Во второй главе необходимо раскрыть теоретические основы проведения корреляционного анализа систем «показатель - факторы» и «факторы», описать суть частных и парных коэффициентов корреляции, привести формулы, записанные в матричном виде, для их нахождения. Она должна содержать практический пример проведения анализа системы, соответствующей заданному варианту, с подробным описанием проводимых расчетов.

Также в этой главе должны быть приведены теоретические основы и подробно описан пример проведения регрессионного анализа трехфакторной линейной ПФ.

Изучение проблемы спецификации переменных (выбора факторов) следует начинать с корреляционного анализа связи между переменными. Будем различать корреляционный анализ системы «показатель-факторы» и корреляционный анализ системы «факторы».

Корреляционный анализ системы «показатель-факторы»

Запишем матрицу исходных данных в виде

Матрица имеет размерность . Тогда транспонированная матрица имеет размерность , и для матрицы размерности получаем

Элементы полной корреляционной матрицы

составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции, как нетрудно заметить, связаны с элементами матрицы соотношениями

Будем считать, что матрица невырождена, т.е. что определитель матрицы отличен от нуля . В этом случае существует обратная матрица , через элементы которой выражаются многие характеристики регрессионной модели. В частности, интересующие нас здесь выборочные частные коэффициенты корреляции , равны

Частный коэффициент корреляции характеризует истинную корреляцию показателя и фактора при исключении влияния других факторов.

Значимость выборочных частных коэффициентов корреляции проверяется по двустороннему критерию

где критическое значение вычислено по таблице Фишера-Иейтса при уровне значимости и числе степеней свободы . Выполнение критерия для коэффициента означает наличие стохастической связи между показателем и фактором , и переменную следует включить в число существенных переменных.

Может случиться так, что для одного или нескольких факторов неравенство не выполняется. В подобных ситуациях многие исследователи исключают соответствующие факторы из модели. Однако к исключению из модели переменных следует относиться осторожно. Ведь таким образом из модели может быть исключена переменная, оказывающая существенное влияние на показатель . Может случиться ситуация, когда несколько частных коэффициентов корреляции окажутся незначимыми, и исключенная вместе с другими переменная с начальными незначимым коэффициентом могла бы иметь значимый коэффициент в сокращенной модели, если бы она была там оставлена. При изменении состава системы «показатель-факторы» будут изменяться матрицы и , а значит, другие значения будут иметь и частные коэффициенты корреляции.

Следует также иметь в виду, что если экономическая теория и интуиция подсказывают, что переменная должна быть в списке существенных переменных, а двухсторонний критерий говорит об обратном, то можно использовать односторонние критерии значимости, если заранее известно направление действия (положительное или отрицательное) переменной на показатель . Использование односторонних критериев значимости вместо двусторонних значительно уменьшает вероятность допущения ошибки второго рода.

С помощью корреляционного анализа системы «показатель-факторы» мы только определяем кандидатов на исключение из числа объясняющих переменных. Какие из них должны быть исключены из модели может подсказать корреляционный анализ системы «факторы».

Корреляционный анализ системы «факторы»

Рассмотрим матрицу

составленную из выборочных парных коэффициентов корреляции системы «факторы». Очевидно, она симметрическая и получается из матрицы зачеркиванием первой строки и первого столбца. В предположении, что матрица невырождена , существует обратная матрица

через элементы, которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы». Имеем

Значимость коэффициентов проверяется по двустороннему критерию при уровне значимости и числе степеней свободы . Если для одного или нескольких коэффициентов выполняется , это будет означать наличие в модели проблемы мультиколлинеарности (зависимости между факторами). В этом случае спецификация переменных должна быть пересмотрена заново. Количество объясняющих переменных необходимо уменьшить.

Каким образом осуществлять новую спецификацию переменных? Представляется разумным последовательно уменьшать количество переменных на единицу и на каждом шаге заново проводить корреляционный анализ системы “показатель-факторы” и системы “факторы”. Здесь на каждом этапе могут возникать следующие ситуации.

1. Только один из коэффициентов оказался значимым. В этом случае из двух переменных и из модели исключается та, которой соответствует незначимый выборочный коэффициент корреляции. Случай, когда обе переменные ранее оказались существенными маловероятен. Если же обе переменные ранее попали в список кандидатов на исключение из модели, то должна сработать интуиция исследователя. Можно отработать также оба варианта.

2. Сразу несколько коэффициентов значимы. Здесь может возникнуть большая свобода в принятии решения о том, какую из переменных удалить. Если есть сомнения в правильности действий, необходимо просчитывать разные варианты.

Может случиться так, что спецификация уравнения модели осуществлена неправильно, и тогда корреляционный анализ может привести к ложным выводам относительно спецификации переменных. Поэтому необходимо проверять не только значимость выборочных частных коэффициентов корреляции, но и направленность связи между переменными, согласуя ее с экономической теорией.

