Методы экономико-математического моделирования

Разработка моделей всегда играла жизненно важную роль в духовной деятельности человечества с тех пор, как оно стало стремиться к пониманию и изменению окружающей среды. Люди всегда использовали концепцию модели, пытаясь представить и выразить с ее помощью абстрактные идеи и реальные объекты.

Модель - это, прежде всего, упрошенное представление реального объекта или явления, сохраняющее его основные, существенные черты. Обычно считается, что модель - это используемый для предсказания и сравнения инструмент, позволяющий логическим путем спрогнозировать последствия альтернативных действий и достаточно уверенно указать, какому из них отдать предпочтение. Хотя такое использование моделей имеет большое значение, оно ни в коей мере не исчерпывает целей моделирования. В определенных рамках модель может служить также эффективным средством общения и осмысления действительности, обучения и тренажа, средством постановки экспериментов, инструментом прогнозирования и управления.

Модели, отвечающие основным требованиям целей исследования экономических систем, отличаются друг от друга существенными признаками. Разные причины для нахождения этих отличий позволяют отнести модель к тому или иному подмножеству, определенные характеристики элементов которого соответствуют друг другу. Этот процесс называется классификацией экономико-математических моделей. Она позволяет упорядочить элементы множества моделей.

Процессы и объекты управления в экономике столь многообразны, что не существует классификации, претендующей на полноту охвата всего множества социально-экономических задач, описываемых различными моделями. Однако это многообразие вызвано диалектикой познания, а не скудостью математических методов.

Следует четко выделять классификационные признаки и рассматривать экономико-математические модели с различных точек зрения, данная классификация показана на рисунке 1.1. Важно понять, что именно таким образом формируется системный взгляд на любой объект.

В зависимости от моделируемых объектов и назначения моделей используемая в них исходная информация имеет различный характер и происхождение. Она может быть разделена на две категории:

- прошлое и настоящее экономических наблюдений и их обработка;

- будущее развитие объектов, включающее данные об ожидаемых изменениях их внутренних параметров и внешних условий (прогнозы).

Рис.

Вторая категория информации является результатом самостоятельных исследований, которые также могут выполняться посредством моделирования.

Степень применимости модели к теоретическим исследованиям или практическим действиям дает основание для градации экономико-математических моделей по предназначению на теоретико-аналитические, используемые в исследованиях общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач (модели экономического анализа, прогнозирования, управления). Экономико-математические модели могут предназначаться для исследования разных сторон хозяйственной деятельности (в частности, ее производственно-технологической, социальной, территориальной структур) и ее отдельных частей.

Главная задача экономической науки конструктивна - это разработка научных методов планирования и управления экономикой. Поэтому распространенный тип математических моделей экономики - это модели управляемых и регулируемых экономических процессов, используемые для преобразования экономической действительности. Такие модели называются нормативными. Нормативные модели отвечают на вопрос, как это должно быть, т. е. предполагают целенаправленную деятельность. Типичным примером нормативных моделей являются модели оптимального планирования, формализующие тем или иным способом цели экономического развития, возможности и средства их достижения.

Дескриптивные модели помогают решить вопросы "Как это происходит?" или "Как это вероятнее всего может дальше развиваться?", объясняют наблюдаемые факты или дают вероятный прогноз. Применение дескриптивного подхода в моделировании экономики объясняется необходимостью эмпирического выявления различных зависимостей в экономике, установления статистическими закономерностями экономического поведения социальных групп, изучения вероятных путей развития каких-либо процессов при неизменяющихся условиях или протекающих без внешних воздействий. Примерами дескриптивных моделей являются производственные функции и функции покупательского спроса, построенные на основе обработки статистических данных.

Является ли экономико-математическая модель дескриптивной или нормативной, зависит не только от ее математической структуры, но от характера использования этой модели. Например, модель межотраслевого баланса дескриптивна, если она используется для анализа пропорций прошлого периода. Но эта же математическая модель становится нормативной, когда она применяется для расчетов сбалансированных вариантов развития народного хозяйства, удовлетворяющих конечные потребности общества при плановых нормативах производственных затрат. Многие экономико-математические модели сочетают признаки дескриптивных и нормативных моделей. Типична ситуация, когда нормативная модель сложной структуры объединяет отдельные блоки, которые являются частными дескриптивными моделями. Например, межотраслевая модель может включать функции покупательского спроса, описывающие поведение потребителей при изменении доходов. Подобные примеры характеризуют тенденцию эффективного сочетания дескриптивного и нормативного подходов к моделированию экономических процессов. Дескриптивный подход широко применяется в имитационном моделировании. Если ориентировать нормативные модели только на подтверждение действительности, то они не смогут служить инструментом решения качественно новых социально-экономических задач.

По внутренней структуре модельного описания системы выделяют ряд видов моделей, которые схематически представлены на рисунке1.2.

