Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Финансовый консультант фирмы «ABC» консультирует клиента по оптимальному инвестиционному портфелю. Клиент хочет вложить средства (не более 25000$) в два наименования акций крупных предприятий в составе холдинга «Дикси».

Анализируются акции «Дикси -Е» и «Дикси -В». Цены на акции: «Дикси -Е» - 5$ за акцию; «Дикси - В» - 3$ за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести максимум 6000 акций обоих наименований, при этом акций одного из наименований должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «ABC» прибыль от инвестиций в эти две акции в следующем году составит: «Дикси -Е» - 1,1$; «Дикси -В» - 0,9$.

Задача консультанта состоит в том, чтобы выдать клиенту рекомендации по оптимизации прибыли от инвестиций.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим способом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

РЕШЕНИЕ:

Пусть х₁ шт. - количество акций «Дикси-Е»; х₂ шт. - количество акций «Дикси-В», тогда количество приобретаемых акций:

х₁ + х₂ <= 6000

Причем:

х₁<=5000; x₂<=5000.

Вложенные средства должны составить:

5х₁ + 3х₂ <= 25 000$

А максимальная прибыль выразится функцией:

Z = 1,1x₁ + 0,9x₂ max

Получили задачу оптимизации: найти максимальное значение линейной функции:

Z = 1,1x₁ + 0,9x₂ при ограничениях:

х₁ +х₂ <= 6000

5х₁ + 3х₂ <= 25000

Построим многоугольник решений. Для этого в системе координат х₁Ох₂ на плоскости изобразим граничные прямые:

х₁ + х₂ = 6000 (L₁)

110х₁+90х₂=0 (z)

5х₁ + 3x₂ = 25000 (L₂)

Установим, какую полуплоскость определяет каждое неравенство относительно граничной прямой.

	x1	x2
L1	0	6000
	6000	0
L2	0	8333
	5000	0
L3	0	5000
	5000	5000
L4	5000	0
	5000	5000
z	0	0
	900	-1100
	0	0
	5500	4500

В результате имеем пятиугольник АВ СDО.

Построим вектор N = (5500; 4500) и прямую:

1,1х₁ + 0,9х₂ = 0 (Z)

Перемещаем прямую Z параллельно самой себе в направлении вектора N. Из рис. следует, что она выйдет из многогранника решений и станет опорной по отношению к нему в угловой точке С; в точке С линейная функция принимает максимальное значение. Точка С лежит на пересечении прямых L₁ и L₂; для определения ее координат решим систему уравнений:

х₁ + х₂ = 6000

5х₁ + 3x₂ = 25000

Имеем: х₁ = 3500; х₂ = 2500.

Подставляя найденные значения в линейную функцию, получаем Z_max = 1,1*3500+0,9*2500 = 3850+2250 = 6100.

Для того, чтобы обеспечить максимум прибыли (6100 $), необходимо приобрести 3500 акций «Дикси -Е» и 2500 акций «Дикси -В». Если решить эту задачу на минимум, то получим, что вообще ничего не надо приобретать, т.к. функция достигает своего минимального значения в точке (0; 0).

Задача 2

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья, запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья	Нормы расхода на 1 изделие	Запасы сырья
	А	Б	В
I II III	18 6 5	15 4 3	12 8 3	360 192 180
Цена изделия	9	10	16

Требуется:

1) Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

2) Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

3) Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане;

4) На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности: проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

- определить, как изменятся выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида уменьшить на 9 кг;

- оценить целесообразность включения в план изделия Г ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется соответственно 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья:

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через х_j = 1,2,3 - количество выпускаемой продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи по критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции».

Решение проведем в среде EXCEL, получим результат:

Таблица:

x1	x2	x3
0	8	20
9	10	16	400
18	15	12	360	<=	360
6	4	8	192	<=	192
5	3	3	84	<=	180

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом:



Значение целевой функции на этом плане равно: f(X`) = 9*0+10*8+16*20 =400.

Чтобы предприятие имело максимальную выручку от реализации готовой продукции, необходимо выпускать изделия Б - 8 ед. и изделия В- 20 ед., а изделия А не выпускать. Двойственная задача имеет вид:

Для нахождения оценок y_1, y₂, y₃ используем вторую теорему двойственности.

