Практические аспекты теории вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

1 вариант

1. Расписание одного дня занятий состоит из 5 семинаров. Определить число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин.

Решение:

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из п элементов по т. Число размещений из п элементов по т равно

Каждый вариант расписания представляет набор 5 дисциплин из 11 отличающийся от других вариантов, как составом дисциплин, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. является размещением из 11 элементов по 5. Число вариантов расписаний, т.е. число размещений из 11 по 5 находим по формуле:

2. Буквы «Т, Е, И, Я, Р, О» написаны на отельных карточках. Студент берет карточки в случайном порядке и прикладывает одну к другой по 3 карточки. Какова вероятность того, что получится слово «ТОР»?

Решение:

При классическом определении вероятность события А определяется равенством:

где m - число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, n - общее число возможных элементарных исходов испытания. Предполагается, что элементарные исходы образуют полную группу и равновозможны.

Если комбинации из n элементов по m отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем и другим), то такие комбинации называют размещениями из п элементов по т. Число размещений из п элементов по т равно

Если комбинации из n элементов отличаются только порядком расположения этих элементов, то их называют перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов равно Р_п = п!

Пусть событие А -- получение слова «ТОР». Различные комбинации трех букв из имеющихся шести представляют размещения, так как могут отличаться как составом входящих букв, так и порядком их следования (или и тем и другим), т.е. общее число случаев п =, из которых благоприятствует событию А, т=1 случай. Тогда

3. В группе из 30 студентов 10 имеют спортивные разряды. Какова вероятность того, что выбранные наудачу 3 студента -- разрядники?

Решение: Если комбинации из n элементов по m отличаются только составом элементов, то их называют сочетаниями из п элементов по т. Число сочетаний из п элементов по m равно

Пусть событие А - 3 выбранных наудачу студента - разрядники. Общее число случаев выбора 3 студентов из 30 равно п = , так как комбинации из 30 студентов по 3 представляют собой сочетания, ибо отличаются только составом студентов. Точно так же число случаев, благоприятствующих событию А, равно . Итак,

Решение:

Пусть вероятность события A_i - выигрыша по i-му билету равна р, т.е. P(A)=p. Тогда вероятность выигрыша хотя бы по одному из n приобретенных билетов, т.е. вероятность суммы независимых событий А, А,..., А,..., А определится по формуле:

Р(А_{1 +} А₂+... + An) = 1-(1-р)

По условию:

Логарифмируя обе части неравенства, имеем lg(l - р) lg(l - ).

Учитывая, что lg(l-p) - величина отрицательная, получим

По условию р=0,5, = 0,999 .

Получаем: п, т.е. n>10, необходимо купить не менее 10 лотерейных билетов.

(Задачу можно решить, не прибегая к логарифмированию, путем подбора целого числа п, при котором выполняется неравенство (1-p) т.е в данном случае так еще при n=9: , а уже при n=10: таким образом, n10

6. В торговую фирму поступили телевизоры от трех производителей в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го, 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88%, 92%.Найти вероятность того, а) что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока; б) что проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. в) от какого поставщика поступил этот телевизор?

Решение:

а) Обозначим события:

A - телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика (i=1,2,3);

F-телевизор не потребует ремонта в течении гарантийного срока.

По условию:

По формуле полной вероятности:

б) событие - телевизор не потребует ремонта в течении гарантийного срока

По условию:

вероятность комбинация задача элемент

ПО ФОРМУЛЕ БАЙЕСА

в)Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы А увеличилась с Р(А)=0,4 до максимальной Р(А₂) = 0,533, а гипотезы Аз - уменьшилась от максимальной Р(А)=0,5 до Р(А) = 0,444; если ранее (до наступления события ), наиболее вероятна гипотеза А, то теперь, в свете поступления новой информации (наступление события ), наиболее вероятна гипотеза А- поступление данного телевизора от 2-го поставщика.

7. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найти вероятность возможного появления бракованных деталей среди 5 отобранных.

Решение:

Вероятность изготовления бракованной детали р=1-0,8=0,2. Искомые вероятности находим по формуле Бернулли:

8. В некоторой местности из каждых 100 опрошенных семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей - 300 имеют холодильники.

Решение:

Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р =. Так как п=100 достаточно велико (условие п * р * q = 100 * 0,8 * 0,2 = 64 > 20 выполнено), то

применяем локальную формулу Муавра--Лапласа: Р ₌

Вначале определим: х =

Тогда получаем:

Весьма малое значение вероятности Р не должно вызывать сомнения, так как кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице.

9. Функция (х) задана в виде: Найти: а) значение А-константы при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) выражение для функции распределения F(x); в) вычислить вероятность того, что случайная величина X примет значение на отрезке [2;3]; г) найти математическое ожидание Х; д) найти дисперсию X.

Решение:

а) Для того чтобы (х) была плотностью вероятности некоторой случайной величины X, она должна быть не отрицательна, т.е. (х)>0 или , откуда А>0, и она должна удовлетворять свойству:

Следовательно,

Откуда A = 3.

б) По формуле F(X) =

Если X?1, то F(x)=

Если x>1, то F(x)=0+

Таким образом, F(x) =

в) По формуле Р(а ? X ? b) =

Р(а ? X? 3) =

Вероятность P(2 ? X? 3) можно было найти непосредственно как приращение функции распределения по формуле

F(x₂) =

г) По формуле вычислим

д) Дисперсию D(X) вычислим по формуле

Вначале найдем

(Вычисление интеграла аналогично приведенному выше). Искомая дисперсия равна:

Размещено на Allbest.ru