Методы решения типовых задач оптимизации
Методы нелинейной и дискретной оптимизации. Графический метод решения задач оптимизация. Анализ динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.06.2013 |
| Размер файла | 455,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Задание 1. Методы нелинейной и дискретной оптимизации
- Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
- Задание 3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
- Задание 4. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий
- Список литературы
Задание 1. Методы нелинейной и дискретной оптимизации
Задача поиска безусловного экстремума формулируется следующим образом. Требуется определить точку которое определяет минимум (экстремальное значение) функции () .
Существование методов решения этой задачи различаются как разнообразием идей, так и методами численного поиска. Наиболее распространенными являются так называемые градиентные методы, основанные на сравнение значений функции при экстремальном поиске в двух точках.
Рассмотрим построение градиентного метода для . Для построения используем понятие произведения , у которого (направление убывания, отрицательное число). Определим направление , в направлении которого значение функции убывает с максимальной скоростью. При этом будим выбирать такие, что ().
Определим максимальное значение изменения этой скорости.
умножим на
Получаем последовательность точек , которая будет минимизировать функцию в направлении убывания . Процедура построения таких точек называется градиентной процедурой поиска . В том случае если рассматривается задача максимума, градиентная процедура имеет вид . Докажем, что эта градиентная процедура обеспечивает достижение минимума функции .
Теорема: если дифференцируемая, ограниченная снизу функция, производная которой удовлетворяет условию Липшеца, т.е. , где Липшеца и шаг , то для градиентной процедуры выполняются условия:
1. убывает
2.
3. если - выпуклая, то , если нет, то имеется стационарная точка минимума
Док-во:
Условие Липшеца в простой форме записи:
Для док-ва используем интегральное представление приращения функции, имеющей непрерывную производную:
Из соотношения , следует:
т.к. - ограничена, следовательно,
Процесс одношаговой последовательности точен и будет сходиться.
Если функция выпуклая, то градиентный процесс сходится к минимуму.
т.к. - выпуклая, следовательно , т.к. это справедливо для , следовательно, будет справедливо и в некоторой фиксированной точке
Покажем, что
Таким образом, получаем:
задача оптимизация нелинейная дискретная
, т.к. рассмотрена процедура минимума, то
ч. т.д.
Рассмотрим алгоритм:
выбираем начальную точку
находим
Приращение выбирается так, чтобы обеспечить точность ошибки вычислений
1. выбираем шаг либо константу, выбор осуществляется на основе вычислительного эксперимента, либо , либо
2. вычислять точки , остановившись когда: - очень маленькое число близкое к нулю, характеризующее точность вычислений.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию:
В общем случае задача МП формулируется следующим образом. Требуется определить точку , которая доставляет экстремальное значение функции , при наличие ограничений
Если , то . Точки , удовлетворяющие ограничениям задачи, называются допустимыми решениями или допустимой областью задачи МП ( - множество допустимых решений).
Задача МП удовлетворяет условию регулярности Слейтора если множество содержит хотя бы 1 внутреннюю точку, т.е. существует, по крайней мере, 1 точка такая, что . Дополнительные ограничения на характер функций определяют отдельные классы задач МП. Наиболее законченной частью МП является так называемое выпуклое программирование.
Если функции и - выпуклые, то задача называется задачей выпуклого программирования (ЗВП).
Если - вогнутая, а - выпуклая, то .
Если - вогнутая, а - вогнутая, то .
Чтобы осуществить переход от задачи на условный экстремум к задачи на безусловный экстремум вводят понятие функции Лагранжа ЗВП (рассматривается задача минимума): , где - множители Лагранжа.
Центральной теоремой ЗВП является теорема Куна - Таккера: если ограничения ЗВП удовлетворяют условию Слейтора, то для того чтобы достигала минимума на множестве в точке необходимо и достаточно, чтобы точка является седловой точкой функции Лагранжа для .
Точка является седловой точкой функции Лагранжа, если , т.е. в седловой точке .
Из теоремы Куна - Таккера следует, что нахождение оптимального решения ЗВП сводится к нахождению седловой точки функции Лагранжа, компоненты которой являются оптимальным решением ЗВП.
Док-во:
Достаточность
Пусть выполняются условия теоремы, тогда в седловой точке выполняется:
или , т.е.
