Теория планирования эксперимента

1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Объект исследования

Построение и анализ уравнений регрессии при линейном планировании

Построение и анализ уравнения регрессии при композиционном планировании

Заключение

Список использованных источников



Введение

Эксперимент в ходе развития науки выступал мощным средством исследования явлений природы и технических объектов. Но лишь сравнительно недавно он стал предметом исследования. Пристальное внимание ученых и инженеров к тому, как лучше и эффективнее проводить эксперимент, возникло не случайно, а является следствием достигнутого уровня и масштаба экспериментальных работ на современном этапе развития науки и техники. Этот этап с рассматриваемой точки зрения характеризуется ростом общего числа проводимых экспериментальных работ; увеличением количества специалистов, занимающихся экспериментальной деятельностью; существенным усложнением объектов исследования и используемого экспериментального оборудования; тенденцией к удлинению среднего времени экспериментирования и удорожанию исследований; настоятельной необходимостью всемерного увеличения эффективности и улучшения качества проводимых исследований; начавшимся процессом внедрения средств и систем автоматизации эксперимента.

Из всего сказанного понятна закономерность появления нового научного направления: теории планирования эксперимента как методологической основы современных экспериментальных исследований.

Предмет исследования научного направления очевиден -- эксперимент. Однако особенности планирования, постановки эксперимента рассматриваются и в физике, и в химии, и в прикладных науках. Для того чтобы эксперимент стал предметом исследования отдельного научного направления, необходимо, чтобы он характеризовался некоторыми чертами, общими для любого эксперимента независимо от того, в какой конкретной области знаний эксперимент проводится. Такими общими чертами эксперимента является необходимость:

контролировать любой эксперимент, т. е. исключать влияние внешних переменных, не принятых исследователем по тем или иным причинам к рассмотрению;

определять точность измерительных приборов и получаемых данных;

уменьшать до разумных пределов число переменных в эксперименте;

составлять план проведения эксперимента, наилучший с той или иной точки зрения;

проверять правильность (приемлемость) полученных результатов и их точность;

выбирать способ обработки экспериментальных данных и форму представления результатов;

анализировать полученные результаты и давать их интерпретацию в терминах той области, где эксперимент проводится.

Конечно, даже при наличии сформулированных общих черт эксперимент не стал бы предметом отдельной науки, если бы задачи, решаемые различными исследователями, не имели ничего общего и полностью определялись спецификой той области знаний, где они работают.

Однако это не так. Оказывается, можно выделить типовые задачи исследования, с которыми приходится сталкиваться каждому экспериментатору. К основным, наиболее распространенным типовым задачам исследования обычно относят:

получение некоторых предварительных сведений о процессе (обработка литературных данных, опросы специалистов и анализ результатов опросов, отсеивающий эксперимент);

получение формульных зависимостей;

проверку гипотез, т. е. некоторых содержательных предположений о свойствах объекта;

оптимизацию свойств изучаемого объекта (определение оптимальных соотношений, слежение за оптимумом и т. д.).

Можно сказать, что теория планирования эксперимента в основном предназначена для решения типовых задач исследования (типовые приемы для типовых задач). Они не предназначены для получения кардинально новых данных о свойствах природы, совершения научных открытий (хотя такая возможность и не исключается). Теория планирования эксперимента может во многом облегчить работу экспериментатора, повысить ее эффективность при проведении обычных экспериментов, т. е. экспериментов, которые составляют подавляющую часть современной экспериментальной деятельности ученых и инженеров.

Математическим аппаратом теории планирования эксперимента являются теория вероятностей, математическая статистика, а также некоторые разделы прикладной математики.

Исторически планирование эксперимента получило свое начало в работах Р. Фишера, а затем формировалось и превращалось в теорию под влиянием трудов Дж. Бокса и Дж. Кифера. Большое значение в становлении современной теории планирования эксперимента, ее обосновании, развитии и внедрении в практику имеют работы советских ученых В.В. Налимова, Е.В. Марковой, Г.К. Круга, В.Д. Федорова и других. В настоящее время идеи и методы планирования эксперимента находят широкое применение в самых различных областях науки и техники.

Отыскание экстремального значения функции нескольких переменных, для которой отсутствует аналитическое выражение, методами последовательного варьирования одной переменной при фиксированных всех остальных требует выполнения большого объема опытов. В этом отношении плодотворно использование методов математической теории планирования экспериментов, которые заключаются в выборе числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных, чтобы решить поставленную задачу с минимальными затратами и требуемой точностью. В терминах теории планирования экспериментов это можно сформулировать следующим образом: при неполном знании о так называемой функции отклика.

у=f(х1,х2,…,хк),



где хi - факторы - независимые переменные, которые можно варьировать при постановке опытов, надо оптимально, в некотором смысле, управлять экспериментом с тем, чтобы получить математическую модель и в итоге найти экстремум функции отклика.

