Моделирование на микро- и макроуровнях

223737

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Моделирование на микроуровне

1.1 Исходные данные

1.2 Идентификация краевой задачи

1.3 Расчет выходной распределенной величины

1.4 Расчет интегральной передаточной функции

1.5 Моделирование струны в среде Elcut

2. Моделирование на макроуровне

2.1 Графические формы математической модели гидравлической системы

2.2 Матричные формы математической модели гидравлической системы

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидравлической системы

2.4 Расчет параметров элементов гидросистемы

2.5 Расчет статического режима работы гидросистемы

2.6 Анализ динамических свойств гидросистемы

Заключение

Список использованных источников

Введение

Под моделью понимают такой материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе изучения замещает объект - оригинал, сохраняя некоторые возможные для данного исследования типичные его черты.

Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Различают моделирование предметное и абстрактное.

При предметном моделировании строят физическую модель, которая соответствующим образом отображает физические свойства объекта, при этом объект может иметь иную физическую природу. Недостаток такого вида моделирован - большие временные и материальные затраты.

Абстрактное моделирование связано с построением абстрактной модели (математические соотношения, графы, схемы, диаграммы). Наиболее мощным средством абстрактного моделирования является математическое моделирование.

Математическое моделирование позволяет посредством математических символов и зависимостей составить описание функционирования технического объекта в окружающей внешней среде, определить выходные параметры и характеристики, получить оценку показателей эффективности и качества, осуществить поиск оптимальной структуры и параметров объекта.

Математическая модель - совокупность математических объектов и отношений между ними, адекватно отображающих физические свойства объекта.

В зависимости от степени абстрагирования различают три основных иерархических уровня: верхний (меттауровень), средний (макроуровень), нижний (микроуровень).

Микроуровень - это нижний иерархический уровень, где композиция объектов по степени абстрагирования. На этом уровне осуществляется детальное описание физических свойств технического объекта. Объекты рассматриваются как сплошные среды, имеющие конечные области определения, выделяемые в трехмерном геометрическом пространстве. Такие объекты представляют собой динамические системы с распределенными параметрами, их также называют непрерывными системами. Функционирование этих систем описывается дифференциальными уравнениями с частными производными.

На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математическая модель макроуровня представляет собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Целью курсовой работы в первой части является синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами. В данной работе решается вопрос построения математической модели колебания мембраны на основе теории распределенных сигналов: по заданному дифференциальному уравнению объекта получить выражение для передаточной функции в распределенных параметрах, выражение для выходной величины, выражение для оценочной передаточной функции для наилучших условий управления. Необходимо построить оценочную ЛАЧХ, аппроксимировать ее и записать выражение передаточной функции через типовые звенья.

Во второй части курсовой работы необходимо построить графические и матричные формы математической модели заданной гидравлической системы, произвести расчет параметров ее элементов, расчет статического режима работы гидросистемы и осуществить анализ ее динамических свойств.

1. Моделирование на микроуровне

1.1 Исходные данные

Исходные данные для выполнения первой части курсовой работы:

1) Уравнение колебания струны:

(1)

2) Начальные условия:

,

3) Граничные условия:

, ;

0 ? x ? l, t ? 0, a ? 0

4) Стандартизирующая функция:

(2)

5) Функция Грина:

(3)

6) Континуальная передаточная функция:

(4)

1.2 Идентификация краевой задачи

Уравнение (1) представляет собой одномерное уравнение гиперболического типа, имеющее вторую производную по времени t. Данное уравнение описывает колебания струны. Проведём идентификацию всех величин, входящих в уравнение (1).

Дифференциальное уравнение имеет вид:

,

где Q(x,t) - выходная распределённая величина, представляющая собой ортогональную деформацию струны, [м];

f(x,t) - входное распределённое воздействие на струну, [м/c²].

Для уравнения (1) формулируются следующие условия:

- начальные условия:

, ;

- граничные условия:

, , 0 ? x ? l, t ? 0, a ? 0.

Стандартизирующая функция, компенсирующая влияние начальных и граничных условий для данной одномерной задачи имеет вид (2).