Если , неравенство выполняется если
Если , должно выполняться
Это значит, что точка удовлетворяет ограничениям задачи.
Рассмотрим правое неравенство:
ч. т.д.
Частная теорема Куна - Таккера.
Если в ЗВП наложено ограничение неотрицательности на вектор , т.е. если рассматривается задача , то точка является решением задачи, то в этой точке должно выполняться:
с одной стороны
с другой стороны
Док-во:
Покажем, что эти условия удовлетворяют условию седловой точки. Рассмотрим функцию Лагранжа: . Т.к. и - выпуклые, то их сумма - выпуклая функция, т.е. - выпуклая по переменной , т.к. функция линейна по , следовательно, она является выпуклой по . Геометрическая интерпритация седловой точки:
Т.к. - выпуклая по , то
, т.к.
Т.к. - линейна по , то
, т.к.
Следовательно, , т.е. точка является седловой точкой, следовательно, по теореме Куна - Таккера является решением ЗВП с неотрицательными переменными.
ч. т.д.
частным случаем ЗВП является задача квадратичного программирования (ЗКП). Требуется определить точку , которая доставляет минимум квадратичной функции , при наличие ограничений ,
называется ЗКП если - положительна и полу определена, т.е. ( - положительна определена). Геометрическая интепритация ЗКП:
Возможные решения: точка является угловой, лежит на грани, находится внутри области
Точка минимума целевой функции должна удовлетворять ограничениям задачи. Из частной теоремы Куна - Таккера следует, что нахождение решения ЗКП сводится к определению седловой точки функции Лагранжа, в которой должно выполняться: . Условия частной теоремы Куна - Таккера япляются оптимальными условиями решения ЗКП, т.к. в этом случае точка является компонентой седловой точки, которая в соответствие с теоремой Куна - Таккера является решением ЗКП. Запишем условия для нашей задачи:
Запишем функцию Лагранжа:
, тогда условие оптимальности:
Таким образом, в соответствие с частной теоремой Куна - Таккера точка является седловой.
Таким образом, если к данным условиям добавить ограничения задачи: , получим систему равенств и неравенств, которая определит точку (), удовлетворяющую условию оптимальности и ограничениям задачи, т.е. получим искомую точку - решение ЗКП:
Для решения этой задачи используют так называемую вспомогательную задачу линейного программирования (L - задачу). Для системы (1):
Таким образом, решение ЗКП сводится к решению вспомогательной ЗЛП, которая отличается от стандартной ЗЛП наличием ограничений , для выполнения которых при решении вспомогательной ЗЛП необходимо следить за тем, что если переменная вошла в базис, соответствующая ей переменная должна быть вне базиса, и наоборот.
Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации
На имеющихся у фермера 400 га земли он планирует посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требуют на каждый гектар 200 ден. ед. затрат, а сои - 100 ден. ед. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, фермер получил ссуду в 60 тыс. ден. ед. Каждый гектар, засеянный кукурузой, принесет 30 центнеров, а каждый гектар, засеянный соей, - 60 центнеров. Фермер заключил договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый центнер сои - 6 ден. ед. Однако согласно этому договору фермер обязан хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров.
Фермеру хотелось бы знать, сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.
Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум, и почему?
Решение
Обозначим через х1 сколько гектаров нужно засеять кукурузы, через х2 - сои. Так как у фермера всего имеется 400 га земли, то первое ограничение задачи имеет вид: х1+ х2 ? 400. Найдем общие затраты на сев и уборку кукурузы и сои: (200х1+100х2) ден. ед. Фермер получил на расходы ссуду в 60 тыс. ден., поэтому следующее ограничение имеет вид: 200х1+100х2 ? 60 000. Найдем, сколько центнеров зерна соберет фермер: (30х1+60х2) ц. Вместимость склада составляет 21 тыс. центнеров, поэтому следующее ограничение имеет вид: 30х1+60х2 ? 21 000. Выясним сколько ден. ед. получит фермер по договору за собранное зерно: (30х1•3+60х2•6) ден. ед.
Построим экономико-математическую модель задачи:
max f (X) = 90x1+120x2
х1+ х2 ? 400
200х1+100х2 ? 60 000
30х1+60х2 ? 21 000, x1,2 0
Решим задачу графическим методом.
Последнее ограничение означает, что область решений будет лежать в первой четверти декартовой системы координат.
