Моделирование одномерных временных рядов. Автокорреляция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Контрольная работа

Моделирование одномерных временных рядов. Автокорреляция

1. Основные элементы временного ряда, автокорреляция уровней и выявление структуры ряда

Эконометрическую модель можно построить, используя два типа исходных данных:

· данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;

· данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные по данным второго типа, называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

· факторы, формирующие тенденцию ряда;

· факторы, формирующие циклические колебания ряда;

· случайные факторы.

При различных сочетаниях этих факторов зависимость уровней ряда от времени может принимать разные формы. Реальные данные чаще всего содержат тенденцию, сезонные или циклические колебания и случайную компоненту.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент, с тем чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

При наличии тенденции и циклических колебаний значения каждого последующего уровня ряда зависят от предыдущих значений. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда. Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции называется лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Максимальный лаг должен быть не больше n/4.

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции. Во-первых, коэффициент автокорреляции характеризует тесноту линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда, по его значению можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции. Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию, коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю. Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называют коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, следовательно, лаг, при котором связь между текущим и предыдущими уровнями ряда наиболее тесная, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции 1-го порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , ряд содержит циклические колебания с периодом . Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать предположение относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний и имеет структуру, сходную со структурой ряда; либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Например. По заданному объему продаж (тыс. руб.) за последние 18 кварталов необходимо построить график временного ряда, коррелограмму и определить структуру временного ряда.

Квартал,t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Объем продаж, yt	6	4	5	9	7	5	6	10	8	7	6	11	9	7	5	12	11	9

Решение

1. Запишем различные уровни ряда.

yt	yt-1	yt-2	yt-3	yt-4	yt-5
6
4	6
5	4	6
9	5	4	6
7	9	5	4	6
5	7	9	5	4	6
6	5	7	9	5	4
10	6	5	7	9	5
8	10	6	5	7	9
7	8	10	6	5	7
6	7	8	10	6	5
11	6	7	8	10	6
9	11	6	7	8	10
7	9	11	6	7	8
5	7	9	11	6	7
12	5	7	9	11	6
11	12	5	7	9	11
9	11	12	5	7	9

2. Используя пакет анализа Excel, получим коэффициенты корреляции до 5-го порядка, т.к. и, построим коррелограмму.

Лаг	r(t)	Корррелограмма
1	0,241	**
2	-0,308	****
3	-0,047	*
4	0,934	*****
5	0,293	***

Анализ значений автокорреляционной функции позволяет сделать вывод о наличии во временном ряде линейной тенденции и сезонных колебаний периодичностью в 4 квартала.

2. Аналитическое выравнивание временного ряда

Рассмотрим модель временного ряда y_t = f(t) + , где f(t) - неслучайная составляющая (тренд, либо тренд и циклическая и (или) сезонная компонента, выражающая основную тенденцию).

Под выравниванием временного ряда понимают выделение неслучайной составляющей f(t), которая характеризует основную тенденцию изучаемого процесса, и выбор этой функции. Наиболее часто используются следующие функции: временной ряд автокорреляция сглаживание

f(t) = a + bt - линейная;

f(t) = a + b₁t + b₂t² + … + b_ntⁿ - полиномиальная;

f(t) = e^a+bt - экспоненциальная;

f(t) = a/(1 + be^-ct) - логистическая;

f(t) = C^a-b(r) - Кривая Гомперца, 0<r<1 и т.д.

Вид функции f(t) подбирается на основе графического изображения временного ряда с использованием содержательного анализа. Параметры каждого из видов функции f(t) можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t = 1,…,n, а в качестве зависимой - фактические значения уровней временного ряда.

Существует несколько способов определения типа тенденции:

1) анализ графического изображения ряда;

2) сравнение коэффициентов автокорреляции 1-го порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда:

- если ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни y_t и y_t-1 тесно коррелируют r(1) 1;

- если ряд содержит нелинейную тенденцию, то коэффициент автокорреляции r(1) первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент для уровней ряда.

Выбор лучшего уравнения осуществляют путем перебора основных форм и расчета по каждому уравнению R²_adj и выбора уравнения с максимальным R²_adj.

Например. Для предыдущего примера построим график временного ряда с помощью «Мастера диаграмм» и добавим линию тренда.