В статических моделях все зависимости относятся к одному моменту или периоду времени. Динамические модели характеризуют изменения экономических процессов во времени. Само время в экономико-математических моделях может изменяться либо непрерывно, либо дискретно. По соотношению экзогенных и эндогенных переменных, включаемых в модель, они могут разделяться на открытые и закрытые. Полностью открытых моделей не существует; модель должна содержать хотя бы одну эндогенную переменную.

Рис.

Полностью закрытые экономико-математические модели, т. е. не включающие экзогенных переменных, исключительно редки; их построение требует полного абстрагирования от "среды", т. е. серьезного огрубления реальных экономических систем, всегда имеющих внешние связи. Подавляющее большинство экономико-математических моделей занимает промежуточное положение и различаются по степени открытости (закрытости).

Для моделей народнохозяйственного уровня важно деление на агрегированные и детализированные.

Ответ на вопрос, каким образом модель описывает экономическую систему, является аргументом для классификации экономико-математических моделей по способу описания, представлен на рисунке1.3.

К символическим моделям относятся,т.е. в которых для представления процесса или системы используются символы. Обычным примером представления систем в этом случае можно считать системы дифференциальных уравнений.

Поскольку последние представляют собой наиболее абстрактные и, следовательно,наиболее общие модели, то их применение таит в себе весьма реальные опасности и ловушки. Символическая модель является всегда абстрактной идеализацией задачи, и, если хотят, чтобы эта модель позволяла решить задачу, необходимы некоторые упрощающие предположения. Поэтому особое внимание должно быть обращено на то, чтобы модель служила действительным представлением данной задачи.

Рис.

Интересны математические модели таких систем, в которых результат взаимодействия компонент не является полностью определенным (детерминированным). Их обычно называют вероятностными, стохастическими или недетерминированными. Все эти термины можно рассматривать как синонимы. Такие модели являются скорее "прогонными", чем "разрешимыми" в том смысле, что в результате разового расчета варианта ("прогона") по модели получается некоторая последовательность изменений состояний системы во времени (траектория системы).

Повторяя этот процесс некоторое число раз с изменяющимися значениями стохастических переменных, можно получить статистические сведения о поведении исследуемой системы при определенных начальных данных и фиксированных значениях управляющих переменных. Изменяя значения управляющих переменных, можно попытаться решить задачу о выборе наилучшего решения в статистическом смысле.

Для этого типа моделей необходимо различать неопределенность, описываемую вероятностными законами, и неопределенность, для описания которой законы теории вероятностей неприменимы. Второй тип неопределенности гораздо более сложен для моделирования.

В настоящее время как мощное средство анализа, прогнозирования и методологии принятия управленческих решений большое значение приобретают эконометрические модели, основу которых составляют достижения теории вероятности и математической статистики.

Развитие этого направления связано с необходимостью построения моделей экономических процессов как сложных систем с огромным числом влияющих факторов. Появление быстродействующей вычислительной техники позволило обобщить этот тип моделей в класс имитационных моделей.

Модели экономических процессов чрезвычайно разнообразны по форме математических зависимостей. Особенно важно выделить класс линейных моделей, наиболее удобных для анализа и вычислений и получивших вследствие этого большое распространение. Различия между линейными и нелинейными моделями существенны не только с математической точки зрения, но и в теоретико-экономическом отношении, поскольку многие зависимости в экономике носят принципиально нелинейный характер: эффективность использования ресурсов при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при увеличении производства, изменение спроса и потребления населения при росте доходов и т. п.

Рис.

На рисунке 1.4. представлена классификация экономико-математических моделей по способу отражения действительности.

Балансовые модели реализуют равенство суммы наличных объемов (товаров, ресурсов, финансовых потоков и т. п.), полученных из различных источников, сумме объемов, использованных по различным направлениям.

Технологические модели раскрывают и детализируют технологические процессы конкретных экономических систем, а также их производственные возможности на краткосрочную и длительную перспективу.

Поведенческие модели описывают поведение элементов экономической системы, имеющих некоторую свободу выбора решений. Сюда можно отнести функциональные и причинно-следственные отношения. Функциональные модели описывают поведение системы безотносительно к ее внутренней структуре (черный ящик). Они выражают, как правило, прямые зависимости между известными (экзогенными) и неизвестными (эндогенными) величинами.

Аналоговыми моделями являются модели, в которых свойство реального объекта представляется некоторым другим свойством аналогичного по поведению объекта. Примером может служить графический анализ развития различных экономических систем.

Структурные модели определяют иерархию управления (взаимосвязи, соподчиненность элементов экономической системы) и правила, регулирующие функционирование элементов системы в рамках этой иерархии (механизм функционирования системы, принципы формирования различных фондов системы и т. д.). Они связывают между собой компоненты и их характеристики.