Поскольку третье ограничение в (*) выполняется как строгое неравенство, то у₃=0, а т.к. х₂>0 и х₃>0, то:

15y₁+ 4у₂ + 3y₃ = 10

12y₁+8у₂ +3у₃ =16

Т.е. для получения двойственных оценок имеем систему:

Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:

(Y`) =360*2/9+192*5/3+ 180*0 = 400.

То есть:

f (X`) = (Y`) = 400

По первой теореме двойственности можно утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Нулевое значение переменной х₁ в оптимальном плане говорит о том, что изделия типа А выпускать не нужно, а нулевое значение переменной у₃ = 0 говорит о том, что сырье третьего типа является не дефицитным и его запасы не повлияют на оптимальный план выпуска продукции:

а) увеличение запасов сырья I вида на 1 единицу приведет к росту максимальной стоимости на 0,22 ед. (y₁ =2/9); увеличение запасов сырья II вида на 1 ед. приведет к росту максимальной стоимости на 1,7 ед. (у₂ =5/3), а увеличение запасов сырья III вида на 1 ед. не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую стоимость изделий (у₂= 0).

б) двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными, а какие совсем не дефицитны. В нашем случае недефицитным ресурсом является сырье III вида, т.к. у₃=0. Острее ощущается дефицитность сырья II вида (у₂=5/3) оно более дефицитно, чем сырье I вида (у₁ = 2/9).

в) двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов», заменяемость с точки зрения конечного эффекта. В нашем случае относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением 2/9:5/3 = 2:15.

г) Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида уменьшить на 9 кг:

f (x) = 2 / 9*45 - 5 / 3 * 9 = 10 - 15= - 5.

Т.е. максимальная выручка уменьшится на 5 ед.

д) Определим целесообразность включения в план изделия Г ценой 11 ед., на изготовление которого расходуется 9, 4 и 6 кг соответствующего вида сырья:

Как выгодное расширение ассортимента;

Задача 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

Временной ряд Y(t) этого показателя приведен в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y(t)	12	15	16	19	17	20	24	25	28

Требуется:

1) Проверить наличие аномальных наблюдений.

2) Построить линейную модель:

Y(t) =

Параметры которой оценить МНК (Y(t) - расчетные, временного ряда).

3) Построить адаптивную модель Брауна:

?(k) =

С параметром сглаживания б = 0,4 и б = 0,7; выбрать лучшее значение параметра сглаживания б.

4) Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7 - 3,7).

5) Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

6) По двум построенным моделям осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза считать при доверительной вероятности р = 70%).

7) Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ.

1) Для выявления аномальных уровней временного ряда используем метод Ирвина, который предполагает использование следующей формулы:

Где среднеквадратическое отклонение _у рассчитывается с использованием формул:

Таблица:

	t	Y	|yt-yt-1|	yt-yср	(yt-yср)2	л	лтабл
	1	12		-7,6	57,1
	2	15	3	-4,6	20,8	1,7	>1,5
	3	16	1	-3,6	12,6	0,6	1,5
	4	19	3	-0,6	0,3	1,7	>1,5
	5	17	2	-2,6	6,5	1,1	1,5
	6	20	3	0,4	0,2	1,7	>1,5
	7	24	4	4,4	19,8	2,3	>1,5
	8	25	1	5,4	29,6	0,6	1,5
	9	28	3	8,4	71,3	1,7	>1,5
Сумма	45	176			218,2
Ср.знач	5	19,6			24,2
					3,0
				?	1,7

Вывод: видим, что значения у₂, у₄, у₆, у₇ и у₈ являются аномальными, т.к. все, кроме них, вычисленные значения л меньше критического значения критерия Ирвина: n=10, для уровня значимости 0,05, т.е. с 5%-ной ошибкой, л_табл=1,5.

2) Результаты регрессионного анализа для временного ряда представим в следующих таблицах.

Таблица:

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	10,30556	0,985152	10,46088
t	1,85	0,175066	10,56744

Таблица:

Наблюдение	Предсказанное Y	Остатки
1	12,15556	-0,15556
2	14,00556	0,994444
3	15,85556	0,144444
4	17,70556	1,294444
5	19,55556	-2,55556
6	21,40556	-1,40556
7	23,25556	0,744444
8	25,10556	-0,10556
9	26,95556	1,044444
Сумма	176,0	0,0

Во втором столбце табл. 4.2 содержатся коэффициенты уравнения регрессии и , в третьем столбце - стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости у_t (спроса на кредитные ресурсы финансовой компании) от времени t имеет вид:

Y(t) = 10,3 + 1,9 * t

При вычислении «вручную» получаем те же результаты.

