Экономико-математические методы и прикладные модели

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Задача № 1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Задача № 2

Задача № 3

Задача № 4

Список литературы

Задача № 1. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса

Межотраслевой баланс (МОБ, метод «затраты-выпуск») -- экономико-математическая балансовая модель, характеризующая межотраслевые производственные взаимосвязи в экономике страны. Характеризует связи между выпуском продукции в одной отрасли и затратами, расходованием продукции всех участвующих отраслей, необходимым для обеспечения этого выпуска. Межотраслевой баланс составляется в денежной и натуральной формах.

Различают отчетный и плановый межотраслевые балансы. Отчетный баланс отражает структуру производства и потребления продукции, произведенной за отчетный год. Плановый отчет предназначен для планирования производства валового внутреннего продукта.

Межотраслевой баланс представлен в виде системы линейных уравнений. Межотраслевой баланс (МОБ) представляет собой таблицу, в которой отражен процесс формирования и использования совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе. Таблица показывает структуру затрат на производство каждого продукта и структуру его распределения в экономике. По столбцам отражается стоимостный состав валового выпуска отраслей экономики по элементам промежуточного потребления и добавленной стоимости. По строкам отражаются направления использования ресурсов каждой отрасли.

В межотраслевом балансе расположены три квадранта. В первом отражается промежуточное потребление и система производственных связей, во втором - структура конечного использования ВВП, в третьем - стоимостная структура ВВП.

Теоретические основы межотраслевого баланса были разработаны в СССР в 1923--1924 гг.

Автором современной модели межотраслевого баланса является В.В. Леонтьев. В 1973 г. В. Леонтьев был удостоен премии памяти Альфреда Нобеля по экономике «за развитие метода «затраты - выпуск» и его применение к важным экономическим проблемам». Предложенная теория сводилась к системе линейных уравнений, в которых параметрами были коэффициенты затрат на производство продукции. [1]

Балансовый метод применяется для анализа, нормирования, прогноза, планирования производства и распределения продукции на различных уровнях - от отдельно предприятия до народного хозяйства в целом. Характерные черты и особенности этого метода описываются с помощью матричных моделей баланса. К этим моделям относят межотраслевые балансы районов республик и народного хозяйства в целом, межпродуктовые балансы в натуральном выражении, матричные модели трудоемкости и фондоемкости продукции, модели промфинплана предприятий. Все эти модели построены по единой матричной схеме, которую удобнее всего рассмотреть на примере межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве.

В модели межотраслевого баланса предполагается, что народное хозяйство состоит из множества отраслей, каждая из которых производит преимущественно один какой-либо продукт или оказывает определенные услуги. В процессе производства одна отрасль использует продукцию другой отрасли (сырье, материалы, оборудование, топливо, энергию, услуги) и между ними неизбежно возникают взаимные потоки товаров и услуг. Сложившаяся в соответствии с потребностями отраслей структура потоков товаров и услуг отражается в математической модели межотраслевого баланса системой уравнений следующего вида:

х1 = х11 + х12 + … + х1n + 0у1;

х2 = х21 + х22 + … + х2n + у2;

……………………………………

хn = хn1 + хn2 + … + хnn + уn.(1)

Различают два вида баланса:

стоимостной - по отраслям производства;

натуральный - по видам продукции в натуральном выражении.

В стоимостном балансе переменные х1, х2, …, хn означают объемы валовой продукции первой, второй, …, n-ой отрасли, xij - объемы затрат i-й отрасли на производство продукции j-й отрасли, уi - конечный продукт, который не поступает в сферу текущего производственного потребления, а идет на конечное потребление (в личное и общественное, на накопление, экспорт, возмещение потерь и т.д.). Систему (1), которую учитывает структуру сложившихся взаимных затрат отраслей, можно назвать «экономической картой» народного хозяйства.

В натуральном балансе переменные х1, х2, …, хn означают объемы n видов производственных продуктов в натуральных единицах (автомобилей в штуках, угля в тоннах и т.д.). Величина xij означает объем потребления продукта I при производстве продукта j (угля при производстве автомобилей, электроэнергии при добыче угля и т.д.), а величина уi - конечный продукт - ту часть продукции, которая не используется в производственном потреблении. Например, для производства сахара в необходимом объеме хi требуется предусмотреть объемы его расходов xij в кондитерской и молочной, промышленности, расходы на производство безалкогольных напитков, винодельческое, плодоовощное и консервное производства, а также необходимо удовлетворить спрос населения на сахар как конечный продукт личного потребления.

