Экономико-математические расчеты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный - 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется по меньшей мере 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 ден. ед., а улучшенный - 4 ден. ед. Какие и сколько наборов удобрений нужно купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на максимум и почему?

РЕШЕНИЕ:

Запишем условие задачи в виде таблицы:

Питательное вещество (удобрения)	Необходимый минимум удобрений	Число кг удобрений в наборах
		Обычный	Улучшенный
Азотные Калийные Фосфорные	10 20 7	3 4 1	2 6 3
Стоимость 1 набора		3 ден.ед.	4 ден.ед.

Пусть х₁ шт. - количество обычных наборов; х₂ шт. - количество улучшенных, тогда количество азотных удобрений:

3х₁ +2х₂ ? 10

Количество калийных удобрений:

4х₁ + 6х₂ ? 20

Количество фосфорных:

х₁ + 3х₂ ? 7

А минимальная стоимость выразится функцией:

Z = 3x₁ + 4x₂ min

Получили задачу составления рациона. Найти минимальное значение линейной функции:

Z = 3x₁ + 4x₂ при ограничениях

3х₁ + 2х₂ ? 10

4х₁ + 6х₂ ? 20

х₁ + 3х₂ ? 7

х₁? 0; х₂ ? 0

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости изобразим граничные прямые:

3х₁ + 2х₂ = 10 (L₁)

х₁+3х₂=7 (L₃)

4х₁ +6x₂ = 20 (L₂)

x₁ > 0; х₂ > 0

	x1	x2
L1	0	5
	4	-1
L2	-1	4
	5	0
L3	-2	3
	7	0
z	0	0
	4	-3
	0	0
	3	4

Установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

В результате имеем неограниченную многоугольную область с угловыми точками А, В, С, D.

Построим вектор N = (3; 4) и прямую:

3х₁ + 4х₂ = 0 (Z)

Перемещаем прямую Z параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она впервые коснется многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке В; если прямую переместить далее в направлении вектора N, то значения линейной функции на многограннике решений возрастут, значит, в точке В линейная функция принимает минимальное значение.

Точка В лежит на пересечении прямых L₁ и L₂; для определения ее координат решим систему уравнений:

3х₁ + 2х₂ = 10

4х₁ + 6x₂ = 20

Имеем: х₁ = 2; х₂ = 2.

Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем Z_min = 3*2+4*2 = 14.

Для того, чтобы обеспечить минимум затрат (14 ден. ед.), необходимо приобрести 2 обычных набора и 2 улучшенных.

Если решить эту задачу на максимум, то получим «решения нет», т.к. многоугольная область не ограничена сверху.

Задача 2

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья, запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

	Нормы	расхода сырья на одно изделие	Запасы
Тип сырья			сырья
	А		Б	В	Г
I	2		1	3	2	200
II	1		2	4	8	160
III	2		4	1	1	170
Цена изделия	5		7	3	6

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 единиц соответственно, и уменьшении на 5 единиц запасов сырья III вида;

- оценить целесообразность включения в план изделия "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

РЕШЕНИЕ: Обозначим через х_j = 1,2,3 - количество выпускаемой продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции».

Решение проведем в среде EXCEL, получим результат:

х1	х2	х3
0	100	230
3	2	5	1350
1	2	1	430	430
3		2	460	460
1	4		400	420

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:



Значение целевой функции на этом плане равно: f (X`) = 3*0+2*100+5*230 =1350.

Чтобы предприятие имело максимальную выручку от реализации готовой продукции, необходимо выпускать изделия 2 вида - 100 ед. и изделия 3 вида- 230 ед., а изделия 1 вида не выпускать.

Двойственная задача имеет вид:

Для нахождения оценок y_1, y₂, y₃ используем вторую теорему двойственности. Поскольку третье ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то y₃ =0, а т.к. х₂>0 и х₃>0, то:

2 y₁^{`</sup>+4 y<sub>3</sub><sup>`} =2

y₁+2у₂^` =5

Т.е. для получения двойственных оценок имеем систему:

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи: (Y`) =430*1+460*2+ 420*0 = 1350, т.е.:

f(X`) = (Y`) = 1350

По первой теореме двойственности можно утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Нулевое значение переменной х₁ в оптимальном плане говорит о том, что изделия 1 типа выпускать не нужно, а нулевое значение переменной у₃ = 0 говорит о том, что сырье третьего типа является не дефицитным и его запасы не повлияют на оптимальный план выпуска продукции.

а) увеличение запасов сырья I вида на 1 единицу приведет к росту максимальной стоимости на 1 ед. (y₁` =1); увеличение запасов сырья II вида на 1 ед. приведет к росту максимальной стоимости на 2 ед. (у<sub>3</sub>` =2), а увеличение запасов сырья III вида на 1 ед. не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость изделий (у₃^`= 0).

б) двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов. Оценки показывают какие ресурсы являются более дефицитными, а какие совсем не дефицитны. В нашем случае недефицитным ресурсом является сырье III вида, т.к. у₃=0. Острее ощущается дефицитность сырья II вида (у₂=2) оно более дефицитно, чем сырье I вида (у₁ = 1).

в) двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов», заменяемость с точки зрения конечного эффекта. В нашем случае относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 2:1.

г) Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска если запас сырья I вида увеличить на 10 ед. а II - меньш. на 80ед.:

* f(x) = 1*10 - 2*80 = 10 - 160= -150

Т.е. уменьшение на 150 ед.

д) Определим целесообразность:

Включения в план изделия IV вида ценой 7 у.е., если нормы затрат сырья 2, 4 и 3 ед.:

₄ =1*2 + 2*4 + 0*3 - 7 = 3 >0 - невыгодное расширение ассортимента.

Задача 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	3	7	10	11	15	17	21	25	23

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель

Y(t) =

Параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3) Оценить адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

4) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5) По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%).

6) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ:

Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

Где среднеквадратическое отклонение _у рассчитывается с использованием формул:

	t	Y	|yt-yt-1|	yt-yср	(yt-yср)2	л	лтабл
	1	3		-11,6667	136,1111
	2	7	4	-7,66667	58,77778	1,596456	>1,5
	3	10	3	-4,66667	21,77778	1,197342	1,5
	4	11	1	-3,66667	13,44444	0,399114	1,5
	5	15	4	0,333333	0,111111	1,596456	>1,5
	6	17	2	2,333333	5,444444	0,798228	1,5
	7	21	4	6,333333	40,11111	1,596456	>1,5
	8	25	4	10,33333	106,7778	1,596456	>1,5
	9	23	2	8,333333	69,44444	0,79823	1,5
Сумма	45	132			452
Срзнач.	5	14,66667			50,22222
					6,277778
				?	2,505549

Вывод: видим, что значения у₂, у₅, у₇ и у₈ являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения л меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, л_табл=1,5.

Результаты регрессионного анализа для временного ряда представим в таблицах 4.2 и 4.3

Таблица:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	1,166667	1,049187	1,111972
t	2,7	0,186445	14,48145

Таблица:

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	3,866667	-0,86667
2	6,566667	0,433333
3	9,266667	0,733333
4	11,96667	-0,96667
5	14,66667	0,333333
6	17,36667	-0,36667
7	20,06667	0,933333
8	22,76667	2,233333
9	25,46667	-2,46667
Сумма	132	0

Во втором столбце табл. содержатся коэффициенты уравнения регрессии и , в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид: Y(t) = 1,2 + 2,7t.

При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

Оценка параметров модели «вручную».

Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведем в таблице.

Таблица:

	t	y	t-tср	(t-tср)2	y-yср	(t-tср)(y-yср)
	1	3	-4	16	-11,67	46,7
	2	7	-3	9	-7,67	23,0
	3	10	-2	4	-4,67	9,3
	4	11	-1	1	-3,67	3,7
	5	15	0	0	0,33	0,0
	6	17	1	1	2,33	2,3
	7	21	2	4	6,33	12,7
	8	25	3	9	10,33	31,0
	9	23	4	16	8,33	33,3
сумма	45	132	0	60	0	162
среднее	5	14,66667				2,7

14,667- 2,7*5 = 1,167 ? 1,2.

Оценка качества построенной модели.

Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. В нашем случае = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется. При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно:

d`= 4 - 2,21=1,79 - попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Остатки	еt-еt-1	(еt-еt-1)2	е2
-0,86667			0,751111
0,433333	1,3	1,69	0,187778
0,733333	0,3	0,09	0,537778
-0,96667	-1,7	2,89	0,934444
0,333333	1,3	1,69	0,111111
-0,36667	-0,7	0,49	0,134444
0,933333	1,3	1,69	0,871111
2,233333	1,3	1,69	4,987778
-2,46667	-4,7	22,09	6,084444
0	-1,6	32,3	14,6

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек: в случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

При N=9 в правой части неравенства имеем: [2*(9-2)/3-2v(16*9-29)/90] = [2,7] = 2.

Здесь р = 5; 5>2 - неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS= [е_max - е_min] : S_е = [2,2+2,5] : 1,35 = 3,5

Для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7)), 3,5 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех). Средняя относительная ошибка:

%

Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):

Y_p(10) = = 1,2 + 2,7*10 = 28,2

Y_p(11) = = 1,2 + 2,7*11 = 30,9

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.

Примем значение уровня значимости б = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 7 равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

Где:

п + к	U(k)	Прогноз	Формула	Верх. граница	Нижняя граница
10 11	U(l) = 1,9 U(2) = 2,1	28,2 30,9	Прогноз + U(1) Прогноз - U (2)	30,1 33,0	26,3 28,8

Т.к. построенная модель адекватна, то можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Для этого следует преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента Регрессия:

Рисунок:

Рисунок:

Результаты моделирования и прогнозирования.

