Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Системы эконометрических уравнений

1.1 Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

1.2 Виды систем уравнений

1.3 Структурная и приведенная формы модели

2. Проблема идентификации

2.1 Общее понятие о проблеме идентификации

2.2 Виды структурных моделей с позиции идентифицируемости

2.3 Необходимое и достаточное условия идентифицируемости

2.4 Пример эконометрической модели с анализом идентифицируемости

3. Модель денежного рынка

Заключение

Список использованных источников



Введение

Объектом статистического изучения в экономических и социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других, ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков. Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой так называемых одновременных уравнений или структурных уравнений.

Эконометрические методы применяются для построения крупных эконометрических систем моделей, описывающих экономику той или иной страны и включающих в качестве составных элементов производственную функцию, инвестиционную функцию, а также уравнения, характеризующие движение занятости, доходов, цен и процентных ставок и другие блоки.

Однако для описания полученных по модели результатов, их экономической интерпретации, изучения взаимосвязей и прогнозирования необходимо однозначно оценивать значения коэффициентов структурной формы модели. Именно здесь и возникает проблема идентифицируемости систем эконометрических уравнений. Только при идентифицируемости каждого уравнения системы, модель может однозначно и точно описывать взаимосвязь эндогенных и экзогенных переменных. В данной работе дается полная информация о видах, методах оценки идентифицируемости и методах устранения возникающих проблем. [1, c.246]



1. Системы эконометрических уравнений

1.1 Общее понятие о системах уравнений, используемых в эконометрике

Объектом статистического изучения в социальных науках являются сложные системы. Измерение тесноты связей между переменными, построение изолированных уравнений регрессии недостаточны для описания таких систем и объяснения механизма их функционирования. При использовании отдельных уравнений регрессии, например, для экономических расчетов в большинстве случаев предполагается, что аргументы (факторы) можно изменять независимо друг от друга. Однако это предположение является очень грубым: практически изменение одной переменной, как правило, не может происходить при абсолютной неизменности других. Ее изменение повлечет за собой изменения во всей системе взаимосвязанных признаков.

Следовательно, отдельно взятое уравнение множественной регрессии не может характеризовать истинные влияния отдельных признаков на вариацию результирующей переменной. Именно поэтому в экономических, биометрических и социологических исследованиях важное место заняла проблема описания структуры связей между переменными системой, так называемых, одновременных уравнений, или структурных уравнений. Например, если изучается модель спроса как соотношение цен и количества потребляемых товаров, то одновременно для прогнозирования спроса необходима модель предложения товаров, в которой рассматривается также взаимосвязь между количеством и ценой предлагаемых благ. Это позволяет достичь равновесия между спросом и предложением.

Приведем другой пример.

При оценке эффективности производства нельзя руководствоваться только моделью рентабельности. Она должна быть дополнена моделью производительности труда, а также моделью себестоимости единицы продукции.

В еще большей степени возрастает потребность в использовании системы взаимосвязанных уравнений, если мы переходим от исследований на микроуровне к макроэкономическим расчетам. Модель национальной экономики включает в себя следующую систему уравнений: функции потребления, инвестиций заработной платы, тождество доходов и т.д. Это связано с тем, что макроэкономические показатели, являясь обобщающими показателями состояния экономики, чаще всего взаимозависимы. Так, расходы на конечное потребление в экономике зависят от валового национального дохода. Вместе с тем величина валового национального дохода рассматривается как функция инвестиций. [1, c.247]

1.2 Виды систем уравнений

статистика идентифицируемость денежный рынок

Система уравнений в эконометрических исследованиях может быть построена по-разному.

Возможна система независимых уравнений, когда каждая зависимая переменная y рассматривается как функция одного и того же набора факторов x (система (1.1)).

