Определение оптимального плана выпуска продукции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Пермский государственный технический университет»

Чайковский филиал

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра АИИТ

Курсовая работа

По дисциплине «Методы и модели в экономике»

Определение оптимального плана выпуска продукции

Выполнил: Селиванов М.С.

Группа: ЭиУ-07 дн.

Проверил: Лабутина Т.В.

Чайковский 2009

Содержание

симплексный двойственный прибыль выпуск

Введение

Глава 1. Постановка задачи

Глава 2. Нахождение оптимального плана выпуска продукции

2.1 Решение задачи линейного программирования симплексным методом

2.2 Графическое решение задачи линейного программирования (геометрическая интерпретация процесса решения задачи симплексным методом)

Глава 3. Построение и решение двойственной задачи

Глава 4. Экономико-математический анализ двойственных оценок. Определение устойчивости двойственных оценок

4.1 Экономико-математический анализ двойственных оценок

4.2 Определение пределов устойчивости двойственных оценок

4.3 Влияние изменения запасов ресурсов на максимальное значение прибыли и план выпуска продукции

Заключение

Список используемой литературы

Введение

Экономико-математическое моделирование в настоящее время один из основных инструментов экономического анализа, который в условиях рыночной экономики и при постоянной конкурентной борьбе помогает руководству предприятий принять правильное производственное решение, влияющее в дальнейшем на деятельность данных предприятий. Именно от принятого решения зависит экономическое состояние организаций, конкурентоспособность и эффективность их деятельности.

Рассмотрим деятельность некоторого предприятия, которое занимается производством и реализацией кроватей и диванов, используя в качестве ресурсов дер. вставки, подушки и матрасы, в будущем предприятие собирается выпускать кресла. Чтобы руководство предприятия смогло принять наиболее рациональное решение, проведем анализ работы предприятия с помощью экономико-математического моделирования. Использование полученного решения руководством предприятия может оказаться дешевле, чем проведение необдуманных экономических экспериментов, поможет спрогнозировать развитие ситуации при изменении конъюнктуры рынка сырья и потребления.

Глава 1. Постановка задачи

Предприятие специализируется на выпуске двух видов продукции:

Кровати;

Диваны.

При выпуске данных видов продукции предприятие использует три вида ресурсов:

Дер. вставки;

Подушки;

Матрасы.

Известны нормы расхода ресурсов на единицу выпускаемой продукции:

на изготовление кровати:

Вставки - 2 единицы;

Подушки - 2 единицы;

Матрасы - 5 единиц.

на изготовление дивана:

Вставки - 3 единицы;

Подушки - 7 единиц;

Матрасы - 2 единицы.

Также известно, что фонды ресурсов ограничены, и предприятие имеет в наличии: Вставок - 41 единицу, Подушек - 77 единиц, Матрасов - 75 единиц. Прибыль предприятия от реализации единицы кровати составляет 7 денежных единиц, а от реализации единицы дивана - 6 денежных единиц (Таблица 1).

Таблица 1

Вид ресурса	Норма ресурса на единицу продукции	Количество ресурсов
	Кровать	Диван
вставки	2	3	41
подушки	2	7	77
матрасы	5	2	75
Прибыль	7	6

Принимая во внимание эти данные предприятию необходимо правильно определить оптимальный план выпуска продукции, а именно, сколько ему необходимо выпустить каждого из двух видов товара при ограниченных ресурсах, чтобы получить максимальную прибыль. Следовательно, критерием будет прибыль.

Пусть х1 - количество выпускаемых кроватей;

х2 - количество выпускаемых диванов.

Построим экономико-математическую модель задачи линейного программирования:

L = 7x1 + 6x2 > max

2x1 + 3x2 ? 41

2x1 + 7x2 ? 77

5x1 + 2x2 ? 75

x1,2 ? 0

В блоке условий знак «меньше или равно», так как использовать ресурса больше, чем есть в запасе нельзя.

Переменные не могут принимать отрицательные значения, так как количество выпускаемой продукции не может быть меньше нуля.

