Иследование операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задание 1

Пассажирскому предприятию необходимо перевезти пассажиров по трём направлениям, имея в наличие два вида автотранспорта. Требуется составить план расстановки автотранспорта с перевозной способностью а₁ =400;

а₂ =200 пассажиров при котором достигается:

1. минимальное значение удельного показателя: Е=F/R;

F-валютные доходы;

R-эксплуатационные расходы.

2. максимальное значение валютных доходов;

3. составить двойственную задачу к задаче пункта (2), используя свойства двойственности;

4. двойственную задачу решить графическим методом;

5. прямую задачу решаем симплекс-методом.

Валютные доходы	Эксплуатационные расходы
1	3	5	3	5	9
8	4	7	7	6	2

Решение

1. Определим минимальное значение удельного показателя: Е=F/R:

1) Идентифицируем переменные.

Пусть по трем направлениям имея в наличие, два вида автотранспорта будет выделен автотранспорт:

- по первому направлению первого вида транспорта;

- по второму направлению первого вида транспорта;

- по третьему направлению первого вида транспорта;

- по первому направлению второго вида транспорта;

- по второму направлению второго вида транспорта;

- по третьему направлению второго вида транспорта.

2) Определим систему ограничений. Зная эксплуатационные расходы и перевозную способность, получим:

симплекс груз матрица критический

Причем, , где , .

3) Установим целевую функцию:

.

В результате получим следующею задачу линейного программирования:

, , .

2. Определим максимальное значение валютных доходов.

1) Идентифицируем переменные.

Пусть по трем направлениям имея в наличие, два вида автотранспорта будет выделен автотранспорт:

- количество автотранспорта по первому направлению;

- количество автотранспорта по второму направлению;

- количество автотранспорта по третьему направлению;

2) Определим систему ограничений.

Причем, , где .

3) Установим целевую функцию, определяющую максимальное значение валютных доходов: .

В результате получим задачу линейного программирования:

, .

3. Составим двойственную задачу к задаче пункта (2), используя свойства двойственности:

, .

4. Двойственную задачу решим графическим методом.

1) Определим область допустимых решений:

L₁: , имеет координаты (0; ) и (3; 0).

L₂: , имеет координаты (0; ) и (; 0).

L₃: , имеет координаты (0; 6) и (; 0).

В результате построим область допустимых решений:

2) Строим вектор-градиент: .

3) В точке А функция имеет минимум, определим координаты этой точки:

4) Определим значение целевой функции в точке А:

.

5. Прямую задачу решаем симплекс-методом, для этого приведем ее к симплекс-методу:

Составим симплекс-таблицу и решим задачу симплекс-методом:

Базисные переменные						Свободные переменные
	3	5		1	0	400
	7	6	2	0	1	200	100
	-9	-7	-12	0	0	0
			1		0
			0		1
	-5		0		0
	0		1
	1		0
	0		0

Получим оптимальное решение: .

2. Задание 2

Транспортному предприятию предлагается доставка однородного груза от трёх поставщиков с мощностью А₁=200; А₂=240; А₃=300 т; к потребителям, четырём потребителям с потребностями В₁=150, В₂=120, В₃=220, В₄=250, если матрица транспортных затрат имеет вид:

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	С11	С12	С13	С14	200
А2	С21	С 22	С23	С24	240
А3	С31	С32	С33	С34	300
Потребности	150	120	220	250

10	12	7	11
9	6	5	9
7	8	11	12

Решение

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	10	12	7	11 200	200	0
А2	9	6 20	5 220	9	240	-1
А3	7 150	8 100	11	12 50	300	1
Потребности	150	120	220	250
	6	7	6	11

Затраты на перевозку:

f=11*200+6*20+5*220+7*150+8*100+12*50=5870 д.ед.

Проверим план на оптимальность методом потенциалов.

Количество заполненных клеток равно n+m-1=3+4-1=6.

1) Найдем потенциалы загруженных клеток:

; ;

; ;

; .

2) Оценим свободные клетки:

; ;

; ;

; .

Наличие отрицательных оценок указывает на то, что план необходимо улучшить. Для этого строим цикл и перераспределяем груз. В результате получим следующий план:

	В1	В2	В3	В4	Мощность
А1	10	12	7	11 200	200	0
А2	9	6	5 220	9 20	240	-2
А3	7 150	8 120	11	12 30	300	1
Потребности	150	120	220	250
	8	9	7	11

Затраты на перевозку:

f=11*200+5*220+9*20+7*150+8*120+12*30=5850 д.ед.

1) Найдем потенциалы загруженных клеток:

; ;

; ;

; .

2) Оценим свободные клетки:

; ;

; ;

; .

Нет отрицательных оценок, значит, план оптимален.

Ответ: f=5850 д.ед. .

3. Задание 3

Дана матрица прямых затрат: A=. Вектор конечного продукта: Y==.