(1.1)

Набор факторов в каждом уравнении может варьировать. Например, модель вида (1.2):



(1.2)

также является системой независимых уравнений с тем лишь отличием, что набор факторов в ней видоизменяется в уравнениях, входящих в систему. Отсутствие того или иного фактора в уравнении системы может быть следствием как экономической нецелесообразности его включения в модель, так и несущественности его воздействия на результативный признак (незначимо значение t-критерия или частного F-критерия для данного фактора). [16, c.161]

Примером такой модели может служить модель экономической эффективности сельскохозяйственного производства, где в качестве зависимых переменных выступают показатели, характеризующие эффективность сельскохозяйственного производства, - продуктивность коров, себестоимость 1 ц молока, а в качестве факторов - специализация хозяйства, количество голов на 100 га пашни, затраты труда и т. п. [1, c.248]

Каждое уравнение системы независимых уравнений может рассматриваться самостоятельно. Для нахождения его параметров используется метод наименьших квадратов. По существу, каждое уравнение этой системы является уравнением регрессии. Поскольку никогда нет уверенности, что факторы полностью объясняют зависимые переменные, в уравнениях присутствует свободный член . Так как фактические значения зависимой переменной отличаются от теоретических на величину случайной ошибки, в каждом уравнении присутствует величина случайной ошибки.

В итоге система независимых уравнений при трех зависимых переменных и четырех факторах примет вид системы (1.3):



(1.3)

Однако если зависимая переменная у одного уравнения выступает в виде фактора х в другом уравнении, то исследователь может строить модель в виде системы рекурсивных уравнений вида (1.4):

(1.4)

В данной системе зависимая переменная у включает в каждое последующее уравнение в качестве факторов все зависимые переменные предшествующих уравнений наряду с набором собственно факторов х. [16, c.162] Примером такой системы может служить модель производительности труда и фондоотдачи вида (1.5):

(1.5)

где - производительность труда;

- фондоотдача;

- фондовооруженность труда;

- энерговооруженность труда;

- квалификация рабочих.

Как и в предыдущей системе, каждое уравнение может рассматриваться самостоятельно, и его параметры определяются методом наименьших квадратов. [1,c.249]

Наибольшее распространение в эконометрических исследованиях получила система взаимозависимых уравнений. В ней одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы:

Система взаимозависимых уравнений получила название система совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные у одновременно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от предыдущих систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. С этой целью используются специальные приемы оценивания. [16,c.163]

Примером системы одновременных уравнений может служить модель (1.6) динамики цены и заработной платы вида:

(1.6)

где - темп изменения месячной заработной платы;

- темп изменения цен;

- процент безработных;

темп изменения постоянного капитала;

- темп изменения цен на импорт сырья.

В рассмотренных классах систем эконометрических уравнений структура матрицы коэффициентов при зависимых переменных различна.

Представим систему эконометрических уравнений в матричном виде (1.7):

В У + Г Х = Е, (1.7)

где В - матрица коэффициентов при зависимых переменных;

Y - вектор зависимых переменных;

Г - матрица параметров при объясняющих переменных;

X - вектор объясняющих переменных;

Е - вектор ошибок.

Если матрица В диагональная, то рассматриваемая модель (1.7) является системой независимых уравнений. Так, при трех зависимых и трех объясняющих переменных модель имеет вид (1.8):

(1.8)

Матрица параметров при зависимых переменных (1.9) является диагональной:

. (1.9)

Если матрица В (1.9) треугольная (или может быть приведена к такому виду), то модель представляет собой систему рекурсивных уравнений. Так, если модель имеет вид (1.10):



(1.10)

т.е. зависимая переменная первого уравнения участвует как объясняющая переменная во втором уравнении системы, а зависимая переменная второго уравнения рассматривается как объясняющая переменная в третьем уравнении. Тогда матрица коэффициентов при зависимых переменных модели будет иметь вид (1.11):

, (1.11)

т.е. представляет собой треугольную матрицу.

Если матрица В не является ни диагональной, ни треугольной, то модель представляет собой систему одновременных уравнений. Так, для модели вида (1.12)

(1.12)

получим матрицу коэффициентов при зависимых переменных вида (1.13):

. (1.13)

Матрица (1.13) не является ни диагональной, ни треугольной. Соответственно это отражается на выборе метода оценки параметров эконометрических систем. [1,c.250-251]

1.3 Структурная и приведенная формы модели

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные.