Глава 2. Нахождение оптимального плана выпуска продукции

2.1 Решение задачи линейного программирования симплексным методом

Приведем экономико-математическая модель задачи линейного программирования к канонической форме.

Задача представлена в канонической форме, если:

критерий стремится к максимуму

все условия представлены в виде равенств

все переменные неотрицательны

Чтобы привести условия к равенству, необходимо в левую часть условий ввести новую неотрицательную переменную (дополнительную переменную). Она будет входить в критерий с коэффициентом “ноль”.

L = 7x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 > max

2x1 + 3x2 + x3 = 41

2x1 + 7x2 + x4 = 77

5x1 + 2x2 + x5 = 75

xi ? 0, i = 1,5

Переменные x3, x4, x5 - базисные (это такая переменная , которая входит в одно из уравнений в систему условий с коэффициентом +1).

Построим исходную симплекс-таблицу (Таблица 2).

Таблица 2

Базис	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	?
х3	41	2	3	1	0	0	20 1/2
х4	77	2	7	0	1	0	38 1/2
х5	75	5	2	0	0	1	15
(-L)	0	7	6	0	0	0

разрешающая строка

<

^

разрешающий столбец

Таблица 2 является не оптимальной и не последней, так как в строке (-L) есть положительные элементы, следовательно, продолжим решение и выполним пересчет Таблицы 2 (Таблица 3).

Таблица 3

Базис	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	?
х3	11	0	11/5	1	0	-2/5	5
х4	47	0	31/5	0	1	-2/5	7 18/31
х1	15	1	2/5	0	0	1/5	37 1/2
(-L)	- 105	0	16/5	0	0	-7/5

<

разрешающая строка

^

разрешающий столбец

Таблица 3 является не оптимальной и не последней. Продолжим решение и выполним пересчет данной таблицы (Таблица 4).

Таблица 4

Базис	Свободные члены	x1	x2	x3	x4	x5	?
х2	5	0	1	5/11	0	-2/11
х4	16	0	0	-31/11	1	8/11
х1	13	1	0	-2/11	0	3/11
(-L)	- 121	0	0	-16/11	0	-9/11

Таблица 4 является оптимальной и последней, так как в строке (- L) все элементы неположительные.

Следовательно: x1* = 13, x2* = 5, L* = 121. Проверим, подставив значения x1* и x2* в формулу критерий:

L* = 7x1 + 6x2 = 7*13 + 6*5 = 121

Для того чтобы предприятие получило максимальную прибыль в размере 121 денежной единицы, необходимо выпустить кроватей в количестве 13 единиц, диванов в количестве 5 единиц.

2.2 Графическое решение задачи линейного программирования (геометрическая интерпретация процесса решения задачи симплексным методом)

Экономико-математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

L = 7x1 + 6x2 > max

2x1 + 3x2 ? 41

2x1 + 7x2 ? 77

5x1 + 2x2 ? 75

x1,2 ? 0

Строим систему координат x10x2. В этой системе построим допустимое множество задачи (Рисунок 1).

Ограничения x1,2 ? 0 образуют, угол x10x2 за пределы которого допустимое множество выходить не может. Определим полуплоскости каждого условия:

1) 2x1 + 3x2 ? 41 (10; 7) 2) 2x1 + 7x2 ? 77 (0; 11) 3) 5x1 + 2x2 ? 75 (11;10)

2x1 + 3x2 = 41 (7; 9) 2x1 + 7x2 = 77 (14; 7) 5x1 + 2x2 = 75 (15; 0)



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Графическое решение задачи линейного программирования

Допустимое множество получилось выпуклым многогранником, следовательно, задача разрешима.

Любая точка этого многогранника удовлетворяет всем условиям задачи и может быть ее решением. Нам необходимо найти оптимальное решение данной задачи, и для этого построим линию критерия (L).

Чтобы построить прямую критерия, сначала построим вектор C, начало которого лежит в точке с координатами (0;0), а конец в точке с координатами (7;6), соответствующими коэффициентам в критерии.

В точке (0;0) перпендикулярно вектору С проводим прямую, которая и будет линией критерия.