Отметим, что, как и раньше, наиболее простую экономическую интерпретацию имеют параметры линейного и экспоненциального трендов:

- линейный тренд: y_t = a + bt, a - начальный уровень временного ряда, b - средний абсолютный прирост уровней ряда. Система нормальных уравнений имеет вид

;

;

- экспоненциальный тренд: y_t = e^a+bt , е^а - начальный уровень временного ряда, е^b - средний в единицу времени коэффициент роста уровней ряда. Определение параметров требует предварительной линеаризации.

Другим методом выравнивания временного ряда является метод скользящей средней. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. Получаемый т.о. ряд ведет себя более гладко, чем исходный из-за устранения отклонений ряда. Рассмотрим использование этого метода на примере построения аддитивной и мультипликативной моделей временного ряда с сезонной составляющей:

, .

(Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель, в противном случае - мультипликативную). Например, для рассматриваемого примера амплитуду можно считать приблизительно постоянной, следовательно подходящей будет аддитивная модель.

Процесс построения модели включает следующие шаги:

1. Выравнивание ряда методом скользящей средней.

2. Расчет значений сезонной составляющей .

3. Устранение сезонной составляющей и получение выравненных данных или .

4. Аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений .

5. Расчет полученных по модели значений или .

6. Расчет абсолютных и (или) относительных ошибок.

Пояснения к выполнению шагов.

1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (таблица 1):

а) просуммируем уровни последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на один момент времени;

б) найдем скользящие средние делением на 4 полученных сумм (полученные значения уже не содержат сезонной компоненты);

в) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих

средних - центрированные скользящие средние.

2. Оценим сезонную компоненту:

- для аддитивной модели - как разность между фактическими уровнями ряда y_t и центрированными скользящими средними;

- для мультипликативной модели - как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние.

Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты (таблица 2).

В моделях с сезонной компонентой предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. Это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам равна: нулю для аддитивной модели и числу периодов в цикле для мультипликативной модели. Определяем корректирую-щий коэффициент k и скорректированные значения сезонной компоненты: = - k или = k.

3. Исключим влияние сезонной компоненты: или .

4. Определим составляющую . Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда.

5. Определим или .

6. Расчет ошибки производится по формулам соответственно: или . Для того, чтобы сравнить мультипликативную модель и другие модели, по аналогии с аддитивной моделью можно использовать сумму квадратов абсолютных ошибок .

Пример. Построим аддитивную модель по данным предыдущего примера.

Таблица 1.

Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	6
2	4
3	5	6	6,125	-1,125
4	9	6,25	6,375	2,625
5	7	6,5	6,625	0,375
6	5	6,75	6,875	-1,875
7	6	7	7,125	-1,125
8	10	7,25	7,5	2,5
9	8	7,75	7,75	0,25
10	7	7,75	7,875	-0,875
11	6	8	8,125	-2,125
12	11	8,25	8,25	2,75
13	9	8,25	8,125	0,875
14	7	8	8,125	-1,125
15	5	8,25	8,5	-3,5
16	12	8,75	9	3
17	11
18	9

Заполним следующую таблицу.

Таблица 2.

	Номер квартала
	1	2	3	4
			-1,125	2,625
	0,375	-1,875	-1,125	2,5
	0,25	-0,875	-2,125	2,75
	0,875	-1,125	-3,5	3	сумма
Среднее	0,5	-1,292	-2,25	2,75	-0,292
Скорректированная сезонная вариация	0,573	-1,219	-2,177	2,823	0

(корректирующий фактор k = -0,292/4)

Исключим сезонную вариацию.

Номер квартала	Объем продаж	Сезонная вариация, S	Десезонализированный объем продаж, Yt - S = T + E
1	6	0,573	5,427083
2	4	-1,219	5,21875
3	5	-2,177	7,177083
4	9	2,823	6,177083
5	7	0,573	6,427083
6	5	-1,219	6,21875
7	6	-2,177	8,177083
8	10	2,823	7,177083
9	8	0,573	7,427083
10	7	-1,219	8,21875
11	6	-2,177	8,177083
12	11	2,823	8,177083
13	9	0,573	8,427083
14	7	-1,219	8,21875
15	5	-2,177	7,177083
16	12	2,823	9,177083
17	11	0,573	10,42708
18	9	-1,219	10,21875

Уравнение линии тренда Т = . Найдем коэффициенты и по данным первого и последнего столбцов.

