Задание 1. По данным об объеме строительно-монтажных работ, выполненных собственными силами, и численности работающих в 10 строительных компаниях одного из городов РФ, определить зависимость между этими признаками с помощью коэффициента Кендалла (15 баллов)

Решение.

Определим сначала ранги элементов этой выборки:

Проведем вычисления:

Коэффициент ф вычисляется по одной из эквивалентных формул:

Вычисления для коэффициента ф осуществим в соответствии с УМК.

При проведения вычисления Q = 13, таким образом применяя выше указанную формулу ф = 0,43

Значимость коэффициента ранговой корреляции Кендэла при n ?10 проверяется при помощи статистики:

При проведении вычисления получается 1,7310 коэффициент корреляции Кендэла является значимым.

Задание 2. Рейтинг девяти банков был оценен тремя экспертами. С помощью коэффициента ранговой корреляции Спирмена найти пары экспертов, оценки которых наиболее близко соответствуют друг другу. Оценить значимость различий в оценке рейтинга банков экспертами. Данные о рейтингах приведены в следующей таблице. (20 баллов)

Решение. Коэффициентом ранговой корреляции Спирмена называется величина

Для нахождения коэффициента корреляции Спирмена определим разности рангов, их квадраты и суммы:

1. Определим степень согласованности мнений первого и второго экcперта. Пусть оценки эксперта 1 - R₁, оценки эксперта 2 - R₂

2. Определим степень согласованности мнений первого и третьего экcперта. Пусть оценки эксперта 1 - R₁, оценки эксперта 3 - R₂

экономический математический корреляция коэффициент

3. Определим степень согласованности мнений второго и третьего экcперта.

Пусть оценки эксперта 2 - R₁, оценки эксперта 3 - R₂

Таким образом, согласно коэффициента ранговой корреляции Спирмена наиболее близко соответствуют друг другу оценки первого и третьего эксперта.

Для оценки значимости различий используют используем статистику t-Стьюдента с н = n ? 2 степенями свободы:

t₁= 2,5413

t₂= 2,9560

t₃= 1,9356

Задание 3. Для временного ряда Затраты на рекламу выбрать наилучший вид тренда и построить прогноз на два шага вперед. Данные представлены в следующей таблице

Проверить значимость построенного тренда. Проверить модель на автокорреляцию. (25 баллов).

Решение.

Линия тренда построена с помощью MS Excel.

После вычисления линейного тренда нужно выяснить, насколько он значим. Это делается с помощью анализа коэффициента корреляции. Дело в том, что отличие коэффициента корреляции от нуля и тем самым наличие тренда (положительного или отрицательного) может оказаться случайным, связанным со спецификой рассматриваемого отрезка временного ряда. Иначе говоря, при анализе другого набора экспериментальных данных (для того же временного ряда) может оказаться, что полученная при этом оценка величины г намного ближе к нулю, чем исходная (и, возможно, даже имеет другой знак), и говорить о реальном, выраженном тренде тут уже становится трудно. Для проверки значимости тренда используется распределение Стьюдента. По формуле

Проведя вычисления, получим r = 0,7447, t = 4,0228

Значимость построенного тренда определена с использование распределения Стьюдента и равна t = 4,0228. Автокорреляция - это взаимосвязь последовательных элементов временного или пространственного ряда данных. В эконометрических исследованиях часто возникают и такие ситуации, когда дисперсия остатков постоянная, но наблюдается их ковариация. Это явление называют автокорреляцией остатков.

Для расчета автокорреляции используется следующая формула.

в ряде случаев используется упрощенная формула

где у - средний уровень ряда. Средняя хронологическая для моментного временного ряда с разноотстоящими во времени уровнями вычисляется по формуле:

Здесь n - число уровней ряда, a t₁ - период времени, отделяющий i-й уровень ряда от (i+l) - гo уровня.

Задание 4. Таблица голосования пяти избирателей при выборе трех кандидатов по десятибалльной шкале представлена ниже

Выберите наилучшего кандидата с помощью медианного метода и метода средних оценок. Проверьте согласованность экспертов (15 баллов).

Решение.

Применим сначала метод средних арифметических рангов. Для этого рассчитаем средний арифметический ранг по каждому кандидату.