В решении проблемы спецификации модели может помочь регрессионный анализ. Иногда, вместо того, чтобы исключать из модели одну из двух или нескольких переменных, следует подумать о сохранении в модели сразу всех переменных, например, путем линейного ограничения на параметры. Количество объясняющих переменных будет уменьшено, однако данные будут использованы по всем переменным. Такая процедура, как правило, приводит к повышению точности модели.

Регрессионный анализ модели

Будем исходить из линейной модели

которая на базисных данных в векторной форме принимает вид

Оцененная регрессия

где вычислены ее основные характеристики.

Вектор МНК-оценок удовлетворяет системе линейных уравнений

и может быть получен по формуле

Оцененная ковариационная матрица оценок коэффициентов регрессии имеет вид

где -оценки дисперсии остатков, равная

На диагонали матрицы находятся оценки дисперсий оценок , корни из которых дают стандартные ошибки коэффициентов регрессии

Оцененная ковариационная матрица значений на базисных данных имеет вид

На ее диагонали находятся оценки ,, корни из которых представляют собой стандартные ошибки значений регрессии на базисных данных.

Регрессионный анализ позволяет проверить значимость объясняющих переменных в уравнении регрессии. Для этого можно использовать двусторонний критерий значимости коэффициентов регрессии

где - критическое значение, вычисленное по таблице Стьюдента при уровне значимости б и числе степеней свободы . Этот критерий эквивалентен критерию Фишера, и может быть осуществлена проверка результатов корреляционного анализа. В случае необходимости можно использовать односторонние критерии значимости коэффициентов регрессии, если из экономических соображений или из опытных данных имеются большие аргументы в пользу положительного или отрицательного направления действия объясняющей переменной на показатель .

Предположим, что нами оценена модель (2.10)

Значимость регрессионной модели в целом определяется согласно критерию

где -- критическое значение, при уровне значимости и числах степеней свободы и . Статистика связана с коэффициентом детерминации соотношением

Пусть корреляционный и регрессионный анализы модели, а также сокращенных версий, получающихся после последовательного удаления из исходной модели на наш взгляд несущественных переменных привели нас к модели

Значимость суммарного вклада исключенных переменных можно проверить с помощью - статистики

которую в данном случае можно переписать в эквивалентной форме

Если выполняется неравенство

где - критическое значение, равное соответствующему квантилю распределения Фишера при уровне значимости и числах степеней свободы и , то мы делаем вывод о значимости совместного вклада исключенных переменных в “длинную” регрессию. В этом случае “короткая” регрессия должна быть скорректирована, спецификация переменных должна быть пересмотрена заново.

Проведение корреляционного анализа

Проведем корреляционный анализ системы «показатель-факторы» для заданного варианта задания.

Сначала вычислим полную корреляционную матрицу, составленной из выборочных парных коэффициентов корреляции. Для этого необходимо провести некоторые предварительные расчеты.

Матрица из примет вид:

Зная можно рассчитать матрицу :

Используя которую можно рассчитать полную корреляционную матрицу :

Анализ матрицы свидетельствует о сильной значимости некоторых выборочных парных коэффициентов корреляции, ввиду высоких значений парных коэффициентов корреляции, являющихся элементами этой матрицы.

Систему «показатель-факторы» будем характеризовать выборочными частными коэффициентами корреляции . Для их вычисления рассчитаем значения матрицы :

Зная ее рассчитаем искомые частные коэффициенты корреляции:

Для того, чтобы определить, какие факторы значимо влияют на изучаемый показатель найдем . При уровне значимости и числе степеней свободы , . Тогда из критерия , видим, что на стоимость выпущенной продукции значимо влияет лишь объем основных фондов.

Проанализируем теперь систему «факторы».

Матрица будет иметь вид:

Тогда, рассчитав матрицу , через элементы которой выражаются выборочные частные коэффициенты корреляции системы «факторы», получим:

и найдем матрицу

элементы, которой указывают на отсутствие в линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение не превосходит

Матрица выборочных частных коэффициентов корреляции системы «факторы»

Указывает на наличие в этой линейной модели проблемы мультиколлинеарности, поскольку значение r12,*=0.994 превосходит критическое значение 0,707.

Убедимся теперь, что регрессионный анализ линейной модели приведет к аналогичным результатам. Модель имеет вид:

.

Рассчитав отклонение функции регрессии от заданных значений показателя , с помощью формулы (2.16) найдем

169,2007

Воспользовавшись результатами предыдущих расчетов из главы один, найдем

Откуда

Тогда уравнение регрессии перепишется в виде

Проверим значимость коэффициентов уравнения регрессии с помощью критерия , где находим при и числе степеней свободы , .

Тогда, проверяя критерий, находим, что все коэффициенты при х1, х2 и х3 незначимы, что говорит о незначимости вклада этих факторов в уравнение регрессии.

Проверим значимость регрессионной модели в целом. Получим:

что намного превосходит и значит уравнение регрессии в целом значимо.

3. Многофакторные производственные функции