В матричной форме системы уравнений (1) межотраслевой стоимостной и межпродуктовый натуральный балансы имеют одинаковое выражение. В том и другом случае общий объем продукции хi разделяется на объем производственного потребления - промежуточный продукт хi1, хi2, …, хin и объем непроизводственного потребления - конечный продукт уi, причем удельный вес их для разных отраслей стоимостного баланса и различных продуктов натурального баланса неодинаков.

Однако стоимостной баланс в отличие от натурального наряду с уравнениями

xj =

в форме распределения продукции допускается построение уравнений в форме потребления продукции

(2)

где - материальные затраты j-й потребляющей отрасли;

Vj + mj - ее чистая продукция;

Vj - сумма оплаты труда;

mj - чистый доход - прибыль.

Сделаем преобразование системы уравнений (1) - каждое из слагаемых xij разделим и умножим на xj и обозначим

……………………………………………………………………

; (3)

Это преобразование системы (1) приводит ее к обычной математической форме системы n линейных уравнений с n неизвестными х1, х2, …, хn (или у1, у2, …, уn) при заданных значениях коэффициентов аij и величин у1, у2, …, уn (или х1, х2, …, хn).

Коэффициенты

называются коэффициентами прямых затрат. Для всех отраслей их задают в виде матрицы:

(4)

Коэффициенты прямых затрат в натуральном балансе означают технологические нормы расхода продукта i на производство единицы продукта j (например, расход сахара на банку плодово-ягодных консервов или на килограмм мороженного, киловатт-часов электроэнергии и тонн угля на один автомобиль и т.д.). в стоимостном балансе коэффициенты аij означают затраты отрасли I на каждый рубль валовой продукции отрасли j.

В модели межотраслевого баланса коэффициенты прямых затрат аij предполагаются постоянными. Это предположение позволяет с помощью уравнений (3) перейти от изучения и анализа сложившихся хозяйственных взаимосвязей к прогнозу пропорционального развития отраслей и планированию темпов их роста.

В системе уравнений (3) все неизвестные х1, х2, …, хn перенесем в левую часть уравнения ми получим новую фору записи системы уравнений межотраслевого баланса:

 (5)

Модель межотраслевого баланса (5) имеет простую матричную форму записи (Е - А) Х = У и позволяет решить следующие задачи:

1) определить конечный объем конечной продукции отраслей у1, у2, …, уn по заданным объемам валовой продукции у1, у2, …, уn (в матричной форме У = (Е - А) Х);

2) по заданной матрице коэффициентов прямых затрат А определить матрицу коэффициентов полных затрат Р, элементы которой служат важными показателями для планирования развития отраслей (в матричной форме Р = (Е - А)-1);

3) определить объемы валовой продукции отраслей х1, х2, …, хn по заданным объемам конечной продукции у1, у2, …, уn (в матричной форме Х = (Е - А)-1 У = Р У);

4) по заданным объемам конечной или валовой продукции отраслей х1, х2, …, хn определить оставшиеся n объемов.

В первой задаче планируется валовой выпуск продукции, а конечная продукция является производным показателем. Такой подход легче осуществить на практике, но он может привести к нерациональной структуре национального дохода и диспропорциям в развитии отдельных отраслей третья задача предлагает более прогрессивный принцип планирования - от национального дохода. Однако рассчитанные уровни валовой продукции для одних отраслей могут оказаться завышенными и ресурсно-необеспеченными, а для других - заниженными, не загружающими даже действующие производственные мощности. Четвертая задача в определенной степени отражает существую практику планирования.

Для того чтобы матрица коэффициентов прямых материальных затрат А была продуктивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

матрица (Е - А) неотрицательно обратима, т.е. существует обратная матрица (Е - А)-1 0;

матричный ряд

Е + А + А2 + А3 +….=

сходится, причем его сумма равна обратной матрице (Е - А)-1;

наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение характеристического уравнения

,

строго меньше единицы;

все главные миноры матрицы (Е - А), т.е. определители матриц, образованные элементами первых строк столбцов этой матрицы, порядка от 1 до n, положительны.

Более простым способом проверки продуктивности матрицы А является ограничение на величину ее нормы. Если норма матрицы А строго меньше единицы, то эта матрица продуктивна. Данное условие является достаточным, но не необходимым условием продуктивной.