Эндогенные переменные обозначены в приведенной ранее системе одновременных уравнений как у. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенные переменные обозначаются обычно как х. Это предопределенные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.[17]

Простейшая структурная форма модели имеет вид (1.14):

(1.14)

Классификация переменных на эндогенные и экзогенные зависит от теоретической концепции принятой модели. Экономические переменные могут выступать в одних моделях как эндогенные, а в других - как экзогенные переменные. Внеэкономические переменные (например, климатические условия) входят в систему как экзогенные переменные. В качестве экзогенных переменных могут рассматриваться значения эндогенных переменных за предшествующий период времени (лаговые переменные). Так, потребление текущего года () может зависеть не только от ряда экономических факторов, но и ог уровня потребления в предыдущем году ().

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Целесообразно в качестве экзогенных переменных выбирать такие переменные, которые могут быть объектом регулирования. Меняя их и управляя ими, можно заранее иметь целевые значения эндогенных переменных.

Структурная форма модели в правой части содержит при эндогенных и экзогенных переменных коэффициенты и ( - коэффициент при эндогенной переменной, - коэффициент при экзогенной переменной), которые называются структурные коэффициенты модели. Все переменные в модели выражены в отклонениях от среднего уровня, т. е. под х подразумевается , а под у - соответственно . Поэтому свободный член в каждом уравнении системы отсутствует. [1, 252]

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

Приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных вида (1.15):

(1.15)

где коэффициенты приведенной формы модели.

По виду приведенная форма модели ничем не отличается от системы независимых уравнений, параметры которой оцениваются традиционным методом наименьших квадратов. Применяя МНК, можно оценить , а затем оценить значения эндогенных переменных через экзогенные.

Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Рассмотрим это положение на примере простейшей структурной модели, выразив коэффициенты приведенной формы модели () через коэффициенты структурной модели ( и ). Дня упрощения в модель не введены случайные переменные. [2, c.174]

Для структурной модели вида (1.16)

(1.16)

приведенная форма модели имеет вид (1.17):

(1.17)

в которой из первого уравнения структурной модели можно выразить с помощью формулы (1.18):

(1.18)

Тогда система одновременных уравнений будет представлена в виде (1.19):

(1.19)

Отсюда имеем равенство (1.20), из которого после преобразований получается равенство (1.21):

(1.20)

(1.21)

тогда:

или

Таким образом, мы представили первое уравнение структурной формы модели (1.16) в виде уравнения приведенной формы модели (1.17):

(1.22)

Из уравнения (1.22) следует, что коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные соотношения коэффициентов структурной формы модели, т. е.

и

Аналогично можно показать, что коэффициенты приведенной формы модели второго уравнения системы ( и ) также нелинейно связаны с коэффициентами структурной модели. Для этого выразим переменную из второго структурного уравнения модели (1.17) как

Запишем это выражение в левой части первого уравнения структурной формы модели (1.16):

 (1.23)

Преобразовав (1.23), получаем:

(1.24)

Уравнение (1.24) соответствует второму уравнению приведенной формы модели (1.17):

Из уравнений (1.24) и второго уравнения модели (1.17) следует:

Эконометрические модели обычно включают в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и выражения тенденции развития явления, а также разного рода тождества. Например, Т. Хаавелмо в 1947 г., исследуя линейную зависимость потребления (с) от дохода (у), предложил одновременно учитывать тождество дохода. В этом случае модель имеет вид (1.25):

(1.25)

где a и b - параметры линейной зависимости с от у;

х - инвестиции в основной капитал и в запасы экспорта и импорта.

Оценки параметров должны учитывать тождество дохода в отличие от параметров обычной линейной регрессии.[1,c.254]

В этой модели две эндогенные переменные (с и у) и одна экзогенная переменная (х). Система приведенных уравнений модели (1.25) примет вид модели (1.26):

(1.26)

Модель (1.26) позволяет получить значения эндогенной переменной с через переменную х. Рассчитав коэффициенты приведенной формы модели (1.26) (), можно перейти к коэффициентам структурной модели (1.25) а и b, подставив в первое уравнение приведенной формы выражение переменной х из второго уравнения приведенной формы модели. Приведенная форма модели хотя и позволяет получить значения эндогенной переменной через значения экзогенных переменных, аналитически уступает структурной форме модели, так как в ней отсутствуют оценки взаимосвязи между эндогенными переменными.