Передвигаем прямую критерия (L) в сторону увеличения - по вектору С до последней точки допустимого множества (L*). Координаты точки, через которую проходит прямая L* и будут оптимальными значениями x1* и x2*.

x1* = 13

x2* = 5

Определим оптимальное значение критерия:

L* = 7x1 + 6x2 = 7*13 + 6*5 = 121

Таким образом, мы получим тот же ответ, что и при решении задачи симплексным методом. Для получения максимальной прибыли в размере 121 денежной единицы предприятию необходимо выпустить кроватей - 13 единиц, диванов - 5 единиц.

Решение задачи симплексным методом можно наблюдать по графику (Рисунок 1). Геометрически симплексный метод интерпретируется как движение по соседним угловым точкам многогранника решений в сторону увеличения критерия (если критерий стремится к максимуму).

Возьмем из каждой симплекс-таблицы значения переменных и найдем соответствующие точки на графике.

1) Таблица 3 соответствует угловой точке допустимого множества решений «В» с координатами (15;0),

2) Таблица 4 соответствует угловой точке «С» с координатами (13;5). Данная точка является оптимальной.

Глава 3. Построение и решение двойственной задачи

Задачи являются симметричными, так как все условия имеют вид неравенств и все переменные ограничены по знаку.

Прямая задача (исходная) имеет вид:

L = 7x1 + 6x2 > max

2x1 + 3x2 ? 41

2x1 + 7x2 ? 77

5x1 + 2x2 ? 75

x1,2 ? 0

Каждому условию прямой задачи ставим в соответствие двойственную переменную yi, и пользуясь правилами, построим двойственную задачу:

L = 41y1 + 77y2 + 75y3 > min

2y1 + 2y2 + 5y3 ? 7

3y1 + 7y2 + 2y3 ? 6

yi ? 0; i =

Рассмотрим экономический смысл двойственной задачи.

Экономический смысл прямой задачи - выпуск продукции из ресурсов. Двойственная задача описывает ситуацию, при которой предприятие вместо выпуска продукции продает ресурсы.

Экономический смысл двойственной переменной yi - стоимость единицы ресурса определенного вида.

Коэффициент перед двойственной переменной - количество ресурса определенного вида, необходимое для производства определенного вида продукции. Следовательно:

2 - это количество вставок необходимых для производства единицы количества кроватей, y1 - стоимость одной единицы вставки. Таким образом, 2y1 - это стоимость всех вставок, идущих на производство одной единицы кровати.

2 - это количество подушек, необходимых для производства единицы количества кровати, y2 - стоимость одной единицы подушки. А 2y2 - стоимость всех подушек, идущих на производство одной единицы количества кровати.

5 - количество матрасов, необходимых для производства единицы количества кровати, y3 - стоимость одной единицы матрасов, 5y3 - стоимость всех матрасов, идущих на производство одной единицы количества кровати.

Таким образом, 2y1 + 2y2 + 5y3 - стоимость всех ресурсов, идущих на производство одной единицы количества продукции - кровати.

Правая часть условия - это деньги в размере 7 денежных единиц, которые предприятие получит от продажи единицы готовой продукции - кровати.

3 - количество вставок необходимых для производства единицы количества диванов, 3y1 - стоимость всех вставок, идущих на производство одной единицы количества диванов.

7 - это количество подушек, необходимых для производства единицы количества диванов, 7y2 - стоимость всех подушек, идущих на производство одной единицы количества диванов.

2 - количество матрасов, необходимых для производства единицы количества диванов, 2y3 - стоимость всех матрасов, идущих на производство одной единицы количества диванов.

Таким образом, 3y1 + 7y2 + 2y3 - стоимость всех ресурсов, идущих на производство одной единицы количества продукции - дивана.

Правая часть условия - деньги в размере 6 денежных единиц, которые предприятие получит от продажи готовой единицы продукции - дивана.

Следовательно, условие задачи отражает тот факт, что в случае продажи ресурсов предприятие должно получить не меньше той суммы, которую оно получило бы от реализации готовой продукции. То есть условия отражают интересы продавца.