Функция Грина, являющаяся решением краевой задачи при начальных и граничных условиях и входном воздействии в виде д-функции, имеет вид (3).

Континуальная передаточная функция, являющаяся преобразованием Лапласа функции Грина, имеет вид (4).

Для решения частной задачи примем следующие условия:

- входное воздействие:

f(x,t) = 0;

- начальные условия, описывающие положение струны и скорость в начальный момент времени:

,

;

- граничные условия, описывающие жесткое закрепление струны по длине:

,

, 0 ? x ? l, t ? 0, a ? 0.

Примем, что:

- а = 1 - волновая скорость струны;

- l = 1.5 [м] - длина струны;

- материал струны - сталь;

- с = 7.8 · 10³ - плотность стали.

Представим на рисунке 1 изображение струны в начальный момент времени:

Рисунок 1 - Изображение струны

Произведём проверку размерности.

Пусть Q(x,t) - ортогональное отклонение струны [м]. Тогда входное воздействие f(x,t) имеет размерность [м/с²]:

,

где p - давление на струну, [Н/м²];

с - плотность материала струны, [кг/м³];

l - длина струны, [м].

Тогда:

.

Волновая скорость струны а имеет размерность [м/с]:

,

где T - натяжение струны, [Н/м²];

с - плотность материала струны, [кг/м³].

Тогда:

.

Учитывая размерности всех коэффициентов и величин, входящих в данное уравнение, получим:

,

.

Размерность соблюдается, следовательно, все коэффициенты подобраны - верно. С учётом входного воздействия, принятых начальных и граничных условий стандартизирующая функция принимает вид:

,

где д^'(t) - импульсная переменная функция.

1.3 Расчёт выходной распределенной величины

Идентификация исходного уравнения позволяет перейти к расчету распределенной выходной величины, являющейся функцией как пространственной, так и временной координаты и рассчитываемой как пространственно-временная композиция от произведения функции Грина на стандартизирующую функцию:

(5)

Выходная величина Q(x,t) находится как сумма двух составляющих:

Q(x,t)=Q₁(x,t) + Q₂(x,t), (6)

где Q₁(x,t) и Q₂(x,t) - первая и вторая составляющие выходной величины и находятся как:

(7)

(8)

Первая составляющая решения выходной функции:

(9)

Вторая составляющая решения выходной функции:

(10)

Определим производную функции Грина:

Подставим выражение найденной производной в (10):



(11)

Выходная величина:

Построим график этой функции при фиксированном времени t:

Рисунок 3 - График выходной величины Q(x,t) при t = 4 с.

Полученный в результате расчета выходной распределенной величины график соответствует исходным данным, т.к. один конец струны находится в свободном движении.

1.4 Расчет интегральной передаточной функции

Динамическая характеристика находится по интегральной передаточной функции , которая рассчитывается как пространственная композиция от произведения континуальной передаточной функции на преобразованную по Лапласу стандартизирующую функцию с выделенным из нее входным воздействием.

Стандартизирующая функция содержит входное воздействие f(x,t) и имеет вид:

Произведем преобразование Лапласа стандартизирующей функции:

Интегральная передаточная функция:

Континуальная передаточная функция:



Интегральную передаточную функцию найдем как:

Подставим значения и получим:

Для построения ЛАЧХ необходимо подставить значение в выражение (12) и получить частотную форму записи интегральной передаточной функции, для чего произведем замену p = jщ:

Для построения характеристики используем программу MathCad.

Рисунок 4 - График логарифмической амплитудно-частотной характеристики

Аппроксимируем полученную ЛАЧХ стандартными типовыми наклонами: +40 дБ/дек, -40 дБ/дек и -20 дБ/дек.

Тогда передаточная функция будет иметь вид:

(13)

Найдем Т при условии, что Т = 1/щ,

где Т - период, с; щ - частота аппроксимированной ЛАЧХ, Гц.

щ₁ = 2,8 Гц, тогда:

Т₁ = 1/щ₁ = 1/2,8 = 0,35 (с);

щ₂ = 11,23 Гц, тогда:

Т₂ = 1/щ₂ = 1/11,23 = 0,09 (с).