2. Проблема идентификации

2.1 Общее понятие о проблеме идентификации

При переходе от приведенной формы модели к структурной исследователь сталкивается с проблемой идентификации. Идетификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели. [3,c.319]

Рассмотрим проблему идентификации для случая с двумя эндогенными переменными. Пусть структурная модель имеет вид (2.1):

(2.1)

где - совместные зависимые переменные.

Из второго уравнения модели (2.1) можно выразить формулой (2.2):

(2.2)

Тогда в системе (2.3) имеем два уравнения для эндогенной переменной с одним и тем же надобом экзогенных переменных, но с разными коэффициентами при них:

(2.3)

Наличие двух вариантов для расчета структурных коэффициентов в одной и той же модели связано с неполной ее идентификацией. Структурная модель в полном виде, состоящая в каждом уравнении системы из n эндогенных и m экзогенных переменных, содержит n(n-1+m) параметров. Так, при n = 2 и m = 3 полный вид структурной модели (2.1) будет иметь вид (2.4):

(2.4)

Как видим, модель (2.4) содержит восемь структурных коэффициентов, что соответствует выражению n(n -1 + m).[1,c.256]

Приведенная форма модели в полном виде содержит nm параметров. Для нашего примера это означает наличие шести коэффициентов приведенной формы модели. В этом можно убедиться, обратившись к приведенной форме модели (2.5), которая будет иметь вид:

(2.5)

Действительно, она включает в себя шесть коэффициентов .

На основе шести коэффициентов приведенной формы модели требуется определить восемь структурных коэффициентов рассматриваемой структурной модели, что, естественно, не может привести к единственности решения. В полном виде структурная модель содержит большее число параметров, чем приведенная форма модели. Соответственно n(n - 1 + m) параметров структурной модели не могут быть однозначно определены из nm параметров приведенной формы модели. Для того, чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить, что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Так, если предположить, что в нашей модели (2.4) и , то структурная модель (2.5) примет вид (2.6):

(2.6)

В такой модели число структурных коэффициентов не превышает число коэффициентов приведенной модели, которое равно шести. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно другим путем: например, приравниванием некоторых коэффициентов друг к другу, т.е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. На структурные коэффициенты могут накладываться, например, ограничения вида

.

2.2 Виды структурных моделей с позиции идентифицируемости

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

1) идентифицируемые;

2) неидентифицируемые;

3) сверхидентифицируемые.

Модель идентифицируема, если все структурные ее коэффициенты определяются однозначно, единственным образом по коэффициентам приведенной формы модели, т.е. если число параметров структурной модели равно числу параметров приведенной формы модели. В этом случае структурные коэффициенты модели оцениваются через параметры приведенной формы модели и модель идентифицируема. Рассмотренная выше структурная модель (2.6) с двумя эндогенными и тремя экзогенными (предопределенными) переменными, содержащая шесть структурных коэффициентов, представляет собой идентифицируемую модель.[2]

Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы модели. Структурная модель в полном виде (2.4), содержащая n эндогенных и m предопределенных переменных в каждом уравнении системы, всегда неидентифицируема.[1,c.257]

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае на основе коэффициентов приведенной формы можно получить два или более значений одного структурного коэффициента. В этой модели число структурных коэффициентов меньше числа коэффициентов приведенной формы. Так, если в структурной модели полного вида (2.4) предположить нулевые значения не только коэффициентов и (как в модели (2.6)), но и , то система уравнений станет сверхидентифицируемой:

(2.7)

В модели (2.7) пять структурных коэффициентов не могут быть однозначно определены из шести коэффициентов приведенной формы модели. Сверхидентифицируемая модель в отличие от неидентифицируемой модели практически решаема, но требует для этого специальных методов исчисления параметров.

Однако если уравнение в системе неидентифицируемо, есть пути преодоления этой проблемы. Существует несколько правил устранения проблемы идентификации:

- необходимо дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными;

- дополнительные переменные включить в уравнения, смежные с неидентифицируемыми.