Интересы покупателя отражает критерий:

L = 41y1 + 77y2 + 75y3 > min

41 - количество (запасы) вставок.

77 - количество подушек.

75 - запасы матрасов.

41y1 - стоимость всего ресурса - вставок.

77y2 - стоимость всего запаса подушек.

75y3 - стоимость всего запаса матрасов.

Критерий отражает тот факт, что покупатель старается заплатить за все ресурсы минимальную стоимость.

Найдем оптимальное решение двойственной задачи с помощью теорем двойственности.

Подставим оптимальные значения прямой задачи: х1* = 13, х2* = 5 в условия прямой задачи.

Первое условие:

2x1 + 3x2 ? 41

2*13 + 3*5 ? 41

41 = 41

Условие выполняется как равенство, следовательно, по теореме номер пять, соответствующая двойственная переменная положительная, то есть у1* > 0.

Второе условие:

2x1 + 7x2 ? 77

2*13 + 7*5 ? 77

61 < 77

Условие выполняется как не равенство, следовательно, по теореме номер четыре соответствующая переменная равна нулю: у2* = 0.

Третье условие:

5x1 + 2x2 ? 75

5*13 + 2*5 ? 75

75 = 75

Условие выполняется как равенство, следовательно, по теореме номер пять, соответствующая двойственная переменная положительная, то есть у3* > 0.

Учитывая, что у2* = 0 перепишем систему условий:

2у1* + 5у3* ? 7

3у1* + 2у3* ? 6

Так как задача линейного программирования достигает своего оптимального решения в угловой точке многогранника решений, где пересекаются прямые, то для нахождения оптимальных значений переменных заменим неравенства на равенства:

2у1* + 5у3* = 7

3у1* + 2у3* = 6

В результате вычислений получим следующие оптимальные значения двойственных переменных:

у1* = 16/11

у2* = 0

у3* = 9/11

Вычислим оптимальное значение критерия:

L* = 41y1* + 77y2* + 75y3* = 41*16/11 + 77*0 + 75*9/11 =121

Оптимальные значения критериев прямой и двойственной задач совпали, что подтверждает вторая теорема двойственности.

Значения двойственных переменных можно найти в последней симплекс-таблице (Таблица 4), в строке (-L) в столбцах начального базиса (х3, х4, х5) с коэффициентом минус единица.

Таким образом, для того чтобы предприятие получило от продажи ресурсов такую же прибыль, как и от продажи готовой продукции, ему необходимо продать весь запас вставок по цене 16/11 денежных единиц за единицу ресурса и весь запас матрасов по цене 9/11 денежных единиц за единицу ресурса.

Глава 4. Экономико-математический анализ двойственных оценок. Определение пределов устойчивости двойственных оценок

4.1 Экономико-математический анализ двойственных оценок

Экономико-математический анализ базируется на свойствах двойственных оценок.

Двойственные оценки соответствуют ресурсам:

у1* = 16/11 - вставки;

у2* = 0 - подушки;

у3* = 9/11 - матрасы.

1) По величине двойственной оценки ресурса можно узнать, на сколько увеличилось бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на единицу.

Следовательно, увеличение количества вставок на единицу позволит увеличить прибыль на 16/11 денежных единиц. Увеличив количество матрасов на единицу, получим увеличение прибыли на 9/11 денежных единиц. А увеличение количества подушек никак не повлияет на прибыль предприятия.

2) По двойственным оценкам можно судить о дефицитности ресурсов. Наиболее дефицитными является вставки, так как этот ресурс имеет самую высокую оценку. Менее дефицитен матрасы. А подушки находятся в избытке, так как у2* = 0, избыток составляет 16 единиц.

На избыточность данного ресурса указывает и то, что при подстановке значений х1* и х2* в условия прямой задачи первое условие выполнилось как строгое неравенство, следовательно, используется не весь ресурс.

3) Оценим относительную взаимозаменяемость ресурсов. Это можно сделать только для ненулевых двойственных оценок.