В общем случае функцию отклика, аналитическое выражение которой неизвестно, можно представить уравнением регрессии

у=в0+Уiвi+Уijвijxixj+Уiвiixi2

i=1,2,…,k; j?i

а в первом приближении - уравнением линейной регрессии

у=в0+Уiвiхi

или неполным квадратическим уравнением

у=в0+Уiвi+Уijвijxixj

Составление линейных планов. Чтобы устранить недостатки классического регрессивного анализа, основными из которых являются корреляция между коэффициентами регрессии и трудности в оценке расчетных значений функции отклика, используют кодированные значения факторов

где zi - натуральное значение і-го фактора;

zi1и zi2 -соответственно нижняя и верхняя границы измерения величины zi(уровни ее стабилизации при проведении опытов).

Тогда значениям zi1и zi2соответствуют кодированные значения хі1=-1 и хі1=+1.

Матрица планирования эксперимента, строки которой содержат все сочетания факторов хі, при которых выполняем опыты приведена в таблице 1 для простейшего случая двухфакторного плана. Она лежит в основе построения планов полных факторных экспериментов (ПФЭ)первого порядка. Например, если число факторов k=3, то эту матрицу записываем дважды, сначала дополняя ее третьим фактором х3=-1, а затем х3=+1 (таблица 2). Для четырехфакторного плана дважды повторяется таблица 2, дополняемая х4=-1 (8 первых строк) и х4=+1 (8 последующих строк) и т.д.

Матрица планирования двухфакторного эксперимента

№ опыта	Х1	Х2
1 2 3 4	-1 +1 -1 +1	-1 -1 +1 +1



Объект исследования

Объемкт исслемдования -- в науке под ним подразумевают главное поле приложения сил учёных. В одной науке (научном направлении) однако может быть несколько объектов исследований, которые составляют логически связанное существо и цель исследований в этой науке (научном направлении).

Таким объектом становится всякое непознанное явление, неизвестное ранее науке, или его часть, которое предполагает исследовать эта наука. Часто используется предварительное деление чего-либо неизвестного (непознанного) на логически обоснованные части явления. Это используется как вполне самостоятельный научный метод, если подобное деление возможно исходя из априори видимых признаков данного явления.

Подобное деление согласно предполагаемых сфер применимости своей науки или нескольких наук, выводимые предварительно логическим путём, и используемых применительно к сферам действия тех или иных законов, по которым живёт эта наука или несколько наук (при комплексных исследованиях), помогает учёным легче справиться с часто возникающими трудностями исследования сложного явления.

Первостепенное значение является наблюдение за объектом исследования. Если позволяет текущий уровень развития (состояние) данной науки и если это позволяет сам объект, вторым важнейшим способом изучения объекта исследования является эксперимент. Связать же наблюдаемые, известные и экспериментальные данные помогает как научная логика в сочетании с уже известными научными данными, так и особые правила, по которым в науке выводятся гипотезы. Последние, в сущности, являются индуктивным (предсказательным) методом исследования. Однако в науке полезно использовать также дедуктивный (то есть, ретроспективный) метод, однако который ныне не слишком популярен у исследователей, кроме математики (и в практике криминалистики).

Сделать правильные научные выводы и построить корректные научные теории помогает давно отработанный научный метод.

планирование эксперимент исследование уравнение регрессия

Построение и анализ уравнений регрессии при линейном планировании

В Научно-производственном объединении «Белсельхозмеханизация» разработана новая малозатратная технология подготовки кормов к скармливанию на фермах крупного рогатого скота. Корма, которые не нуждаются в обработке (силос, сенаж, сено), скармливают напрямую, а из зернофуража, корнеплодов и белково-минеральных-витаминных добавок готовят обогатительную смесь и балансируют ею рацион животных по питательности, а также с учётом минерального состава местных кормов.

Ключевым агрегатом технологической линии приготовления кормовых добавок является смеситель предварительно измельчённых компонентов обогатительной смеси. Проведены исследования этого смесителя для установления рациональных параметров конструкции и режимов его работы .

На первом этапе исследований определена область факторного пространства, в которой неоднородность смеси (коэффициент вариации контрольного компонента в пробах, взятых из приготовленной обогатительной смеси) находится в пределах зоотехнического допуска. В качестве факторов рассматривали частоту вращения вала смесителя пв, мин.-1 (фактор ); ширину полувитков В, м (фактор ) и угол установки полувитков смешивающего органа к плоскости, перпендикулярной к оси вала смесителя, , град. (фактор ).. Уровни и кодовые обозначения этих параметров приведены в табл. 1.