20·lgk = -29,67, откуда k = 10-^29,67/20 = 10-^1,4835 = 0,0015.

Тогда передаточная функция аппроксимированной ЛАЧХ имеет вид:

. (14)

1.5 Моделирование колебания струны в среде Elcut

Смоделируем колебание струны при ее жестком закреплении. Построим двумерную модель в виде прямоугольника длиной L=3м и высотой h=0,3м. Зададим значения граничных условий на ребрах модели и выберем свойства материала сталь. Решение задачи получим в виде цветовой шкалы, представленной на рисунке 5.



Рисунок 5 - Моделирование колебания струны

Рисунок 6 - Локальные значения в начале



Рисунок 7 - Локальные значения в середине

Рисунок 8 - Локальные значения в конце

2. Моделирование на макроуровне

2.1 Графические формы математической модели гидравлической системы

Дана схема гидравлической системы, представленная на рисунке 9.

Рисунок 9 - Схема гидравлической системы: 1, 2, 3 - магистрали потребителей; P_B1, P_B2, P_B3 - давление потребителей; Q_H - насос постоянной производительности

На основании исходной принципиальной схемы гидравлической системы (рисунок 9) строится динамическая модель. При построении модели учтены основные свойства гидравлической системы. Гидравлические магистрали представлены как дискретные элементы, наделенные инерционными и диссипативными свойствами, а масса жидкости в них - как сосредоточенная. В точках ветвления установлены упругие элементы, учитывающие сжимаемость жидкости и деформируемость стенок трубопровода. На рисунке 10 представлена динамическая модель гидравлической системы.



Рисунок 10 - Динамическая модель гидравлической системы

На основании динамической модели построен ориентированный граф, являющийся графической формой модели гидравлической системы и позволяющий идентифицировать структуру и физические свойства системы. Узлы графа соответствуют сосредоточенным массам, а ветви - компонентам математической модели.

Базовый узел (с нулевым номером) отображает инерциальную систему отсчета фазовых координат типа потока. Источник обеспечивает возрастание потоковой переменной узла, поэтому сигналы направляют от базы к узлу. В магистралях потребителей - наоборот. Во всех ветвях инерционных и диссипативных элементов направление сигналов от узла к базе. Такое направление характеризует затраты энергии источников на увеличение кинетической энергии и на трение. В ветвях упругих компонентов стрелки указывают направление передачи энергии от источников к потребителям. В ветвях всех элементов кроме направления записывается параметр каждого элемента. На рисунке 11 представлен полученный граф.



Рисунок 11 - Ориентированный граф гидравлической системы

Таким образом, исходная схема гидравлической системы (рисунок 9) представлена в двух графических формах: динамической модели (рисунок 10) и ориентированного графа (рисунок 11).

2.2 Матричные формы математической модели гидравлической системы

На основании орграфа (рисунок 11) сформируем матрицу инциденций (таблица 1), по правилам, изложенным в основных теоретических сведениях.

Для формирования полной математической модели на основе компонентных и топологических уравнений широкое применение получил узловой метод, для него необходимо сформировать матрицу инциденций, отражающую структуру связей всех элементов системы. Матрица инциденций формируется на основании ориентированного графа. Число строк матрицы соответствует числу узлов орграфа, число столбцов - числу ветвей. Отсутствие связи между узлом и ветвью обозначается «0», если ветвь входит в узел - «1», если выходит - «-1».

Матрицу инциденций А можно представить состоящей из подматриц инерционных А_И, диссипативных А_Д, упругих А_У ветвей и подматрицы ветвей источников потенциалов А_В. Для исходной системы получена матрица, представленная в таблице 1.

Таблица 1 - Матрица инциденций гидравлической системы

Узлы	Ветви
	Диссипативные	Упругие	Внешние воздействия
	м1	м2	м3	м4	с1	рВ1	рВ2	рВ3	Qн
1	-1	0	0	0	1	-1	0	0	0
2	0	-1	0	0	1	0	-1	0	0
3	0	0	-1	0	1	0	0	-1	0
4	0	0	0	-1	-1	0	0	0	1
подматрицы	АД	АУ	АВ

На основании матрицы инциденций записывают подматрицы упругих А_У, диссипативных А_Д элементов и подматрицу источников потенциалов А_В.

