Особые случаи решения задач линейного программирования графическим методом

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА МЕНЕДЖМЕНТА И МАРКЕТИНГА

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

вариант 1

Задание 1

Особые случаи решения ЗЛП графическим методом

При решении задач ЗЛП графическим методом могут встречаться случаи, когда линия уровня параллельна одной из сторон выпуклого многоугольника допустимых решений, причем это сторона расположена в направлении смещения линии уровня при стремлении целевой функции к своему оптимуму. В этом случае оптимальное значение целевой функции достигается не в одной, а в двух угловых точках (вершинах) многоугольника решений и, следовательно, во всех точках отрезка, соединяющего эти вершины, т.е. задача будет иметь бесчисленное множество решений.

Рисунок 1

При перемещении прямой с1x+с2y=d «вход» или «выход» (как на рисунке) произойдет по стороне многоугольника. Это случится, если в многоугольнике есть стороны, параллельные прямой с1х +с2у=d.

В этом случае точек «выхода» (« входа») бесчисленное множество, а именно - любая точка отрезка АВ. Это означает, что целевая функция принимает максимальное(минимальное) значение не в одной точке, а во всех точках, лежащих на соответствующей стороне многоугольника D.

Если область допустимых решений является незамкнутым выпуклым многоугольником в направлении оптимизации целевой функции, то целевая функция будет неограниченной, и ЗЛП не будет иметь решений, т.е. максимальное (минимальное) значение функции не достигается никогда.

Рисунок 2

Рассмотрим на примере функции f(x) =3x1+3x2> max

При ограничениях

2x2-x2?1 (1)

X1-2x2?2 (2)

X1,2?0.

Решение: Задача не имеет решения, так как ЦФ не ограничена сверху на ОДР. (рис. 2)

Задание 2.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед. Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В -- 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?

Решение:

Введем обозначения:

х1 -- инвестиции в акции концерна А.

х2 -- инвестиции в акции строительного предприятия В.

Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

Построим ОДР задачи:

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

I. (0;300) (300;0)

т.(0;0) - входит в ОДР;

II. (200; 100), (0;0).

т.(1;0) - входит в ОДР;

III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

т.(0;0) - входит в ОДР.

Рис. 1.

Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

Построим некоторую линию уровня 0,08х1+0,1х2=а.

Пусть, например, а = 0

(0;0) (100;-80)

Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых.

х1 = 200;

Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 100; х2 = 200 максимальное значение, равное

f(х1,х2) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

Для того, чтобы получить максимум прибыли 28 ден.ед. необходимо вложить 200 ден. ед. в концерн А и 100 ден. ед. в строительное предприятие В.

Если решать задачу на минимум, то необходимо найти такое решение, при котором предприятие получит наименьшую функцию. Минимум функции необходимо искать в точке области допустимых решений самой близкой к прямой по направлению вектора . Очевидно, что он достигается либо в точке О (0; 0). Тогда полученная прибыль будет равна 0.

Строим графики: ограничения - черные, целевая функция - красная, область допустимых решений зеленая.

Рис. 2

Если нужно найти минимум, то двигаем красную линию параллельно самой себе вниз и получаем нули - ничего не покупаем и ничего не получаем.

Задание 3

Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	14	21	24	33	41	44	47	49

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.

2. Построить линейную модель У(t) = а0 + а1t, параметры которой оценить МНК (У(t)) -- расчетные, смоделированные значения временного ряда).

3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7--3,7).

4. оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);

6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с одним знаком в дробной части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

Решение:

1. Запустить табличный процессор MS Excel.

Создать книгу с именем «Контрольная работа, вариант № 01».

На листе 1 создать таблицу и ввести информацию, приведенную в таблице.

t	у
1	10
2	14
3	21
4	24
5	33
6	41
7	44
8	47
9	49

Проверяем наличие аномальных наблюдений



Диаграмма рассеяния

Данные диаграммы рассеяния показывают, что аномальных наблюдений нет.

2. Построим линейную модель:

задача оптимизация экономический показатель

,

Где

Построим расчетную таблицу 1.

t	y(t)	t-tср	(t-tср)2	Y-Yср	(t-tср)(Y-Yср)	Yp(t)
1	10	-4	16	-21,4	85,8	10,2
2	14	-3	9	-17,4	52,3	15,5
3	21	-2	4	-10,4	20,9	20,8
4	24	-1	1	-7,4	7,4	26,1
5	33	0	0	1,6	0,0	31,4
6	41	1	1	9,6	9,6	36,7
7	44	2	4	12,6	25,1	42,0
8	47	3	9	15,6	46,7	47,3
9	49	4	16	17,6	70,2	52,6
45	283	0	60	0,0	318,0	283,0
5	31,4	0	6,7	0	35,3	31,4

Создать графики остатков и график подбора следующим образом: меню: Сервис> Анализ данных>выбрать Регрессия>ОК> (или добавить кнопку на панель инструментов с помощью команды в меню Добавить команды…>Надстройки>Пакет анализа VBI> добавить) выбрать входные интервалы, выходной интервал>пометить остатки, график остатков и график подбора> создать график остатков и график подбора > ОК.

