Математические методы в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

13

Размещено на http://www.allbest.ru/

Математические методы в экономике

Введение

В настоящее время интерес к финансовой деятельности заметно вырос, однако культура финансовых расчетов еще невысока. Особенно это касается случаев, когда такие расчеты делаются при анализе платежей, которые разнесены во времени или составляют потоки (последовательности, серии) регулярно повторяющихся выплат. До последнего времени нашим обществом практически совершенно не использовались ценные бумаги, векселя и другие финансовые атрибуты; имеется слабое представление об определении их рыночной цены. Пока еще основная масса людей недостаточно информирована о разнообразных формах получения и использования процентных денег.

Традицией финансовых работников является использование «Таблиц для финансовых расчетов». Вместе с тем появление и широкое распространение вычислительной техники в большой степени понизило роль этих таблиц, так как возможности компьютерного применения значительно шире, а получение результатов быстрее и удобнее. Поэтому при изложении уделяется некоторое внимание употреблению таблиц.

Для выделения системы требуется наличие:

· цели, для реализации которой формируется система;

· объекта исследования, состоящего из множества элементов, связанных в единое целое важными, с точки зрения цели, системными признаками;

· субъекта исследования («наблюдателя»), формирующего систему;

· характеристик внешней среды по отношению к системе и отражения ее взаимосвязей с системой.

· Рассмотреть несколько задач

Первоначально слово амортизация означало ликвидацию долга любыми способами. В современном использовании термин амортизация означает погашение долга, основной суммы и процентов, путем последовательности обычно одинаковых платежей. Таким образом, каждый платеж содержит уплату процентов, накопившихся за неоплаченную основную сумму в течение предшествующего временного периода, а также возмещение части неоплаченной основной суммы. Поскольку платежи обычно являются равными, они образуют аннуитет.

1. Теоретическая часть

Модели можно различать по ряду признаков: характеру моделируемых объектов, сферам приложения, глубине моделирования, средствам моделирования. По последнему признаку методы моделирования делятся на две группы: материальное (предметное) и идеальное.

Материальное моделирование, основывающееся на материальной аналогии моделируемого объекта и модели, осуществляется с помощью воспроизведения основных геометрических, физических, других функциональных характеристик изучаемого объекта. Частным случаем материального моделирования является физическое моделирование, по отношению к которому, в свою очередь, частным случаем является аналоговое моделирование. Оно основано на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими соотношениями. Пример аналогового моделирования - изучение механических колебаний с помощью электрической системы, описываемой теми же дифференциальными уравнениями. Так как эксперименты с электрической системой обычно проще и дешевле, она исследуется в качестве аналога механической системы. Идеальное моделирование отличается от материального принципиально. Оно основано на идеальной, или мыслимой, аналогии. В экономических исследованиях это основной вид моделирования. Идеальное моделирование, в свою очередь, разбивается на два подкласса: знаковое (формализованное) и интуитивное.

Интуитивное моделирование встречается в тех областях науки, где познавательный процесс находится на начальной стадии или имеют место очень сложные системные взаимосвязи. Такие исследования называют мысленными экспериментами. В экономике до последнего времени в основном применялось интуитивное моделирование; оно описывает практический опыт работников. При знаковом моделировании моделями служат схемы, графики, чертежи, формулы. Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование, осуществляемое средствами логико-математических построений. Связь финансовой математики с моделированием

Математические методы в экономике -- научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Включают в себя:

Математическую экономику

Эконометрику

Исследование операций

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Одним из самых перспективным направлений в математических методах в экономике на данный момент является экономико-математическое моделирование с использованием комплексных переменных, направление, разрабатываемое в Санкт-Петербургском государственном университете экономики и финансов.

Разработка нечисловой экономики (на основе статистики объектов нечисловой природы) ведется в МГТУ им. Н.Э. Баумана совместно с ЦЭМИ РАН.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами и процессами. Например, прогнозы социально-экономического развития Казахстана, разрабатываемые МЭРТ, основаны на математическом анализе ретроспективных показателей (динамики инфляции, ВВП и т. д.) и строятся с применением таких разделов эконометрики и прикладной статистики, как корреляционный анализ, регрессионный анализ, метод главных компонент, факторный анализ и т. д. Новым направлением в современной экономической науке является реализация так называемого экономического эксперимента, суть которого заключается в математическом моделировании экономических ситуаций с учётом психологического фактора (ожиданий участников рынка).

Центральный экономико-математический институт Академии наук СССР, ныне Российской Академии наук (сокращенно ЦЭМИ РАН) создан в 1963 г. по инициативе академика В.С. Немчинова на базе организованной им в 1958 г. Лаборатории экономико-математических методов. В качестве главной цели при создании института было провозглашено внедрение математических методов и ЭВМ в практику управления и планирования, создание теории оптимального управления народным хозяйством. В настоящее время эта цель трансформировалась в развитие фундаментальной теории и методов моделирования экономики переходного периода, разработку экономико-математического инструментария и программно-алгоритмических средств анализа экономики.