Построим адаптивную модель Брауна.

Расчетное значение в момент времени получается по формуле:



Где:

k - количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза:

Е(t) = Y(t) - Y_p(t)

Используется для корректировки модели.

Корректировка параметров осуществляется по формулам:

Где: в - коэффициент дисконтирования данных, отражающих большую степень доверия к более поздним данным.

Процесс модификации модели (t = 1, 2,…,N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t=N).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК:

Таблица:

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y(t)-Yср	(t-tср)(Y(t)-Yср)
1	3	-2	4	-6,2	12,4
2	7	-1	1	-2,2	2,2
3	10	0	0	0,8	0
4	11	1	1	1,8	1,8
5	15	2	4	5,8	11,6
Сумма = 15	46	0	10	0,00	28
СРзнач = 3	9,2

Используя эти результаты, получим:

28 : 10 = 2,8;

9,2 - 2,8*3 = 0,8.

Возьмем: k = 1 и б = 0,4

в = 1 - б = 0,6

t = 1 0,8 + 2,8*1 = 3,6;

Е(1) = Y(1) - Y_p(1) = 3 - 3,6 = -0,6;

3,6 - 0,6*0,64 = 3,2;

2,8 - 0,6*0,16 = 2,7.

t = 2 3,2 + 2,7*1 = 5,9;

Е(2) = Y(2) - Y_p(2) = 7 - 5,9 = 1,1;

5,9 +1,1*0,64 = 6,6;

2,7 +1,1*0,16 = 2,9 и т. д.

Таблица - Оценка параметров модели:

б=0,4
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		0,8	2,8
1	3	3,2	2,7	3,6	-0,6	0,4
2	7	6,6	2,9	5,9	1,1	1,2
3	10	9,8	3,0	9,5	0,5	0,3
4	11	11,6	2,7	12,8	-1,8	3,1
5	15	14,8	2,8	14,3	0,7	0,5
6	17	17,2	2,7	17,5	-0,5	0,3
7	21	20,6	2,9	19,9	1,1	1,2
8	25	24,5	3,1	23,5	1,5	2,3
9	23	24,6	2,4	27,6	-4,6	20,9
Сумма	132			134,6	-2,6	30,14
a=0,7
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		0,8	2,8			0
1	3	3,1	2,7	3,6	-0,6	0,4
2	7	6,9	2,9	5,8	1,2	1,4
3	10	10,0	2,9	9,7	0,3	0,1
4	11	11,2	2,7	12,9	-1,9	3,4
5	15	14,9	2,8	13,9	1,1	1,3
6	17	17,1	2,7	17,7	-0,7	0,5
7	21	20,9	2,9	19,8	1,2	1,4
8	25	24,9	3,0	23,7	1,3	1,6
9	23	23,4	2,5	27,9	-4,9	23,6
сумма	132,0			135,0		33,61

Так как:

?Е² (t) = 30,1 (б = 0,4) < ?E² (t) = 33,6 (б = 0,7),

На последнем шаге получена модель:

Y_p (N+k) = 24,6 +2,4k

Оценка качества построенной модели.

Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю выполним с использованием t-критерия Стьюдента:



Где:

t < t_табл, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно:

Попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Таблица:

Остатки	еt-еt-1	(еt-еt-1)2	е2	Eотн
-0,6			0,4	20,0
1,1	1,7	2,8	1,2	15,4
0,5	-0,6	0,3	0,3	5,1
-1,8	-2,3	5,2	3,1	16,1
0,7	2,5	6,1	0,5	4,6
-0,5	-1,2	1,5	0,3	3,2
1,1	1,6	2,7	1,2	5,3
1,5	0,4	0,2	2,3	6,1
-4,6	-6,1	37,1	20,9	19,9
-2,6	-4,0	55,9	30,1	95,7
				10,6

Проверка случайности уровней ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат:

р = 5;

5 > 2.

Неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS= [е_max - е_min]:S_е = [1,5+4,6]: 1,9 = 3,1

Для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7), 3,1 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.



Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия).

Средняя относительная ошибка:

%

Т.к. 10,6% < 15%, то точность модели считается приемлемой.

Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):

Y_p(10) = 24,6 +2,4k = 24,6 +2,4*1= 27,0.

Y_p(11) = 24,6 +2,4k = 24,6 +2,4*2=29,4.

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости б = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

Где:

m=1 - количество факторов в модели (для линейной модели m=1)

выручка спрос математический

Таблица:

Время t	Шаг k	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10 11	1 2	27,0 29,4	29,5 32,1	24,5 26,7

Т.к. построенная модель адекватна, то можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Размещено на Allbest.ru

...