Требуется составить матрицу полных затрат.

Вычислить:

- вектор валового продукта;

- межотраслевые потоки;

- чистую продукцию;

- материальные затраты.

Составить межотраслевой баланс. Найти необходимое количество трудозатрат, необходимых для производства конечного продукта если затраты живого труда в производственной сфере заданы вектором L (48,6; 84; 40).

A=.

Решение

Матрица полных затрат находится по формуле: .

Найдем матрицу В:

Е-А=.

Определитель равен: .

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента матрицы:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Тогда, матрица полных затрат примет вид:

.

Вычислим:

1) Вектор валового продукта:

.

2) Вычислим межотраслевые потоки:

;

;

;

;

;

;

;

;

.

3) Вычислим чистую продукцию:

514,01 - (102,5+257,01+35,98)=118,22;

447,32 - (134,02+44,73+53,68)=214,71;

197,54 - (79,01+33,58+9,88)=75,06.

4) Вычислим материальные затраты и получим:

A=.

Составим межотраслевой баланс:

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли	Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
Промышленность	102,8	134,2	79,01	198	514,01
Сельское хозяйство	257,01	44,73	33,58	112	447,32
Прочие отрасли	35,98	53,68	9,88	98	197,54
Чистая продукция	118,22	214,71	75,06
Валовая продукция	514,01	447,32	197,54

Найдем необходимое количество трудозатрат, необходимых для производства конечного продукта если затраты живого труда в производственной сфере заданы вектором L (48,6; 84; 40).

Коэффициенты прямой трудоемкости найдем по формуле: , j=1, 2, 3.

; ; .

Затраты труда:

;

;

.

Полные затраты труда:

.

Задание 4

Пусть для некоторого комплекса работ установлены оценки для каждой работы на уровне нормативных продолжительностей и срочного режима, а также даны стоимости. Информация представлена в таблице.

Таблица 1

	Продолжительность, дни
1-2	2
1-3	8
1-4	6
2-5	9
3-8	8
4-6	2

Требуется рассчитать:

- временные характеристики сетевого графика при нормальном режиме работ;

- найти критический путь;

- полные резервы времени.

Решение

К временным характеристикам относятся ранние и поздние сроки наступления события. Ранний срок наступления события рассчитывается по формуле:

tp(j) =maх((tp(i) +t(ij)),

где tp(j) - ранний срок наступления предшествующего I события.

t(ij) - работа.

Для расчёта tp(j) для данного комплекса будем считать, что ранний срок наступления 1-го события равно tp(1)=0, тогда для последующих событий будем иметь:

tp(1)= maх (tp(1)=0)

tp(2)= maх (tp(1)+ tp (1,2)) =0+2=2

tp(3)= maх((tp(1)+ tp (1,3))=0+8=8

tp(4)= maх (tp(1)+ tp (1,4))=0+6=6

tp(5)= maх (tp(2)+ tp (2,5))=2+9=11

tp(6)= maх (tp(4)+ tp (4,6)) = 6+2=8

tp(8)= maх (tp(3)+ tp (3,8)) = 8+8=16.

Очевидно, завершающие 5-е, 6-е и 8-е события могут наступить соответственно через 11, 8 и 16 дней от начала выполнения всего комплекса работ. Поздний срок наступления события определяется по формуле:

tп(i)=min (tп(j) - t(ij))

Для расчёта tп(i) для комплекса будем считать, что самый поздний срок наступления 8-го, 9-го и 10-го событий равен соответственно 11, 8 и 16 дням, т.е. раннему сроку наступления 8-го, 9-го и 10-го событий, тогда будем иметь: tп(8)=16; tп(6)=8; tп(5)=11; tп(4)=6; tп(3)=8; tп(2)=2; tп(1)=0.

Полученный результат говорит о том, что расчёты произведены правильно.

Для определения критического пути составим таблицу.

Работа	Продолжит.	Ранние сроки	Поздние сроки	Полный Резерв	Свободн. Резерв
(i, j)	t(ij)	tp(i)	tp(j)	tп(i)	tп(j)	Rij	rij
1-2	2	0	2	0	2	0	0
1-3	8	0	8	0	8	0	0
1-4	6	0	6	0	6	0	0
2-5	9	2	11	2	11	0	0
3-8	8	8	16	8	16	0	0
4-6	2	6	8	6	8	0	0

Полученные резервы времени показывают на какое время можно задержать наступление того или иного события, не вызывая опасности срыва выполнения комплекса работ. Те события, которые не имеют резервов времени, находятся на критическом пути.

Критический путь это наиболее продолжительный путь сетевого графика, который ведёт к завершению комплекса работ.

Находим критические пути для данного комплекса работ:

Критические пути:

1) (1,2) - (2,5) - 11 дней;

2) (1,3) - (3,8) - 16 дня;

3) (1,4) - (4,6) - 8 дней.

Размещено на Allbest.ru

...