2.3 Необходимое и достаточное условия идентифицируемости

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых необходимо проверять на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение.

Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Для того чтобы уравнение было идентифицируемо, нужно, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного.

Если обозначить число эндогенных переменных в j-ом уравнении системы через H, а число экзогенных (предопределенных) переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, - через D, то необходимое условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

D + 1 = H - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H - уравнение сверхидентифицируемо.

Предположим, рассматривается следующая система одновременных уравнений (2.8):



(2.8)

Первое уравнение системы (2.8) точно идентифицируемо, ибо в нем присутствуют три эндогенные переменные - , т.е. H = 3, и две экзогенные переменные - , число отсутствующих экзогенных переменных равно двум - Тогда имеем равенство: D + 1 = H, т.е. 2 + 1 = 3, что означает наличие идентифицируемого уравнения.

Во втором уравнении системы (2.8) H = 2 ( и ) и D = 1 (). Равенство D + 1 = Н, т.е. 1 + 1 = 2. Уравнение идентифицируемо.

В третьем уравнении системы (2.8) Н =3 (), а D = 2 ( и ). Следовательно, по счетному правилу D + 1 = H, и это уравнение идентифицируемо. Таким образом, система (2.8) в целом идентифицируема.

Предположим, что в рассматриваемой модели (2.4) и . Тогда система примет вид:

(2.9)

Первое уравнение системы (2.9) не изменилось.

Система по-прежнему содержит три эндогенные и четыре экзогенные переменные, поэтому для него D = 2 при H = 3, и оно, как и в предыдущей системе, идентифицируемо. Второе уравнение имеет H = 2 и D = 2 (, ), так как 2 + 1 > 2. Данное уравнение сверхидентифицируемо. Также сверхидентифицируемым оказывается и третье уравнение системы (2.9), где H = 3 (, ) и D = 3 (), т.е. счетное правило составляет неравенство: 3 + 1 > 3 или D + 1 > H. Модель в целом является сверхидентифицируемой. [1, c.259]

Предположим, что последнее уравнение системы (2.9) с тремя эндогенными переменными имеет вид (2.10):

(2.10)

т. е. в отличие от предыдущего уравнения в него включены еще две экзогенные переменные, участвующие в системе, - и . В этом случае уравнение становится неидентифицируемым, ибо при Н = 3, D = 1 (отсутствует только ) и D + 1 < H, 1 + 1 < 3. Итак, несмотря на то, что первое уравнение идентифицируемо, второе сверхидентифицируемо, вся модель считается неидентифицируемой и не имеет статистического решения.

Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема.

Рассмотренное счетное правило отражает необходимое, но недостаточное условие идентификации. Более точно условия идентификации определяются, если накладывать ограничения на коэффициенты матриц параметров структурной модели.

Достаточное условие идентифицируемости формулируется следующим образом: уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю, а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного. [13,c.34]

Целесообразность проверки условия идентификации модели через определитель матрицы коэффициентов, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в других уравнениях, объясняется тем, что возможна ситуация, когда для каждого уравнения системы выполнено счетное правило, а определитель матрицы названных коэффициентов равен нулю. В этом случае соблюдается лишь необходимое, но недостаточное условие идентификации.

Обратимся к структурной модели (2.11):

 (2.11)

Проверим каждое уравнение системы (2.11) на необходимое и достаточное условия идентификации. Для первого уравнения Н = 3 () и D = 2 ( и отсутствуют), т. е. D + 1 = Н, необходимое условие идентификации выдержано, поэтому уравнение точно идентифицируемо. Для проверки на достаточное условие идентификации заполним таблицу коэффициентов при отсутствующих в первом уравнении переменных, в которой определитель матрицы (det A) коэффициентов равен нулю. Получаем таблицу 1.

Таблица 1 Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 1

Номер уравнения системы	Переменные
2 3	0	0

Примечание - Источник: [1, с.261].

Из таблицы 1 видно, что достаточное условие идентификации не выполняется и первое уравнение системы (2.11) нельзя считать идентифицируемым.

Для второго уравнения системы (2.11) H = 2 (), D = 1 (отсутствует ), счетное правило дает утвердительный ответ: уравнение идентифицируемо (D + 1 = Н).

