Расчет статистических рядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 5

Дана выборка из 100 элементов (x1 x2 … x100):

2.4001 2.6002 2.4003 2.6004 2.2005 2.6 2.6007 2.8008 2.2009 2.8010

1.4011 2.2012 1.6013 1.4014 2.4015 3.0016 2.0017 2.4018 2.4019 2.2020

1.4021 2.4022 1.8023 2.2024 1.8025 2.2026 2.4027 2.8028 2.2029 2.8030

2.2031 1.4032 2.6033 1.8034 2.4035 2.0036 3.2037 2.2038 3.2039 2.2040

1.8041 3.0042 1.6043 2.4044 1.8045 2.4046 2.0047 2.6048 2.2049 2.6050

2.6051 1.8052 2.6053 1.6054 2.0055 2.4056 2.2057 2.0058 2.4059 2.6060

2.8061 2.8062 2.2063 2.4064 3.2065 1.8066 2.2067 3.0068 2.8069 2.8070

2.8071 2.4072 1.6073 1.8074 2.2075 2.8076 2.0077 2.4078 2.2079 2.2080

2.2081 2.8082 1.8083 2.8084 1.8085 2.2086 2.2087 2.6088 2.6089 2.4090

2.4091 1.8092 2.4093 2.2094 2.0095 2.6096 2.4097 2.2098 2.4099 2.8100

Требуется построить (вычислить):

- группированный статистический ряд абсолютных частот из 10 члена(ов);

- группированный статистический ряд относительных частот из 10 члена(ов);

- полигон абсолютных частот;

- полигон относительных частот;

- гистограмму относительных частот;

- эмпирическую функцию распределения;

- выборочное среднее (Оценку математического ожидания);

- выборочную дисперсию (Оценку дисперсии);



РЕШЕНИЕ

Строим группированный статистический ряд абсолютных частот.

Группированным статистическим рядом абсолютных частот называется последовательность пар чисел

(x1*, n1*) , (x2* , n2*) ,…, (xm*, nm*)

где xk* -- центр k-го интервала группировки и n1* -- число элементов выборки, попавших в k-й интервал.

Числа nk* ( k = 1,…,m ) называются абсолютными частотами.

Находим минимальный и максимальный элемент выборки, это 11-й и 37-й элементы соответственно, xmin = 1.4 и xmax = 3.2.

Находим длину интервала группировки

h = (xmax - xmin) / m = ( 3.2 - 1.4) / 10 = 0.18.

Здесь m = 10 - число интервалов группировки.

Находим правые границы интервалов группировк

xk = xmin + kh (к = 1,..., 10).

Получаем

1.58 1.76 1.94 2.12 2.3 2.48 2.66 2.84 3.02 3.2

Находим центры x*k интервалов группировки по формуле

x*k = xk - h/2 (к = 1,..., 10)

Получаем

1.49 1.67 1.85 2.03 2.21 2.39 2.57 2.75 2.93 3.11

Для каждого интервала группировки (xk-1 , xk) находим число nk* элементов выборки, попавших в этот интервал. Важно чтобы каждый элемент выборки был отнесен к одному и только к одному интервалу, а если значение элемента попадает на границу интервала, то будем относить его к интервалу с младшим номером. Минимальный элемент всегда относим к первому интервалу, максимальный к последнему. Для облегчения работы воспользуемся приведенной ниже таблицей

Номер Интервала k	Центр Интервала xk*	Границы Интервала	Попало в Интервал nk*	Номера элементов попавших в интервал
1	2	3	4	5
1	1.49	1.4... 1.58	4	11 14 21 32
2	1.67	1.58... 1.76	4	13 43 54 73
3	1.85	1.76... 1.94	11	23 25 34 41 45 52 66 74 83 85 92
4	2.03	1.94... 2.12	8	6 17 36 47 55 58 77 95
5	2.21	2.12... 2.3	22	5 9 12 20 24 26 29 31 38 40 49 57 63 67 75 79 80 81 86 87 94 98
6	2.39	2.3... 2.48	20	1 3 15 18 19 22 27 35 44 46 56 59 64 72 78 90 91 93 97 99
7	2.57	2.48... 2.66	12	2 4 7 33 48 50 51 53 60 88 89 96
8	2.75	2.66... 2.84	13	8 10 28 30 61 62 69 70 71 76 82 84 100
9	2.93	2.84... 3.02	3	16 42 68
10	3.11	3.02... 3.2	3	37 39 65

Убеждаемся, что сумма всех абсолютных частот nk* равна объему выборки 100.