Модели, где во взаимодействие вступают люди и машинные компоненты, часто называется играми (управленческими, военными, планировочными). В так называемых управленческих (деловых) играх человек взаимодействует с информацией, поступающей с выхода вычислительной машины (которая моделирует все другие свойства системы), и принимает решения на основе полученной информации. Решения человека затем снова вводятся в машину в качестве входной информации, которая используется системой. Продолжая этот процесс дальше, мы приходим к полностью машинному моделированию, которое обычно и понимается под термином "моделирование".

Информационные модели - совокупность сигналов, несущих информацию об объекте управления и внешней среде, организованная по определенным правилам.

Демографические модели учитывают влияние роста и структуры населения на производство.

Экономико-математическое моделирование охватывает весь спектр реальных систем. Для любого экономического события можно подобрать по приведенным классификационным признакам наиболее подходящую модель.

Этапы принятия решений

Чтобы принять управленческое решение без компьютера, зачастую ничего не надо. Возникла в производстве ситуация, требующая своего разрешения, т. е. принятия соответствующего решения, он подумал и принял его. Правда, без гарантии оптимальности (т. е. правильности). Компьютер же никаких решений не принимает, а только подготавливает их для принятия менеджером. Что нужно сделать, чтобы найти такие варианты решений (рисунок 2.1)? Разработку любой модели оптимизации можно приблизительно разбить на 5 стадий, частично перекрывающих друг друга и не имеющих четких границ.

1. Постановка (формулировка) задачи.

2. Разработка математической модели изучаемой системы.

3. Отыскание решения с помощью этой модели.

4. Проверка данной модели и решения.

5. Уточнение решения на практике.

При постановке задачи проводится предпроектное обследование объекта моделирования, формулируется цель решения, ограничения, формы исходной и результатной информации, порядок ее преобразования и использования и т. д. Порядок принятия решений мы можем проследить по рисунку2.1.

Рисунок 2.1. Стадии принятия решений

При разработке математической модели формализуется цель решения, с которой увязываются переменные величины и наличные ограничения, оценивается число возможных (допустимых) вариантов решения.

Собственно решению на ЭВМ предшествует разработка алгоритма -- формализованной последовательности действий по реализации модели (блок-схем решения задачи), по которой разрабатывается программа решения задачи на ЭВМ или подбирается готовый программный продукт.

Далее сравнивается полученное решение с реальной действительностью, чтобы выяснить, действительно ли решена реальная задача, все ли переменные в модели учтены, все ли ограничения формализованы, все ли изменения объекта внесены в модель и т. д. Особенно важным на этих этапах представляется выбор цели решения. Например, установка зениток на торговых судах в Атлантике во время Второй мировой войны. Из 25 вражеских самолетов сбивали один, что не окупало установку орудий. Но после установки зениток потопляемость судов уменьшилась в 2,5 раза. Так ставить зенитки или нет? А если ставить, то какая при этом должна быть цель -- сбивать самолеты или сохранять свои суда? Хорошую модель, достаточно полно отражающую реальный моделируемый объект, составить непросто. По словам Беллмана, «если мы попытаемся включить в нашу математическую модель слишком много черт действительности, то захлебнемся в сложных уравнениях, содержащих неизвестные параметры и неизвестные функции. Определение этих функций приведет к еще более сложным уравнениям с еще большим числом неизвестных параметров и функций и т. д. Если же, наоборот, оробев от столь мрачных перспектив, построим слишком упрощенную модель, то обнаружим, что она не определяет последовательность действий так, чтобы удовлетворять нашим требованиям. Следовательно, ученый, «подобно паломнику, должен идти прямой и узкой тропой между западнями переупрощения и болотом переусложнения». Для обеспечения успеха моделирования надо выполнить три правила, которые, по мнению древних, являются признаками мудрости.

1. Отделить главные свойства моделируемого объекта от второстепенных.

2. Учесть в модели главные свойства объекта.

3. Пренебречь его второстепенными свойствами.

Модель -- это условное представление действительности. Степень соответствия может быть различной, и проблема заключается в том, чтобы, выбирая уровень упрощения реальной ситуации, оставить основные влияющие факторы и соотношения между ними. По этому поводу рассказывают, что академик С. А. Чаплыгин, будучи в свое время научным руководителем Центрального аэрогидродинамического института, не утвердил в смете расходы на продувку в аэродинамической трубе петуха. Причина его решения была лаконично проста: «Петух не летает». Для экономических оптимизационных задач можно сформулировать ряд обязательных требований:

? Экономические задачи должны ставиться и решаться количественно, путем объективного расчета.

? Экономические задачи выбора рассматриваются как экстремальные.

? Функционирование экономики в целом, предприятия и его отдельного подразделения должно оцениваться по некому критерию.