Этап 1. Определим множество решений первого неравенства. Оно состоит из решения уравнения и строгого неравенства. Решением уравнения служат точки прямой x1+x2-400=0. Построим прямую по двум точкам (0; 400) и (400; 0), которые легко получить в результате последовательного обнуления одной из переменных. На рисунке обозначим ее цифрой I.
Множество решений строгого неравенства - одна из полуплоскостей, на которую делит плоскость построенная прямая. Какая из них является искомой, можно выяснить при помощи одной контрольной точки. Если в произвольно взятой точке, не принадлежащей прямой, неравенство выполняется, то оно выполняется и во всех точках той полуплоскости, которой принадлежит контрольная точка, и не выполняется во всех точках другой полуплоскости. В качестве такой точки удобно брать начало координат. Подставим координаты (0; 0) в неравенство x1+x2-400<0, получим - 400 < 0, т.е. оно выполняется. Следовательно, областью решения неравенства служит нижняя полуплоскость.
Аналогичным образом построим области решения двух других неравенств
200x1+100x2-60 000=0; x1 = 0, x2 = 600
x1 = 300, x2 = 0 (на рисунке прямая II);
200x1+100x2-60 000<0 при x1 = x2 = 0, - 60 000<0 выполняется, берется левая полуплоскость.
30x1+60х2-21 000=0 x1 = 0, x2 = 350
x1 = 700, x2 = 0 (на рисунке прямая III);
30x1+60x2-21 000<0 при x1 = x2 = 0, - 21 000<0 выполняется, берется нижняя полуплоскость.
Заштрихуем общую область для всех неравенств. Обозначим вершины области латинскими буквами и определим их координаты, решая систему уравнений двух пересекающихся соответствующих прямых. Например, определим координаты точки B, являющейся точкой пересечения первой и третьей прямой:
x1+x2-400=0, x1 = 100; x2 = 300
30x1+60х2-21 000=0.
Вычислим значение целевой функции в этой точке:
f (Х) = 90x1+120x2=90•100 + 120•300 = 45000.
Аналогично поступим для других точек, являющихся вершинами области АВСDO, представляющей собой область допустимых решений рассматриваемой ЗЛП. Координаты этих вершин имеют следующие значения: т. А (0; 350), т. В (100; 300), т. С (200; 200), т. D (300; 0), т. О (0; 0).
Этап 2. Приравняем целевую функцию постоянной величине а: 90x1+120x2 = а.
Это уравнение является множеством точек, в котором целевая функция принимает значение, равное а. Меняя значение а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых называется линией уровня. Пусть а=0, вычислим координаты двух точек, удовлетворяющих соответствующему уравнению 90x1+120x2 = 0. В качестве одной из этих точек удобно взять точку О (0; 0), а так как при x1 = 4, x2 = - 3 то в качестве второй точки возьмем точку G (4; - 3).
Через эти две точки проведем линию уровня f (Х) = 90x1+120x2 = 0.
Этап 3. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент , координаты которого являются частными производными функции f (X), т.е. = (90; 120) Чтобы построить этот вектор, нужно соединить точку (90; 120) с началом координат. При максимизации целевой функции необходимо двигаться в направлении вектора-градиента, а при минимизации - в противоположном направлении.
В нашем случае движение линии уровня будем осуществлять до ее пересечения с точкой В, далее она выходит из области допустимых решений. Следовательно, именно в этой точке достигается максимум целевой функции. Отсюда легко записать решение исходной ЗЛП: max f (Х) =45000 и достигается при x1 = 100, x2=300.
Следовательно, чтобы получить максимальную прибыль, фермер должен засеять 100 га земли кукурузой, 300 га - соей. При этом он получит 45 тыс. ден. ед. при реализации зерна по договору.
Если поставить задачу минимизации функции f (Х) = 90x1+120x2 при тех же ограничениях, линию уровня необходимо смещать параллельно самой себе в направлении, противоположном вектору-градиенту. В нашем случае минимум функции будет в точке О (0; 0). Это означает, что фермер не получит ни чего, если не засеет поле зерновыми культурами.
Задание 3. Исследовать динамику экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда
В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y (t) (млн. руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y (t) этого показателя приведен в таблице.
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
Y (t) |
30 |
28 |
33 |
37 |
40 |
42 |
44 |
49 |
47 |
Требуется:
1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).
3. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7-3,7).
4. Оценить точность моделей на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.
5. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р=70%)
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.
Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).
Решение
1. Предварительный анализ временных рядов экономических показателей заключается в основном в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда.
Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня временного ряда, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик временного ряда, в том числе на соответствующую трендовую модель. Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка, или ошибки первого рода: ошибки при агрегировании и дезагрегировании показателей, при передаче информации и другие технические причины. Ошибки первого рода подлежат выявлению и устранению. Кроме того, аномальные уровни во временных рядах могут возникать из-за воздействия факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически, очень редко - ошибки второго рода; они устранению не подлежат.
Для выявления аномальных уровней временных рядов используются методы, рассчитанные для статистических совокупностей.
Метод Ирвина, например, предполагает использование следующей формулы:
где среднеквадратическое отклонение рассчитывается в свою очередь с использованием формул:
.
Расчетные значения и т.д. сравниваются с табличными значениями критерия Ирвина , и если оказываются больше табличных, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным.
Необходимые расчеты произведем в таблице.
|
t |
yt |
yt - |
(yt - ) 2 |
|yt - yt-1| |
||
|
1 |
30 |
-8,9 |
79,0 |
|||
|
2 |
28 |
-10,9 |
118,6 |
2,0 |
0,3 |
|
|
3 |
33 |
-5,9 |
34,7 |
5,0 |
0,7 |
|
|
4 |
37 |
-1,9 |
3,6 |
4,0 |
0,5 |
|
|
5 |
40 |
1,1 |
1,2 |
3,0 |
0,4 |
|
|
6 |
42 |
3,1 |
9,7 |
2,0 |
0,3 |
|
|
7 |
44 |
5,1 |
26,1 |
2,0 |
0,3 |
|
|
8 |
49 |
10,1 |
102,2 |
5,0 |
0,7 |
|
|
9 |
47 |
8,1 |
65,8 |
2,0 |
0,3 |
|
|
сумма |
350 |
0,0 |
440,9 |
- |
- |
.
Значение критерия Ирвина для уровня значимости , т.е. с 5% -ной ошибкой, при равно . Так как все расчетные значения и т.д. меньше табличного значения, то аномальных уровней в данном временном ряду нет.
2. Построим линейную модель , параметры которой оценим МНК.
В таблице приведем промежуточные вычисления и результаты использования линейной модели.
В нижней строке записаны суммы значений в колонках.
|
t |
Yt |
t-tср |
(t-tср) 2 |
Y-Yср |
(t-tср) (Y-Yср) |
Yp (t) |
||
|
1 |
30 |
-4 |
16 |
-8,9 |
35,6 |
28,4 |
||
|
2 |
28 |
-3 |
9 |
-10,9 |
32,7 |
30,9 |
||
|
3 |
33 |
-2 |
4 |
-5,9 |
11,8 |
33,6 |
||
|
4 |
37 |
-1 |
1 |
-1,9 |
1,9 |
36,3 |
||
|
5 |
40 |
0 |
0 |
1,1 |
0,0 |
38,9 |
||
|
6 |
42 |
1 |
1 |
3,1 |
3,1 |
41,5 |
||
|
7 |
44 |
2 |
4 |
5,1 |
10,2 |
44,2 |
||
|
8 |
49 |
3 |
9 |
10,1 |
30,3 |
46,8 |
||
|
9 |
47 |
4 |
16 |
8,1 |
32,4 |
49,4 |
||
|
сумма |
45 |
350 |
0 |
60 |
0 |
158 |
350 |
Таким образом, линейная модель имеет вид:
Последовательно подставляя в модель значение фактора t от 1 до 9, находим расчетные значения уровней.