Пример.

Рассмотрим 2 отрасли промышленности: производство угля и стали. Уголь требуется для производства стали, а некоторое количество стали -- в виде инструментов -- нужно для добычи угля. Предположим, что условия таковы: для производства 1 т стали нужно 3 т угля, а для 1 т угля -- 0,1 т стали.



Отрасль	Уголь	Сталь
Уголь	1	3
Сталь	0.1	1

Мы хотим, чтобы чистый выпуск угольной промышленности был 200000 т угля, а чёрной металлургии - 50 000 т стали. Если каждая из них будет производить лишь 200000 и 50000 т, то часть продукции будет использоваться в другой отрасли.

Для производства 50 000 т стали требуется 3*50 000 = 150 000 т угля, а для производства 200 000 т угля нужно 0,1 * 200 000 = 20 000 т стали. Чистый выход будет равен: 200 000 - 150 000 = 50 000 т угля и

50 000 - 20 000 = 30 000 т стали.

Нужно дополнительно производить уголь и сталь, чтобы использовать их в другой отрасли.

x1 -- количество угля, x2 -- количество стали.

Валовый выпуск каждой продукции найдем из системы уравнений:

500 000 т угля и 100 000 т стали.

Для систематического решения задач расчета межотраслевого баланса находят, сколько угля и стали требуется для выпуска 1 т каждого продукта.

x1 = 1,42857 и x2 = 0,14286.

Чтобы найти, сколько угля и стали нужно для чистого выпуска 200000 т угля, нужно умножить эти цифры на 200000.

1,42857 * 200 000 = 285 714; 0,14286 * 200 000 = 28 572.

Аналогично составляем уравнения для получения количества угля и стали для выпуска 1 т стали:

x1 = 4,28571 и x2 = 1,42857

Для чистого выпуска 50 000 т стали нужно:4,28571 * 50 000 = 214 286; 1,42857 * 50 000 = 71 428).

Валовый выпуск для производства 200 000 т угля и 50 000 т стали:

285 714 + 214 286 = 500000

28 572 + 71 428 = 100000.

Задача № 2.

Завод -- производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей -- Х и Y. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для производства одной детали типа X требуется 1 чел.-ч, а для производства одной детали типа Y--2 чел.-ч. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа X и 1750 деталей типа Y в неделю. Каждая деталь типа X требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла, а для производства одной детали типа Y необходимо 5 кг металлических стержней и 2 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10 000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа X своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа X составляет 30 ден. ед., а от производства одной детали типа Y-- 40 ден. ед.?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Введем следующие переменные:

Х1 - количество производимых деталей в неделю типа Х;

Х2 - количество производимых деталей в неделю типа Y.

Цена одной детали типа Х составляет 30 ден. ед., цена одной детали типа Y- 40 ден. ед. Необходимо максимизировать целевую функцию.

Целевая функция:

f(x1, x2) = 30 x1 + 40 x2 > max

Функциональные ограничения:

Х1 + 2Х2 ? 4000;

Х1 + Х2 ? 1500;

2Х1 + 5Х2 ? 10000;

5Х1 + 2Х2 ? 10000;

Х1 ? 600;

Х ? 2250;

Х ? 1750.

Прямые ограничения:

X1, X2 ? 0

X1, X2 - целые, т.к. искомые числа - количество деталей.

1) Построим многоугольник допустимых решений, которая определяется функциональными и прямыми ограничениями.

Для этого рассмотрим уравнения функциональных ограничений:

Х1 + 2Х2 = 4000;

Если Х= 0, то 2Х= 4000

Х= 2000.

Точка: (0; 2000).

Если Х= 0, то Х= 4000.

Точка: (4000;0).

Х1 + Х2 = 1500;

Если Х= 0, то Х= 1500

Точка: (0; 1500).

Если Х= 0, то Х= 1500.

Точка: (1500; 0).

2Х1 + 5Х2 = 10000;

Если Х= 0, то 5Х= 10000

Х= 5000.

Точка: (0; 5000).

Если Х= 0, то 2Х= 10000.

Точка: (4000; 0).

5Х1 + 2Х2 = 10000;

Если Х= 0, то 2Х= 10000

Х= 5000.

Точка: (0;5000).

Если Х= 0, то 5Х= 10000.