Таблица 1 Кодирование варьируемых параметров

Кодовые обозначения факторов
Варьируемые параметры		В
Единица измерения		м	град
Основной уровень (=0) Единица варьирования Верхний уровень (=+1) Нижний уровень (=-1)	35 5 30 40	0,065 0,015 0,05 0,08	70 10 60 80

Результаты двух параллельных опытов приведены в табл. 2.

Таблица 2 Результаты эксперимента по линейному плану типа 23

1 2 3 4	10 14,3 31,7 23,5	9,6 14,5 33 25,7	10,5 14,2 35,6 26,1	5 6 7 8	11 17,2 36,3 25,6	12,8 17,3 39,3 29,1	13,4 18,9 40,2 29

Вычисляем средние арифметические и построчные выборочные дисперсии параллельных опытов (табл. 3).



Таблица 3 Построчные средние арифметические и выборочные дисперсии

1 2 3 4	10,03 14,33 33,43 25,1	0,203 0,023 3,94 1,96	5 6 7 8	12,4 17,8 38,6 27,9	1,56 0,91 4,17 3,97

Вычисляем оценки коэффициентов регрессии (табл. 5).

Составляем расширенную матрицу планирования эксперимента (табл.4)



Таблица 4. Расширенная матрица планирования ПФЭ 23.

Номер опыта	х0	x1	x2	x3	x1x2	x1x3	x2x3
	+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1
	+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1
	+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1
	+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1
	+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1
	+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1
	+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

Рассчитаем линейные коэффициенты регрессии. Любой коэффициент уравнения регрессии bjо пределяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец xj, отнесенным к числу опытов в матрице планирования N:



Таблица 5 Оценки коэффициентов регрессии

Проверяем гипотезу об однородности построчных выборочных дисперсий:



G==,

где - табличное значение критерия Кохрена при уровне значимости и числах степеней свободы

и N=8.

Условие =

выполняется, т.е. гипотеза о том, что расхождения между построчными выборочными дисперсиями незначимые, не противоречит экспериментальным данным, поэтому можно, усреднив , вычислить дисперсию воспроизводимости опытов

==16,74/8=2,0925

при числе степеней свободы

.

Проверяем значимость коэффициентов регрессии, вычисляя их доверительный интервал

где =3,355 - критическое значение t- распределения при двустороннем ограничении, доверительном уровне и числе степеней свободы .

Коэффициент регрессии статистически значимый, если

Следовательно, все коэффициенты незначимы.

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

Проверяем гипотезу о наличии зависимости между функцией отклика и факторами.

Вычисляемсреднее арифметическое всех результатов эксперимента (уравнение нулевого порядка):

Вычисляем остаточную дисперсию для уравнения нулевого порядка

где - расчетное значение функции отклика для u-го варианта.



Заполняем таблицу 6.

Таблица 6

	12,942	17,792	37,74	28,226	9,492	14,342	34,29	24,776
	9,508	4,658	-15,29	-5,776	12,958	8,108	-11,84	-2,326
	90,42	21,69696	233,7841	33,36218	167,9098	65,73966	140,1856	5,410276

с числом степеней свободы

Вычисляем дисперсию адекватности для полученного уравнения

,

Заполняем таблицу 7.



Таблица 7

	12,942	17,792	37,74	28,226	9,492	14,342	34,29	24,776
	-2,912	-3,462	-4,31	-3,126	2,908	3,458	4,31	3,124
	8,4794	11,985	18,5761	9,771876	8,456464	11,95776	18,5761	9,759376

с числом степеней свободы

n1 - число коэффициентов уравнения регрессии(в нашем случае n1 =5 )

Находи отношение большей из найденных дисперсий к меньшей.

Табличное значение критерия Фишера

= m==7 и n=

Поскольку , то составленная модель отражает результаты опытов лучше, чем уравнение регрессии нулевого порядка.

Если то полученная модель описывает поверхность отклика не лучше, чем среднее арифметическое , т.е. не имеет информационной ценности.

Проверяем приемлемость линейного уравнения,

Линейное уравнение приемлемо, если разность статистически незначима, т.е. выполняется неравенство

где

- средневзвешенное двух дисперсий с числом степеней свободы

=8+2-2=8

- дисперсия коэффициентов регрессии;

- дисперсия среднего значения ;

- критическое значение t- распределения при двустороннем ограничении, доверительном уровне и числе степеней свободы . =3,355 при v=8 и =0,99.

Ставим опыты в центре плана:

и .

=



, ,

Отсюда,

Т.к. условие

Не выполняется, то гипотезу о приемлемости линейной модели функции отклика надо отвергнуть и строить уравнение регрессии второго порядка. Построение и анализ уравнения регрессии при композиционном планировании. Используя результаты эксперимента по линейному плану типа 23 (см. пример П.1) и дополнительных опытов (табл. 8) в центре плана (=9) и в “звёздных” точках (=10…15), построить уравнение регрессии второго порядка.

