Методы количественного анализа в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

по дисциплине "Экономико-математическое моделирование"

Вариант № 7

Задание на контрольную работу

1. Используя геометрическую интерпретацию, найти решение задачи линейного программирования:

Z = x1+4x2+2х 4х 5 max

при условиях:

х 15х 2 +х 3 =5,

х 1+х 2 +х 4 =4,

х 1+х 2 +х 5 =8,

x1, х 2, ..., х 5 0

2. Минимизировать функцию

Z = 2х 1 + 3х 2 +х 3

при ограничениях:

2х 1 + х 2 + 3х 3 6,

2х 1 + 4х 2 + 3х 3 16,

3х 1 + 4х 2 + 2х 3 12,

х j 0 (j = 1,2,3)

Решить симплекс-методом. Составить двойственную задачу и также решить её симплекс-методом.

3. Найти графическим методом целочисленное решение задачи:

Z = x1 max

при ограничениях:

х 1 + х 2 + х 3 = 9,

4х 1 + 7х 2 + х 4 = 4,

5х 1 6х 2 + х 5= 6,

хj 0, (j = 1,...,5)

4. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой определяются таблицей:

Пункты	Пункты назначения	Запасы
отправления	В 1	В 2	В 3	В 4	В 5
А 1	1	2	3	1	4	180
А 2	6	3	4	5	2	220
А 3	8	2	1	9	3	100
Потребности	120	80	160	90	50	500

5. Методом множителей Лагранжа найти условные экстремумы функции:

Z = (х 1 4)² +(х 2 6)²

при ограничениях:

х 1 + х 2 1,

2х 1 + 3х 2 12,

х 1, х 2 0,

Содержание

Введение

1. Основная часть

Заключение

Список использованных источников

Введение

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики.

Основная цель контрольной работы - научиться выделять существенные проблемы в экономике и находить методы, которые наиболее приемлемы для их решения. Знание методов и средств из области экономико-математического моделирования, правильное построение экономических моделей позволяет наиболее эффективно управлять капиталом на предприятии и облегчает достижение поставленных целей (освоение рынков сбыта, минимизация затрат, повышение конкурентоспособности продукции), в чем и состоит сущность работы менеджера.

Для достижения данной цели нужно решить ряд заданий, необходимых для закрепления теоретических навыков.

1. Основная часть

1. Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 > max при ограничениях:

x1 - 5x2 + x3=5,

- x1 + x2 + x4=4,

x1 + x2 + x5=8.

Переход к СЗЛП:

Расширенная матрица системы ограничений-равенств данной задачи:

Соответствующие уравнения имеют вид:

x1 - 5x2 + x3 = 5

- x1 + x2 + x4 = 4

x1 + x2 + x5 = 8

Выразим базисные переменные через остальные:

x = - x1 + 5x2 - x3+5

x = x1 - x2 - x4+4

x = - x1 - x2 - x5+8

Подставим их в целевую функцию:

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5

или

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 > max

Система неравенств:

- x1 + 5x2 - x3+5 ? 0

x1 - x2 - x4+4 ? 0

- x1 - x2 - x5+8 ? 0

Приводим систему неравенств к следующему виду:

x1 - 5x2 + x3 ? 5

- x1 + x2 + x4 ? 4

x1 + x2 + x5 ? 8

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 > max

Упростим систему:

x1 - 5x2 + x3 ? 5

- x1 + x2 + x4 ? 4

x1 + x2 + x5 ? 8

Z = - x1 + 4x2 + 2x4 - x5 > max

Запишем систему в виде:

1	-5	1	0	0	5
-1	1	0	1	0	4
1	1	0	0	1	8

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

-1	1	0	1	0	4
1	-5	1	0	0	5
1	1	0	0	1	8

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-4	1	1	0	9
1	-5	1	0	0	5
1	1	0	0	1	8

Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-4	1	1	0	9
0	-6	1	0	-1	-3
1	1	0	0	1	8

Умножим 1-ую строку на (6). Умножим 2-ую строку на (-4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	2	6	4	66
0	-6	1	0	-1	-3
1	1	0	0	1	8

Необходимо переменные x4, x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x4, x5 к 0

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

.