Достаточное условие идентификации выполняется. Коэффициенты при отсутствующих во втором уравнении переменных представлены в таблице 2:



Таблица 2 Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 2

Номер уравнения системы	Переменные
1 3	-1

Примечание - Источник: [1, с.261].

Согласно таблице 2, det A , а ранг матрицы равен 2, что соответствует следующему критерию: ранг матрицы коэффициентов должен быть не меньше числа эндогенных переменных в системе без одной. Итак, второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение системы (2.11) содержит H = 3 и D = 2, т. е. по необходимому условию идентификации оно точно идентифицируемо (D + 1 = H). Противоположный вывод имеем, проверив уравнение на достаточное условие идентификации. Составим таблицу коэффициентов при переменных, отсутствующих в третьем уравнении, в которой det A = 0, т.е. таблицу 3:

Таблица 3 Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 3

Номер уравнения системы	Переменные
1 2	0	0

Примечание - Источник: [1,с.262].

Из таблицы видно, что достаточное условие идентификации не выполняется. Уравнение неидентифицируемо. Следовательно, рассматриваемая в целом структурная модель, идентифицируемая по счетному правилу, не может считаться идентифицируемой исходя из достаточного условия идентификации.



2.4 Пример эконометрической модели с анализом идентифицируемости

В эконометрических моделях часто наряду с уравнениями, параметры которых должны быть статистически оценены, используются балансовые тождества переменных, коэффициенты при которых равны ±1. В этом случае, хотя само тождество и не требует проверки на идентификацию, ибо коэффициенты при переменных в тождестве известны, в проверке на идентификацию собственно структурных уравнений системы тождества участвуют.[1,c.262]

Например, рассмотрим эконометрическую модель экономики страны:

(2.12)

где - расходы на конечное потребление данного года;

А - свободный член уравнения;

е- случайные ошибки;

- валовые инвестиции в текущем году;

- валовой доход предыдущего года;

- расходы на заработную плату в текущем году;

- валовой доход за текущий год;

- государственные расходы текущего года.

В этой модели (2.12) четыре эндогенные переменные , причем переменная задана тождеством. Поэтому статистическое решение практически необходимо только для первых трех уравнений системы, которые нужно проверить на идентификацию. Модель содержит две предопределенные переменные - экзогенную и лаговую .

При практическом решении задачи на основе статистической информации за ряд лет или по совокупности регионов за один год в уравнениях для эндогенных переменных обычно содержится свободный член значение которого аккумулирует влияние неучтенных в уравнении факторов и не влияет на определение идентифицируемости модели.

Поскольку фактические данные об эндогенных переменных могут отличаться от теоретических, постулируемых моделью, принято в модель включать случайную составляющую для каждого уравнения системы, исключив тождества. Случайные составляющие (возмущения) обозначены через . Они не влияют на решение вопроса об идентификации модели. [13,c.63]

В рассматриваемой эконометрической модели первое уравнение системы точно идентифицируемо, ибо Н = 3 и D = 2, и выполняется необходимое условие идентификации (D + 1 = Н). Кроме того, выполняется и достаточное условие идентификации, т. е. ранг матрицы равен 3, а определитель ее не равен 0 : det A равен , что видно из таблицы 4:

Таблица 4 - Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 1 системы (2.12)

Номер уравнения системы	Переменные
2 3 4	-1 0 1	0	0 0 1

Примечание - Источник: [1, с.263].

Второе уравнение системы (2.12) так же точно идентифицируемо: Н = 2 и D = 1, т. е. счетное правило выполнено: D + 1 = Н, выполнено достаточное условие идентификации: ранг матрицы 3 и det A = . Данные представлены в таблице 5:

Таблица 5 - Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 2 системы (2.12)

Номер уравнения системы	Переменные
1 3 4	-1 0 1	-1	0 0 1

Примечание - Источник: [1, с.263].