	ВЫВОД ИТОГОВ
	Регрессионная статистика
	Множественный R	0,878015
	R-квадрат	0,770911
	Нормированный R-квадрат	0,756593
	Стандартная ошибка	0,71808
	Наблюдения	18
	Дисперсионный анализ
		df	SS	MS	F	Значимость F
	Регрессия	1	27,76299	27,76299	53,84189	1,67E-06
	Остаток	16	8,250227	0,515639
	Итого	17	36,01321
		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
	Y-пересечение	5,372889	0,353125	15,21527	6,17E-11	4,624299	6,12148
	t	0,239379	0,032623	7,337703	1,67E-06	0,170221	0,308537
	ВЫВОД ОСТАТКА
	Наблюдение	Предсказанное T	Остатки
	1	5,612269	-0,18519
	2	5,851648	-0,6329
	3	6,091027	1,086057
	4	6,330406	-0,15332
	5	6,569785	-0,1427
	6	6,809164	-0,59041
	7	7,048543	1,12854
	8	7,287922	-0,11084
	9	7,527301	-0,10022
	10	7,76668	0,45207
	11	8,006059	0,171024
	12	8,245438	-0,06836
	13	8,484818	-0,05773
	14	8,724197	-0,50545
	15	8,963576	-1,78649
	16	9,202955	-0,02587
	17	9,442334	0,984749
	18	9,681713	0,537037

Рассчитаем ошибки. MAD = 0,484386.

MSE = 0,458346.

Пример построения мультипликативной модели.

По заданному объему продаж (тыс.руб.) за последние 11 кварталов

Квартал, t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж, yt	63	74	79	120	67	79	88	130	69	82	90

Решение:

1. Построим график временного ряда и коррелограмму (ExcelДиаграмма):

Лаг	r(t)	Корррелограмма
1	-0,23466	**
2	-0,23236	*
3	-0,26547	***
4	0,992604	****

График данного временного ряда свидетельствует о наличии сезонных колебаний (период равен 4). Поскольку амплитуда колебаний увеличивается, можно предположить наличие мультипликативной модели.

2. Определим скользящую среднюю за 4 квартала:

Квартал	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала Рассчитывается как сумма объема продаж за 4 квартала, деленная на 4. 84=(63+74+79+120)/4	Центрированная скользящая средняя Рассчитывается как сумма 2 кварталов деленная на 2. 84,5=(84+85)/2	Оценка сезонной вариации Рассчитывается как отношение объема продаж на центрированную скользящую среднюю. 0,935=79/84,5
1	63	-	-	-
2	74	-	-	-
3	79	84	84,5	0,935
4	120	85	85,625	1,401
5	67	86,25	87,375	0,767
6	79	88,5	89,75	0,880
7	88	91	91,25	0,964
8	130	91,5	91,875	1,415
9	69	92,25	92,5	0,746
10	82	92,75	-	-
11	90	-	-	-

3. Определим скорректированную сезонную вариацию:

		Номер квартала в году
		1	2	3	4
				0,935	1,401
		0,767	0,88	0,964	1,415
		0,746				Сумма
Среднее	0,756	0,88	0,95	1,408	3,994
Скорректированная сезонная вариация	0,757	0,881	0,951	1,41	4,000

Так как сумма средних получилась 3,994, а число сезонов равно 4, то необходимо итоговые коэффициенты сезонности умножить на множитель .

Как показывают полученные оценки, в 1-м, 2-м и 3-м кварталах года объем продаж снижается соответственно на 24,3%, 11,9% и 4,8% от соответствующих трендовых значений. В 4 квартале года объем продаж увеличивается на 41% от соответствующего трендового значения.

4. Исключим сезонную вариацию из фактических данных. Приведем десезонализацию данных.

Квартал	Объем продаж A	Коэффициент сезонности S	Десезонализированный объем продаж A/S=T*E
1	63	0,757	83,2
2	74	0,881	84,0
3	79	0,952	83,0
4	120	1,41	85,1
5	67	0,757	88,5
6	79	0,881	89,7
7	88	0,952	92,4
8	130	1,41	92,2
9	69	0,757	91,1
10	82	0,881	93,1
11	90	0,952	94,5

5. Уравнение линии тренда: . Найдем параметры и . Воспользуемся «Пакетом анализа», выведем остатки:

ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R	0,952460954
R-квадрат	0,907181868
Нормированный R-квадрат	0,896868743
Стандартная ошибка	1,377574448
Наблюдения	11
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	166,9299281	166,929928	87,96381	6,08576E-06
Остаток	9	17,07940223	1,89771136
Итого	10	184,0093303
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	81,41641396	0,89083578	91,3932914	1,14E-14	79,40120188
Квартал	1,231886683	0,13134657	9,37890258	6,09E-06	0,934759873
ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное Десезонализированный объем продаж A/S=T*E	Остатки
1	82,64830064	0,57494903
2	83,88018732	0,115272382
3	85,11207401	-2,12888073
4	86,34396069	-1,23757771
5	87,57584737	0,931418149
6	88,80773406	0,863094547
7	90,03962074	2,39735405
8	91,27150742	0,927074137
9	92,50339411	-1,35412066
10	93,73528079	-0,65923085
11	94,96716747	-0,42935235

Уравнение тренда:

6. Вычислим ошибки

Среднее абсолютное отклонение (MAD): .

Среднеквадратическую ошибку (MSE): .

Наблюдение	Предсказанное Десезонализированный объем продаж A/S=T*E	Остатки еt
1	82,64830064	0,57494903	0,57494903	0,330566
2	83,88018732	0,115272382	0,11527238	0,013288
3	85,11207401	-2,12888073	2,12888073	4,532133
4	86,34396069	-1,23757771	1,23757771	1,531599
5	87,57584737	0,931418149	0,93141815	0,86754
6	88,80773406	0,863094547	0,86309455	0,744932
7	90,03962074	2,39735405	2,39735405	5,747306
8	91,27150742	0,927074137	0,92707414	0,859466
9	92,50339411	-1,35412066	1,35412066	1,833643
10	93,73528079	-0,65923085	0,65923085	0,434585
11	94,96716747	-0,42935235	0,42935235	0,184343
	Сумма	0,00	11,62	17,08

,

Мы видим, что ошибки малы и составляют порядка 1%. Это позволяет получить хорошие краткосрочные прогнозы.

3. Экспоненциальное сглаживание

Дадим прогноз объема продаж на 1-й квартал для аддитивной модели, он будет равен трендовому значению F₁= 5,612269.

Дадим прогноз объема продаж на 19-й квартал методами простого экспоненциального сглаживания и экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд.

Рассмотрим простую модель экспоненциального сглаживания.

Новый прогноз = (фактический результат в последний период) + (1-)(прогноз в последний период), то есть F_t+1 = A_t + (1-)F_t. Константу сглаживания исследователь выбирает из отрезка [0,1]. В условиях стабильности часто [0,2; 0,4]. Пусть = 0,8. Тогда 1- = 0,2. На первый квартал был дан прогноз 5,612269.. Дадим прогноз на 19-й квартал. Заполним таблицу.

F_t+1 = Y_t + (1-)F_t = 0,8Y_t + 0,2F_t, то есть числа в каждой строке умножаем соответственно на 0,8 и 0,2 и результат пишем в следующей строке во втором столбце.

0,86 + 0,25,61227 = 5,92245.

0,84 + 0,25,92245 = 4,38449. И т.д. Результат округляем до трех цифр после запятой.

Yt (фактически)	Ft (прогноз)
6	5,61227
4	5,92245
5	4,37033
9	5,21821
7	8,46608
5	6,91396
6	5,36183
10	6,20971
8	9,45758
7	7,90546
6	7,15334
11	6,40121
9	10,4491
7	8,89696
5	7,34484
12	5,79272
11	11,4406
9	10,6885
	9,13634

Прогноз на 19-й квартал - 9,13634 тыс. руб.

Замечание. Excel позволяет быстро провести простое экспоненциальное сглаживание. Сервис Анализ данных Экспоненциальное сглаживание ОК. Появляется диалоговое окно, которое нужно заполнить. В графе Фактор затухания указать значение

1- (по умолчанию 0,3) ОК.

Скорректируем прогноз, полученный методом простого экспоненциального сглаживания, с учетом тренда по следующей формуле:

прогноз с учетом тренда FIT_t = прогноз F_t + тренд T_t.

Тренд T_t = (1-b)T_t-1 + b(F_t - F_t-1), где T_t и T_t-1 - сглаженный тренд в периоды t и t-1 соответственно, b - выбранная константа сглаживания.

Начальное значение тренда может быть получено на основе предположения.

Пусть b = 0,4, T₁ = 0. Дадим прогноз объема продаж на 19-й квартал методом экспоненциального сглаживания с поправкой на тренд.