2. Z = 2x1+3x2+2.5x3 при следующих ограничениях:

-2x1-x2-3x3?-6

-2x1-4x2-3x3?-16

-3x1-4x2-2x3?-12

Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).

В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x6.

-2x1-1x2-3x3 + 1x4 + 0x5 + 0x6 = -6

-2x1-4x2-3x3 + 0x4 + 1x5 + 0x6 = -16

-3x1-4x2-2x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 = -12

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

Базисные переменные это переменные, которые входят только в одно уравнение системы ограничений и притом с единичным коэффициентом.

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x4, x5, x6,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план: X1 = (0,0,0,-6,-16,-12)

Базисное решение называется допустимым, если оно неотрицательно.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	-6	-2	-1	-3	1	0	0
x5	-16	-2	-4	-3	0	1	0
x6	-12	-3	-4	-2	0	0	1
Z(X0)	0	-2	-3	-2.5	0	0	0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 0 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 2-ая строка, а переменную x5 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 2-му столбцу, т.е. переменную x2 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-4).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	-6	-2	-1	-3	1	0	0
x5	-16	-2	-4	-3	0	1	0
x6	-12	-3	-4	-2	0	0	1
Z(X0)	0	-2	-3	-2.5	0	0	0
и	0				-	-	-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	-2	-1.5	0	-2.25	1	-0.25	0
x2	4	0.5	1	0.75	0	-0.25	0
x6	4	-1	0	1	0	-1	1
Z(X0)	12	-0.5	0	-0.25	0	-0.75	0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:

x1	x2	x3	x4	x5	x6
-2 / -4 = 0.5	-4 / -4 = 1	-3 / -4 = 0.75	0 / -4 = 0	1 / -4 = -0.25	0 / -4 = 0

1. Проверка критерия оптимальности.

План 1 в симплексной таблице является псевдопланом, поэтому определяем ведущие строку и столбец.

2. Определение новой свободной переменной.

Среди отрицательных значений базисных переменных выбираем наибольший по модулю.

Ведущей будет 1-ая строка, а переменную x4 следует вывести из базиса.

3. Определение новой базисной переменной.

Минимальное значение и соответствует 3-му столбцу, т.е. переменную x3 необходимо ввести в базис.

На пересечении ведущих строки и столбца находится разрешающий элемент (РЭ), равный (-2.25).

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x4	-2	-1.5	0	-2.25	1	-0.25	0
x2	4	0.5	1	0.75	0	-0.25	0
x6	4	-1	0	1	0	-1	1
Z(X1)	12	-0.5	0	-0.25	0	-0.75	0
и	0		-		-		-

4. Пересчет симплекс-таблицы.

Выполняем преобразования симплексной таблицы методом Жордано-Гаусса.

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	0.89	0.67	0	1	-0.44	0.11	0
x2	3.33	0	1	0	0.33	-0.33	0
x6	3.11	-1.67	0	0	0.44	-1.11	1
Z	12.22	-0.33	0	0	-0.11	-0.72	0

В базисном столбце все элементы положительные.

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

1. Проверка критерия оптимальности.

Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис	В	x1	x2	x3	x4	x5	x6
x3	0.89	0.67	0	1	-0.44	0.11	0
x2	3.33	0	1	0	0.33	-0.33	0
x6	3.11	-1.67	0	0	0.44	-1.11	1
Z	12.22	-0.33	0	0	-0.11	-0.72	0

Оптимальный план можно записать так:

x3 = 0.89

x2 = 3.33

x6 = 3.11

F(X) = 3*3.33 + 2.5*0.89 = 12.22

3. Найти графическим методом целочисленное решение задачи:

Z = x1 max при ограничениях:

х 1 + х 2 + х 3 = 9,

4х 1 + 7х 2 + х 4 = 4,

5х 1 6х 2 + х 5= 6,

хj 0, (j = 1,...,5)

Решим систему методом Гаусса:

Запишем систему в виде:

1	1	1	0	0	9
-4	7	0	1	0	4
5	-6	0	0	1	6

Умножим 1-ую строку на (4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	11	4	1	0	40
-4	7	0	1	0	4
5	-6	0	0	1	6

Умножим 2-ую строку на (5). Умножим 3-ую строку на (4). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	11	4	1	0	40
0	11	0	5	4	44
5	-6	0	0	1	6

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	4	-4	-4	-4
0	11	0	5	4	44
5	-6	0	0	1	6

Необходимо переменные x4, x5 принять в качестве свободных переменных и через них выразить остальные переменные.