4+4+ ... +3 = 100

ОТВЕТ. Группированный статистический ряд абсолютных частот имеет вид:

xk*	1.49	1.67	1.85	2.03	2.21	2.39	2.57
nk*	4	4	11	8	22	20	12
xk*	2.75	2.93	3.11
nk*	13	3	3



Строим группированный статистический ряд относительных частот

Группированным статистическим рядом относительных частот называется последовательность пар чисел

(x1* , n1*/n) , (x2* , n2*/n) ,…, (xm* , nm*/n)

где nk*/n -- относительные частоты и n - объем выборки.

Вычисляем относительные частоты nk*/n, как отношения абсолютных частот к объему выборки. результат представим в виде таблицы

Номер Интервала k	Центр Интервала xk*	nk*	nk*/n
1	2	3	4
1	1.49	4	0.04
2	1.67	4	0.04
3	1.85	11	0.11
4	2.03	8	0.08
5	2.21	22	0.22
6	2.39	20	0.2
7	2.57	12	0.12
8	2.75	13	0.13
9	2.93	3	0.03
10	3.11	3	0.03

Убеждаемся, что сумма всех относительных частот nk*/n равна единице. (допускается небольшое отличие от единицы в рамках погрешности вычислений)

0.04+ 0.04+ ... + 0.03 = 1.0

ОТВЕТ. Группированный статистический ряд относительных частот имеет вид:

xk*	1.49	1.67	1.85	2.03	2.21	2.39	2.57
nk*/n	0.04	0.04	0.11	0.08	0.22	0.2	0.12
xk*	2.75	2.93	3.11
nk*/n	0.13	0.03	0.03

Строим полигон абсолютных частот

Полигон абсолютных частот группированного статистического ряда абсолютных частот -- это ломаная с вершинами в точках (xk* , nk* ). Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным.

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 1.49, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1* , x10* ] = [ 1.49 , 3.11] и отчетливо различались точки xk*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал

[min{n1*,…,n10* },max{n1*,…,n10* }] = [3 , 22] и отчетливо различались точки nk*

На оси абсцисс размещаем значения xk*, а на оси ординат значения nk*.

Наносим точки (x1*, n1* ), (x2*, n2* ),…,(x10*, n10* ) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем полигон, изображенный на рисунке ниже.

статистический ряд группировка интервал



Строим полигон относительных частот.

Полигон относительных частот группированного статистического ряда относительных частот -- это ломаная с вершинами в точках (xk* , nk*/n ). Полигон является одним из графических представлений выборки. Следует тщательно выбрать масштабы и начальные точки на осях, чтобы полигон был максимально наглядным. На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 1.49, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1* , x10* ] = [ 1.49 , 3.11] и отчетливо различались точки xk*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал

[min{n1*/n,…,n10*/n},max{n1*/n,…,n10*/n}] = [ 0.03 , 0.22] и отчетливо различались точки nk*/n.

На оси абсцисс размещаем значения xk*, а на оси ординат значения nk*/n.

Наносим точки (x1*, n1*/n ), (x2*, n2*/n ),…,(x10*, n10*/n ) на координатную плоскость и последовательно соединяем их отрезками. Получаем полигон, изображенный на рисунке ниже.

Строим гистограмму относительных частот.

Гистограмма относительных частот -- это фигура, состоящая из m прямоугольников, опирающихся на интервалы группировки.

Площадь к-ro прямоугольника полагают равной nk*/n, т.е. относительной частоте данного интервала.

Для построения гистограммы заполним таблицу (см.ниже).

Для ее заполнения воспользуемся уже известными значениями границ интервалов и относительных частот представленных в предыдущих двух таблицах, а значения для нового столбца Hk (высота k-го прямоугольника) рассчитаем по формуле

Hk = (nk*/n)/h

Номер Интервала k	Центр Интервала xk*	Границы Интервала [xk-1 , xk ]	nk*/n	Hk
1	2	3	4	5
1	1.49	1.4... 1.58	0.04	0.22222
2	1.67	1.58... 1.76	0.04	0.22222
3	1.85	1.76... 1.94	0.11	0.61111
4	2.03	1.94... 2.12	0.08	0.44444
5	2.21	2.12... 2.3	0.22	1.22222
6	2.39	2.3... 2.48	0.2	1.11111
7	2.57	2.48... 2.66	0.12	0.66667
8	2.75	2.66... 2.84	0.13	0.72222
9	2.93	2.84... 3.02	0.03	0.16667
10	3.11	3.02... 3.2	0.03	0.16667

Убеждаемся, что сумма всех высот Hk , умноженная на h, равна единице. (допускается небольшое отличие от единицы в рамках погрешности вычислений)

0.22222+ 0.22222+ ... + 0.16667 = 5.55556 ; 5.55556* 0.18 = 1.0

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1 = 1.58, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1 , x10 ] = [ 1.58 , 3.2] и отчетливо различались точки xk.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы отчетливо различались Hk

Для построения гистограммы относительных частот на ось абсцисс наносим интервалы [xk-1 , xk] и, используя каждый из них как основание, строим прямоугольник с соответствующей высотой Hk.