Оценка параметров модели «вручную».

Промежуточные расчеты параметров линейной модели приведем в таблице ниже:

Таблица:

	t	y	t-tср	(t-tср)2	y-yср	(t-tср)(y-yср)
	1	12	-4	16	-7,56	30,2
	2	15	-3	9	-4,56	13,7
	3	16	-2	4	-3,56	7,1
	4	19	-1	1	-0,56	0,6
	5	17	0	0	-2,56	0,0
	6	20	1	1	0,44	0,4
	7	24	2	4	4,44	8,9
	8	25	3	9	5,44	16,3
	9	28	4	16	8,44	33,8
сумма	45	176	0	60	0,0	111
среднее	5	19,6				1,9



19,6- 1,9*5 = 10,3.

Оценка качества построенной модели:

Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.

В нашем случае = 0, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, например, с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно:

d`= 4 - 2,03=1,97 - попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности.

Т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Таблица:

Остатки	еt-еt-1	(еt-еt-1)2	е2
1,0	1,2	1,3	1,0
0,1	-0,9	0,7	0,0
1,3	1,2	1,3	1,7
-2,6	-3,9	14,8	6,5
-1,4	1,2	1,3	2,0
0,7	2,2	4,6	0,6
-0,1	-0,8	0,7	0,0
1,0	1,2	1,3	1,1
0,00	1,2	26,2	12,9

Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек: в случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:

При N=9 в правой части неравенства имеем: [2*(9-2)/3-2v(16*9-29)/90] = [2,7] = 2. Здесь р = 6; 6>2 - неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS= [е_max - е_min] : S_е = [1,3+2,6] : 1,3 = 3,0

Для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7)), 3,0 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех).

Средняя относительная ошибка:

4,9%

Т.к. 4,9% < 15%, то точность модели считается приемлемой.

5. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели (для вероятности 70% использовать t = 1,12):

Y_p(10) = = 10,3 + 1,9*10 = 29,3

Y_p(11) = = 10,3 + 1,9*11= 31,2

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал.

Примем значение уровня значимости б = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 7 равен 1,12.

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:



Где:

1,4

m=1 - количество факторов в модели (для линейной модели m=1).

Таблица:

п + к	U(k)	Прогноз	Формула	Верхняя граница	Нижняя граница
10 11	U(l) = 1,9 U(2) = 2,1	29,3 31,2	Прогноз + U(1) Прогноз - U (2)	31,2 33,3	27,4 29,1

Т.к. построенная модель адекватна.

Исходя из этого, можно утверждать следующие:

При сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Для этого следует преобразовать график подбора, который был получен с помощью инструмента Регрессия:

Рисунок:

Рисунок:

Результаты моделирования и прогнозирования.

Построим адаптивную модель Брауна.

Расчетное значение в момент времени получается по формуле:

Где: k - количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).

Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза:

Е(t) = Y(t) - Y_p(t)

Используется для корректировки модели.

Корректировка параметров осуществляется по формулам:

Где: в - коэффициент дисконтирования данных, отражающих большую степень доверия к более поздним данным.

Процесс модификации модели (t = 1, 2,…,N) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития.

Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t=N).

Начальные оценки параметров получим по первым пяти точкам при помощи МНК.

Таблица:

t	Y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y(t)-Yср	(t-tср)(Y(t)-Yср)
1	12	-2	4	-3,8	7,6
2	15	-1	1	-0,8	0,8
3	16	0	0	0,2	0
4	19	1	1	3,2	3,2
5	17	2	4	1,2	2,4
Сумма = 15	79	0	10	0,00	14
СРзнач = 3	15,8

Используя эти результаты, получим:

14 : 10 = 1,4;

15,8 - 1,4*3 = 11,6.

Возьмем k = 1 и б = 0,4, в = 1 - б = 0,6.

Подробно покажем расчет на первых двух шагах, а остальные отразим в таблице.

t = 1 11,6 + 1,4*1 = 13,0;

Е(1) = Y(1) - Y_p(1) = 12 - 13 = -1;

13,0 - 1*0,64 = 12,4;

1,4 - 1*0,16 = 1,2.

2 12,4 + 1,2*1 = 13,6;

Е(2) = Y(2) - Y_p(2) = 15 - 13,6 = 1,4;

13,6 +1,4*0,64 = 14,5;

1,2 +1,4*0,16 = 1,4 и т. д.