Приравняем переменные x4,x5 к 0

Из 1-ой строки выражаем x3

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Необходимо найти максимальное значение целевой функции Z = x1 > max, при системе ограничений:

x1+x2=10 (1)

-4x1+7x2=4 (2)

5x1-6x2?6 (3)

x1?0 (4)

x2?0 (5)

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).



Или

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.

Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию задачи F = x1 > max.

Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = x1 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.



Равный масштаб

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая Z = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

-4x1+7x2=4

5x1-6x2?6

Решив систему уравнений, получим:

x1 = 6, x2 = 4

Откуда найдем максимальное значение целевой функции:

Z(X) = 1*6 + 0*4 = 6

Решение двойственной задачи позволяет определить существенные и несущественные ресурсы и их избытки, а также вычислить объективно обусловленные оценки и составить соотношение устойчивости.

4. Стоимость доставки единицы груза из каждого пункта отправления в соответствующие пункты назначения задана матрицей тарифов

Пункты отправления	1	2	3	4	5	Запасы
1	1	2	3	1	4	180
2	6	3	4	5	2	220
3	8	2	1	9	3	100
Потребности	120	80	160	90	50	500

Условие баланса соблюдается. Запасы равны потребностям. Следовательно, модель транспортной задачи является закрытой.

Этап I. Поиск первого опорного плана.

1. Используя метод наименьшей стоимости, построим первый опорный план транспортной задачи.

Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai, или bj.

Затем, из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя.

Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс распределения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 180, потребности 120. Поскольку минимальным является 120, то вычитаем его.

x11 = min (180,120) = 120.

1	2	3	1	4	180 - 120 = 60
x	3	4	5	2	220
x	2	1	9	3	100
120 - 120 = 0	80	160	90	50	0

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 60, потребности 90. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x14 = min (60,90) = 60.

1	x	x	1	x	60 - 60 = 0
x	3	4	5	2	220
x	2	1	9	3	100
0	80	160	90 - 60 = 30	50	0

Искомый элемент равен 1

Для этого элемента запасы равны 100, потребности 160. Поскольку минимальным является 100, то вычитаем его.

x33 = min(100,160) = 100.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	220
x	x	1	x	x	100 - 100 = 0
0	80	160 - 100 = 60	30	50	0

Искомый элемент равен 2

Для этого элемента запасы равны 220, потребности 50. Поскольку минимальным является 50, то вычитаем его.

x25 = min(220,50) = 50.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	220 - 50 = 170
x	x	1	x	x	0
0	80	60	30	50 - 50 = 0	0

Искомый элемент равен 3

Для этого элемента запасы равны 170, потребности 80. Поскольку минимальным является 80, то вычитаем его.

x22 = min(170,80) = 80.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	170 - 80 = 90
x	x	1	x	x	0
0	80 - 80 = 0	60	30	0	0

Искомый элемент равен 4

Для этого элемента запасы равны 90, потребности 60. Поскольку минимальным является 60, то вычитаем его.

x23 = min(90,60) = 60.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	90 - 60 = 30
x	x	1	x	x	0
0	0	60 - 60 = 0	30	0	0

Искомый элемент равен 5

Для этого элемента запасы равны 30, потребности 30. Поскольку минимальным является 30, то вычитаем его.

x24 = min(30,30) = 30.

1	x	x	1	x	0
x	3	4	5	2	30 - 30 = 0
x	x	1	x	x	0
0	0	0	30 - 30 = 0	0	0

	1	2	3	4	5	Запасы
1	1[120]	2	3	1[60]	4	180
2	6	3[80]	4[60]	5[30]	2[50]	220
3	8	2	1[100]	9	3	100
Потребности	120	80	160	90	50

В результате получен первый опорный план, который является допустимым, так как все грузы из баз вывезены, потребность магазинов удовлетворена, а план соответствует системе ограничений транспортной задачи.