Получаем гистограмму, изображенную на рисунке ниже.



Строим эмпирическую функцию распределения.

Эмпирической функцией распределения называется функция F*(x), определенная для всех х от -- ? до + ?; таких, что:

1) F*(x) = 0, для всех x < x*1;.

2) F*(x) = (n1*/n)+(n2*/n)+…+(nk*/n) для всех x удовлетворяющих условию: хk*? x < х*k+1;

3) F*(x) = 1, для всех x ? x*m;.

Для построения функции заполним таблицу (см.ниже), в колонку F*(x) будем записывать накопленные относительные частоты

F*(x1*) = n1*/n

F*(x2*) = (n1*/n)+(n2*/n)

F*(x3*) = (n1*/n)+(n2*/n)+(n3*/n) и т.д.

Номер Интервала k	Центр Интервала xk*	nk*/n	F*(xk*)
1	2	3	4
1	1.49	0.04	0.04
2	1.67	0.04	0.08
3	1.85	0.11	0.19
4	2.03	0.08	0.27
5	2.21	0.22	0.49
6	2.39	0.2	0.69
7	2.57	0.12	0.81
8	2.75	0.13	0.94
9	2.93	0.03	0.97
10	3.11	0.03	1.0

На оси абсцисс выбираем начальную точку чуть левее точки x1* = 1.49, и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал [x1* , x10* ] = [ 1.49 , 3.11] и отчетливо различались точки xk*.

На оси ординат выбираем начало отсчета в точке 0 и такой масштаб, чтобы на оси поместился интервал[0 , 1] и отчетливо различались точки nk*/n.

Для построения графика эмпирической функции распределения наносим на ось абсцисс интервалы [xk* , xk+1*] и над каждым из них на высоте F*(xk* ) строим горизонтальные отрезки. В правом конце отрезка помещаем стрелку, чтобы показать, что F*(xk* ) в точке x*k+1 делает прыжок в высоту на F*(x*k+1 ) -- F*(xk* ) = n*k+1 /n.

Получаем график эмпирической функции распределения, изображенный на рисунке ниже.



Вычислим оценку математического ожидания (выборочное среднее) исходной выборки.

Оценка математического ожидания (выборочное среднее) не сгруппированной выборки (x1 x2 … x100) вычисляется по формуле

M* = x1 + x2 + ... + xn

N = 1

N n

У

k = 1

xk

При больших объемах выборки числитель и знаменатель дроби могут принимать большие значения, что, в свою очередь, может привести к потере точности. Поэтому при практических вычислениях лучше избегать суммирования большого числа слагаемых.

В нашем случае объем выборки n = 100, и поэтому лучше суммировать по 10 элементов:

S1 = x1 +…+ x10,

S2 = x11 +…+ x20,

S10 = x91 +…+ x100,

Затем делим S1, S2,..., S10 на 10.

В дробях s1 = S1

10, s2 = S2

10, s10 = S10

10

числитель и знаменатель не столь велики, как в исходной формуле
затем вычисляем

M* = s1 + s2 + ... + s10

10

Складывая последовательно по 10 элементов выборки получим следующие значения для Sk :

24.6 21.0 22.0 23.2 22.4 22.2 26.0

22.4 23.4 23.2

Каждое из чисел S1, S2,…, S10 делим на 10. Получаем 10 чисел sk = Sk/10 :

2.46 2.1 2.2 2.32 2.24 2.22 2.6

2.24 2.34 2.32

Искомая оценка математического ожидания есть

M* = s1 + s2 + ... + s10

10 = 23.04

10 = 2.304.

ОТВЕТ.

Оценка математического ожидания (выборочное среднее) исходной выборки составляет: 2.304

Вычислим оценку дисперсии (выборочную дисперсию) исходной выборки.

Оценка дисперсии, не сгруппированной выборки (x1 x2 … x100) вычисляется по формуле

D* = (x1- M* )2 + (x2- M* )2 + ... + (xn- M* )2

n-1 = 1

n - 1 n

У

k = 1

(xn- M* )2

где M*-- оценка математического ожидания (выборочное среднее).

Вычисляем выборочную дисперсию по указанной формуле с n = 100.

Получаем

D* = (2.4- 2.304)2 + (2.6- 2.304)2 + ... + (2.8- 2.304)2

99 = 0.174933

ОТВЕТ

Оценка дисперсии исходной выборки составляет : 0.174933

Размещено на Allbest.ru

...