Заполним таблицу. Из каждого числа 1-го столбца вычитаем предыдущее число 1-го столбца, и результат запишем во 2-й столбец. Каждое число 3-го столбца есть сумма числа, умноженного на 1-b = 1-0,4 = 0,6, из предыдущей строки 3-го столбца и числа, умноженного на b = 0,4, на этой же строке 2-го столбца. Результат округляем до трех цифр после запятой.

Ft	Ft - Ft-1	Tt	FITt = Ft+Tt
5,61227		0	5,612269
5,92245	0,310185	0,124074	6,046528
4,37033	-1,55212	-0,54641	3,823924
5,21821	0,847876	0,011307	5,229513
8,46608	3,247876	1,305935	9,772016
6,91396	-1,55212	0,162711	7,076668
5,36183	-1,55212	-0,52322	4,83861
6,20971	0,847876	0,025217	6,234925
9,45758	3,247876	1,31428	10,77186
7,90546	-1,55212	0,167718	8,073179
7,15334	-0,75212	-0,20022	6,953117
6,40121	-0,75212	-0,42098	5,980231
10,4491	4,047876	1,366562	11,81565
8,89696	-1,55212	0,199087	9,096051
7,34484	-1,55212	-0,5014	6,843442
5,79272	-1,55212	-0,92169	4,871027
11,4406	5,647876	1,706138	13,14673
10,6885	-0,75212	0,722833	11,4113
9,13634	-1,55212	-0,18715	8,949193

Прогноз на 19-й квартал - 8,949 тыс. руб.

4. Суть, причины и последствия автокорреляции

Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. .

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. Поскольку значения случайных членов неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков, в частности двух последовательных и . Автокорреляция остатков (отклонений) обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов.

Пусть - коэффициент корреляции между двумя соседними случайными членами и :

· если > 0, то автокорреляция положительная;

· если < 0, то автокорреляция отрицательная;

· если = 0, то автокорреляция отсутствует, и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить следующие.

Ошибки спецификации: неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводят к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии.

Инерция в изменении экономических показателей: многие экономические показатели обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей.

Эффект паутины: экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием. Например, большая цена сельхозпродукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а, следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных: данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подынтервалам.

Последствия автокорреляции схожи с последствиями гетероскедастичности:

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными.

2. Дисперсии оценок являются смещенными (заниженными), это влечет увеличение t-статистик, и признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые такими не являются.

3. Оценка дисперсии регрессии S² является смещенной (заниженной).

4. Выводы по t- и по F-статистикам оказываются неверными, из-за чего ухудшаются прогнозные качества модели.

5. Обнаружение автокорреляции

В силу неизвестности значений параметров регрессии неизвестными будут также и истинные значения отклонений , поэтому выводы об их независимости осуществляются на основе оценок , полученных из эмпирического уравнения регрессии. Рассмотрим возможные методы определения автокорреляции.

Графический метод. Существует несколько вариантов графического определения автокорреляции. Один из них состоит в анализе последовательно-временных графиков. По оси абсцисс откладывают время, либо порядковый номер наблюдения, а по оси ординат - отклонения (Рис. 1).

Рис. 1.

Естественно предположить, что на рис. 1, а - г имеются определенные связи между отклонениями, т.е. автокорреляция имеет место. Отсутствие зависимости на рис. 1, д скорее всего свидетельствует об отсутствии автокорреляции.

Например, на рис. 1, б отклонения вначале в основном отрицательные, затем положительные, потом снова отрицательные. Это свидетельствует о наличии между отклонениями определенной зависимости. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеет место положительная автокорреляция остатков. Она становится весьма наглядной, если график 1, б дополнить графиком зависимости от (рис. 2).

Рис. 2

Подавляющее большинство точек на этом графике расположено в I и III четвертях декартовой системы координат, подтверждая положительную зависимость между соседними отклонениями.

Современные ППП решение задач построения регрессии дополняют графическим представлением результатов: график реальных колебаний зависимой переменной накладывается на график колебаний переменной по уравнению регрессии. Сопоставление этих графиков часто дает возможность выдвинуть гипотезу о наличии автокорреляции.

Метод рядов. Последовательно определяются знаки отклонений . Например,

(-----)(+++++++)(---)(++++)(-), т.е. 5 «-», 7 «+», 3 «-», 4 «+», 1 «-» при 20 наблюдениях.