3. Оценим адекватность построенной модели. Результаты исследования отразим в таблице. Линейная модель
|
t |
Yt |
Yp (t) |
Et |
Точки поворота |
Et2 |
Et-Et-1 |
(Et-Et-1) 2 |
Et*Et-1 |
|Et/Yt|*100 |
|
|
1 |
30 |
28,4 |
1,6 |
- |
2,7 |
- |
- |
- |
5,5 |
|
|
2 |
28 |
30,9 |
-2,9 |
1 |
8,9 |
-4,6 |
21,5 |
-4,9 |
10,7 |
|
|
3 |
33 |
33,6 |
-0,6 |
0 |
0,4 |
2,4 |
5,6 |
1,9 |
1,9 |
|
|
4 |
37 |
36,3 |
0,7 |
0 |
0,6 |
1,4 |
1,9 |
-0,5 |
2,01 |
|
|
5 |
40 |
38,9 |
1,1 |
1 |
1,2 |
0,4 |
0,1 |
0,8 |
2,8 |
|
|
6 |
42 |
41,5 |
0,5 |
0 |
0,2 |
-0,6 |
0,4 |
0,5 |
1,1 |
|
|
7 |
44 |
44,2 |
-0,2 |
1 |
0,02 |
-0,6 |
0,4 |
-0,07 |
0,4 |
|
|
8 |
49 |
46,8 |
2,2 |
1 |
4,9 |
2,4 |
5,6 |
-0,3 |
4,5 |
|
|
9 |
47 |
49,4 |
-2,4 |
- |
5,9 |
-4,6 |
21,5 |
-5,4 |
5,2 |
|
|
сумма |
350 |
350 |
0,0 |
4 |
24,8 |
- |
56,9 |
-7,9 |
33,9 |
Случайность остаточной компоненты по критерию пиков.
Для проверки условия случайности возникновении отдельных отклонений от тренда часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним члена. Если остатки случайны, то поворотная точка приходится примерно на каждые 1,5 наблюдения. Если их больше, то возмущения быстро колеблются, и это не может быть объяснено только случайностью. Если же их меньше, то последовательные значения случайного компонента положительно коррелированны.
Критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как
где р - фактическое количество поворотных точек в случайном ряду;
1,96 - квантиль нормального распределения для 5% -го уровня значимости;
квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять целую часть (не путать с процедурой округления!).
Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и, стало быть, модель не является адекватной.
Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат: р = 4 больше 2 (критическое число поворотных точек, рассчитанное по формуле).
Независимость уровней ряда остатков по d-критерию (d1 = 1,08, d2 = 1,36) или по первому коэффициенту корреляции, критический уровень которого r (1) = 0,36.
Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина - Уотсона. С этой целью строится статистика Дарбина - Уотсона (d - статистика), в основе которой лежит расчетная формула:
Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.
При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2, а при полной автокорреляции - 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. При сравнении расчетного значения d - статистики с табличным могут возникнуть такие ситуации: d2 < d < 2 - ряд остатков не коррелирован; d < d1 - остатки содержат автокорреляцию; d1 < < d < d2 - область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Если d превышает 2, то это свидетельствует о наличии отрицательной корреляции. Перед входом в таблицу такие значения следует преобразовать по формуле d'= 4 - d.
В нашем случае d = 2,3 > 2, значит находим d' = 4 - 2,3 = 1,7. Следовательно, ряд остатков не коррелирован, независимость выполняется.
Воспользуемся первым коэффициентом автокорреляции, который вычислим по формуле:
Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду фактическое значение коэффициента автокорреляции сопоставляется с табличным r (1) =0,4. Если фактическое значение коэффициента автокорреляции меньше табличного, то гипотеза об отсутствии автокорреляции в ряду может быть принята. Когда же фактическое значение больше табличного, делают вывод о наличии автокорреляции в ряду динамики.
Так как |r1| < r (1) (0,32 < 0,4), то свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
Нормальность распределения остаточной компоненты по R/S - критерию с критическими уровнями 2,7 - 3,7.
Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения проверим с помощью R/S - критерия:
где Еmах и Emin - максимальный и минимальный уровни ряда остатков соответственно;
Еmах=2,21, Emin=-2,99
- среднеквадратическое отклонение.
Если расчетное значение попадает между табулированными границами, то гипотеза о нормальном распределении ряда остатков принимается. В этом случае допустимо строить доверительный интервал прогноза.
Так как 2,7<2,95,<3,7, то свойство нормальности выполняется.
Итак, все четыре пункта проверки 1-4 дают положительный результат, делается вывод о том, что выбранная трендовая модель является адекватной реальному ряду экономической динамики.
В этом случае ее можно использовать для построения прогнозных оценок.
4. Оценка точности модели.
Вычислим среднюю относительную ошибку аппроксимации:
.
Так как Еотн. = 3,8 < 15, ошибку можно считать приемлемой.
