Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Финансовый университет при правительстве Российской Федерации

Калужский филиал

Контрольная работа

по дисциплине Методы оптимальных решений

вариант 7

Выполнила:

Сусоева Мария Олеговна

Преподаватель:

Князева И.В.

2013

Содержание

1. Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов

Задача 1

Задача 2

Список используемой литературы

1. Двойственные оценки как инструмент определения эффективности отдельных вариантов

математический линейный программирование

С каждой задачей линейного программирования (ЗЛП) определенным образом (по определенному правилу) связана другая ЗЛП, называемая двойственной к исходной (первоначальной) задаче.

Связь исходной и двойственной задач заключается. В частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой. Имея решение двойственной задачи, которое интерпретируется как совокупность условных оценок участвующих в производстве ресурсов, можно провести экономико-математический анализ оптимального плана исходной задачи и сделать ряд экономически содержательных выводов.

Связь между оптимальными планами пары двойственных задач устанавливают теоремы двойственности.

Первая теорема двойственности (основная). Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая, причем оптимальные значения целевых функций задач равны. Если одна из двойственных задач не разрешима, то неразрешима и другая.

Вторая теорема двойственности (о дополняющей нежесткости). Если при подстановке компонент оптимального плана в систему ограничений исходной задачи i-е ограничение обращается в неравенство, то i-я компонента оптимального плана двойственной задачи равна нулю. Если i-я компонента оптимального плана двойственной задачи положительна, то i-е ограничение исходной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Оптимальные значения переменных двойственной задачи называют двойственными оценками.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства:

1. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

Сказанное позволяет выявить направления "расшивки" узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

2. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

3. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные "нормы заменяемости ресурсов": имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

4. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов.

Задача 1

решение оптимальный переменная программирование

Завод-производитель высокоточных элементов для автомобилей выпускает два различных типа деталей - Х и У. Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.-ч. В неделю. Для производства одной детали типа Х требуется 1 чел.-час, а для производства одной детали типа У - 2 чел.-час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа У в неделю. Каждая деталь типа Х требует 2 кг металлических стержней и 5 кг листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 кг в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа Х своему постоянному заказчику. Существует также профессиональное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей следует производить, чтобы максимизировать общий доход за неделю, если доход от производства одной детали типа Х составляет 30 ден.ед., а от производства одной детали типа У - 40 ден.ед.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решить задачу на минимум и почему?

Решение:

Пусть:

х 1 - количество производимых деталей Х

х 2 - количество производимых деталей У

Целевая функция:
max z = 30 • x + 40 • у	Необходимо максимизировать общий доход завода
Ограничения:
х + 2• у ? 4000	Фонд рабочего времени в неделю ограничен 4000 часами
х ? 2250 у ? 1750	Ограничение по производственной мощности завода (может производить максимум 2250 ед. деталей Х и 1750 деталей У в неделю)
2 • х + 5 • у ? 10 000	Уровень запасов стержней ограничен 10 000 ед.
5 • х + с • у ? 10 000	Уровень запасов листов ограничен 10 000 ед.
х ? 600	Ограничение по количеству деталей Х (необходимо минимум 600 ед. в неделю)
x + y ? 1500	Ограничение по количеству деталей, производимых на заводе (необходимо минимум 1500 ед. в неделю)
x; у ? 0	Количество потребляемых кормов не может быть отрицательным

Решим задачу графически.

Рисунок 1. Графическое решение задачи

Область решения задачи ограничена кривыми ограничений целевой функции и представлена на графике штриховкой.

Направление роста целевой функции показывает градиент этой функции.

Исходя из графика, максимальное значение функции z будет при пересечении графиков

х + 2у = 4000

и 5х + 2у = 10000.

Решив систему уравнений получим х = 1500 у = 1250

Таким образом, максимально возможная прибыль составляет

z = 30 • 1500 + 40 • 1250 = 95000 ден.ед.

Минимальная выручка будет в точке х = 1500 у = 0 и составит

zmin = 30 • 1500 = 45000 ден.ед

Задача 2

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн.руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании.

Линейная модель имеет вид:

Yr(t) = a0 + a1 • t.