Появляются 4 таблицы:

Средствами MS Excel получена следующая линейная модель:

3. Для оценки адекватности модели составим расчетную таблицу 2.

t	y(t)	Yp(t)	е	Р	et-et-1	(et-et-1)2	et2	etet-1	Еотн
1	10	10,2	-0,24	-	-		0,1		2,4
2	14	15,5	-1,54	1	-1,3	1,7	2,4	0,4	9,9
3	21	20,8	0,16	1	1,7	2,9	0,0	-0,2	0,7
4	24	26,1	-2,14	1	-2,3	5,3	4,6	-0,3	8,2
5	33	31,4	1,56	0	3,7	13,7	2,4	-3,3	4,9
6	41	36,7	4,26	1	2,7	7,3	18,1	6,6	11,6
7	44	42,0	1,96	0	-2,3	5,3	3,8	8,3	4,7
8	47	47,3	-0,34	0	-2,3	5,3	0,1	-0,7	0,7
9	49	52,6	-3,64	-	-3,3	10,9	13,3	1,3	6,9
45	283	283,0	-	4	-3,4	52,3	44,8	12,0	50,1

Проверка условия адекватности на основе исследования:

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

4>2

Неравенство выполняется, следовательно, ряд остатков можно считать случайным.

б) независимости уровней ряда остатков:

Критерий Дарбина-Уотсона (критические уровни d1=1,08 и d2=1,36)

(d1 < d < d2 - область неопределенности).

Первый коэффициент корреляции:

< rтабл. = 0,36, расчетное значение меньше табличного, следовательно, ряд остатков некоррелирован.

в) нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию (критические уровни 2,7 - 3,7)

Уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению т.к. полученное значение RS (3,1) попадает в заданный интервал (2,7<3,1<3,7).

4. Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Ошибка не превышает 15%, значит, точность модели считается приемлемой.

5. Осуществим прогноз спроса на две недели:

Точечный по формуле:

Y(10) = 4,9 + 5,3 х 10 = 57,9

Y(11) = 4,9 + 5,3 х 11 = 63,2

Интервальный по формуле:

Покажем в таблице результаты прогноза:

Таблица 3

Шаг	Точечный прогноз	Интервальный прогноз
		Нижняя граница	Верхняя граница
10	57,9	54,7	61,2
11	63,2	59,8	66,7

6. Представим графически фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования.



Задание 4

Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий

На склад доставляют пиломатериалы на барже по 1500 т. В сутки со склада потребители забирают 100 т пиломатериалов. Накладные расходы по доставке партии пиломатериалов равны 3 тыс.руб. Издержки хранения 1 т пиломатериалов в течение суток равны 0,2 руб.

Требуется определить:

1) длительность цикла, среднесуточные накладные расходы и среднесуточные издержки хранения;

2) эти же величины для размеров партии в 500 т и в 3000 т;

3) каковы оптимальный размер заказываемой партии и расчетные характеристики работы склада в оптимальном режиме. Постройте график общих годовых затрат.

Решение:

Параметры работы склада: М = 100 т/ сут.; К = 3 тыс. руб.;

h = 0,2 руб./т · сут.; Q, = 1500 т.

Длительность цикла:

среднесуточные накладные расходы:

среднесрочные издержки хранения:

=150 руб/сут.

2. Аналогичные расчеты проведем для Q1 = 500 т.:

Проведем расчеты и для Q2 = 3000 т:

3. Найдем оптимальный размер заказываемой партии по формуле Уилсона:

Далее определим оптимальный средний уровень запаса по формуле:

Затем найдем оптимальную периодичность пополнения запасов по формуле:

И, наконец, рассчитаем оптимальные средние издержки хранения запасов в единицу времени по формуле:

Средствами MS Excel получена следующая модель:



На гистограмме видно, что при оптимальном размере заказываемой партии 1732 т. издержки на хранение запасов будут минимальными.

Список литературы

1. Экономико-математические методы и прикладные модели. Методические указания по выполнению контрольной работы, темы и задачи. - М.: ВЗФЭИ, 2002. - 104с.

2. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/Под ред. И.В.Орлова

3. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144 с.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие. - М.: Вузовский учебник, 2009. - 365 с.

Размещено на Allbest.ru

...