Проверим адаптивную модель Брауна на точность:
.
Точностные характеристики приемлемые.
5. Построим точечный и интервальный прогнозы на два шага вперед.
Линейная модель
При прогнозировании на два шага имеем
Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:
Верхняя граница прогноза:
Нижняя граница прогноза:
Результат прогноза представим в таблице.
|
время t |
шаг k |
точечный прогноз |
интервальный прогноз |
||
|
нижняя граница |
верхняя граница |
||||
|
10 |
1 |
52,1 |
49,6 |
54,5 |
|
|
11 |
2 |
54,7 |
52,1 |
57,3 |
6. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования представим графически.
Задание 4. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий
На станке производятся детали в количестве 20 тыс. штук в месяц. Эти детали используются для производства продукции на другом станке с интенсивностью 5000 шт. в месяц. По оценкам специалистов компании, издержки хранения составляют 5 руб. в год за одну деталь. Стоимость производства одной детали равна 2,50 руб., а затраты на подготовку производства составляют 1000 руб. Каким должен быть размер партии деталей, производимой на первом станке и с какой частотой следует запускать производство этих партий? Постройте график общих годовых затрат.
Решение:
В году 300 рабочих дней, следовательно интенсивность производства продукции на другом станке равна M = 5000 шт. /мес. *12 мес. = 60000шт. /год
Издержки h = 5 руб. /дет. в год. Затраты на подготовку Kопц = 1000 руб. Стоимость производства одной детали C = 2,5 руб. /дет. Производство детали на станке за год P = 20000 шт. /мес. *12 мес. = 240000 шт. /год
Определим размер партии деталей, производимой на первом станке:
Q опт =
= 5656,854 ? 5656 (дет.) - экономичный размер партии
Z1 (Q) =
= ? 171213 (руб.) - общие годовые затраты.
3. Строим график общих годовых затрат Z1 (Q) с помощью таблицы:
|
Q |
Копц*M/Q |
h* (P-M) *Q/ (2*P) |
Z1 (Q) |
|
|
1000 |
6000 |
1875 |
211875 |
|
|
2000 |
3000 |
3750 |
183750 |
|
|
4000 |
1500 |
7500 |
172500 |
|
|
5656 |
1060,82 |
10605 |
171213,2 |
|
|
6000 |
1000 |
11250 |
171250 |
|
|
8000 |
750 |
15000 |
172500 |
4. Частота запуска производства:
10,6 ? 10 циклов в год.
5. Периодичность заказов:
0,09 (лет) *300 = 27 дней - интервал между циклами.
Таким образом, экономичный размер партии равен 5656 деталей, производственных циклов примерно 10 через каждые 27 дней.
Список литературы
1. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. - М.: Высшая школа, 1986. - 319 с.
2. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. - М.: Высшая школа, 2004. - 208 с.
3. Исследование операций в экономике/ Под ред. Кремера Н.Ш. - М.: ЮНИТИ, 2004. - 407 с.
4. Конюховский П.В. Математические методы исследования операций в экономике. Краткий курс. - СПб.: Питер, 2002. - 208 с.
5. Костевич Л.С. Математическое программирование: Информационные технологии оптимальных решений. - Мн.: Новое знание, 2003. - 424 с.
6. Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. Выполнение расчетов в среде Excel: Практикум. - М.: Финстатинформ, 2000.
7. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004
8. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование: Практическое пособие по решению задач. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 144 с.
9. Просветов Г.И. Математические методы в экономике: Учебно-методическое пособие. - М.: Издательство РДЛ, 2004. - 160 с.
10. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М., Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и прикладные модели. - М.: ЮНИТИ, 2002.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Аналитические и численные методы безусловной оптимизации. Метод исключения и метод множителей Лагранжа (ММЛ). Метод Эйлера – классический метод решения задач безусловной оптимизации. Классическая задача условной оптимизации. О практическом смысле ММЛ.
реферат [387,0 K], добавлен 17.11.2010Постановка, анализ, графическое решение задач линейной оптимизации, симплекс-метод, двойственность в линейной оптимизации. Постановка транспортной задачи, свойства и нахождение опорного решения. Условная оптимизация при ограничениях–равенствах.