Амортизационная политика предприятия: ее особенности в современных условиях. В числе главных факторов, непосредственно воздействующих на финансовое состояние предприятий, решающая роль принадлежит амортизационной политике, реализуемой на государственном уровне. Амортизационная политика является одним из наиболее важных способов управления государством экономическими процессами в стране. Она базируется на установленных государством принципах, методах и нормах амортизационных отчислений. Вместе с тем, каждое предприятие имеет возможность индивидуализировать свою амортизационную политику, учитывая конкретные факторы, определяющие ее параметры. Амортизационная политика предприятия может рассматриваться с различных позиций. С точки зрения бухгалтерского учета, амортизационная политика - это часть учетной политики предприятия, отражающая принятие предприятием одной из нескольких разрешенных альтернатив в отношении основных средств и нематериальных активов. Выбор производится с целью наиболее эффективно формировать источники финансирования (воспроизводства) внеоборотных активов, контролировать их обновление. Учет перечисленных факторов позволяет предприятию выбрать соответствующие методы амортизации отдельных групп операционных в необоротных активов, в наибольшей степени отражающие специфику их использования в операционном процессе. Однако, по мнению исследователей, несмотря на то, что в основе действующей в настоящее время в России системы амортизации лежит идея постепенной замены амортизируемого объекта , его восстановления , а не создания у предприятия свободных денежных средств на развитие его производственной базы, в условиях рынка предприятие, в первую очередь, заинтересовано в скорейшем возврате средств, затраченных на приобретение производственных объектов. Другими словами, для любого предприятия амортизационные отчисления представляют собой способ постепенного возвращения иммобилизованных средств в оборотные.

.

Рис. 1 Основные факторы амортизационной политики предприятия

В процессе формирования амортизационной политики предприятия необходимо учитывать следующие основные факторы:

- объем используемых операционных основных средств и нематериальных активов. Воздействие амортизационной политики предприятия на интенсивность обновления операционных в необоротных активов и на конечные финансовые результаты его деятельности возрастает пропорционально увеличению объема собственных основных средств и нематериальных активов;

- методы отражения в учете реальной стоимости используемых основных средств и нематериальных активов. Осуществляемая переоценка этих видов операционных активов предприятия носит в современных условиях периодический характер и не в полной мере отражает рост цен на них. В связи с этим, амортизационные отчисления не характеризуют в полной мере фактический износ этих активов и утрачивают свое реновационное значение. Занижение размера реального износа операционных в необоротных активов приводит не только к уменьшению скорости их обновления, но и к формированию излишней фиктивной суммы прибыли предприятия, а соответственно изъятию у него дополнительных финансовых средств в виде уплачиваемого налога на прибыль;

- реальный срок использования предприятием амортизируемых активов. Установленный в процессе разработки норм амортизации средний срок использования отдельных видов основных средств носит обезличенный характер и должен конкретизироваться на каждом предприятии с учетом особенностей их использования в операционной деятельности;

- разрешенные законодательством методы амортизации. Зарубежный опыт свидетельствует о большом количестве разрешенных к использованию методов амортизации внеоборотных активов, что позволяет предприятиям формировать альтернативные варианты амортизационной политики в широком диапазоне. Наше законодательство ограничивает используемые методы амортизации. В условиях высокой инфляции постоянно занижаются база начисления амортизации, а соответственно и размеры амортизационных отчислений. Кроме того, инфляция оказывает негативное воздействие на реальную стоимость накопленных средств амортизационного фонда, что отрицательно сказывается на финансовых возможностях увеличения скорости обновления операционных в необоротных активов;

- инвестиционная активность предприятия. Выбор методов амортизации в значительной мере определяется уровнем текущей потребности в инвестиционных ресурсах, готовностью предприятия к реализации отдельных инвестиционных проектов, обеспечивающих обновление операционных в необоротных активов.

Линейное программирование:

Линейное программирование -- математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах n-мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

В 1939 году Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом, были заложены основы линейного программирования. Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно -- основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их. Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования» (один из переводов англ. programming). Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Алгоритмы решения:

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения. Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов, был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном, разрешив, таким образом, проблему, долгое время остававшуюся нерешённой.

Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную, природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным.

Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП -- методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году.

Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования, разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

2. Практическая часть

Амортизация долга -- выплата долга по займам или облигациям посредством регулярных платежей. К амортизации долга заёмщик прибегает для того, чтобы не изыскивать в день погашения значительную сумму денежных средств, например, номинальную стоимость облигаций. Например, эмитент выпустил облигацию сроком на 10 лет с годовой купонной ставкой 8% и номинальной стоимостью 100000 тенге. Для того, чтобы по истечении 10 лет не изыскивать всю сумму для погашения облигации, эмитент предусмотрел в условиях выпуска и обращения облигации, что по истечении пяти лет ежегодно будет гаситься 20% номинала. В нижеследующей таблице показаны суммы и график платежей по данной облигации.