В данной задаче относительная взаимозаменяемость определяется соотношением:

16/11 : 9/11 = 16/9

Если увеличить количество вставок на 9 единиц, то прибыль увеличится на 141/11 денежных единиц:

? L max = 16/11 * 9 = 141/11

Если количество матрасов увеличить на 16 единиц, то прибыль увеличится на 141/11 денежных единиц:

? L max = 9/11 * 16 = 141/11

Таким образом, чтобы получить одинаковое увеличение значения критерия - прибыли на 141/11 денежную единицу, нужно увеличить количество вставок на 9 единиц или количество матрасов на 16 единиц.

4) С помощью двойственных оценок можно определить выгодность новых продуктов, эффективность новых технологических способов.

Пусть предприятию наряду с кроватями и диванами предлагается выпускать третий вид продукции - кресла. Нормы затрат ресурсов на единицу этой продукции следующие: вставки 1 единица, подушки 5 единиц, матрасы 3 единицы.

Прибыль, которую предприятие может получить от продажи нового изделия составляет 3 денежные единицы.

Определим выгодно ли для предприятия выпускать данный вид продукции.

Вычислим значение ?j по формуле:

?j = ? aij*yi - Cj

?j = 1*16/11 + 5*0 + 3*9/11 - 3 = 10/11 > 0.

Так как этот показатель оказался больше нуля, то кресла по цене 3 денежные единицы выпускать не выгодно. Для предприятия вводить этот вид продукции в производство нецелесообразно.

5) Сопоставим оценку затрат и прибыли с помощью двойственных оценок. Подставим значения двойственных оценок в условия двойственной задачи.

Первое условие (для кроватей):

2у1 + 2у2 + 5у3 ? 7,

2*16/11 +2* 0 + 5*9/11 ? 7,

7 = 7.

Второе условие (для диванов):

3у1 + 7у2 + 2у3 ? 6,

3*16/11 + 7*0 + 2*9/11 ? 6,

6 = 6.

Условия выполняются как равенства, следовательно, эти виды продукции выпускать экономически целесообразно, что и подтверждается оптимальным решением прямой задачи.

Итак, двойственные оценки тесно связаны с оптимальным планом прямой задачи. Всякое изменение исходных данных прямой задачи может оказать влияние, как на ее оптимальный план, так и на систему оптимальных двойственных оценок. Поэтому, чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок, нужно знать их интервал устойчивости.

4.2 Определение пределов устойчивости двойственных оценок

Анализ устойчивости двойственных оценок позволяет проанализировать устойчивость оптимального плана прямой задачи относительно изменений свободных членов условий, оценить степень влияния изменений bi (первоначального количества i - того ресурса) на максимальное значение целевой функции и дает возможность определить наиболее целесообразный вариант возможных изменений первоначального количества ресурса (bi).

Данные необходимые для этого анализа возьмем из последней симплекс таблицы (Таблица 4).

Определим интервалы устойчивости двойственных оценок по отношению к изменениям ресурсов каждого вида, для этого найдем компоненты вектора, то есть пределы изменения количества ресурса, при которых значения двойственных оценок остаются прежними и могут быть использованы для анализа:

b1 + ?b1 5/11 0 -2/11 41 + ?b1

BП№ * b2 + ?b2 = -31/11 1 8/11 * 77 + ?b2 =

b3 + ?b3 -2/11 0 3/11 75 + ?b3

5/11 * (41 + ?b1) + 0 * (77 + ?b2) + (-2/11) * (75 + ?b3)

= (-31/11) * (41 + ?b1) + 1 * (77 + ?b2) + 8/11 * (75 + ?b3) =

(-2/11) * (41 + ?b1) + 0 * (77 + ?b2) + 3/11 * (75 + ?b3)

5 + 5/11?b1 - 2/11?b3

= 16 - 31/11?b1 + ?b2 + 8/11?b3

13 - 2/11?b1 + 3/11?b3.

Компоненты полученного вектора должны быть неотрицательны, следовательно:

5 + 5/11?b1 - 2/11?b3 > 0

16 - 31/11?b1 + ?b2 + 8/11?b3 > 0 (формула 4.1)

13 - 2/11?b1 + 3/11?b3 > 0

Определим пределы изменения каждого ресурса при неизменности остальных ресурсов, при которых значения двойственных оценок не изменяются.