методичка [2,5 M], добавлен 11.07.2010Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области. Матрица парных коэффициентов корреляции. Расчет параметров линейной парной регрессии. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
контрольная работа [298,2 K], добавлен 19.01.2011Оптимизационные методы решения экономических задач. Классическая постановка задачи оптимизации. Оптимизация функций. Оптимизация функционалов. Многокритериальная оптимизация. Методы сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Метод уступок.
реферат [565,7 K], добавлен 20.06.2005Эконометрическое моделирование стоимости квартир в Московской области. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда. Параметры линейной парной регрессии. Оценка адекватности модели, осуществление прогноза.
контрольная работа [925,5 K], добавлен 07.09.2011Система с фиксированным размером заказа. Применение математических методов в системах оптимального управления запасами. Сущность метода технико-экономических расчетов. Расчет параметров моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.
контрольная работа [545,1 K], добавлен 25.05.2015Виды задач линейного программирования и формулировка задачи. Сущность оптимизации как раздела математики и характеристика основных методов решения задач. Понятие симплекс-метода, реальные прикладные задачи. Алгоритм и этапы решения транспортной задачи.
курсовая работа [268,0 K], добавлен 17.02.2010Основные методы решения задач линейного программирования. Графический метод, симплекс-метод. Двойственная задача, метод потенциалов. Моделирование и особенности решения транспортной задачи методом потенциалов с использованием возможностей Мicrosoft Excel.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 14.03.2014Построение экономических и математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Общая методология оптимизационных задач, оценка преимуществ выбранного варианта. Двойственность и симплексный метод решения задач линейного программирования.
курс лекций [496,2 K], добавлен 17.11.2011Критический путь в графе. Оптимальное распределение потока в транспортной сети. Задача линейного программирования, решаемая графическим методом. Несбалансированная транспортная задача. Численные методы решения одномерных задач статической оптимизации.
курсовая работа [314,5 K], добавлен 21.06.2014Понятие экономико-математического моделирования. Совершенствование и развитие экономических систем. Сущность, особенности и компоненты имитационной модели. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.
курсовая работа [451,4 K], добавлен 23.04.2013Задачи многомерной оптимизации в исследовании технологических процессов производств текстильной промышленности, анализ возникающих трудностей. Нахождение экстремума, типа экстремума, значения целевой функции безусловной многомерной оптимизации.
контрольная работа [27,7 K], добавлен 26.11.2011Методика и особенности решения задач оптимизации, в частности о распределении инвестиций и выборе пути в транспортной сети. Специфика моделирования с помощью методов Хэмминга и Брауна. Идентификация, стимулирование и мотивация как функции управления.
контрольная работа [276,1 K], добавлен 12.12.2009Типы многокритериальных задач. Принцип оптимальности Парето и принцип равновесия по Нэшу при выборе решения. Понятие функции предпочтения (полезности) и обзор методов решения задачи векторной оптимизации с использованием средств программы Excel.
реферат [247,4 K], добавлен 14.02.2011Основы моделирования, прямые и обратные задачи. Линейное программирование и методы решения задач: графический, симплекс-метод. Нахождение решения транспортных и распределительных задач. Теория массового обслуживания. Имитационное моделирование.
курс лекций [1,1 M], добавлен 01.09.2011Количественное обоснование управленческих решений по улучшению состояния экономических процессов методом математических моделей. Анализ оптимального решения задачи линейного программирования на чувствительность. Понятие многопараметрической оптимизации.
курсовая работа [4,2 M], добавлен 20.04.2015Основные понятия моделирования. Общие понятия и определение модели. Постановка задач оптимизации. Методы линейного программирования. Общая и типовая задача в линейном программировании. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
курсовая работа [30,5 K], добавлен 14.04.2004Графический метод решения задачи оптимизации производственных процессов. Применение симплекс-алгоритма для решения экономической оптимизированной задачи управления производством. Метод динамического программирования для выбора оптимального профиля пути.
контрольная работа [158,7 K], добавлен 15.10.2010Применение методов нелинейного программирования для решения задач с нелинейными функциями переменных. Условия оптимальности (теорема Куна-Таккера). Методы условной оптимизации (метод Вульфа); проектирования градиента; штрафных и барьерных функций.
реферат [3,2 M], добавлен 25.10.2009Основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Задачи анализа и их первоначальная обработка. Решение задач кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
контрольная работа [37,6 K], добавлен 03.06.2009