Рис.2 Сумма выплат облигации.

Из таблицы видно, что сумма долга в 100000 тенге гасится в течение пяти последних лет равными долями. За счёт досрочного погашения долга уменьшается постепенно долг эмитента перед инвестором. Поэтому размер купонных выплат уменьшается в связи с уменьшением суммы долга.

Математическая модель расписания погашения долга

Задача

Долг 100 млн. тенге необходимо амортизировать равными платежами в конце каждого года в течение 5 лет. Если процент за неоплаченную основную сумму начисляется по 5% эффективно, найти сумму каждого платежа. Составить расписание, показывающее, какая часть основной суммы возмещена, и какая часть основной суммы остается неоплаченной на конец года.

Решение:

Сначала найдем, какими должны быть платежи. Так как пять платежей образуют обыкновенный аннуитет с настоящей стоимостью 100 млн. тенге (первоначальная задолженность), мы имеем

100 = R а5/5% или R = 100 / а5/5% = 23097,5 тыс. тенге.

Теперь составим расписание, показывающее процесс амортизации долга. Так как исходная сумма долга 100 млн. тенге использовалась заемщиком в течение первого года, процент, полагающийся в конце этого года равен

100 Ч 0,05 млн. тенге = 5 млн. тенге.

Так как платеж составляет 23,0975 млн. тенге, 18,0975 млн. тенге из этих денег возмещает основную сумму. Поэтому задолженность в конце года сводится к

100 - 18,0975 = 81,9025 млн. тенге

и эта сумма является неоплаченной частью основной суммы в течение второго года. В конце второго года полагаются проценты с суммы

81,9025 млн. тенге, то есть

81,9025 Ч 0,05 млн. тенге = 4,0951 млн. тенге .

Платеж остается прежним 23,0975 млн. тенге, что дает возможность свести задолженность по основной сумме к

81,9025 - (23,0975 - 4,0951) = 62,9001 млн. тенге .

Процедура составление расписания погашения долга.

Такая вычислительная процедура повторяется для последующих трех лет, в течение которых долг должен быть полностью ликвидирован. Нижеследующая таблица дает полное представление о процессе погашения долга

Рис.3 Процедура составление расписания погашения долга.

Заключение

В заключение необходимо отметить, что методика анализа, основанная на расчленении системы на типовые звенья, широко вошла в практику инженерных расчетов, выполняемых в процессе конструирования, и в настоящее время является доминирующей. В начале раскрываются задачи линейного программирования, приведена общая постановка задачи, описана целевая функция и система ограничений, приводятся методы решения задач линейного программирования. Далее описаны основы симплексного метода, который применяется для решения задачи моделирования выпуска кондитерской продукции. Также приведена общая постановка транспортной задачи.

Далее приведено решение задачи моделирования выпуска видеотехники симплексным методом. Получено оптимальное распределение поставок видеотехники, при котором целевая функция получила максимальное значение. Также приведено решение транспортной задачи такими методами, как: метод северо-западного угла, метод минимального элемента по строке, метод минимального элемента по столбцу, метод минимального элемента. Методом потенциалов решена транспортная задача, получено оптимальное минимальное решение.

Все поставленные задачи были выполнены, и исследование возможностей финансов прошло успешно.

экономический модель математический программирование

Список литературы

1. Акофф Рассел Л. Планирование в больших экономических системах. М., 1972.

2. Басакер Р., Саати Г. Конечные графы и сети. М., 1973.

3. Власов М.П. Моделирование деятельности фирмы с длительным циклом производства. СПб., 2001.

4. Вильсон А.Дж. Энтропийные методы моделирования сложных систем. Перев. с англ. М., 1976.

5. Володин А.А. Оптимизационные задачи в экономике. Рязань, 1999.

6. Герловин И.Л. Основы теории всех взаимодействий в веществе. Л., 1990.

7. Джонстон Р.Дж. География и географы: Пер. с англ. / Под ред. Э.Б. Алаева. М., 1987.

8. Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических процессов. М., 2002.

9. Задорожный В.Н. Имитационное моделирование, Омск, 1999.

10. Исследование операций: в 2 т. / Пер. с англ., Под ред. Дж. Моу- дера, С. Элмаграби. М., 1981. Т. 1.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., 1970.

12. Краковский Ю.М. Имитационное моделирование, Иркутск, 2002.

13. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М., 1987.

14. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. 5-е изд., перераб. и доп. М., 2003.

15. Нересте У.И., Ныммик С.Я. Современная география: вопросы теории. М., 1984.

16. Милънер Б.3., Евенко Л.И., Рапопорт В.С. Системный подход к организации управления. М., 1983.

17. Раппопорт В.С. Развитие организационных форм управления научно-техническим прогрессом в промышленности. М., 1979.

18. Павловский Ю.Н. Имитационное моделирование и системы. М., 2000.

Размещено на Allbest.ru