
0 |
0 |
13/5 |
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 310
x4 = 434
x2 = 62
F(X) = 8*62 = 496
8) Определим минимальное значение целевой функции F(X) = 372x1 + 620x2 + 310x3 при следующих условиях-ограничений.
5x1 + 2x2 + 6x3?2
x1 + 3x2 + 5x3?8
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
5x1 + 2x2 + 6x3-1x4 + 0x5 = 2
1x1 + 3x2 + 5x3 + 0x4-1x5 = 8
Умножим все строки на (-1) и будем искать первоначальный опорный план.
-5x1-2x2-6x3 + 1x4 + 0x5 = -2
-1x1-3x2-5x3 + 0x4 + 1x5 = -8
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: x4, x5,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,-2,-8)
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x4 |
-2 |
-5 |
-2 |
-6 |
1 |
0 |
|
|
x5 |
-8 |
-1 |
-3 |
-5 |
0 |
1 |
|
|
F(X0) |
0 |
372 |
620 |
310 |
0 |
0 |
План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.
На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-5).
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x4 |
-2 |
-5 |
-2 |
-6 |
1 |
0 |
|
|
x5 |
-8 |
-1 |
-3 |
-5 |
0 |
1 |
|
|
F(X0) |
0 |
372 |
620 |
310 |
0 |
0 |
|
|
и |
0 |
372 : (-1) = -372 |
620 : (-3) = -2062/3 |
310 : (-5) = -62 |
- |
- |
Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x4 |
73/5 |
-34/5 |
13/5 |
0 |
1 |
-11/5 |
|
|
x3 |
13/5 |
1/5 |
3/5 |
1 |
0 |
-1/5 |
|
|
F(X0) |
-496 |
310 |
434 |
0 |
0 |
62 |
В базисном столбце все элементы положительные.
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
|
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
|
x4 |
73/5 |
-34/5 |
13/5 |
0 |
1 |
-11/5 |
|
|
x3 |
13/5 |
1/5 |
3/5 |
1 |
0 |
-1/5 |
|
|
F(X1) |
-496 |
310 |
434 |
0 |
0 |
62 |
Оптимальный план можно записать так:
x4 = 73/5
x3 = 13/5
F(X) = 310*13/5 = 496
9) Конечный результат, полученный с помощью функции Excel «Поиск решения» совпадает с тем, который получен симплекс-методом.
10) Х* (0;62;310;434;0)
у* (0;0;1,6;7,6)
Анализ решения
Использование ресурсов в оптимальном плане
|
Ресурс |
Избыточный/дефицитный |
Увеличение запаса ресурса выгодно/ нет |
Ограничивает производство/не ограничивает производство |
Теневая цена |
Ранг дефицитности ресурса (1- самый высокий и т.д.) |
На сколько руб. изменяется выручка при увеличении запаса ресурса на 1 ед. |
|
|
А1 |
избыт. |
не выгодно |
нет |
0 |
0 |
0 |
|
|
А2 |
избыт. |
не выгодно |
нет |
0 |
0 |
0 |
|
|
А3 |
дефицит |
выгодно |
да |
1,6 |
1 |
1,6 |
Нижние и верхние границы ресурсов, при которых сохраняется ассортимент выпускаемых продуктов оптимального плана, теневые цены ресурсов, статус ресурсов.