Х1= 2000.

Точка: (2000;0).

Х1 = 600, то точка: (600; 0).

Х = 2250, то точка: (2250; 0).

Х = 1750, то точка: (0; 1750).

2) Построим вектор - градиент. Искомые точки для этого: (0;0), (3000;4000).

3) Построим линию уровня целевой функции: 30х+40 х= b,

где b - любое число, а линия перпендикулярна вектору-градиенту.

4) поскольку необходимо найти максимум целевой функции, то необходимо сдвинуть линию уровня ц.ф. по направлению вектора-градиента, до крайней точки области допустимых решений.

Т.о., координаты последней вершины ОДР (точка А) - на пересечении двух прямых:

Х1 + 2Х2 ? 4000 и 5Х1 + 2Х2 ? 10000;

Найдем координаты, для этого решим уравнения



Х1=1500; Х2=1250.

Таким образом, т. А (1500; 1250)

Подставляем полученные значения в целевую функцию:

f(x1,x2) = 30 * 1500 + 40 * 1250 = 95000 (ден. ед.)

Если решать задачу на минимум, то необходимо сдвигать линию уровня целевой функции противоположно направлению вектора-градиента. Тогда точка В пересечения линий уравнений

х+ х = 1500 и х=0

будет иметь координаты (1500;0). Т.е., при производстве только 1500 деталей Х в неделю прибыль будет минимальной. В таком случае задача будет иметь только расчетный характер, т.к. экономического смыла она не имеет.

Ответ: Доход от реализации продукции будет максимальным, т.е. 95000 ден. ед., если производить 1500 деталей в неделю типа Х и 1250 деталей в неделю типа Y.

Задача № 3

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Y	20	27	30	41	45	51	51	55	61

Требуется:

1) проверить наличие аномальных наблюдений;

2) построить линейную модель

(t) = a0+a1t

параметры которой оценить МНК ((t)-- расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7);

4) оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой.

Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

Проверим наличие аномальных наблюдений.

Для выявления аномальных наблюдений используем метод Ирвина.

t	Yt	Yt-	лt
1	20	497,29	0,5
2	27	234,09	0,2
3	30	151,29	0,8
4	41	1,69	0,3
5	45	7,29	0,4
6	51	75,69	0
7	51	75,69	0,3
8	55	161,29	0,4
9	61	349,69	0,5
сумма		1554

Аномальных явлений нет, так как расчетные значения л t меньше табличного л t = 1,5.

Построим линейную модель вида

(t) = a0 + a1t по методу наименьших квадратов.

(t) = a0 + a1t, где a0 и a1 - параметры модели,

t - количество наблюдений.



Переменные	Коэффициенты
Y-пересечение	17,33333333
t	5

Линейная модель имеет вид:

(t) = 17,3 + 5t

Линейная модель и спрос на кредитные ресурсы за 9 дней.



Оценим адекватность построенной модели.

Проверка адекватности модели реальному явлению важным этапом прогнозирования социально-экономических процессов.

Проверим свойство независимости остаточной компоненты.

Проверка проводится по критерию Дарбина - Уотсона.

t	Yt	t	Et	Et - Et-1
1	20	22,3	-2,3
2	27	27,3	-0,3	2
3	30	32,3	-2,3	2
4	41	37,3	3,7	6
5	45	42,3	2,7	-1
6	51	47,3	3,7	1
7	51	52,3	-1,3	-5
8	55	57,3	-2,3	-1
9	61	62,3	-1,3	1
суммакв			54,01	73

Et = Yt - t

d1 = 1,08 d2 = 1,36

d1 < dw < d2,

область неопределенна. Необходимо рассчитать коэффициент автокорреляции 1 порядка

rтабл(1) = 0,36

|r(1)| < rтабл(1) - следовательно, автокорреляция отсутствует, уровни ряда независимы, модель по данному признаку адекватна.

Проверим случайность уровней ряда остатков.

Проверка основывается но методе «пиков». Уровень ряда считается пиком, если он одновременно больше (меньше) двух соседних уравнений ряда. Фактическое число пиков сравнивается с расчетным.

Уровни рядов остатка случайны (модель адекватна)

Проверим соответствия нормальному закону распределения.

Определим при помощи RS - критерия.