, , .

Матрицы параметров инерционных, упругих и диссипативных элементов гидравлической системы соответственно.

, , .

Матрица потенциалов источников Р_в, упругих Р_у и диссипативных Р_д, элементов и матрица фазовых переменных типа потока Q.

, , , .

2.3 Узловой метод формирования математической модели гидравлической системы

Из матрицы инциденций можно получить систему уравнений (15), математически описывающую функционирование гидравлической системы:

(15)

.

Для нашего случая система будет иметь вид:

Комплексные уравнения диссипативных элементов носят более сложный характер, при этом выделяют линейные и нелинейные потери давления в гидромагистралях, их уравнения запишутся в следующем виде:

(17)

где коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий

линейные потери при ламинарном режиме движения жидкости;

коэффициент гидравлического сопротивления, характеризующий

нелинейные потери при турбулентном режиме, по длине и местные.

Таким образом, математическая модель рассматриваемой гидросистемы представляется системой шести дифференциальных уравнений.

2.4 Расчет параметров элементов гидросистемы

Исходные данные представлены в таблице 2.

Таблица 2 - Параметры системы и жидкости

Обозначение	Основные параметры	Значение
	Плотность рабочей жидкости	860 кг/м3
	Вязкость	0.15·10-4 м2/с
ЕС	Модуль упругости системы	1.7·108 Па
Етр	Модуль упругости трубопровода	9·1010 Па
	Коэффициент потерь на трение при турбулентном потоке	0.028
	Толщина стенки трубопровода	2.2·10-3 м

Таблица 3 - Параметры трубопроводов

Параметр	Обозначение	Номер трубопровода
		1	2	3	4
Диаметр трубопровода	dтр, м	0.02	0.03	0.015	0.015
Длина трубопровода	l, м	1.5	2.5	1	0.9
Коэффициент местных сопротивлений	о	4	5.5	3.5	3
Давление потребителей и насосов	P, ·106 Па	0.2	0.25	0.2	200, 400

На основании исходных данных рассчитаем параметры компонентных элементов для каждого участка трубопровода по формулам:

- площадь сечения трубопровода, м²:

; (18)

- коэффициент линейных потерь, H·с/м⁵:

; (19)

- коэффициент нелинейных потерь, H·с/м⁵:

; (20)

- коэффициент жесткости участка, H/м⁵:

; (21)

где Ш - доля объема трубопровода;

V - объем трубопровода, м³:

(22)

Доля объема трубопровода рассчитывается как отношение объема отдельного участка к сумме объемов всех n соединенных между собой участков:

(23)

Коэффициент жесткости упругого элемента:

(24)

По исходным данным и полученным результатам получаем жесткость упругого элемента c₁= 0,612·10¹² Н/м⁵.

Коэффициент массы, кг/м⁴:

. (25)

Полученные результаты для отдельных участков трубопровода приведены в таблице 4.

Таблица 4 - Параметры трубопровода гидросистемы

Параметр	Номер магистрали
	1	2	3	4
Площадь сечения трубопровода, A, ·10-4 м2	3.14	7.065	1.766	1.766
Объем трубопровода, Vтр,·10-4 м3	4.71	17.6625	1.766	1.5894
Доля объема трубопровода,	0.2	0.75	0.08	0.07
Коэффициент массы, mг,·106 кг/м4	4.11	3.04	4.87	4.38
Коэффициент линейных потерь,,·107 H·с/м5	49.45	16.28	10.42	9.38
Коэффициент нелинейных потерь,,·1010 H·с/м5	37.7	5.52	5.52	31.4
Коэффициент жесткости участка, cг, ·1012 Н/м5	18.6	1.263	120.17	137.34

2.5 Расчет статического режима работы гидросистемы

При постоянных внешних воздействиях система находится в установившемся равновесном состоянии, а её фазовые координаты при этом постоянны. Такой режим функционирования системы называется статическим и достигается при постоянных внешних воздействиях: подачей насоса Qн; давлениями потребителей Рв1,Рв2, Рв3.