Ряд определяется как непрерывная последовательность одинаковых знаков. Количество знаков в ряду называют длиной ряда. Визуальное распределение знаков свидетельствует о неслучайном характере связей между отклонениями. Если рядов слишком мало по сравнению с количеством наблюдений n, то вполне вероятна положительная автокорреляция. Если рядов слишком много, то вероятна отрицательная автокорреляция. Пусть n - объем выборки, n₁ и n₂ - общее количество, соответственно, знаков «+» и «-», k - количество рядов.

При достаточно большом количестве наблюдений (n₁ > 10,

n₂ > 10) и отсутствии автокорреляции случайная величина k имеет асимптотически нормальное распределение с

; .

Тогда, если , то гипотеза об отсутствии автокорреляции не отклоняется.

Число определяется по таблице функции стандартного нормального распределения из равенства F() = . Например, при , =1,96 и при , =2,58.

Для небольшого числа наблюдений (n₁ < 20, n₂ < 20) разработаны таблицы критических значений количества рядов при n наблюдениях. Суть таблиц в следующем.

На пересечении строки n₁ и столбца n₂ определяются нижнее k₁ и верхнее k₂ значения при уровне значимости (Рис.3).

Пример 1. Пусть изучается зависимость среднедушевых расходов на конечное потребление y от среднедушевого дохода х по данным некоторой страны за 16 лет.

Исходные (и расчетные для примера 3) данные (усл.ед.) представлены в следующей таблице:

1	70	73	0,18	-	-
2	73	76	0,76	37,51	38,99
3	78	83	0,12	40,99	44,47
4	83	89	0,28	43,45	46,92

Подобные документы

• Использование критерия Дарбина–Уотсона и оценка качества эконометрической модели с использованием коэффициента детерминации

  Публикация данных: источники информации и влияние факторов на деятельность. Статистическая автокоррелированность ряда и проверка ее порядков, статистика Дарбина–Уотсона. Регрессионные зависимости и леммы эконометрической модели, доверительный интервал.
  
  практическая работа [327,4 K], добавлен 15.03.2009
  

• Исследование проблемы автокорреляции (первого порядка) случайных отклонений с помощью теста Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона, а также графических методов

  Статистическая адекватность и проверка модели линейной регрессии на мультиколлинеарность. Исследование автокорреляции с помощью критерия Дарбина-Уотсона, тестов Сведа-Эйзенхарта и Бреуша-Годфри. Анализ гетероскедастичности и корректировка модели.
  
  курсовая работа [1,5 M], добавлен 29.03.2015
  

• Анализ динамики производства древесноволокнистых плит в России за 2000-2009 годы

  Автокорреляционная функция временного ряда темпов роста производства древесноволокнистых плит в Российской Федерации. Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели и коэффициента автокорреляции третьего порядка по логарифмам уровней ряда.
  
  контрольная работа [300,6 K], добавлен 15.11.2014
  

• Анализ и построение имитационной модели заданного временного ряда

  Изучение понятия имитационного моделирования. Имитационная модель временного ряда. Анализ показателей динамики развития экономических процессов. Аномальные уровни ряда. Автокорреляция и временной лаг. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.
  
  курсовая работа [148,3 K], добавлен 26.12.2014
  

• Исследование временного ряда

  Теория и анализ временных рядов. Построение линии тренда и прогнозирование развития случайного процесса на основе временного ряда. Сглаживание временного ряда, задача выделения тренда, определение вида тенденции. Выделение тригонометрической составляющей.
  
  курсовая работа [722,6 K], добавлен 09.07.2019
  

• Построение эконометрической модели. Проблема автокорреляции случайных отклонений

  Эконометрическая модель и исследование проблемы автокорреляции случайных отклонений с помощью тестов Бреуша-Годфри, Сведа-Эйзенхарта и статистики Дарбина-Уотсона. Связь между реальным и номинальным обменными курсами на примере белорусского рубля.
  
  курсовая работа [483,8 K], добавлен 19.12.2011
  

• Методы обнаружения автокорреляции

  Графический метод обнаружения автокорреляции. Критерии Дарбина-Уотсона. Построение уравнения линейной регрессии, его оценка с использованием матричной алгебры. Поиск стандартных ошибок коэффициентов. Статистическая значимость показателя детерминации.
  
  контрольная работа [70,3 K], добавлен 05.12.2013
  

• Анализ временных рядов

  Временные ряды и их характеристики. Факторы, влияющие на значения временного ряда. Тренд и сезонные составляющие. Декомпозиция временных рядов. Метод экспоненциального сглаживания. Построение регрессионной модели. Числовые характеристики переменных.
  