1) Определим, в каких пределах может меняться количество вставок, если количество подушек и матрасов останется прежним, то есть ?b2 = 0 и ?b3 = 0:

5 + 5 /11?b1 > 0 ?b1 > -11

16 - 31 /11?b1 > 0 <=> ?b1 < 5 21/31

13 - 2 /11?b1 > 0 ?b1 < 71 1/2

В результате получим пределы:

-11 < ?b1 < 5 21/31 (формула 4.2)

30 < b1 < 46 21/31

При неизменном количестве подушек и матрасов, количество вставок можно уменьшить на 11 единиц или увеличить на 5 21/31 единиц, при этом значения двойственных оценок не изменяется. Само количество вставок может меняться от 30 до 46 21/31 единиц.

2) Определим, в каких пределах может меняться количество подушек, если количество вставок и матрасов останется неизменным: ?b1 = 0 и ?b3 = 0:

16 + ?b2 > 0

?b2 > - 16 b2 > 61

При неизменном количестве вставок и матрасов, количество подушек можно уменьшить на 16 единиц, при этом значения двойственных оценок не изменяется. Само количество подушек может меняться от 61 до бесконечности.

3) Определим, в каких пределах может меняться количество матрасов, если количество вставок и количество подушек останется неизменным: ?b1 = 0 и ?b2 = 0:

5 - 2/11?b3 > 0 ?b3 < 27,5

16 + 8/11?b3 > 0 <=> ?b3 > - 22

13 + 3/11?b3 > 0 ?b3 > - 47 2/3

В результате получим пределы:

-22 < ?b3 < 27,5 (формула 4.3)

53 < ?b3 < 97 2/3

При неизменном количестве вставок и подушек, количество матрасов можно уменьшить на 22 единицы или увеличить на 27,5 единиц, при этом значения двойственных оценок не изменяется. Само количество матрасов может меняться от 53 до 97 2/3 единиц.

4.3 Влияние изменения запасов ресурсов на максимальное значение прибыли и план выпуска продукции

Пусть количество вставок увеличится на 4 единицы, количество подушек уменьшится на 3 единицы, а количество матрасов останется неизменным: ?b1 = +4, ?b2 = - 3, ?b3 = 0.

1) Рассмотрим раздельное влияние:

а) количество вставок увеличивается на 4 единицы, а количество матрасов и подушек остается неизменным.

?b1 = +4

Проверим, удовлетворяет ли это значение соответствующему пределу устойчивости двойственных оценок (см. формула 4.2). Значение ?b1 = +4 входит в этот предел. Следовательно, для определения приращения максимального значения критерия можно воспользоваться формулой:

? L* = y1* * ?b1 = 16/11 * 4 = 5 9/11

Чтобы определить план выпуска продукции при данном изменении ресурса, воспользуемся данными последней симплекс-таблицы (см. таблица 4), а точнее столбца х3, в котором в строке (-L) находится двойственная оценка данного ресурса (со знаком «минус»). Эта же переменная была базисной в первом условии задачи при приведении ее к каноническому виду.

Для вычисления нового значения х1*, берем данные строки х1:

х1* = 13 + (-2/11) * 4 = 12 3/11

Вычислим новое значение х2*:

х2* = 5 + 5/11 * 4 = 6 9/11

Значение критерия при данном плане выпуска продукции можно вычислить следующими способами: используя двойственную оценку и по формуле критерия.

L* = 121 + ? L* = 121 + 5 9/11 = 126 9/11

L* = 7x1* + 6x2* = 7 * 12 3/11 + 6 * 6 9/11 = 126 9/11

Таким образом, увеличение количества вставок на 4 единицы, при неизменном количестве матрасов и подушек, приведет к увеличению прибыли предприятия на 5 9/11 денежных единиц. План выпуска кроватей составит 12 3/11 единицы, план по диванам составит 6 9/11 единиц. Прибыль предприятия при этом составит 126 9/11 денежных единиц.