|
Ресурс |
Min граница доступного ресурса |
Max граница доступного ресурса |
Статус ресурсов не меняется при min<=B<=max |
Ассортимент товаров не меняется при min<=B<=max |
План выпуска товаров меняется при min<=B<=max |
Теневая цена ресурса не меняется при min<=B<=max |
Теневая цена ресурса меняется при B>max или B<min |
|
|
А1 |
372 |
1E+30 |
372<=B<=1E+30 |
372<=B<=1E+30 |
неверно |
372<=B<=1E+30 |
B<372или B>=1E+30 |
|
|
А2 |
620 |
1E+30 |
620<=B<=1E+30 |
620<=B<=1E+30 |
неверно |
620<=B<=1E+30 |
B <620 или B>1E+30 |
|
|
А3 |
310 |
723,3333333 |
310<=B<=723,3333333 |
310<=B<=723,3333333 |
неверно |
310<=B<=723,3333333 |
B<310или B>723,3333333 |
Граничные цены продуктов, в пределах которых оптимальный план не изменяется
|
Продукт |
Min граница цены продукта |
Max граница цены продукта |
Оптимальный план не меняется при min<=C<=max |
Выручка не меняется при min<=C<=max |
Существует много планов при C=max или C=min |
Оптимальный план меняется при C>max или C<min |
|
|
Х1 |
1E+30 |
7,6 |
1E+30<=C<=7,6 |
1E+30<=C<=7,6 |
C= 1E+30 или C=7,6 |
C> 7,6 или C<1E+30 |
|
|
Х2 |
6,333333333 |
1E+30 |
6,333333333<=C<=1E+30 |
6,333333333<=C<=1E+30 |
C= 6,333333333 или C=1E+30 |
C>1E+30 или C<6,333333333 |
Определите, как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 2 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы количества сырья III. Использовать Свойство 2 двойственных оценок и Критические границы ресурсов.
0*2+0*3-1,6*3= -4,8 руб. Уменьшится на 4,8 руб.
Определите целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 руб/кг, на изготовление 1 кг которого расходуется по 2 кг каждого вида сырья (Использовать Свойство 3 Двойственных оценок)
2*1,6-10<0, след. Производить продукцию «Д» выгодно.
Используя Свойство 4 двойственных оценок, определить взаимозаменяемость 1-го ресурса и остальных с т.зр. сохранения общей прибыли. Привести расчёты.
Заменить можно ресурсы А1 и А2, поскольку их цена=0.
Решение прямой и двойственной задачи
Отчет по результатам
Отчет по устойчивости
Отчет по пределам
Литература
продукция стоимость симплексный метод
1. Данилин, Г.А. Математическое программирование с EXCEL: Учебное пособие для студентов всех специальностей МГУЛа / Г.А. Данилин, В.М. Курзина, П.А. Курзин и др. М.: МГУЛ, 2005/ 113 c.: ил.
2. Чернов В.П. Математические модели и методы в экономике и менеджменте: Учебное пособие. - СПб.: Изд-во СПбГУЭФ, 2010.-235 с.
3. Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL.-СПб., 1997.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Составление математической модели задачи. Расчёт оптимального плана перевозок с минимальной стоимостью с использованием метода потенциалов. Оптимальный вариант специального передвижного оборудования для технического обеспечения управления производством.
контрольная работа [135,3 K], добавлен 01.06.2014Составление плана выпуска продукции. Определение остатков ресурсов после изготовления продукции. Нахождение лимитирующего фактора. Построение графика допустимых решений. Применение метода "2-х точек" в решении задач. Оптимальная программа выпуска.
контрольная работа [15,7 K], добавлен 26.11.2010Расчет связи пунктов отправления и назначения. Обеспечение вывоза всех грузов из пункта отправления и ввоза в места назначения необходимых объемов. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли, расчет оптимального плана выпуска продукции.
курсовая работа [49,1 K], добавлен 29.07.2011Исследование методом Жордана-Гаусса системы линейных уравнений. Решение графическим и симплексным методом задач линейного программирования. Экономико-математическая модель задачи на максимум прибыли и нахождение оптимального плана выпуска продукции.
контрольная работа [177,8 K], добавлен 02.02.2010Экономико-математическая модель оптимального плана выпуска продукции. Оптимальная организация рекламной компании. Решение транспортной задачи: нахождение суммарных затрат на перевозку. Задача об оптимальном назначении (линейного программирования).
контрольная работа [812,0 K], добавлен 29.09.2010Проведение финансово-экономического анализа предприятия: системы расчетов по продукции и работе, банковского кредитования, налогообложения, ликвидности, платежеспособности. Разработка математической модели оптимального планирования выпуска продукции.