Таблица - Оценка параметров модели:

б=0,4
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		11,6	1,4
1	12	12,4	1,2	13,0	-1,0	1,0
2	15	14,5	1,5	13,6	1,4	2,0
3	16	16,0	1,5	16,0	0,0	0,0
4	19	18,4	1,7	17,5	1,5	2,4
5	17	18,1	1,2	20,2	-3,2	10,0
6	20	19,8	1,3	19,3	0,7	0,4
7	24	22,9	1,8	21,1	2,9	8,5
8	25	24,9	1,8	24,7	0,3	0,1
9	28	27,5	2,0	26,7	1,3	1,6
Сумма	176			172,1	3,9	25,97
a=0,7
t	Факт Y(t)	a0(t)	a1(t)	Расчет Yp(t)	E(t)	E2(t)
0		11,6	1,4			0
1	12	12,1	1,3	13,0	-1,0	1,0
2	15	14,9	1,5	13,4	1,6	2,6
3	16	16,0	1,4	16,3	-0,3	0,1
4	19	18,9	1,6	17,5	1,5	2,4
5	17	17,3	1,3	20,4	-3,4	11,7
6	20	19,9	1,4	18,6	1,4	2,1
7	24	23,8	1,6	21,3	2,7	7,5
8	25	25,0	1,6	25,4	-0,4	0,1
9	28	27,9	1,7	26,6	1,4	1,9
сумма	176,0			172,4		29,39

Так как:

?Е²(t) (б = 0,4) < ?E²(t) (б = 0,7)

На последнем шаге получена модель:

Y_p (N+k) = 27,5 +2,0k

Оценка качества построенной модели.

Для этого исследуем адекватность модели. Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда близко или равно нулю и если значения остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.

Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю выполним с использованием t-критерия Стьюдента:

Где:

t < t_табл, поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

При проверке независимости (отсутствие автокорреляции) определяется отсутствие в ряду остатков систематической составляющей, с помощью d-критерия Дарбина-Уотсона по формуле. Численное значение коэффициента равно:

d`= 4 - 2,3=1,7 - попадает в интервал от d₂ до 2 (для линейной модели при 10 наблюдениях можно взять в качестве критических табличных уровней величины d₁ = 1,08, d₂ = 1,36), значит, гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается и модель адекватна по данному признаку.

Таблица:

Остатки	еt-еt-1	(еt-еt-1)2	е2	Eотн
-1,0			1,0	8,3
1,4	2,4	5,8	2,0	9,3
0,0	-1,4	1,8	0,0	0,2
1,5	1,5	2,3	2,4	8,1
-3,2	-4,7	22,1	10,0	18,6
0,7	3,8	14,5	0,4	3,3
2,9	2,3	5,1	8,5	12,2
0,3	-2,7	7,0	0,1	1,1
1,3	1,0	1,0	1,6	4,5
3,9	2,3	59,7	26,0	65,7
				7,3

Проверка случайности уровней ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат: р = 6; 6>2 - неравенство выполняется, следовательно, свойство случайности выполняется.

Рисунок:

Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS-критерия:

RS= [е_max - е_min]:S_е = [2,9+3,2]: 1,8 = 3,4

Для N=10 и 5%-го уровня значимости границы критерия (2,7 - 3,7)), 3,4 попадает в указанный интервал, следовательно, свойство нормальности распределения выполняется.

Вывод: модель статистически адекватна (выполняются все условия из четырех).

Средняя относительная ошибка:

%

Т.к. 7,3% < 15%, то точность модели считается приемлемой. Построим точечный и интервальный прогнозы спроса на следующие две недели:

Y_p(10) = 27,5 +2,0 * k = 27,5 + 2*1 = 29,5

Y_p(11) = 27,5 +2,0 * k = 31,5

Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал. Примем значение уровня значимости б = 0,3 следовательно, доверительная вероятность равна 70%, а критерий Стьюдента при v = п - 2 = 7 равен 1,12. Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

Где:

m=1 - количество факторов в модели (для линейной модели m=1):

,

.

Таблица:

Время t	Шаг k	Прогноз	Верхняя граница	Нижняя граница
10 11	1 2	29,5 31,5	32,2 34,4	26,8 28,6

математический инвестиция линейный

Т.к. построенная модель адекватна, то можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития, прогнозируемая величина попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.

Отобразим на графике фактические данные, результаты расчетов и прогнозирования.

Размещено на Allbest.ru

...