б) количество подушек уменьшится на 3 единицы, а количество матрасов и вставок останется неизменным.

?b2 = -3

Т.к. этот ресурс находиться в избытке, в количестве 16 единиц, то это уменьшение не повлияет на прибыль.

в) количество матрасов не изменится, неизменным остается и количество вставок и подушек. ?b3 = 0

Следовательно, план выпуска и прибыль предприятия останутся неизменными.

2) Рассмотрим совместное влияние:

Чтобы выяснить останется ли прежним оптимальный план двойственной задачи, при совместном изменении ресурсов, нужно проверить удовлетворяют ли данные значения ?b1 = +4, ?b2 = -3и ?b3 = 0 системе неравенств (см. формула 4.1).

Для этого подставляем эти значения в систему:

5 + 5/11 * 4 - 2/11 * 0 = 6 9/11 > 0

16 - 31/11* 4 + 3 + 8/11 * 0 = 1 8/11 > 0

13 - 2/11*4 + 3/11 * 0 = 12 3/11 > 0

Данные значения удовлетворяют данной системе неравенств.

Следовательно, несмотря на изменение объемов ресурсов в указанных размерах, значения двойственных оценок не меняются и могут быть использованы для анализа.

Определим приращение максимального значения критерия при данных изменениях количества ресурсов:

? L* = у1* * ?b1 + y2* * ?b2 + y3* *?b3 = 16/11 * 4 + 0 * (-3) + 9/11 * 0 = 5 9/11

Это значит, что уменьшение количества подушек на 3 единицы и увеличение количества вставок на 4 единицы, при неизменном количестве матрасов приведет к возможности построения такого плана выпуска продукции, при котором прибыль предприятия увеличиться на 5 9/11 ден. единиц.

Определим план выпуска продукции при данном изменении ресурсов. Для расчета используем данные всех трех столбцов последней симплекс-таблицы (см. таблица 2.3.): х3, х4, х5, и соответствующих строк:

х1* = 13 + (-2/11) * 4 + 0 * (-3) + 0 * 3/11 = 12 3/11

х2* = 5 + 5/11 * 4+ 0 *(-3) + 0 * (-2/11) = 6 9/11

Вычислим значение критерия:

L* = 121 + y1* * ?b1 + y2* * ?b2 + y3* * ?b3 = 126 9/11

L* = 7 * x1 + 6 * x2 = 126 9/11

Таким образом, при уменьшении количества подушек на 3 единицы и увеличении количества вставок на 4 единицы, при неизменном количестве матрасов, план выпуска продукции будет следующим: 12 3/11 - кроватей; 6 9/11 - диванов. Прибыль при этом составит 126 9/11 денежных единиц.

Заключение

Проведя анализ работы предприятия с помощью экономико-математического моделирования, можно сделать выводы: предприятие получит максимальную прибыль в размере 121 денежных единиц, если его план выпуска продукции будет включать 13 единиц кроватей и 5 единиц диванов, при наличии ограниченных ресурсов: вставки 41 единица, подушки 77 единиц и матрасы 75 единиц. Предприятию экономически целесообразно выпускать кровати и диваны, а вот вводить в производство новый вид продукции - кресло ему не следует, так как стоимость затраченных на его изготовление ресурсов будет больше, чем прибыль, полученная от его продажи. Если предприятие увеличит количество вставок на 4 единицы, это принесет ему прибыль в размере 5 9/11 денежных единиц. Если сократит количество подушек на 3 единицы, то это никак не повлияет на прибыль.

Данный анализ может помочь принять верное решение руководству предприятия, но не может использоваться непосредственно как готовое управленческое решение. Принятие практических управленческих решений остается за руководством предприятия.

Список используемой литературы

1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие для студентов экономических вузов. - М.: Высшая школа, 1986 г.

2. Лабутина Т.В. Экономико-математическое программирование. Учебное пособие. Часть 2. - Чайковский филиал ПГТУ, 2001.

3. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебное пособие для вузов. / Под редакцией В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2000 г.

Размещено на Allbest.ru

...