2. Подсчитаем число занятых клеток таблицы, их 7, а должно быть m + n - 1 = 7. Следовательно, опорный план является невырожденным.

Значение целевой функции для этого опорного плана равно:

Z(x) = 1*120 + 1*60 + 3*80 + 4*60 + 5*30 + 2*50 + 1*100 = 1010

Этап II. Улучшение опорного плана.

Проверим оптимальность опорного плана. Найдем предварительные потенциалы ui, vi. по занятым клеткам таблицы, в которых ui + vi = cij, полагая, что u1 = 0.

u1 + v1 = 1; 0 + v1 = 1; v1 = 1

u1 + v4 = 1; 0 + v4 = 1; v4 = 1

u2 + v4 = 5; 1 + u2 = 5; u2 = 4

u2 + v2 = 3; 4 + v2 = 3; v2 = -1

u2 + v3 = 4; 4 + v3 = 4; v3 = 0

u3 + v3 = 1; 0 + u3 = 1; u3 = 1

u2 + v5 = 2; 4 + v5 = 2; v5 = -2

	v1=1	v2=-1	v3=0	v4=1	v5=-2
u1=0	1[120]	2	3	1[60]	4
u2=4	6	3[80]	4[60]	5[30]	2[50]
u3=1	8	2	1[100]	9	3

Опорный план является оптимальным, так все оценки свободных клеток удовлетворяют условию

ui + vi <= cij.

Минимальные затраты составят:

Z(x) = 1*120 + 1*60 + 3*80 + 4*60 + 5*30 + 2*50 + 1*100 = 1010

5. Найдем экстремум функции Z = (х 1-4)2+(x2-6)2, используя функцию Лагранжа:

Где

В качестве целевой функции, подлежащей оптимизации, в этой задаче выступает функция:

Z = (х 1-4)²+(x2-6)²

Перепишем ограничение задачи в неявном виде:



Составим вспомогательную функцию Лагранжа:

Необходимым условием экстремума функции Лагранжа является равенство нулю ее частных производных по переменным хi и неопределенным множителям л.

Составим систему:

?L/?x1 = = 0

?L/?x2 = = 0

?L/?л1 = x1+x2-1 = 0

?L/?л2 = 2x1+3x2-12 = 0

?L/?л3 = x1 = 0

Решим данную систему методом Гаусса:

Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:



Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-1). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.

Приравняем переменную x3 к 0

Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

.

Заключение

моделирование программирование симплекс машиностроение

Одним из необходимых условий дальнейшего развития экономической науки является применение точных методов количественного анализа, широкое использование математики. В экономических науках долгое время преобладали описательный подход и чисто качественный анализ экономических явлений. Это относится и к конкретным экономическим наукам. В области организации и управления машиностроительным производством применяется в основном лишь элементарный математический аппарат, требующий знаний математики в объёме средней школы.

Использование элементов высшей математики весьма ограничено. Очень редко решаются задачи на нахождение максимума или минимума, используется теория вероятности при рассмотрении некоторых задач. В меньшей степени использовался математический аппарат в экономике машиностроительного предприятия.

Использование в экономике математических методов позволяет достигнуть единства качественного анализа с количественным.

В ходе выполнения контрольной работы были изучены:

- решение задач линейного программирования;

- симплекс - метод;

- графический метод решения задачи линейного программирования;

- решение транспортной задачи;

- метод множителей Лагранжа;

- метод Гаусса.

Список использованных источников

1. Маслов А.В. Методы экономико-математического моделирования: Учебное пособие. В 2-х частях. Ч.1. - Юрга: Изд-во ЮТИ ТПУ, 2006. - 114 с.

2. Математическое моделирование в экономике и управлении: Учебное пособие / А.В. Маслов, А.А. Григорьева. - Юрга: Изд-во ЮТИ ТПУ, 2007. - 264 с.

3. Экономико-математическое моделирование: методические указания к выполнению контрольных работ для студентов специальности 080502 "Экономика и управление на предприятии (в машиностроении)" и 080109 "Бухгалтерский учет, анализ и аудит" заочной формы обучения. - Юрга: Изд. ЮТИ ТПУ, 2008. - 36с.

4. Материалы с сайта: http://math.semestr.ru/transp/index.php

Размещено на Allbest.ru

...