Принципи, технологія та основні методи рішення завдань моделювання

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦІЯ 3

ПРИНЦИПИ, ТЕХНОЛОГІЯ ТА ОСНОВНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ МОДЕЛЮВАННЯ

3.1 Основні принципи моделювання

Моделювання базується на декількох основних принципах. Розглянемо їх.

Принцип інформаційної достатності.

При повній відсутності інформації про досліджуваний об'єкт побудова його моделі неможлива. З іншого боку, при наявності повної інформації про об'єкт побудова його моделі не має змісту Існує деякий рівень апріорної інформації про об'єкт, при досягненні якої може бути побудована його адекватна модель.

Принцип здійсненності.

Створювана модель повинна забезпечувати досягнення поставленої мети дослідження з імовірністю, що істотно відрізняється від нуля.

Принцип множинності моделей.

Даний принцип є ключовим. Мова йде про те, що створювана модель повинна відбивати в першу чергу ті властивості реальної системи, які цікавлять дослідника. Відповідно, при використанні будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі сторони реальності. Для більше повного її дослідження необхідний ряд моделей, що дозволяє з різних сторін і з різним ступенем деталізації розглянути досліджуваний об'єкт.

Принцип агрегування.

У більшості випадків складну систему можна представити у вигляді декількох агрегатів (підсистем), для адекватного математичного опису яких виявляються придатними деякі стандартні математичні схеми.

Принцип параметризації.

Цей принцип означає, що модель будується у вигляді відомої системи, параметри якої невідомі.

3.2 Технологія моделювання

Ступінь реалізації перерахованих принципів кожної конкретної моделі може бути різної. Це залежить не тільки від бажання дослідника, але й від дотримання їм технологій моделювання. А будь-яка технологія має на увазі певну послідовність дій.

У цей час найпоширенішою технологією моделювання є комплексне моделювання, під яким розуміється математичне моделювання з використанням засобів обчислювальної техніки. Відповідні технології комплексного моделювання являють собою виконання наступних дій:

- Визначення мети моделювання.

- Розробка концептуальної моделі.

- Формалізація моделі.

- Програмна реалізація моделі.

- Планування модельних експериментів.

- Реалізація плану експерименту.

- Аналіз й інтерпретація результатів моделювання.

Результати комплексного моделювання використовуються як основа для подальших досліджень і розробок, у тому числі дорогих реальних випробувань.

3.3 Основні методи рішення завдань моделювання

На етапі програмної реалізації моделі й реалізації плану експериментів здійснюється необхідний вибір методів рішення завдань моделювання. При цьому використаються три основні групи методів:

1. графічні - оцінні наближені методи, засновані на побудові й аналізі графіків;

2. аналітичні - рішення, отримані строго у вигляді аналітичних виразів (придатні для вузького кола завдань);

3. чисельні - основний інструмент для рішення складних математичних завдань, заснований на застосуванні різних чисельних методів.

Аналітичне рішення вдається отримати рідко й найчастіше лише при спрощеному формулюванні завдання моделювання в лінійному наближенні. Основним засобом моделювання є алгоритмічний підхід, що реалізує обчислювальний експеримент на ЕОМ або ПК. Одержуване на ЕОМ рішення майже завжди містить деяку похибку. Абсолютна похибка - це різниця між наближеним x і точними або ідеальним xu значеннями результату й визначається як:

Відносна похибка визначається як:

Наявність похибки рішення обумовлено рядом причин. Перерахуємо основні джерела похибки.

1. Математична модель є лише наближеним описом реального процесу (похибка моделі).

2. Вихідні дані, як правило, містять похибки, оскільки є результатами наближених експериментів (вимірів) або рішеннями допоміжних завдань (похибки даних).

3. Застосовувані для рішення завдання методи в більшості випадків є наближеними (похибка методу).

4. При виводі вихідних даних в ЕОМ, виконанні операцій виробляються округлення (обчислювальна похибка).

Похибки 1 й 2 неможливо виправити на даному етапі рішення., для їхнього зменшення доводиться повертатися знову до побудови математичної, а й іноді й концептуальної моделі, робити додаткове експериментальне уточнення умов завдання.

Оцінка обумовленості обчислювального завдання ще одна обов'язкова вимога при виборі методу рішення й побудові математичної моделі.

Нехай обчислювальне завдання коректне. Теоретично стійкість завдання означає, що її рішення може бути знайдене з як завгодно малою похибкою, якщо тільки гарантувати досить малу похибку вхідних даних. Однак на практиці їхня точність обмежена (і величиною набагато більшої, - машинна точність, Р - порядок, округлення проводиться усіканням).

Як впливають малі, але кінцеві похибки вхідних даних на рішення? Наскільки сильно вони спотворюють результат? Відповідь на це дає поняття обумовленості завдання, тобто чутливості рішення обчислювального завдання до малих похибок вхідних даних.

Завдання називають добре обумовленими, якщо малим похибками вхідних даних відповідають малі похибки рішення, і погано обумовленим, якщо можливі сильні зміни рішення. Часто можливо ввести кількісну оцінку ступеня обумовленості - число обумовленості. Його можна інтерпретувати як коефіцієнт можливого зростання похибки в рішенні стосовно їхньої похибки, що викликані вхідними даними.