  контрольная работа [1,6 M], добавлен 18.06.2012
  

• Временные ряды в эконометрических исследованиях

  Анализ автокорреляции уровней временного ряда, характеристика его структуры; построение аддитивной и мультипликативной модели, отражающую зависимость уровней ряда от времени; прогноз объема выпуска товаров на два квартала с учетом выявленной сезонности.
  
  лабораторная работа [215,7 K], добавлен 23.01.2011
  

• Характеристика анализа временных рядов

  Анализ временных рядов с помощью статистического пакета "Minitab". Механизм изменения уровней ряда. Trend Analysis – анализ линии тренда с аппроксимирующими кривыми (линейная, квадратическая, экспоненциальная, логистическая). Декомпозиция временного ряда.
  
  методичка [1,2 M], добавлен 21.01.2011
  

• Модели прогнозирования на основе временных рядов

  Основные элементы эконометрического анализа временных рядов. Задачи анализа и их первоначальная обработка. Решение задач кратко- и среднесрочного прогноза значений временного ряда. Методы нахождения параметров уравнения тренда. Метод наименьших квадратов.
  
  контрольная работа [37,6 K], добавлен 03.06.2009
  

• Показатели эконометрики

  Этапы и проблемы эконометрических исследований. Параметры парной линейной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициентов автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на потребление.
  
  контрольная работа [60,3 K], добавлен 05.01.2011
  

• Компоненты временных рядов

  Статистические методы анализа одномерных временных рядов, решение задач по анализу и прогнозированию, построение графика исследуемого показателя. Критерии выявления компонент рядов, проверка гипотезы о случайности ряда и значения стандартных ошибок.
  
  контрольная работа [325,2 K], добавлен 13.08.2010
  

• Анализ временных рядов

  Анализ упорядоченных данных, полученных последовательно (во времени). Модели компонентов детерминированной составляющей временного ряда. Свободные от закона распределения критерии проверки ряда на случайность. Теоретический анализ системы линейного вида.
  
  учебное пособие [459,3 K], добавлен 19.03.2011
  

• Анализ факторов инвестиций в российскую экономику

  Определение инвестиций и их классификация по источникам финансирования. Обзор состояния инвестиций в мире. Покупка акций, облигаций, векселей и других долговых ценных бумаг. Расходы и доходы федерального бюджета. Критерий Дарбина-Уотсона и автокорреляция.
  
  курсовая работа [472,5 K], добавлен 21.01.2011
  

• Построение и анализ качества регрессионной модели

  Построение качественной и адекватной эконометрической модели по методу наименьших квадратов и ее анализ на наличие автокорреляции, мультиколлинеарности, гетероскедастичности с применением статистики Дарвина-Уотсона, тестов Парка и Голдфелда-Квандта.
  
  курсовая работа [434,0 K], добавлен 04.12.2013
  

• Корреляция финансовых временных рядов

  Теоретические выкладки в области теории хаоса. Методы, которые используются в математике, для прогнозирования стохастических рядов. Анализ финансовых рядов и рядов Twitter, связь между сентиметными графиками и поведением временного финансового ряда.
  
  курсовая работа [388,9 K], добавлен 01.07.2017
  

• Проблематика прогнозирования спроса

  Принципы и методы построения линейных, нелинейных моделей спроса, применение эконометрических моделей на практике. Эконометрическое моделирование спроса на автомобили в РФ, проверка значимости коэффициентов, автокорреляции, наличия гетероскедастичности.
  
  дипломная работа [3,9 M], добавлен 30.01.2016
  

• Процесс составления тренд-сезонной модели временного ряда, по которой осуществляется прогноз продаж бензина на АЗС

  Построение графика временного ряда. Тренд - устойчивое систематическое изменение процесса в течение продолжительного времени. Динамика продаж бензина на АЗС. Выявление сезонной составляющей и тренда. Коррелограмма, построенная в программе Statistica.
  
  курсовая работа [1,2 M], добавлен 15.11.2013
  

• Анализ показателей ряда динамики

  Решение задачи изучения изменения анализируемых показателей во времени при помощи построения и анализа рядов динамики. Элементы ряда динамики: уровни динамического ряда и период времени, за который они представлены. Понятие переменной и постоянной базы.
  
  методичка [43,0 K], добавлен 15.11.2010
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам