Эконометрика
Понятие эконометрики как раздела экономики, занимающегося разработкой и применением статистических методов для измерений взаимосвязей между экономическими переменными. Парная регрессия и корреляция. Множественный регрессионный анализ, временные ряды.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 25.03.2013 |
| Размер файла | 377,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Х'Хb = X'Y. (2.5)
Найдем матрицы, входящие в это уравнение. Матрица Х'Х представляет матрицу сумм первых степеней, квадратов и попарных произведений п наблюдений объясняющих переменных:
(2.6)
Матрица X' Y есть вектор произведений п наблюдений объясняющих и зависимой переменных:
(2.7)
В частном случае из рассматриваемого матричного уравнения (2.5) с учетом (2.6) и (2.7) для одной объясняющей переменной (р=1) нетрудно получить уже рассмотренную выше систему нормальных уравнений (1.10). Действительно, в этом случае матричное уравнение (2.5) принимает вид:
= ,
откуда непосредственно следует система нормальных уравнений (1.10).
Для решения матричного уравнения (2.5) относительно вектора оценок параметров b необходимо ввести еще одну предпосылку 6 для множественного регрессионного анализа: матрица X' X является неособенной, т.е. ее определитель не равен нулю. Следовательно, ранг матрицы Х'Х равен ее порядку, т.е. r (Х'Х) =р+1. Из матричной алгебры известно, что r (Х'Х) =r (Х), значит, r (Х) =р+1, т.е. ранг матрицы плана X равен числу ее столбцов. Это позволяет сформулировать предпосылку 6 множественного регрессионного анализа в следующем виде:
6. Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана X, должны быть линейно независимыми, т.е. ранг матрицы X - максимальный (r (Х) =р+1).
Кроме того, полагают, что число имеющихся наблюдений (значений) каждой из объясняющих и зависимой переменных превосходит ранг матрицы X, т.е. п>r (X) или п>р+1, ибо в против ном случае в принципе невозможно получение сколько-нибудь надежных статистических выводов.
Ниже, рассматривается ковариационная матрица вектора возмущений , являющаяся многомерным аналогом дисперсии одной переменной. Поэтому в новых терминах приведенные ранее предпосылки для множественного регрессионного анализа могут быть записаны следующим образом:
1. В модели (2.2) - случайный вектор, X - неслучайная (детерминированная) матрица.
2. M () = .
3,4. = M (') = .
5. - нормально распределенный случайный вектор, т.е. (0, ).
6. r (Х) =р+1<п.
Как уже отмечено, модель (2.2), удовлетворяющая приведенным предпосылкам 1-6, называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии; если же среди приведенных не выполняется лишь предпосылка 5 о нормальном законе распределения вектора возмущений , то модель (2.2) называется просто классической линейной моделью множественной регрессии.
Решением уравнения (2.5) является вектор
b = (X'X) X'Y (2.8)
где (Х'Х) - 1 - матрица, обратная матрице коэффициентов системы (2.5), X'Y - матрица-столбец, или вектор, ее свободных членов.
Преобразуем вектор оценок (2.8) с учетом (2.2):
или
, (2.9)
т.е. оценки параметров (2.8), найденные по выборке, будут содержать случайные ошибки.
Так как математическое ожидание оценки b равно оцениваемому параметру в, т.е.
,
ибо в силу (1.5) М (е) =0, то, очевидно, что вектор b есть несмещенная оценка параметра в.
На практике часто бывает необходимо сравнение влияния на зависимую переменную различных объясняющих переменных, когда последние выражаются разными единицами измерения. В этом случае используют стандартизованные коэффициенты регрессии и коэффициенты эластичности Ej (j = 1,2,., p):
; (2.10)
; (2.11)
Стандартизованный коэффициент регрессии показывает, на сколько величин изменится в среднем зависимая переменная Y при увеличении только j-й объясняющей переменной на , а коэффициент эластичности Ej - на сколько процентов (от средней) изменится в среднем Y при увеличении только Xj на 1%.
Стандартизованные коэффициенты регрессии можно сравнивать между собой. Сравнивая их друг с другом, можно ранжировать факторы по силе их воздействия на результат. В этом основное достоинство стандартизованных коэффициентов регрессии в отличие от коэффициентов "чистой" регрессии, которые несравнимы между собой.
Рассмотренный смысл стандартизованных коэффициентов регрессии позволяет их использовать при отсеве факторов - из модели исключаются факторы с наименьшим значением .
2.3 Ковариационная матрица и ее выборочная оценка
Вариации оценок параметров будут в конечном счете определять точность уравнения множественной регрессии. Для их измерения в многомерном регрессионном анализе рассматривают так называемую ковариационную матрицу вектора оценок параметров , являющуюся матричным аналогом дисперсии одной переменной:
где элементы уij - ковариации (или корреляционные моменты) оценок параметров вi и вj. Ковариация двух переменных определяется как математическое ожидание произведения отклонений этих переменных от их математических ожиданий. Поэтому
. (2.12)
Ковариация характеризует как степень рассеяния значений двух переменных относительно их математических ожиданий, так и взаимосвязь этих переменных. В силу того, что оценки bj, полученные методом наименьших квадратов, являются несмещенными оценками параметров вj, т.е. M (bj) = вj, выражение (2.12) примет вид:
.
Рассматривая ковариационную матрицу , легко заметить, что на ее главной диагонали находятся дисперсии оценок параметров регрессии, ибо
. (2.13)
В сокращенном виде ковариационная матрица вектора оценок параметров , имеет вид:
(в этом легко убедиться, перемножив векторы (b - в) и (b - в) ').
Учитывая (2.12), преобразуем это выражение:
(2.14)
ибо элементы матрицы X - неслучайные величины.
Матрица М (ее') представляет собой ковариационную матрицу вектора возмущений
в которой все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю в силу предпосылки 2 о некоррелированности возмущений еi и еj между собой (см. (1.7)), а все элементы, лежащие на главной диагонали, в силу предпосылок 2 и 3 регрессионного анализа (см. (1.5) и (1.6)) равны одной и той же дисперсии у 2:
.
Поэтому матрица
,
где Еп - единичная матрица n-го порядка. Следовательно, в силу (2.14) ковариационная матрица вектора оценок параметров:
,
или . (2.15)
Итак, с помощью обратной матрицы (Х'Х) - 1 определяется не только сам вектор b оценок параметров (2.8), но и дисперсии и ковариации его компонент.
Теперь попытаемся найти оценку дисперсии возмущения .
Рассмотрим вектор остатков e, равный в соответствии (2.2')
В силу (2.2) и (2.8) имеем
Или e=е
(учли, что произведение (Х'Х) - 1 (Х'Х) =Е, т.е. равно единичной матрице Ер+1 (р+1) - го порядка).
Найдем транспонированный вектор остатков .
Так как
, то
Теперь
Так как последние два слагаемых взаимно уничтожаются, то
(2.16)
Первое слагаемое (4.17)
, (2.17)
Ибо в силу предпосылок 2,3 регрессионного анализа
Матрица симметрическая, так как
, т.е. В'= В
Поэтому е'Ве представляет квадратическую форму ; ее математическое ожидание
.
Последнюю сумму можно разбить на две составляющие суммы элементов на главной диагонали матрицы В и вне ее:
Второе слагаемое равно нулю в силу предпосылки 4 регрессионного анализа, т.е. .
Сумма диагональных элементов матрицы В образует след матрицы tr (B). Получим
(2.18)
Заменив матрицу В ее выражением, получим
так как след матрицы не меняется при ее транспонировании, т.е. tr (AC) = tr (CA), а след единичной матрицы (т.е. сумма ее диагональных элементов) равен порядку этой матрицы.
Теперь по формуле (2.16), учитывая (2.17) и (2.18), получим:
Т.е.
(2.19)
Равенство (2.19) означает, что несмещенная оценка параметра у2 или выборочная остаточная дисперсия определяется по формуле:
(2.20)
Полученная формула легко объяснима. В знаменателе выражения (2.20) стоит n - (р+1), а не n-2, как это было выше в (1.21). Это связано с тем, что теперь (р+1) степеней свободы (а не две) теряются при определении неизвестных параметров, число которых вместе со свободным членом равно (р+1).
Можно показать, что рассмотренные в этом параграфе оценки b и параметров в и у2 при выполнении предпосылки 5 регрессионного анализа о нормальном распределении вектора возмущений являются независимыми. Для этого в данном случае достаточно убедиться в некоррелированности оценок b и .
2.4 Анализ вариации зависимой переменной
Как и в случае парной регрессионной модели, в модели множественной регрессии общая вариация Q - сумма квадратов отклонений зависимой переменной от средней (1.27) может быть разложена на две составляющие:
Q=QR + Qe,
где Qr, Qe - соответственно сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, и остаточная сумма квадратов, характеризующая влияние неучтенных факторов.
Получим более удобные, чем (1.26), формулы для сумм квадратов Q, Qr и Qe, не требующие вычисления значений , обусловленных регрессией, и остатков еi.
В соответствии с (1.26), (1.28)
(2.21)
(т.к. ).
С учетом (2.4) имеем
(2.22)
(т.к. в силу (2.5) b'X'Xb = b'X'Y).
Наконец,
(2.23)
2.5 Коэффициент детерминации выборочный и скорректированный
Коэффициент детерминации R2 одна из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мера качества уравнения регрессии, характеристика его прогностической силы.
Коэффициент детерминации (или множественный коэффициент детерминации) R2 определяется по формуле (1.31) или с учетом (2.23), (2.21):
(2.24)
Отметим еще одну формулу для коэффициента детерминации:
, (2.24') или
(2.24'')
где e = Y-Xb, - n-мерные векторы;
Напомним, что R2 характеризует долю вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющих переменных; чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия описывает зависимость между объясняющими и зависимой переменными.
Вместе с тем использование только одного коэффициента детерминации R2 для выбора наилучшего уравнения регрессии может оказаться недостаточным. На практике встречаются случаи, когда плохо определенная модель регрессии может дать сравнительно высокий коэффициент R2.
Недостатком коэффициента детерминации R2 является то, что он, вообще говоря, увеличивается при добавлении новых объясняющих переменных, хотя это и не обязательно означает улучшение качества регрессионной модели. В этом смысле предпочтительнее использовать скорректированный (адаптированный, поправленный (adjusted)) коэффициент детерминации , определяемый по формуле
, (2.25)
или с учетом (2.24")
. (2.25')
Из (2.25) следует, что чем больше число объясняющих переменных p, тем меньше по сравнению с R2. В отличие от R2 скорректированный коэффициент может уменьшаться при введении в модель новых объясняющих переменных, не оказывающих существенного влияния на зависимую переменную. Однако даже увеличение скорректированного коэффициента детерминации при введении в модель новой объясняющей переменной не всегда означает, что ее коэффициент регрессии значим (это происходит, как можно показать, только в случае, если соответствующее значение t-статистики больше единицы (по абсолютной величине), т.е. |t| >1). Другими словами, увеличение еще не означает улучшения качества регрессионной модели.
Как было показано выше, ранжирование факторов, участвующих во множественной линейной регрессии, может быть проведено через стандартизованные коэффициенты регрессии (-коэффициенты). Эта же цель может быть достигнута с помощью частных коэффициентов корреляции (для линейных связей). Кроме того, частные показатели корреляции широко используются при решении проблемы отбора факторов: целесообразность включения того или иного фактора в модель можно доказать величиной показателя частной корреляции.
Частные коэффициенты корреляции характеризуют тесноту связи между результатом и соответствующим фактором при элиминировании (устранении влияния) других факторов, включенных в уравнение регрессии.
Показатели частной корреляции представляют собой отношение сокращения остаточной дисперсии за счет дополнительного включения в анализ нового фактора к остаточной дисперсии, имевшей место до введения его в модель.
В общем виде при наличии факторов для уравнения
коэффициент частной корреляции, измеряющий влияние на фактора , при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле:
, (2.26)
Где - множественный коэффициент детерминации всех факторов с результатом; - тот же показатель детерминации, но без введения в модель фактора .
Порядок частного коэффициента корреляции определяется количеством факторов, влияние которых исключается. Например, - коэффициент частной корреляции первого порядка. Соответственно коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. Коэффициенты частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле.
Рассчитанные по рекуррентной формуле частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от - 1 до +1, а по формулам через множественные коэффициенты детерминации - от 0 до 1. Сравнение их друг с другом позволяет ранжировать факторы по тесноте их связи с результатом. Частные коэффициенты корреляции дают меру тесноты связи каждого фактора с результатом в чистом виде.
В эконометрике частные коэффициенты корреляции обычно не имеют самостоятельного значения. Их используют на стадии формирования модели. Так, строя многофакторную модель, на первом шаге определяется уравнение регрессии с полным набором факторов и рассчитывается матрица частных коэффициентов корреляции. На втором шаге отбирается фактор с наименьшей и несущественной по -критерию Стьюдента величиной показателя частной корреляции. Исключив его из модели, строится новое уравнение регрессии. Процедура продолжается до тех пор, пока не окажется, что все частные коэффициенты корреляции существенно отличаются от нуля. Если исключен несущественный фактор, то множественные коэффициенты детерминации на двух смежных шагах построения регрессионной модели почти не отличаются друг от друга.
2.6 Оценка значимости уравнения регрессии и его параметров. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии
Для оценки значимости уравнения регрессии в целом естественно использовать величину , где Qr и Qe определяются по формулам (2.22) и (2.23).
Уравнение множественной регрессии значимо (иначе - гипотеза H0 о равенстве нулю параметров регрессионной модели, т.е. H0: в1= в2 =. = вp= 0, отвергается), если (учитывая (1.29) при т = p + 1)
(2.27)
где Fб; p; n-p-1 - табличное значение F-критерия Фишера-Снедекора.
Если известен коэффициент детерминации R2, то критерий значимости (2.27) уравнения регрессии может быть записан в виде:
(2.28)
где
k1=p, k2=n-p-1, ибо в уравнении множественной регрессии вместе со свободным членом оценивается т = p+1 параметров.
Перейдем теперь к оценке значимости коэффициентов регрессии bj и построению доверительного интервала для параметров регрессионной модели вj. В силу (2.13) и (2.15) и изложенного выше оценка дисперсии коэффициента регрессии bj определяется по формуле:
,
где - несмещенная оценка параметра;
-диагональный элемент матрицы .
Среднее квадратическое отклонения (стандартная ошибка) коэффициента регрессии bj примет вид:
(2.29)
Значимость коэффициента регрессии bj можно проверить, если учесть, что статистика имеет t-распределение Стьюдента с k = n-p-1 степенями свободы. Поэтому bj значимо отличается от нуля (иначе - гипотеза H0 о равенстве параметра вj нулю, т.е. H0: вj = 0, отвергается) на уровне значимости б, если
, (2.30)
где - табличное значение t-критерия Стьюдента, определенное на уровне значимости б при числе степеней свободы k = n - p - 1.
В общей постановке гипотеза H0 о равенстве параметра вj заданному числу вj0, т.е. H0: вj = вj0, отвергается, если
.
Поэтому доверительный интервал для параметра вj есть
. (2.31)
2.7 Спецификация модели. Мультиколлинеарность. Отбор факторов при построении уравнения множественной регрессии
Построение уравнения множественной регрессии начинается с решения вопроса о спецификации модели. Он включает в себя два круга вопросов: отбор факторов и выбор вида уравнения регрессии.
Включение в уравнение множественной регрессии того или иного набора факторов связано прежде всего с представлением исследователя о природе взаимосвязи моделируемого показателя с другими экономическими явлениями. Факторы, включаемые во множественную регрессию, должны отвечать следующим требованиям.
1. Они должны быть количественно измеримы. Если необходимо включить в модель качественный фактор, не имеющий количественного измерения, то ему нужно придать количественную определенность.
2. Факторы не должны быть интеркоррелированы и тем более находиться в точной функциональной связи.
Включение в модель факторов с высокой интеркорреляцией, может привести к нежелательным последствиям - система нормальных уравнений может оказаться плохо обусловленной и повлечь за собой неустойчивость и ненадежность оценок коэффициентов регрессии.
Если между факторами существует высокая корреляция, то нельзя определить их изолированное влияние на результативный показатель и параметры уравнения регрессии оказываются неинтерпретируемыми.
Включаемые во множественную регрессию факторы должны объяснить вариацию независимой переменной. Если строится модель с набором факторов, то для нее рассчитывается показатель детерминации , который фиксирует долю объясненной вариации результативного признака за счет рассматриваемых в регрессии факторов. Влияние других, не учтенных в модели факторов, оценивается как с соответствующей остаточной дисперсией.
При дополнительном включении в регрессию фактора коэффициент детерминации должен возрастать, а остаточная дисперсия уменьшаться.
Если же этого не происходит и данные показатели практически не отличаются друг от друга, то включаемый в анализ фактор не улучшает модель и практически является лишним фактором.
Насыщение модели лишними факторами не только не снижает величину остаточной дисперсии и не увеличивает показатель детерминации, но и приводит к статистической незначимости параметров регрессии по критерию Стьюдента.
Таким образом, хотя теоретически регрессионная модель позволяет учесть любое число факторов, практически в этом нет необходимости. Отбор факторов производится на основе качественного теоретико-экономического анализа. Однако теоретический анализ часто не позволяет однозначно ответить на вопрос о количественной взаимосвязи рассматриваемых признаков и целесообразности включения фактора в модель. Поэтому отбор факторов обычно осуществляется в две стадии: на первой подбираются факторы исходя из сущности проблемы; на второй - на основе матрицы показателей корреляции определяют статистики для параметров регрессии.
Коэффициенты интеркорреляции (т.е. корреляции между объясняющими переменными) позволяют исключать из модели дублирующие факторы. Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если . Если факторы явно коллинеарны, то они дублируют друг друга и один из них рекомендуется исключить из регрессии. Предпочтение при этом отдается не фактору, более тесно связанному с результатом, а тому фактору, который при достаточно тесной связи с результатом имеет наименьшую тесноту связи с другими факторами. В этом требовании проявляется специфика множественной регрессии как метода исследования комплексного воздействия факторов в условиях их независимости друг от друга.
По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов, когда более чем два фактора связаны между собой линейной зависимостью, т.е. имеет место совокупное воздействие факторов друг на друга. Наличие мультиколлинеарности факторов может означать, что некоторые факторы будут всегда действовать в унисон. В результате вариация в исходных данных перестает быть полностью независимой и нельзя оценить воздействие каждого фактора в отдельности.
Под мулътиколлинеарностъю понимается высокая взаимная коррелированность объясняющих переменных. Мультиколлинеарность может проявляться в функциональной (явной) и стохастической (скрытой) формах.
При функциональной форме мультиколлинеарности по крайней мере одна из парных связей между объясняющими переменными является линейной функциональной зависимостью. В этом случае матрица X'X особенная, так как содержит линейно зависимые векторы-столбцы и ее определитель равен нулю, т.е. нарушается предпосылка 6 регрессионного анализа. Это приводит к невозможности решения соответствующей системы нормальных уравнений и получения оценок параметров регрессионной модели.
Однако в экономических исследованиях мультиколлинеарность чаще проявляется в стохастической форме, когда между хотя бы двумя объясняющими переменными существует тесная корреляционная связь. Матрица X'X в этом случае является неособенной, но ее определитель очень мал.
В то же время вектор оценок b и его ковариационная матрица ?b в соответствии с формулами (2.8) и (2.15) пропорциональны обратной матрице (Х'Х) - 1, а значит, их элементы обратно пропорциональны величине определителя |Х'Х|. В результате получаются значительные средние квадратические отклонения (стандартные ошибки) коэффициентов регрессии bo, b1,., bp и оценка их значимости по t-критерию не имеет смысла, хотя в целом регрессионная модель может оказаться значимой по F-критерию.
Оценки становятся очень чувствительными к незначительному изменению результатов наблюдений и объема выборки. Уравнения регрессии в этом случае, как правило, не имеют реального смысла, так как некоторые из его коэффициентов могут иметь неправильные с точки зрения экономической теории знаки и неоправданно большие значения.
Включение в модель мультиколлинеарных факторов нежелательно в силу следующих последствий:
1. Затрудняется интерпретация параметров множественной регрессии как характеристик действия факторов в "чистом" виде, ибо факторы коррелированы; параметры линейной регрессии теряют экономический смысл.
2. Оценки параметров ненадежны, обнаруживают большие стандартные ошибки и меняются с изменением объема наблюдений (не только по величине, но и по знаку), что делает модель непригодной для анализа и прогнозирования.
Существует ряд подходов преодоления сильной межфакторной корреляции. Самый простой путь устранения мультиколлинеарности состоит в исключении из модели одного или нескольких факторов. Другой подход связан с преобразованием факторов, при котором уменьшается корреляция между ними.
Отбор факторов, включаемых в регрессию, является одним из важнейших этапов практического использования методов регрессии. Подходы к отбору факторов на основе показателей корреляции могут быть разные. Они приводят построение уравнения множественной регрессии соответственно к разным методикам. В зависимости от того, какая методика построения уравнения регрессии принята, меняется алгоритм ее решения на ЭВМ.
Наиболее широкое применение получили следующие методы построения уравнения множественной регрессии:
1. Метод исключения - отсев факторов из полного его набора.
2. Метод включения - дополнительное введение фактора.
3. Шаговый регрессионный анализ - исключение ранее введенного фактора.
При отборе факторов также рекомендуется пользоваться следующим правилом: число включаемых факторов обычно в 6-7 раз меньше объема совокупности, по которой строится регрессия. Если это соотношение нарушено, то число степеней свободы остаточной дисперсии очень мало. Это приводит к тому, что параметры уравнения регрессии оказываются статистически незначимыми, а -критерий меньше табличного значения.
3. Временные ряды
Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов.
Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (3.1), если в виде произведения - мультипликативной (3.2) или смешанного типа (3.3):
Yt = ut + st + vt + et,
Yt = ut * st * vt * et,
Yt = ut * st * vt + et,
где yt - уровни временного ряда; ut - трендовая составляющая; st - сезонная компонента; vt - циклическая компонента; et - случайная компонента.
Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда:
1. Критерий "восходящих и нисходящих" серий реализуется в виде следующей последовательности шагов:
1) для временного ряда y1, y2, …, yt, …, yn определяется последовательность исходя из следующих условий:
2) серией называется последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Длина серии - число плюсов и минусов в серии. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией. Подсчитывается - число серий в совокупности ;
3) определяется - протяженность самой длинной серии.
4) проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому если нарушается хотя бы одно из следующих неравенств, то гипотеза об отсутствии тренда (гипотеза о случайности) отвергается для 5 % уровня значимости (с доверительной вероятностью 0,95).
где n - длина временного ряда; квадратные скобки в правой части неравенства (3.5) означают целую часть числа; величина - табличное значение, зависящее от n - длины исходного ряда (табл.3.1).
Таблица 3.1
|
Длина ряда |
||||
|
Значение |
5 |
6 |
7 |
2. Критерий серий, основанный на медиане выборки.
Этот критерий проверяет гипотезу о случайности временного ряда следующим образом:
1) из исходного ряда длиной n образуется ранжированный (вариационный) ряд;
эконометрика регрессионный временной ряд
2) определяется медиана этого вариационного ряда Me. В случае нечетного значения n (n=2m+1) за медиану принимают m+1 элемент ряда, в противном случае m и m+1 элементы складывают и делят пополам, полученное значение принимают за значение медианы;
3) образуется последовательность из плюсов и минусов по следующему правилу:
Если значение равно медиане, то это значение опускается;
4) подсчитывается протяженность самой длинной серии и общее число серий аналогично тому, как это делалось в критерии "восходящих и нисходящих" серий;
5) Для того чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей), должны выполняться следующие неравенства (для 5 % уровня значимости):
Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.
3. Метод Фостера - Стюарта может быть реализован в виде следующей последовательности шагов:
1) каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик mt и lt:
Таким образом, mt=1, если yt больше всех предшествующих уровней, а lt=1, если yt меньше всех предшествующих уровней;
2) вычисляется dt=mt-lt для всех t=. Очевидно, что величина dt может принимать значения 0; 1; - 1;
3) находится характеристика
;
4) с помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D=0 (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд). Для этого определяется:
,
где D - средняя квадратическая ошибка величины D:
.
Значения D затабулированы (табл.3.2).
Таблица 3.2
Значения стандартных ошибок для D для n от 10 до 100
|
n |
D |
n |
D |
n |
D |
n |
D |
|
|
10 |
1,964 |
35 |
2,509 |
60 |
2,713 |
85 |
2,837 |
|
|
15 |
2,153 |
40 |
2,561 |
65 |
2,742 |
90 |
2,857 |
|
|
20 |
2,279 |
45 |
2,606 |
70 |
2,769 |
100 |
2,894 |
|
|
25 |
2,373 |
50 |
2,645 |
75 |
2,793 |
|||
|
30 |
2,447 |
55 |
2,681 |
80 |
2,816 |
Расчетное значение tнабл сравнивается с критиче6ским значением tкр, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы k=n-1. Если tнабл> tкр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.
Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней
Метод скользящей средней состоит в том, что исходный эмпирический временной ряд y1, …, yn преобразуется в ряд сглаженных значений (оценок) по формуле
,
где g - длина интервала сглаживания (размер окна); i - порядковый номер уровня в окне сглаживания; p - величина, определяемая по формуле p= (g-1) /2.
Таблица 3.3
Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам I и III порядка
|
Длина интервала сглаживания |
Весовые коэффициенты |
|
|
5 (p=2) |
||
|
7 (p=3) |
||
|
9 (p=4) |
||
|
11 (p=5) |
||
|
13 (p=6) |
Основные показатели динамики экономических явлений
Таблица 3.4
|
Абсолютный прирост |
Темп роста |
Темп прироста |
||
|
Цепной |
||||
|
Базисный |
||||
|
Средний |
Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста (табл.3.4).
Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста:
где
yn - фактическое значение в последней n-ой точке ряда; - прогнозная оценка значения уровня в точке n+1; - значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда y1, y2, …, yn.
Прогнозное значение на i шагов вперед может быть получено по формуле
,
где: - прогнозная оценка значения уровня в точке n+i; уn - фактическое значение в последней n-ой точке ряда; - средний темп роста, рассчитанный для ряда y1, y2, …, yn (не в % выражении).
Моделирование временных рядов с помощью кривых роста.
Удобным средством описания одномерных временных рядов является выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выровненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.
Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.
Среди кривых роста I класса, прежде всего, следует выделить класс полиномов:
,
гдеbi (i=0, 1, …, p) - параметры многочлена; t - независимая переменная (время).
Оценки параметров в модели (3.9) определяются методом наименьших квадратов.
Для упрощения расчетов переносят начало координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно 1, 2, 3, …, то после переноса:
для четного числа членов ряда t =…, - 5; - 3; - 1; 1; 3; 5; …;
для нечетного числа членов ряда t =…, - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; ….
Таким образом, , где k - нечетное число, равное 0. Такой подход существенно упрощает расчет.
В этом случае оценки параметров соответствующих полиномов имеют вид
прямой;
параболы
Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие "лавинообразный" характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.
Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид
.
Если b>1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b<1. Параметр а характеризует начальные условия развития, а параметр b - постоянный темп роста.
Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п.
Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения.
Когда процесс характеризуется "насыщением", его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту. Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:
,
где y=k является горизонтальной асимптотой.
При решении экономических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем. В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:
,
где - заданное значение асимптоты.
Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III классу кривых роста - к S-образным кривым.
Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением.
S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.
Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла-Рида.
Кривая Гомперца имеет вид
.
Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте обратной величиной :
.
Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой:
.
Адекватность проверяется с помощью критерия Дарбина-Уотсона.
Оценка адекватности моделей
Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Значение этого критерия определяется по формуле (3.21).
1. Критерий Дарбина-Уотсона:
.
2. Ошибка прогноза:
3. Относительная ошибка прогноза:
.
4. Средняя абсолютная ошибка прогноза:
.
5. Средняя относительная ошибка прогноза:
.
6. Средняя квадратическая ошибка прогноза:
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Задачи эконометрики, ее математический аппарат. Взаимосвязь между экономическими переменными, примеры оценки линейности и аддитивности. Основные понятия и проблемы эконометрического моделирования. Определение коэффициентов линейной парной регрессии.
контрольная работа [79,3 K], добавлен 28.07.2013Понятие о взаимосвязях в эконометрике. Сопоставление параллельных рядов. Корреляция альтернативных признаков. Оценка надежности параметров парной линейной регрессии и корреляции. Коэффициенты эластичности в парных моделях. Парная нелинейная корреляция.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 29.06.2015Суть эконометрики как научной дисциплины, ее предмет и метод. Парная и множественная регрессия в экономических исследованиях. Регрессионные модели с переменной структурой. Обобщенный метод наименьших квадратов. Анализ систем экономических уравнений.
реферат [279,2 K], добавлен 11.09.2013Взаимосвязи экономических переменных. Понятие эконометрической модели. Коэффициент корреляции и его свойства. Линейная парная регрессия. Метод наименьших квадратов. Основные предпосылки и принципы регрессионного анализа. Статистика Дарбина-Уотсона.
шпаргалка [142,4 K], добавлен 22.12.2011Теоретические основы эконометрического анализа рождаемости в России. Эконометрика и эконометрическое моделирование. Парная регрессия и корреляция. Многомерный эконометрический анализ уровня рождаемости в России: с помощью множественной и парной регрессии.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 25.03.2014Измерения в эконометрике. Парная регрессия и корреляция эконометрических исследований. Оценка существования параметров линейной регрессии и корреляции. Стандартная ошибка прогноза. Коэффициенты эластичности для различных математических функций.