Параметры модели оценим с помощью МНК:

a1 = ? (xi - xcr) • (yi - ycr) / ? (xi - xcr)2

a0 = ycr - a1 • xcr

Составим разработочную таблицу:

	х	у	(yi - ycr)	(xi - xcr)	(xi - xcr)2	(xi - xcr) • (yi - ycr)
	1	20	-22,333	-4	16	89,333
	2	27	-15,333	-3	9	46,000
	3	30	-12,333	-2	4	24,667
	4	41	-1,333	-1	1	1,333
	5	45	2,667	0	0	0,000
	6	51	8,667	1	1	8,667
	7	51	8,667	2	4	17,333
	8	55	12,667	3	9	38,000
	9	61	18,667	4	16	74,667
Сумма	45	381	0,000	0	60	300,000
Среднее	5	42,333333	0,000	0	6,667	33,333

Отсюда

a1 = 300 / 60 = 5

a0 = 42,33 - 5 • 5 = 17,33

Таким образом, линейная модель имеет вид:

Yr(t) = 17,33 + 5 • t

Построим адаптивную модель Брауна 1

По первым пяти точкам ряда оцениваем значения а 1 и а 0 параметров модели с помощью МНК

	х	у	уi - ycr	xi - xcr	(xi - xcr)2	(xi-xcr)•(yi-ycr)
	1	20	-12,600	-2	4	25,200
	2	27	-5,600	-1	1	5,600
	3	30	-2,600	0	0	0,000
	4	41	8,400	1	1	8,400
	5	45	12,400	2	4	24,800
Сумма	15	163	0	0	10	64
Среднее	3	32,6	0	0	2	12,8

Получаем

a1 = 64 / 10 = 6,4

a0 = 32,6 - 6,4 • 3 = 13,4

которые соответствуют моменту времени t=0

Прогноз на первый шаг у 1расч = а 0(0) + а 1(0) = 6,4 + 13,4 = 19,8

Величина отклонения: е = 20 - 19,8 = 0,2

Корректируем параметры (б = 0,4; в = 0,6)

a0(t) = a0(t-1) + a1(t-1) + (1 - в2) е (t) = 13,4 + 6,4 + (1 - 0,62) • 0,2) = 19.928

a1(t) = a1(t-1) + (1 - в) 2 е (t) = 6.4 + (1 - 0,6) 2 • 0,2 = 6.432

Далее расчеты производятся аналогично.

t	y	a0	a1	yr	е
0		13,400	6,400
1	20	19,928	6,432	19,800	0,200
2	27	26,770	6,534	26,360	0,640
3	30	31,189	6,006	33,304	-3,304
4	41	39,630	6,615	37,195	3,805
5	45	45,448	6,415	46,245	-1,245
6	51	51,311	6,277	51,863	-0,863
7	51	53,372	5,223	57,588	-6,588
8	55	56,294	4,648	58,595	-3,595
9	61	60,979	4,657	60,942	0,058

Построим адаптивную модель Брауна 2

Производятся аналогичные расчеты для б = 0,7; в = 0,3

t	y	a0	a1	yr	е
0		13,400	6,400
1	20	19,982	6,498	19,800	0,200
2	27	26,953	6,753	26,480	0,520
3	30	30,334	4,937	33,706	-3,706
4	41	40,484	7,744	35,270	5,730
5	45	45,291	6,162	48,229	-3,229
6	51	51,041	5,940	51,453	-0,453
7	51	51,538	3,010	56,981	-5,981
8	55	54,959	3,231	54,548	0,452
9	61	60,747	4,608	58,190	2,810

Графики построенных моделей представлены на рисунке:



Рисунок 2 Временной ряд и построенные модели

Проведем качества каждой из моделей.

Линейная модель:

х	у	yr	е	е 2	yi-ycr	(yi-ycr)2	е / y	Точки поворота
1	20	22,333	-2,333	5,444	-22,333	498,778	11,667
2	27	27,333	-0,333	0,111	-15,333	235,111	1,235	+
3	30	32,333	-2,333	5,444	-12,333	152,111	7,778	+
4	41	37,333	3,667	13,444	-1,333	1,778	8,943	+
5	45	42,333	2,667	7,111	2,667	7,111	5,926	+
6	51	47,333	3,667	13,444	8,667	75,111	7,190	+
7	51	52,333	-1,333	1,778	8,667	75,111	2,614
8	55	57,333	-2,333	5,444	12,667	160,444	4,242	+
9	61	62,333	-1,333	1,778	18,667	348,444	2,186
Итого	381			54,000		1554,000	51,780
Среднее	42,333							2,565