Якщо встановлено нерівність між цими похибками, то можна користуватися наступними виразами:

де - абсолютне число обумовленості, - відносне число обумовленості. Для погано обумовлених завдань , нестійкість відповідає .

При яких значеннях можна вважати завдання погано обумовленої? Це залежить від вимог до точності рішення й від рівня забезпечуваної точності вихідних даних.

Якщо потрібно знайти рішення з точністю 0.1%, а вхідна інформація задається з точністю в 0.02 %, то при вже буде погана обумовленість.

Однак якщо вихідні дані задаються з , те при завдання добре обумовлене ( ).

Обчислювальні методи перетворяться до виду, зручного для програмної реалізації. Можна виділити наступні класи чисельних методів.

- Метод еквівалентних перетворень - вихідне завдання заміняють іншим, що має те ж рішення: знаходження кореня нелінійного рівняння f(х) = 0 зводять до пошуку крапок глобального мінімуму (х) = (f(x))2.

- Методи апроксимації - заміняють вихідне завдання іншим, рішення якого близько до рішення вихідного завдання.

- Кінцево-різницеві методи, засновані на заміні похідних кінцевими різницями, наприклад: .

- Прямі (точні) методи - рішення може бути отримане за кінцеве число елементарних операцій (арифметичні й добування кореня). Багато прямих методів не годяться до застосування в ЕОМ через чутливість до помилок округлення.

- Ітераційні методи - методи послідовних наближень до рішення завдання. Задається початкове наближення рішення, будується ітераційна послідовність наближень до рішення. Якщо ця послідовність сходиться до рішення, то говорять, що ітераційний процес сходиться. Безліч початкових наближень, для яких метод сходиться, називаються областю збіжності методу.

- Методи статистичних випробувань (Монте-Карло) - засновані на моделюванні випадкових величин і побудові статистичних оцінок рішень завдань (для моделювання більших систем). Для реалізації цих методів використаються генератори випадкових чисел.

Чисельні методи групуються навколо типових математичних завдань: завдань аналізу, алгебри, оптимізації, рішення диференціальних й інтегральних рівнянь, зворотних завдань (синтез). Цей етап рішення закінчується вибором й обґрунтуванням конкретних чисельних методів рішення, розробкою алгоритму, які можуть бути програмно реалізовані засобами комп'ютерної техніки.

3.4 Контроль правильності моделей

Для контролю правильності отриманої моделі може використатися ряд прийомів.

Аналіз розмірності - величини в лівій і правій частині виразу, ділові доданки в кожній із частин повинні мати однакову розмірність.

Перевірка порядків і характерів залежності - параметри й змінні, які в даному завданні виражені величинами більшого порядку дрібності, можуть бути виключені з розгляду як несуттєві, що часто дозволяє значно спростити модель й її аналіз. Характер зміни значень модулюючих величин повинен відповідати їхньому реальному змісту, не суперечити спостережуваним даним.

Дослідження граничних випадків - результати моделювання при крайніх значеннях параметрів моделі, рівних, як правило, нулю або нескінченності, не повинні суперечити змісту (наприклад, енергія реальної фізичної системи не може виявитися нескінченно великим, час її протікання процесу - негативним і т.п.). Модель у цьому випадку істотно спрощується й легше для розуміння.

Перевірка замкнутості й коректності математичного завдання - система математичних співвідношень повинна мати єдине рішення.

Завдання називається коректним, якщо вона задовольняє трьом вимогам:

1) її рішення існує при будь-яких припустимих вхідних даних;

2) це рішення єдине (однозначно визначено);

3) рішення безупинно залежить від даних завдання стійке стосовно малих збурювань вхідних даних.

Рішення обчислювального завдання називається стійким за вхідним даними Х, якщо воно залежить від вхідних даних безперервним образом; тобто для кожного > 0 існує д = д() > 0 таке, що будь-яким вихідним даним x*, що задовольняють умові (х*) < д, відповідає наближене рішення y*, для якого (y*) < .. Далеко не всі, що зустрічаються на практиці завдання є коректними. До них, наприклад, не можна віднести зворотні завдання геофізики, астрофізики, спектрографії, розпізнавання образів, синтез і багато інших важливих прикладних проблем. Властивість коректності завдання має велике значення для вибору методу рішення. До некоректних завдань неможливо застосувати звичайні обчислювальні методи обчислювальної математики. Строгий аналіз коректності в багатьох випадках математично складний, і обмежується перевіркою відповідності кількості невідомих й єднальних їхніх рівнянь у моделі.

Запитання для самоперевірки

моделювання статистичний випробування контроль

1. Охарактеризуйте основні принципи моделювання.

2. Опишіть технології комплексного моделювання.

3. Охарактеризуйте основні групи методів рішення завдань моделювання.

4. Охарактеризуйте оцінку обумовленості обчислювального завдання.

5. Опишіть обчислювальні методи рішення завдань моделювання.

6. Охарактеризуйте прийоми контролю правильності моделей.

Размещено на Allbest.ru