Распределение ресурсов и капитала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача о выборе портфеля ценных бумаг

Брокеру биржи клиент поручил разместить 100 000 долл. США на фондовом рынке. Необходимо сформировать такой портфель с ценными бумагами, чтобы получить максимальные проценты с вложенного капитала. Выбор ограничен четырьмя возможными объектами инвестиций - акций A, B, C, D, которые позволяют получить доход соответственно в процентах 8, 7, 12, 9 годовых от вложенной суммы.

При этом клиент поручил не менее 50% инвестиций вложить в акции A и B. С целью обеспечения ликвидности не менее 25% общей суммы капитала нужно поместить в акции D. Учитывая прогноз на изменение ситуации в будущем, в акции C можно вложить не более 25% капитала. Специфика налогообложения указывает на необходимость вложений в акции не менее 30% капитала.

Определить распределение инвестиций капитала, обеспечивающее максимальный годовой доход.

Решение.

Вычислим сначала ограничения:

Инвестиции в акции А и В = 100000 * 0.5 = 50000;

Инвестиции в D = 100000 * 0.25 = 25000;

Инвестиции в С = 100000 * 0.25 = 25000;

Инвестиции в А = 100000 * 0.3 = 30000.

В связи с этими ограничениями установим следующие суммы вкладов:

А=30000, В=50000-30000=20000, С=25000, D=25000.

Рассчитаем доход от вложений:

А=30000*8%=2400;

В=20000*7%=1400;

С=25000*12%=3000;

D=25000*9%=2250.

Суммарный доход от всех вложений составит

2400+1400+3000+2250=9050.

2. Задача на оптимальное распределение ресурсов

Торговое предприятие для продажи товаров вида А, Б, В использует ресурсы: торговая площадь (общий объем 80 м²), время младшего торгового персонала (общий объем 390 человеко-часов), время старшего торгового персонала (общий объем 140 человеко-часов). Затраты на продажу одной партии товаров вида А составляют 0.3м², 0.5 человеко-часов младшего торгового персонала, 0.3 человеко-часов старшего торгового персонала. Для Б и В эти числа соответственно 0.2, 0.8, 0.2 и 0.4, 0.6, 0.6. Прибыль от реализации одной партии товаров А, Б, В равна 5, 9, 8, соответственно. Когда прибыль максимальна?

Решение

Построим математическую модель задачи. Сначала введем переменные. Посредством x_j обозначим искомый объем выпуска продукции j-го вида. Математическую модель можно теперь записать в следующей форме:

max(80x₁+390x₂+140x₃)

0.3x₁+0.5x₂+0.3x₃=5;

0.2x₁+0.8x₂+0.2x₃=9;

0.4x₁+0.6x₂+0.6x₃=8;

x₁?0, x₂?0, x₃?0.

Перепишем систему уравнений в матричном виде и решим его методом Гаусса

1-ую строку делим на 0.3

от 2; 3 строк отнимаем 1 строку, умноженную соответственно на 0.2; 0.4

2-ую строку делим на 7/15

от 1; 3 строк отнимаем 2 строку, умноженную соответственно на 5/3; -1/15

3-ую строку делим на 0.2

от 1 строк отнимаем 3 строку, умноженную соответственно на 1

Ответ:

То есть прибыль будет максимальна, когда объем выпускаемого товара А=100/7, В=85/7, С=75/7.

3. Транспортная задача

Есть три поставщика с мощностями 20, 25, 20 и пять потребителей (их спрос 19, 10, 12, 11, 13) некоторого груза. Стоимость поставки единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю задается матрицей

8 7 1 2 4

1 6 7 2 2

7 3 2 1 4

Найти планы перевозок с минимальной (оптимальной) и максимальной стоимостями. Оценить максимальную экономию оптимального плана.

Решение

1) Создаю таблицу(матрицу) тарифов:

Поставщики (A1=20; A2=25; A3=20)

Потребители (B1=19; B2=10; B3=12; B4=11; B5=13)

Следуя данной модели можно найти опорный план и решение поставленной задачи.

2) Нахождение первоначального плана

Математическая модель транспортной задачи:

при условиях:

Проверим необходимое и достаточное условие разрешимости задачи.

(суммарная мощность поставщиков)

(суммарный спрос потребителей)

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям.

3) Используя метод северо-западного угла, строю первый опорный план транспортной задачи:

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Затраты на распределение товаров:

F(x) = 8*19 + 7*1 + 6*9 + 7*12 + 2*4 + 1*7 + 4*13 = 364

4) Проверка опорного плана

Проверяю оптимальность опорного плана. Нахожу предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

5) Используя метод наименьшей стоимости, строю второй опорный план транспортной задачи:

Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Затраты на распределение товаров:

F(x) = 1*19 + 7*1 + 3*9 + 1*12 + 1*11 + 4*7 + 2*6 = 116

6) Проверка опорного плана

Проверяю оптимальность опорного плана. Нахожу предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

инвестиция ресурс капитал

Опорный план не является оптимальным, так как существуют оценки свободных клеток, для которых u_i + v_i > c_ij

7) Метод потенциалов

Для создания оптимального плана надо найти опорный план методом северо-западного угла и методом наименьшей стоимости, и из них выбрать метод при котором затраты на распределения товаров минимальны.

Для данной задачи минимальным является метод наименьшей стоимости (F(x) = 116).

8) Алгоритм улучшение плана:

a. При не выполнении второго условия в клетку заносим нарушение со знаком плюс. Такие клетки называются потенциальными.

b. Среди всех потенциальных клеток выбираем клетку с наибольшим нарушением.

c. Строим для выбранной клетки замкнутый контур, состоящий из вертикальных и горизонтальных отрезков прямой, причем вершины контура лежат в занятых клетках. За исключением той клетки, для которой строится контур

d. Вершины контура поочерёдно помечаем знаками плюс и минус, начиная с клетки, для которой строится контур.

e. Среди клеток помеченных знаком минус выбираем наименьшею перевозку и на эту величину увеличиваем перевозку в клетках помеченных знаком плюс и уменьшаем в клетках помеченных знаком минус в результатах переназначения освобождается одна клетка.

9) Улучшаю план метода наименьшей стоимости:

Выбираем максимальную оценку свободной клетки (A1; B4): 2

Для этого в перспективную клетку (A1; B4) поставим знак «+», а в остальных вершинах многоугольника чередующиеся знаки «-», «+», «-».

Цикл приведен в таблице (A1, B4; A1, B2; A3, B2; A3, B4;).

Из грузов х_ij стоящих в минусовых клетках, выбираем наименьшее, т.е. у = min (1, 2) = 1. Прибавляем 1 к объемам грузов, стоящих в плюсовых клетках и вычитаем 1 из Х_ij, стоящих в минусовых клетках. В результате получим новый опорный план.

10) Проверка опорного плана

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы u_i, v_i. по занятым клеткам таблицы, в которых u_i + v_i = c_ij, полагая, что u₁ = 0.

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию u_i + v_i <= c_ij.

Минимальные затраты составляют:

F(x) = 1*12 + 2*1 + 4*7 + 1*19 + 2*6 + 3*10 + 1*10 = 113

Максимальные затраты составляют (метод северо-западного угла):

F(x) = 8*19 + 7*1 + 6*9 + 7*12 + 2*4 + 1*7 + 4*13 = 364

Ответ: Максимальная экономия оптимального плана равна F(x) = 364-113 = 251

Размещено на Allbest.ru