Анализ вариации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Анализ вариации

1. Основные показатели вариации

вариация квадратический корреляционный дисперсия

Информация о средних уровнях исследуемых показателей обычно бывает недостаточной для глубокого анализа изучаемого процесса или явления. Необходимо учитывать и разброс или вариацию значений отдельных единиц, которая является важной характеристикой изучаемой совокупности. В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Для иллюстрации расчетов этих показателей воспользуемся следующими данными:

Таблица 1. Итоги торгов на валютных биржах России 21 января 1999г. (спецсессия)

Простейшим показателем, уже использованным выше при группировке данных, является размах вариации. Он представляет собой разность максимального и минимального значений признака:

R = X_max-X_min = 22,83 - 22,40 = 0,43 руб.

Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ. Этого недостатка лишена дисперсия, рассчитываемая как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

невзвешенная формула (1.1)

взвешенная формула (1.2)

По данным нашего примера определим средневзвешенный курс доллара по итогам всех торгов и рассчитаем дисперсию:

Дисперсию в отдельных случаях удобнее рассчитывать по другой формуле:

, (1.3)

где (1.4)

Наиболее удобным и широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение. Оно определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размерность, что и изучаемый признак:

невзвешенная формула (1.5)

 взвешенная формула (1.6)

В рассматриваемом случае получим:

Рассмотренная величина показывает, что курсы доллара на биржах отклонялись от средневзвешенного курса в среднем на 0,06 руб.

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость относительно среднего уровня (в относительном выражении), что во многих случаях предпочтительнее:

(1.7)

Рассчитанная величина свидетельствует об очень незначительном относительном уровне колеблемости курса доллара. Если V не превышает 33%, то совокупность по рассматриваемому признаку можно считать однородной.

Информативность показателей вариации повышается, если они рассчитываются для целей сравнительного анализа. При этом показатели, рассчитанные по одной совокупности, сопоставляются с показателями, рассчитанными по другой аналогичной совокупности или по той же самой, но относящейся к другому периоду времени. Например, исследование динамики вариации курса доллара по недельным и месячным данным.

2. Использование показателей вариации в анализе взаимосвязей

Показатели вариации могут быть использованы не только в анализе колеблемости или изменчивости изучаемого признака, но и для оценки степени воздействия одного признака на вариацию другого признака, т.е. в анализе взаимосвязей между показателями.

При проведении такого анализа исходная совокупность должна представлять собой множество единиц, каждая из которых характеризуется двумя признаками - факторным и результативным. Факторным называется признак, оказывающий влияние на взаимосвязанный с ним признак. В свою очередь, этот второй признак, подверженный влиянию, называется результативным.

Для выявления взаимосвязи исходная совокупность делится на две или более групп во факторному признаку. Выводы о степени взаимосвязи базируются на анализе вариации результативного признака. При этом применяется правило сложения дисперсий:

, (1.8)

где:

- общая дисперсия;

- средняя из внутригрупповых дисперсий;

- межгрупповая дисперсия.

Межгрупповая дисперсия отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена воздействием признака факторного. Это воздействие проявляется в отклонении групповых средних от общей средней:

, (1.9)

где:

х_i - среднее значение результативного признака по i-ой группе;

x₀ - общая средняя по совокупности в целом;

n_i - объем (численность) i-ой группы.

Если факторный признак, по которому производилась группировка, не оказывает никакого влияния не признак результативный, то групповые средние будут равны между собой и совпадут с общей средней. В этом случае межгрупповая дисперсия будет равна нулю.

Средняя из внутригрупповых дисперсий отражает ту часть вариации результативного признака, которая обусловлена действием всех прочих неучтенных факторов, кроме фактора, по которому осуществлялась группировка:

(1.10)

где:

у_i -дисперсия результативного признака в i-ой группе;

n_i -объем (численность) i-ой группы.

Теснота связи между факторным и результативным признаком оценивается на основе эмпирического корреляционного отношения:

(1.11)

Данный показатель может принимать значения от 0 до 1. Чем ближе к 1 будет его величина, тем сильнее взаимосвязь между рассматриваемыми признаками.

На следующем условном примере исследуем зависимость между собственными и привлеченными средствами коммерческих банков региона:

Таблица 2

Если взаимосвязь между рассматриваемыми показателями существует, то она обусловлена влиянием объема собственных средств на объем привлеченных средств. Поэтому объем собственных средств выступает в данном примере в качестве факторного признака (X), а объем привлеченных средств в качестве результативного признака (Y).

Произведем группировку банков, выделив две группы по величине собственных средств, например, группу “да 100 млн.руб.” и группу “100 млн. руб. и более”. Результаты такой группировки представлены в следующей таблице:

Таблица 3

Расчет эмпирического корреляционного отношения включает несколько этапов:

1. рассчитываем групповые средние:

,

i- номер группы;

j- номер единицы в группе.

В данном примере при расчете групповых средних мы использовали невзвешенные формулы. Однако, при повторении вариантов для расчета необходимо использовать средние взвешенные.

2. рассчитываем общую среднюю:

Данную среднюю также можно было получить как отношение суммы всех единиц исходной совокупности (без учета деления на группы) к объему всей совокупности, т.е. к общему числу единиц.

3. рассчитываем внутригрупповые дисперсии:

;

;

.

Если бы варианты имели веса, то для расчета внутригрупповых дисперсий также требовались бы взвешенные формулы.

4. вычисляем среднюю из внутригрупповых дисперсий:

5. определяем межгрупповую дисперсию:

находим общую дисперсию по правилу сложения:

.

На этом этапе возможна проверка правильности выполненных ранее расчетов. Если возвратиться к исходной совокупности и, не разделяя ее на группы, рассчитать дисперсию признака Y, то она должна совпасть с общей дисперсией, полученной по правилу сложения.

Рассчитаем эмпирическое корреляционное отношение:

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор, положенный в основание группировки (собственные средства), существенно влияет на размер привлеченных банками средств.

Размещено на Allbest.ru