Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 10ед., а II - уменьшить на 80ед;

- оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида с ценой 7у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3ед.

Решение:

1. Построим ЭММ задачи. Обозначим через х_i - объем выпуска готовой продукции j-го вида. С учетом критерия оптимальности «max выручки», будем иметь ЭММ задачи:

max f (х) = 3х₁ + 2х₂ + 5 х₃

Ограничения отражают условия ограниченности запасов сырья.

1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ? 430 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ? 460 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

1х₁ + 4х₂ ? 420 - затраты 3-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

х_j ? 0,

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

Оптимальный план выпуска продукции: Х^*= ( 0, 100, 230),

f (Х^*) = 1350

2. Для определения двойственных оценок построим двойственную задачу:

min ц (y) = 430y₁ + 460y₂ + 420y₃

1y₁ + 3y₂ + 1y₃ ? 3

2y₁ + 4y₃ ? 2

1y₁ + 2y₂ ? 5

y₁ ? 0, y₂ ? 0, y₃ ? 0

Для нахождения двойственных оценок используем вторую теорему двойственности. Определим, как удовлетворяется система функциональных ограничений исходной задачи при подстановке в нее оптимального плана:

Х^*= (0, 100, 230), f (Х^*) = 1350

1*0 + 2*100 + 1*230 = 430 = 430- выполняется как строгое равенство

3*0 + 2*230 = 460 = 460 - выполняется как строгое равенство

1*0 + 4*100 = 400 < 420 - выполняется как строгое неравенство

Поскольку 3-е ограничение в системе ограничений выполняется как строгое неравенство, то по второй теореме двойственности у₃^*= 0

С другой стороны, так как х₂^* > 0, x₃^* > 0, то имеют место равенства:

2y₁^* + 4y₃^* = 2

1y₁^* + 2y₂^* = 5

Поскольку у₃^* = 0, то из этой системы равенства получим: у₁^*= 1, у₂^*= 2

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи при полученных значениях двойственных переменных:

ц (y^*) = 430*1 + 460*2 + 420*0 = 430 + 920 = 1350, т.е. ц (y^*) = f (х^*).

Таким образом, по первой теореме двойственности мы делаем вывод, что двойственные оценки найдены правильно.

3. Поскольку для 1-ого вида сырья затраты на единицу сырья превышают выручку от реализации единицы сырья, то ее выпуск экономически не оправдан х₁^* = 0:

1*1 + 3*2 + 1*0 = 7 > 3 оценка затрат на единицу продукции 1-ого вида.

4. 1) В пределах интервалов устойчивости найденных двойственных оценок имеют место следующие выводы: первый и третий вид сырья, участвующие в производстве являются дефицитными, а второй находится в избытке. При этом с позиции максимизации выручки более дефицитен третий вид сырья. Прирост на единицу первого вида сырья дает приращение выручки 1 у.е., второго - 2 у.е., т.е. сравнительная норма взаимозаменяемости составляет 1:2.

2) 1х₁ + 2х₂ + 1х₃ ? 440 - затраты 1-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

3х₁ + 2х₃ ? 380 - затраты 2-го вида ресурсов на выпуск всей продукции

Структура плана остается той же, то есть х₁ = 0. Совмещая эти два вывода будем иметь:

0 + 2х₂ + х₃ = 440

0 + 2х₃ = 380

Решая эту систему уравнений получаем: х₂ = 105 х₃ = 190

f (Х^*) = 1160

Реализуя эту ЭММ задачу средствами Excel получим решение:

Чтобы оценить целесообразность включения в план изделия четвертого вида необходимо произвести оценку затрат на единицу продукции:

2*1 + 4*2 + 3*0 - 7 = 3 > 0

Изделие не выгодно включать в план, т.к. затраты на его изготовление не покрываются ценой продажи.

Задача 3

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки а_ij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Исходные данные приведены в таблице

Решение:

1. Проведем оценку по первому признаку продуктивности: матрица (Е-А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица и все ее элементы неотрицательны.