Таблица 8 Результаты дополнительных опытов по плану второго порядка

9	13,2	14,8	13,7	13	35,5	31,3	34,1
10 11	14,6 11,8	15,4 11,7	16,1 13,9	14 15	12,3 16,7	13,3 15,7	14,9 16,1
12	10	12,5	11,1

Вычисляем средние арифметические и по формуле

построчные выборочные дисперсии параллельных опытов (табл. 9).

Проверяем гипотезу об однородности всех построчных выборочных дисперсий в табл. 3 и 8, вычисляя статистику

Таблица 9. Построчные средние арифметические и выборочные дисперсии дополнительных опытов по композиционному плану

u			u
9	13,9	0,67	13	33,733	5,163
10	15,367	0,5633	14	13,5	1,72
11	12,467	1,5433	15	16,167	0,2533
12	11,2	1,57

Критерий Кохрена при уровне значимости =0,01, числах степеней свободы

и =15 определяем путём интерполирования:



Поскольку условие

G=,

выполняется, можно, усредняя дисперсии , вычислить дисперсию воспроизводимости опытов

при числе степеней свободы

По формуле

вычисляем оценки коэффициентов регрессии (табл. 11).



Таблица 10. Матрица ортогонального плана типа 23 второго порядка

u	Кодовые значения факторов
1	+1	-1	-1	-1				+1	+1	+1
2	+1	+1	-1	-1				-1	-1	+1
3	+1	-1	+1	-1				-1	+1	-1
4	+1	+1	+1	-1				+1	-1	-1
5	+1	-1	-1	+1				+1	-1	-1
6	+1	+1	-1	+1				-1	+1	-1
7	+1	-1	+1	+1				-1	-1	+1
8	+1	+1	+1	+1				+1	+1	+1
9	+1	0	0	0				0	0	0
10	+1	-	0	0				0	0	0
11	+1	+	0	0				0	0	0
12	+1	0	-	0				0	0	0
13	+1	0	+	0				0	0	0
14	+1	0	0	-				0	0	0
15	+1	0	0	+				0	0	0
	15	10,95245	4,36139	8

Где

величина звёздного плеча .



Таблица 11. Оценки коэффициентов уравнения регрессии

	19,72889	-0,85712	6,522978	1,136	0,3073
	1,99	0,4877	-1,91556	-0,08444	0,1422



Свободный член уравнения регрессии, согласно формуле,

где.

Вычисляем доверительные интервалы коэффициентов регрессии (табл.12).

Таблица 12 Доверительные интервалы коэффициентов регрессии

	0,4428	0,6065	1,523	0,83

Согласно условию

, ,

т.е. в нашем уравнении значимых коэффициентов

Расчётные значения функции отклика определяются матричным уравнением



=xb,

где - вектор расчётных значений ;

x- матрица факторов, u- ая строка которой имеет вид:

.

Сумма квадратов отклонений расчётных от эмпирических значений функции отклика

(y-xb)Т(y-xb)= 8,97.

Для оценки погрешности расчётных значений функции отклика в пределах ошибки воспроизводимости опытов определяем дисперсию адекватности

cчислом степеней свободы

и вычисляем статистику

Таким образом, условие выполняется, т.е. построенное уравнение регрессии вида

адекватно экспериментальным данным.



Заключение

Используя исходные данные (результаты опытов), мы построили и проанализировали уравнение регрессии, отражающее зависимость неоднородности смеси у = н от факторов х1, х2 и х3.

В процессе работы проводили аналитические исследования, рассмотрели методику линейного и композиционного планирования.

В результате выполнения работы проведена проверка качества экспериментальных данных, получено уравнение регрессии, а также матрица планирования.

Проведя все необходимые вычисления, видим, что полученное уравнение не адекватно. Значит, приходим к выводу, что необходимо изменить условия опыта.



Список использованных источников

Бохан Н.И., Дмитриев А.М., Нагорский И.С. Планирование экспериментов в исследованиях по механизации и автоматизации сельскохозяйственного производства. - Горки, 1986.- 80 с.

Дашков В.Н., Нагорский И.С., Пунько А.И. Обоснование параметров смесителя кормов // Сб. науч. тр.: Механизация и элекрофикация сельского хозяйства. / УП «БелНИИМСХ». - Минск, 2003. - Вып. 37. - Т.2. - С. 63-80.

Митков А.Л., Кардашевский С.В. Статистические методы в сельхозмашиностроении. - М.: Машиностроение, 1978. - 360 с.

Нагорский И.С. Методические указания для выполнения курсовой работы по дисциплине «Основы научных исследований». - Минск, 2004. - 28 с.

Тихомиров В.Б. Планирование и анализ эксперимента. - М.: Легкая индустрия, 1974. - 264 с.

Размещено на Allbest.ru

...