курс лекций [474,5 K], добавлен 18.04.2011Множественная корреляция и линейная регрессия. Оценка прогнозных качеств модели. Простейшие методы линеаризации. Вероятностный эксперимент, событие или вероятность. Фиктивные переменные в регрессионных моделях. Системы эконометрических уравнений.
курс лекций [2,0 M], добавлен 13.02.2014Расчет корреляции между экономическими показателями; построение линейной множественной регрессии в программе Excel. Оценка адекватности построенной модели; ее проверка на отсутствие автокорреляции и на гетероскедастичность с помощью теста Бреуша-Пагана.
курсовая работа [61,2 K], добавлен 15.03.2013Эконометрика как наука, позволяющая анализировать связи между различными экономическими показателями на основании реальных статистических данных. Структурная форма эконометрической модели. Метод наименьших квадратов: общее понятие, главные функции.
курсовая работа [135,1 K], добавлен 05.12.2014Определение временных и пространственных данных в эконометрике. Коэффициент детерминации и средняя ошибка аппроксимации как показатели качества однофакторной модели в эконометрике. Особенности построения множественной регрессивной модели. Временные ряды.
контрольная работа [804,3 K], добавлен 15.11.2012Эконометрика как одна из базовых дисциплин экономического образования во всем мире. Прогноз социально-экономических показателей, характеризующих состояние и развитие анализируемой системы. Понятие и построение модели парной регрессии и корреляции.
контрольная работа [633,2 K], добавлен 10.12.2013Методика расчета параметров множественной регрессии и корреляции. Тест на выбор "длинной" или "короткой" регрессии. Тест Чоу на однородность зависимости объясняемой переменной от объясняющих. Тест Бреуша – Пагана. Тест Дарбина на наличие автокорреляции.
лекция [40,3 K], добавлен 13.02.2011Построение линейного уравнения парной регрессии, расчет линейного коэффициента парной корреляции и средней ошибки аппроксимации. Определение коэффициентов корреляции и эластичности, индекса корреляции, суть применения критерия Фишера в эконометрике.
контрольная работа [141,3 K], добавлен 05.05.2010Методика расчета линейной регрессии и корреляции, оценка их значимости. Порядок построения нелинейных регрессионных моделей в MS Exсel. Оценка надежности результатов множественной регрессии и корреляции с помощью F-критерия Фишера и t-критерия Стьюдента.
контрольная работа [3,6 M], добавлен 29.05.2010Понятие взаимосвязи между случайными величинами. Ковариация и коэффициент корреляции. Модель парной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов, теорема Гаусса-Маркова. Сравнение регрессионных моделей. Коррекция гетероскедастичности, логарифмирование.
курс лекций [485,1 K], добавлен 02.06.2011Выборка и генеральная совокупность. Модель множественной регрессии. Нестационарные временные ряды. Параметры линейного уравнения парной регрессии. Нахождение медианы, ранжирование временного ряда. Гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда.
задача [62,0 K], добавлен 08.08.2010Анализ экспериментальных данных, полученных в виде набора значений двух зависимых величин. Вывод о связи между величинами на основании вычисления коэффициента корреляции, построение уравнения линейной регрессии. Прогнозирование зависимой величины.
реферат [555,9 K], добавлен 30.01.2018Построение регрессионных моделей. Смысл регрессионного анализа. Выборочная дисперсия. Характеристики генеральной совокупности. Проверка статистической значимости уравнения регрессии. Оценка коэффициентов уравнения регрессии. Дисперсии случайных остатков.
реферат [57,4 K], добавлен 25.01.2009Поиск несмещенных оценок математического ожидания и для дисперсии X и Y. Расчет выборочного коэффициента корреляции, анализ степени тесноты связи между X и Y. Проверка гипотезы о силе линейной связи между X и Y, о значении параметров линейной регрессии.
контрольная работа [19,2 K], добавлен 25.12.2010Основные принципы и методы построения линейных, нелинейных эконометрических моделей спроса, предложения. Типы взаимосвязей между переменными. Этапы интерпретации уравнения регрессии. Коэффициент (индекс) корреляции. Рассмотрение альтернативных моделей.
контрольная работа [83,1 K], добавлен 14.02.2014