При этом фазовыми (искомыми) координатами системы являются: расходы в гидромагистралях Q1, Q2, Q3, QH; давление в упругом элементе Ру1.

Модель гидросистемы в статическом режиме имеет вид:

(26)

Систему (26) будем решать с помощью численного метода Ньютона. Предварительно сформируем матрицу Якоби, элементами которой являются частные производные, уравнения статической модели по фазовым координатам. В общем виде матрица Якоби имеет вид:

(27)

Для диссипативных элементов компонентное уравнение имеет вид:

Частная производная по расходу имеет вид:

Матрица Якоби исходной гидросистемы имеет вид:

Алгоритм метода Ньютона содержит следующие этапы:

1) выбор начального приближения , где - вектор фазовых координат, V₀ - нулевой вектор-столбец;

2) вычисление матрицы Якоби J_k в точке _K, где k = 0, 1, 2 … - номер итерации;

3) вычисление вектора невязок :

4) определение вектора поправок:

; (32)

5) определение нового приближения вектора искомых фазовых координат:

; (33)

6) проверка условия окончания итерационного процесса при выполнении условия, что и соизмеримы (совпадают до десятых), иначе происходит переход на предыдущие этапы и вычисляется следующая итерация.

Расчет фазовых координат в статическом режиме осуществлен MathCad, а результаты представлены в таблице 5.



Таблица 5 - Результаты статического анализа

Фазовые координаты	Рн1=200*10-6 м3/c	Рн1=400*10-6 м3/c
Q1, м3/c
Q2, м3/c
Q3, м3/c
Ру1, Па

2.6 Анализ динамических свойств гидросистемы

Динамическая модель описывает переходный процесс гидросистемы. В общем случае система дифференциальных уравнений, описывающих гидравлическую систему, имеет вид:

(34)

С учетом произведенных ранее расчетов, запишем систему дифференциальных уравнений (35), представляющую собой динамическую модель гидросистемы:

(35)

Для динамической модели матрица Якоби формируется аналогично матрице Якоби статической модели:

Переходный процесс определяется в результате численного интегрирования системы (35), для чего необходимо произвести выбор ряда параметров.

Переходный процесс оценивается как реакция системы, находящейся в состоянии покоя, на ступенчатое воздействие вида:

(37)

где В₀ и В_k - начальное и конечное значения функции внешних воздействий В(t),

причем В ₀ и В _k - const, (В ₀ ? В _k):

(38)

Начальные и конечные значения вектора фазовых координат определены при анализе статического режима (таблица 5).

=> (39)

Если система устойчивая, то через некоторый промежуток времени, система перейдет из состояния в состояние . Вектор-функция внешних воздействий В имеет вид:

Для устойчивости самого метода проведем выбор шага интегрирования h исходя из условия:

, (41)

где - собственное значение матрицы Якоби.

Для комплексного значения условие имеет вид:

. (42)

Собственными значениями матрицы Якоби порядка n называют корни , где , ее характеристического уравнения, определяемого по формуле:

(43)

Произведем расчет матрицы Якоби по формуле (36), подставляя начальные значения фазовых координат:

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

(45)

Вычислим корни характеристического уравнения с помощью программы MathCad, тогда собственные значения матрицы Якоби имеют вид:

(46)

Корни характеристического уравнения имеют и отрицательные, и положительные значения действительных частей, что говорит о неустойчивости системы.

Наличие комплексно-сопряженных корней дает затухающий колебательный процесс ряда фазовых координат. Для гидравлической системы рекомендуемый шаг интегрирования h=0.5с. Выполним проверку устойчивости численного метода Эйлера при данном шаге.

При л = 0: |1-h·л| = 1.

При л = -1,25 - 0,919·i:

(Re(h·л)---1)² + Im(h·л)² = 2.852.

При л = -1,25 + 0,919·i:

(Re(h·л)---1)² + Im(h·л)² = 2.429.

При л = _.451 - 1.08·i:

(Re(h·л)---1)² + Im(h·л)² = 0.891.