Построим итоговую ранжировку, исходя из принципа чем меньше средний ранг, тем лучше кандидат.

Наименьший средний ранг, равный 4,2, у кандидата В, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Кандидаты А и С имеют одинаковые суммы (равные 4,6), значит с точки зрения экспертов они равноценны, а потому они болжны бы стоять на 2 и 3 местах и получают средний бал (2+3) /2=2,5.

Итак, ранжировка по методу средних оценок имеет вид: В<{А, С}.

Применим медианный метод.

Для этого возьмем ответы экспертов, соответствующие одному из кандидатов, например кандидату А. Это ранги 2, 1, 6, 9,5. Расположим их в порядке убывания. Получим последовательность: 1, 2, 5, 6,9. На центральном месте - третьем - стоит 5. Следовательно, медиана равна 5. Медианы кандидатов В и С равны соответственно 4 и 5.

Наименьший медианный ранг у кандидата В, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Поскольку кандидаты А и С имеют одинаковую медиану, то их итоговый ранг равен (2+3) /2=2,5.

Итак, ранжировка по методу медиан имеет вид: В<{А, С}.

Таким образом, наилучшим кандидатом, по мнению экспертов, является кандидат В.

Для проверки согласованности экспертов воспользуемся коэффициентом конкордации.

, где

,

отклонение суммы рангов i объекта от средней суммы для всех объектов, - число групп, которые ранжируются (число экспертов), - число переменных (число кандидатов), - ранг -фактора у -единицы.

W = (12*2,67) / (5²* (3³-3)) = 32,04/600 = 0,0534.

Значение коэффициента конкордации может находиться в диапазоне от 0 до 1. Если W=0, считается, что мнения экспертов не согласованны. Если W=1, то оценки экспертов полностью согласованны.

Учитывая, коэффициент конкордации < 0,4, можно говорить о слабой согласованности мнений экспертов.

Задание 5. Приведите пример, связанный с вашей непосредственной деятельностью, в котором для принятия решения Вы использовали метод анализа иерархий (МАИ). Приведите численную реализацию решения. (25 баллов)

Решение.

Проблема состоит в выборе нового помещения для государственного краевого казенного учреждения "Государственный архив Красноярского края". В связи с возрастающей потребностью людей в архивных документах, поток людей, обращающих в отдел, увеличился в разы. Старое помещение уже не отвечает всем требованиям.

Для сравнения выберем характеристики:

· Местоположение (расположение помещения: в центре, на окраине, возможность добраться до него большинству людей)

· Планировка (наличие: кабинетов большой площади, просторных коридоров для ожидания приема)

· Соответствие санитарным нормам (освещенность, наличие санузла)

· Ремонт (необходимость проведения косметического, капитального ремонта)

· Условия доступа для людей с ограниченными возможностями (пандусы, подъезды, этажность)

· Арендная плата.

Строим иерархию: на первом уровне находится цель "Новое помещение", на втором уровне шесть факторов, уточняющих цель, и, наконец, на последнем уровне три альтернативы помещения, которые должны быть оценены по отношению к критериям второго уровня (рис.1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1. Иерархия выбора помещения

Матрица парных сравнений критериев приведена ниже в таблице

Построим матрицы парных сравнений альтернатив относительно критериев качества (А₁-помещение № 1, А₂-помещение № 2, А₃ - помещение № 3):

Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет соответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. (Каждый элемент второго уровня умножается на единицу, т.е. на вес единственной цели самого верхнего уровня.) Это дает составной, или глобальный, приоритет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных приоритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и расположенных уровнем ниже. Процедура продолжается до самого нижнего уровня.

В задаче выбора помещения вторым уровнем являются критерии качеств помещений (элементы их вектора приоритета умножаются на единицу). Третий уровень иерархии - перечень помещений. Каждый элемент этого уровня (относительный вес каждого помещения по сравниваемому качеству) перемножается на приоритет данного качества сред прочих, затем полученные произведения складываются. В результате получи сводную таблицу:

Вычислив глобальные приоритеты всех помещений, делаем вывод о предпочтительности помещения № 2.

Размещено на Allbest.ru