Определим матрицу (Е-А):

С помощью функции МОБР Мастера функций Exсel найдем обратную матрицу:

Поскольку все элементы матрицы В неотрицательны, то матрица А продуктивна.

2. Руководствуясь балансовым методом планирования и экономическим смыслом прямых материальных затрат будем иметь следующую модель межотраслевого баланса:

1,0 х₁ - 0,4х₂ - 0,1х₃ = 160

-0,4х₁ + 0,9х₂ - 0,0х₃ = 180

-0,3х₁ + 0,0х₂ + 0,9х₃ = 150

Для решения воспользуемся пакетом Exсel.

В результате решения будем иметь следующие объемы валового продукта по предприятиям: Х₁ =325,35; Х₂ =344,60; Х₃ =275,12.

Схема межотраслевого баланса будет выглядеть следующим образом:

Задача 4

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. р.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя (повариантно) приведен ниже в таблице

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Введем исходные данные.

Таблица 3.1

Для проверки наличия аномальных наблюдений воспользуемся пакетом Excel. В результате решения будем иметь следующие данные:

Таблица 3.2

Чтобы найти среднее квадратическое отклонение воспользуемся функцией СТАНДОТКЛОН Мастера функций Excel.

Табличное значение Величины Ирвина равно 1,5 , следовательно, в соответствии с методом Ирвина аномальные наблюдения не выявлены.

2. Построим линейную однопараметрическую модель регрессии Y от t. Для проведения регрессионного анализа воспользуемся надстройкой Excel Анализ данных. В результате получим следующее:

Таблица 3.3

Таблица 3.4

Таблица 3.5

Вывод остатка

Таблица 3.6

Во втором столбце таблицы 3.5 содержатся коэффициенты уравнения регрессии а₀, а₁,. Уравнение регрессии зависимости Y_t (спрос на кредитные ресурсы) от t₁ (время) имеет вид:

Y(t) = 4,06 + 3,97t

3. Оценка адекватности модели.

1) С помощью функции СРЗНАЧ Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем среднее значение остатков.

2) Построим график остатков. По графику видно, что P=7 больше 2, следовательно свойство случайности остатков выполняется.

Рис. 3.1 График остатков

3) С помощью функции КОРРЕЛ Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем коэффициент корреляции.

По след. формуле найдем t_расч.:

Коэффициент корреляции r = -0,62 незначим, поскольку

t_расч.=2,09 < t_табл.=2,36

Следовательно, свойство независимости остатков выполняется.

4) С помощью функции СТАНДОТКЛОН Мастера функций Excel по таблице 3.6 найдем среднее квадратическое отклонение.

S_е = 0,92

Определим RS-критерий:

Расчетное значение попадает между табулированными границами (2,7-3,7) (для п=9 и 5-% уровня значимости), значит, остатки следуют нормальному закону распределения.

Модель в целом адекватна.

4. Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации. Для этого рассчитаем в Excel следующую таблицу:

Таблица 3.7

Чтобы рассчитать вторую колонку воспользуемся функцией ABS Мастера функций Excel. Затем рассчитаем среднюю относительную ошибку аппроксимации:_.

Е_отн = 3,70 %

Отсюда вывод: модель высокой точности и пригодна для целей прогнозирования.

5. Прогноз спроса на кредитные ресурсы на следующие две недели.

1) Рассчитаем среднее значение фактора «время» (t_ср) и сумму квадратов отклонений t от его средней величины ( ?(t-t_ср)² ).

Таблица 3.8

2) Произведем точечный и интервальный прогнозы на 2 шага вперед.

Y(t) = 4,06 + 3,97t

Y(10) = 4,06 + 3,97*10 = 43,76

Y(11) = 4,06 + 3,97*11 = 47,73

В результате расчетов получим следующую таблицу:

Таблица 3.9

По полученным данным построим график подбора:

Таким образом, с вероятностью прогноза 70% можно утверждать, что значение спроса на кредитные ресурсы в течение следующих двух недель будет находиться в интервале 42,51 - 45,01 и 46,47 - 48,99 соответственно.

Размещено на Allbest.ru