При л = _.451 + 1.08·i:

(Re(h·л)---1)² + Im(h·л)² = 0.308.

Проверка условий выполняется, следовательно, шаг h=0.5 обеспечит устойчивость метода и приемлемую точность вычислений.

Для численного интегрирования исходной системы дифференциальных уравнений будем использовать неявный метод Эйлера, формула которого имеет вид:

(47)

Совместное преобразование двух последних выражений приводит к виду:

, (48)

где ? модифицированная матрица Якоби на (k+1)?ом шаге, которая

формируется по следующему правилу:

а) диагональные элементы матрицы Якоби на (k+1)?ом шаге

пересчитываются по формуле:

, (49)

где h - шаг интегрирования.

б) остальные элементы не изменяются:

.

- модифицированный вектор входных воздействий на (k+1)?ом шаге,

определяемый по формуле:

(50)

Решение системы уравнений (47) дает значение вектора фазовых координат на (k+1)?ом шаге, то есть в момент времени t_k+1.

Алгоритм неявного метода Эйлера с постоянным шагом интегрирования h:

1) задание шага интегрирования: h = 0,5;

2) задание начальных значений вектора фазовых переменных при t₀=0;

3) вычисление времени t_k+1=t_k+h, где k = 0, 1, 2…;

4) вычисление модифицированных матриц и на (k+1)?ом шаге;

5) решение системы уравнений (61) с целью определения в момент времени t_k+1;

6) переход к этапу (3) до тех пор, пока в случае устойчивой системы фазовые координаты не достигнут состояния конечного значения .

Начальные значения вектора определяются на основании входных воздействий системы. В качестве начальных значений фазовых переменных берем вектор начальных значений .

Рисунок 12 - Графики переходных процессов расходов Q₁, Q₂, Q₃, Q_H.

Вывод: из графика на рисунке 12 видно, что переходные процессы расходов Q₁, Q₂, Q₃, Q_H.имеют затухающий вид и достигают установившегося состояния при n=3,33.

Рисунок 13 - Переходный процесс давления упругого элемента Р_У1

Вывод: из графика на рисунке 13 видно, что переходный процесс давления упругого элемента P_y1 имеет затухающий вид и достигает установившегося состояния при n=3,33, что говорит об устойчивости гидросистемы.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы произведено моделирование на микро- и макроуровнях.

В первой части работы произведена идентификация заданного дифференциального уравнения, по полученному уравнению гиперболического типа, построен график изменения внешнего воздействия (давления, нормированного плотностью материала струны), представляющий собой гармонические колебания, а также график выходной распределенной величины при фиксированном времени t = 4 c.

Синтезирована интегральная передаточная функция, в результате чего получена передаточная функция , на основании которой построена ЛАЧХ. После проведения аппроксимации полученной ЛАЧХ типовыми наклонами, найдено уравнение передаточной функции W_ап.(p).

При условии, что струна жестко закреплена по длине, смоделировано колебание струны в программе Elcut, решение задачи получено в виде цветовой шкалы.

Во второй части работы по схеме гидравлической системы найдены основные параметры трубопровода, произведен расчет статической и динамической модели. Система дифференциальных уравнений статической модели решена методом Ньютона, а динамическая модель рассчитана методом Эйлера. Построены переходные процессы расходов и давлений упругих элементов гидросистемы.

передаточный функция моделирование гидросистема

Список использованных источников

1 Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами/А.Г. Бутковский. - М.: Наука, 1979. -224с.

2 Власов В.В. Синтез интегральной передаточной функции для объектов управления с распределенными параметрами // Школа академика Власова: Сб. метод, тр./В.В. Власов - М.: Буркин, 1998. -128с.

3 Топчеев Ю.И. Атлас для проектирования систем автоматического управления/Ю.И. Топчеев. - М.: Машиностроение, 1982. - 312 с.

4 Цыпкин Я. 3. Основы теории автоматических систем /Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1977. -560с.

5 Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1/ Б. Чемоданов [и др.] - М.: Высшая школа, 1977. - 366 с.

Размещено на Allbest.ru

...