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как



Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3,1 - модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F-критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F-критерия Фишера равно 5,14 и поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 5,75 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 1:

х	у	yr	е	е 2	yi-ycr	(yi-ycr)2	е / y	Точки поворота
1	43	19,928	0,072	0,005	-22,333	498,778	0,360
2	47	26,770	0,230	0,053	-15,333	235,111	0,853	+
3	50	31,189	-1,189	1,415	-12,333	152,111	3,965	+
4	48	39,630	1,370	1,876	-1,333	1,778	3,341	+
5	54	45,448	-0,448	0,201	2,667	7,111	0,996	+
6	57	51,311	-0,311	0,097	8,667	75,111	0,610	+
7	61	53,372	-2,372	5,625	8,667	75,111	4,650	+
8	59	56,294	-1,294	1,675	12,667	160,444	2,353
9	65	60,979	0,021	0,000	18,667	348,444	0,034
Итого	381			10,947		1554,00	17,162	6
Среднее	42,333

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3 - модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:



Значение коэффициента F-критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F-критерия Фишера равно 5,14 и поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия не попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 1,907 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Модель Брауна 2:

х	у	yr	е	е 2	yi-ycr	(yi-ycr)2	е / y	Точки поворота
1	43	19,800	0,200	0,040	-22,333	498,778	1,000
2	47	26,480	0,520	0,270	-15,333	235,111	1,926	+
3	50	33,706	-3,706	13,734	-12,333	152,111	12,353	+
4	48	35,270	5,730	32,828	-1,333	1,778	13,975	+
5	54	48,229	-3,229	10,425	2,667	7,111	7,175	+
6	57	51,453	-0,453	0,205	8,667	75,111	0,888	+
7	61	56,981	-5,981	35,774	8,667	75,111	11,728	+
8	59	54,548	0,452	0,204	12,667	160,444	0,822
9	65	58,190	2,810	7,894	18,667	348,444	4,606
Итого	381			101,375		1554,000	54,472	6
Среднее	42,333						1,000

Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить как

Учитывая, что неравенство выполняется, то есть 6 > 3 - модель адекватна

Рассчитаем коэффициент детерминации по формуле:

Коэффициент детерминации:

Значение коэффициента F-критерия Фишера:

Табличное значение коэффициента F-критерия Фишера равно 5,14 и поскольку Fрас>Fтаб, уравнение регрессии следует признать адекватным.

Проверим соответствие ряда остатков нормальному распределению по RS-критерию.

Учитывая, что полученное значение RS критерия не попадает в интервал от 2,7 до 3,7, то уровни ряда остатков не подчиняются нормальному закону распределения.

Средняя относительная ошибка аппроксимации:

Еотн = 6,05 < 7, что свидетельствует о хорошем качестве модели.

Таким образом можно сделать вывод об адекватности Линейной модели и Модели Брауна 1. Наиболее точна модель Брауна 1.

Построим прогноз спроса на следующие две недели на основе построенных моделей.

Линейная модель:

При вероятности 0,7 tб = 1,119

1) При t=10

t(10)= 17,33 + 5 • 10 = 67,33

Или от 63,74 до 70,92.

2) При t=11

t(10)= 17,33 + 5 • 11 = 72,33

Или от 68,53 до 76,13.

Модель Брауна 1:

1) При t=10

у (10)= а 0(9) + а 1(9) • 1 = 60,979 + 4,657 • 1 = 65,636

2) При t=11

у (11)= а 0(9) + а 1(9) • 2 = 60,979 + 4,657 • 2 = 70,293

Модель Брауна 2:

3) При t=10

у (10)= а 0(9) + а 1(9) • 1 = 60,747 + 4,608 • 1 = 65,355

4) При t=11

у (10)= а 0(9) + а 1(9) • 1 = 60,747 + 4,608 • 2 = 69,963



Рисунок 2 Прогноз временного ряда по построенным моделям.

Список используемой литературы

1. Орлова И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование. Учебное пособие. - 3-е изд., перераб. И доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. - 389с.

2. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - 2-е изд., испр. И доп. - М.: Вузовский учебник: ИНФРА-М, 2012. - 140с.

3. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели.- М.:ЮНИТИ,2002.

Размещено на Allbest.ru

...