Лучший вариант приходится выбирать в условиях ограниченности ресурсов.

Классификация задач оптимизации

Во всех сферах человеческой деятельности большое место занимает принятие решений. Для постановки задачи принятия решения необходимо выполнение двух условий:

1) должно быть много решений;

2) вариант должен быть выбран по определенному принципу.

Очевидно, что если нет хотя бы двух возможных вариантов решения, то выбирать нечего и задача принятия решения отсутствует. Так, если предприятию задан план, устанавливающий номенклатуру и количество выпускаемой продукции, то задачи определения плана нет, так как план задан.

Известны два принципа выбора: волевой и критериальный.

Волевой выбор, наиболее часто используемый, применяют при отсутствии формализованных моделей как единственно возможный.

Критериальный выбор заключается в принятии некоторого критерия и сравнении возможных вариантов, соответствующих критерию. Вариант, для которого выбранный критерий принимает наилучшее решение, называют оптимальным (от лат. optimus), а задачу принятия наилучшего решения -- задачей оптимизации.

Решение не может быть оптимальным вообще, во всех смыслах, а только в одном, единственном смысле, определяемом выбранным критерием. Критерий оптимизации называют целевой функцией, функцией цели, функционалом и др. Любую задачу, решение которой сводится к нахождению максимума или минимума целевой функции, называют задачейоптимизации. Задачи менеджмента чаще всего связаны с нахождением условного экстремума целевой функции при известных ограничениях, накладываемых на ее переменные.

В качестве целевой функции при решении различных оптимизационных задач принимают количество или стоимость выпускаемой продукции, затраты на производство, сумму прибыли и т. п. Ограничения обычно -- ресурсы: людские, материальные, денежные.

Можно показать, что оптимизационные задачи менеджмента, различные по своему содержанию и реализуемые с использованием стандартных программных продуктов, соответствуют тому или иному классу экономико-математических моделей. Классификация задач оптимизации, реализуемых менеджментом на производстве, представлена в таблице3.1.

Таблица

Другой важный признак систематизации -- классификация моделей по ее элементам: исходным данным, искомым переменным, зависимостям, описывающим цель задачи (моделирования) и ограничения (рисунок 3.1).

Рис.

В зависимости от исходных данных выделяют 3 типа математического описания задач управления: детерминированные, вероятностные и задачи в условиях неопределенности. Исходные данные, которые заданы определенными величинами, называют детерминированными. Детерминированные задачи формулируются в условиях полной определенности о значениях используемых параметров, составе и виде влияющих ограничивающих условий. Такое описание имеет однозначность при математическом представлении и позволяет получить однозначное решение.

В детерминированной задаче всегда известно, что стратегия действий А приведет к результату A, а стратегия действий В -- к результату B. Остается только определить, какой результат имеет большую полезность, чтобы выбрать лучшую из двух стратегий.

Исходные данные, которые зависят от ряда случайных факторов, называют случайными величинами. Например, имеющееся наличие ресурсов зависит от своевременности их поставки, производительность оборудования и т. д. Вероятностные, или, как их еще называют, стохастические задачи, включают в своей постановке задачи параметры, задаваемые в виде случайных величин, для которых известны вероятности достижения возможных значений. Такие задачи называют также задачами с риском, и их решение формулируется как конкретные результаты с вероятностной оценкой каждого из них.

Заметим, что детерминированные задачи можно рассматривать как предельный вариант задач с риском, в которых вероятность появления значений используемых параметров равна единице. Оценки вероятностей бывают объективными и субъективными. Объективные вероятности получаются путем определения отношения числа интересующих нас событий к общему числу наблюдаемых событий. Задачи в условиях неопределенности возникают в ситуациях, когда нет предварительной вероятностной оценки возможных будущих ситуаций или значений параметров, их характеризующих. В подобных задачах используют своеобразный подход для описания оценки предпочтительности управленческих стратегий. Оценка максимин предполагает предпочтительность стратегии действий, у которой достигается максимально полезный результат при наиболее неблагоприятном развитии событий. Оценка минимакс ориентирует на выбор стратегии, требующей наименьших расходов при наиболее неблагоприятном развитии событий. Переменные величины могут быть непрерывными и дискретными. Непрерывные величины могут принимать в заданном интервале любые значения (например, процентное содержание элементов в марке материала). Дискретные или целочисленные, принимают только целые значения (например, нельзя ввести в эксплуатацию 1,5 здания). Зависимости между элементами могут быть линейными инелинейными. Линейными называют зависимости, в которые входят переменные в первой степени и нет их произведения. Если входят переменные не в первой степени или есть произведение переменных, то зависимости называют нелинейными.

Сочетание различных элементов модели приводит к различным классам задач оптимизации, которые требуют разных методов решения, следовательно, и разных программных средств, представленных в таблице 3.2).

Таблица 3.2 Методы решения