дипломная работа [4,0 M], добавлен 21.03.2010Моделирование задачи определения оптимального плана выпуска продукции, вывод ее в канонической форме. Решение задания с помощью надстройки MS Excel "Поиск решения", составление отчетов по устойчивости и результатам. Оптимальная прибыль при заданной цене.
курсовая работа [635,6 K], добавлен 07.09.2011Использование симплексного метода решения задач линейного программирования для расчета суточного объема производства продукции. Проверка плана на оптимальность. Пересчет симплексной таблицы методом Жордана-Гаусса. Составление модели транспортной задачи.
контрольная работа [613,3 K], добавлен 18.02.2014Пример решения типовой задачи оптимизации графическим методом. Получение оптимального плана выпуска продукции при помощи теории двойственности. Применение метода Леонтьева для построения баланса производства и распределения продукции предприятий.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 23.04.2013Расчет оптимального числа поездов, при которых перевозится максимальное число пассажиров, плана перевозки с минимальными расходами. Выбор стратегии выпуска новой продукции. Построение регрессионной модели зависимости расходов на питание от дохода семьи.
контрольная работа [3,3 M], добавлен 28.03.2010Математические и программные средства моделирования при решении конкретной производственной задачи. Метод реализации задачи планирования производства и нахождение оптимального плана с помощью симплексного метода. Программа на языке программирования С.
курсовая работа [603,8 K], добавлен 06.06.2011Графический метод решения и построение экономико-математической модели производства. Определение выручки от реализации готовой продукции и расчет оптимального плана выпуска продукции. Баланс производства проверка продуктивность технологической матрицы.
задача [203,4 K], добавлен 03.05.2009Основные подходы к математическому моделированию систем, применение имитационных или эвристических моделей экономической системы. Использование графического метода решения задачи линейного программирования для оптимизации программы выпуска продукции.
курсовая работа [270,4 K], добавлен 15.12.2014Построение математических моделей по определению плана выпуска изделий, обеспечивающего максимальную прибыль, с помощью графического и симплексного метода. Построение моделей по решению транспортных задач при применении метода минимальной стоимости.
задача [169,2 K], добавлен 06.01.2012Составление математической модели и решение задачи планирования выпуска продукции, обеспечивающего получение максимальной прибыли. Нахождение оптимального решения двойственной задачи с указанием дефицитной продукции при помощи теорем двойственности.
контрольная работа [232,3 K], добавлен 02.01.2012Модель оптимального выпуска продукции для цеха кондитерской фабрики: виды выпускаемой продукции (М), виды основного сырья (П) и его запасы, нормы расхода сырья на единицу. Минимальная по стоимости смесь сырья для изготовления пищевых концентратов.
контрольная работа [61,9 K], добавлен 19.03.2008Понятие "транспортная задача", ее типы. Отыскание оптимального плана перевозок однородного груза, при котором запросы цехов будут удовлетворены при минимальной суммарной стоимости перевозок. Решения прямой и двойственной задачи линейного программирования.
контрольная работа [81,9 K], добавлен 14.09.2010Решение задачи линейного программирования графическим и симплекс-методом. Решение задачи двойственной к исходной. Определение оптимального плана закрепления потребителей за поставщиками однородного груза при условии минимизации общего пробега автомобилей.
контрольная работа [398,2 K], добавлен 15.08.2012Определение наиболее выгодного сочетания технологических процессов переработки имеющегося количества нефти, количества ингредиентов, образующих кормовую смесь, еженедельных затрат времени на производство изделия, наибольшего дохода от выпуска продукции.
контрольная работа [204,2 K], добавлен 06.03.2010Решение задачи линейного программирования графическим способом. Определение экстремальной точки. Проверка плана на оптимальность. Правило прямоугольников. Анализ и корректировка результатов решения задач линейного программирования симплексным методом.
контрольная работа [40,0 K], добавлен 04.05.2014