RS = (Emax - Emin)/S

Где Emax - максимальный уровень ряда остатков;

Emin - минимальный уровень ряда остатков;

S - среднеквадратическое отклонение;

Emax = 3,7, Emin = 2,3



S =

RS = (3,7 + 2,3) / 2,6 = 2,31

Расчетное значение не попадает в интервал (2,7 - 3,7) следовательно не выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию не адекватна.

Построенная модель не вполне адекватна (т.к. не выполняется соответствие ряда остатков нормальному закону распределения).

Оценим точность построенной модели.

Оценку будем проводить на основе относительной ошибки аппроксимации.

Регрессионная статистика
Множественный R	0,982471865
R-квадрат	0,965250965
Нормированный R-квадрат	0,960286817
Стандартная ошибка	2,777460299
Наблюдения	9

Средняя относительная ошибка аппроксимации = 2,78% < 5%.

Следовательно модель достаточно точна.

Строим прогноз по построенным моделям. (Доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%).

Вычислим точечный прогноз на два шага вперед. Подставим в полученную модель будущие моменты времени (10 и 11)

Y10 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*10 = 67,3 (млн. руб)

Y11 = a0 + a1*t = 17,3 + 5*11 = 72,3 (млн. руб)

Вычислим интервальный прогноз.

Доверительный интервал:

Критерий Стьюдента (при доверительной вероятности р = 0,7; н = n - 2 = =9 - 2=7), равен: t= 1,12

Ширину доверительного интервала вычислим по формуле:

,

где Se = 2,8; tб = 1,12;

Вычисляем верхнюю границу прогноза.

Y10 + U(10) = 67,3 + 4, 80 = 72,1

Y11 + U(11) = 72,3 + 5, 36 = 77,66

Вычисляем нижнюю границу прогноза.

Y10 - U(10) = 67,3 - 4,80 = 62,5

Y11 - U(11) = 72,3 - 5,36 = 66,94

Показатель	Ширина доверительного интервала	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
			Нижняя граница	Верхняя граница
10	4,80	67,3	62,5	72,1
11	5,36	72,3	66,94	77,66

Представим графически результаты моделирования и прогнозирования для этого составим таблицу:

Прогноз спроса на две недели вперед.

Задача № 4

При строительстве участка автодороги длиной 5000 м используют гравий, расход которого составляет 120 кг/м. Сроки строительства составляют 150 дней. Работа идет в одну смену. Расход гравия равномерный. Гравий доставляется грузовыми машинами, емкостью 8 т, в течение 8 часов. Затраты на один рейс грузовика равны 1000 руб. Затраты на хранение гравия на месте строительства составляют 150 руб. в сутки за тонну.

Определить: оптимальный объем заказа; количество грузовых машин, используемых для доставки; период поставок; точку заказа; совокупные затраты на заказ и хранение за всю стройку. Постройте график двух последних циклов изменения запаса гравия на месте строительства.Дано:

T = 150 дней;

М = 0,120 т/м · 5000 м / 150 дн. = 4 т/день;

h = 150 руб./т в сутки;

K = 1000 руб./рейс;

t = 8 ч = 0,33 дня;

Емкость грузовика - 8 т.

Определить: Qопт, период поставок, Z150(Q), точку заказа, построить графики двух последних циклов изменения запаса.

Решение:

Количество автомобилей, необходимых для доставки гравия:

,

т.е. для доставки необходим один грузовой автомобиль.

Совокупные издержки на заказ и хранение за сутки:

Совокупные издержки за 150 дней:

Z150(Q) = Z1(Q) · 150 = 1095,5 · 150 = 164 325 руб.

Частота поставок (количество поставок за весь период строительства):

0,55 зак./день * 150 дн.= 82,5 ? 83 поставки.

Периодичность поставок (интервал между поставками):



межотраслевый баланс математическая линейная модель

т.е. один автомобиль приходит каждые два дня.

Точка заказа:

Каждый раз, когда на стройке остается 1,32 т гравия, делается новый заказ на 7,3 т.

График двух последних циклов изменения запаса гравия построим по таблице:

t, дни	Запасы	Пояснения
0	7,3	Номер поставки 76
1,658	1,32	Точка заказа
2	0	Прибытие машины
2	7,3	Номер поставки 77
3,658	1,32	Точка заказа
4	0	Прибытие машины

Список литературы

Орлов И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004 г.

Орлов И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: учеб. пособие. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2010 г.

Размещено на Allbest.ru

...