Третье уравнение системы (2.12) также идентифицируемо: Н = 2, D = 1, D + 1 = Н и det A = 0, а ранг матрицы А = 3 и det A = 1. Данные представлены в таблице 6:

Таблица 6 - Матрица коэффициентов, отсутствующих в уравнении 3 системы (2.12)

Номер уравнения системы	Переменные
1 2 4	-1 0 1	0 -1 0	0 0 1

Примечание - Источник: [1, с.264].

Идентификация уравнений достаточно сложна и не ограничивается только вышеизложенным. На структурные коэффициенты модели могут накладываться и другие ограничения, например, в производственной функции сумма эластичностей может быть равна по предположению 1. Могут накладываться ограничения на дисперсии и ковариации остаточных величин [13,c.47].

Следует отметить, что при неидентифицируемости одного или нескольких уравнений модели, можно преодолеть эту проблему путем добавления дополнительных влияющих экзогенных переменных в модель. При устранении неидентифицируемости, следует придерживаться правил:

- необходимо дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными;

- дополнительные переменные включать в уравнения, смежные с неидентифицируемыми.



3. Модель денежного рынка

Изучим ежегодные данные о значениях основных макроэкономических показателей за период с 2000 по 2012 года, представленные в таблице 7.

Таблица 7 - Данные наблюдений

Год наблюдения	Процентная ставка, % (R, )	Объем ВВП, млрд.р. (Y, )	Денежная масса, млрд.р. (M, )	Объем инвестиций, млрд.р. (I, )
2000	106,25	91341	7611,75	1809
2001	59,62	17173	316,56	3049,3
2002	48,66	26138	540,28	4484,6
2003	32,41	36565	724,01	7131,2
2004	20,83	49992	1058,35	10783,4
2005	13,50	65067	1589,62	15095,8
2006	10,67	79267	2346,76	20374,1
2007	10,54	97165	2890,77	26053,3
2008	10,42	129791	3760,09	37202,3
2009	13,96	137442	3420,12	43377,6
2010	11,67	164476	4201,66	55380,8
2011	22,54	297158	5903,34	98664,9
2012	33,96	527385	8584,17	151949,9

Примечание - Источник: собственная разработка на основе [25-28].

Согласно кейнсианской модели денежного рынка, объем денежной массы непосредственно влияет на значение показателя процентной ставки. Еще одним формирующим для процентной ставки фактором выступает объем ВВП. В свою очередь, на объем ВВП влияет объем инвестиций в строительство и другие сферы. И, безусловно, процентная ставка также оказывает свое влияние на объем ВВП. На основании данной словесной модели построим линейную структурную модель денежного рынка вида (3.1):

(3.1)

где - процентная ставка, %;

- объем валового внутреннего продукта, млрд.р.;

объем денежной массы, млрд.р.;

объем инвестиций, млрд.р.

Пусть

[14,c.52]

Переобозначив переменные в модели (3.1), получим модель структурного вида:

(3.2)

где - эндогенные переменные, экзогенные переменные.

Для начала проверим модель на идентифицируемость по необходимому и достаточному условиям.

1) Проверка идентифицируемости модели по необходимому условию:

В первом уравнении содержится две эндогенные переменные () и одна экзогенная переменная (). Следовательно, в данном уравнении H = 2 и D = 1. Тогда имеем равенство D + 1 = H, т.е. 1+1=2, что говорит об идентифицируемости первого уравнения.

Во втором уравнении аналогично содержится две эндогенные переменные () и одна экзогенная переменная (). Следовательно, в данном уравнении H = 2 и D = 1. Тогда имеем равенство D + 1 = H, т.е. 1+1=2, что говорит об идентифицируемости второго уравнения.

По необходимому условию, модель идентифицируема. Теперь проверим по достаточному условию.

2) Проверка идентифицируемости модели по достаточному условию:

Согласно достаточному условию, определитель матрицы, состоящей из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных без 1.

Рассмотрим первое уравнение системы. В данное уравнение не входит только экзогенная переменная . Наша матрица будет состоять из одного элемента: A = (). Определитель данной матрицы А не равен нулю, т.к. определитель матрицы, состоящей из одного числа, равен этому числу. Ранг матрицы соответствует необходимому критерию. Следовательно, можно сделать вывод, что первое уравнение точно идентифицируемо.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы. В данное уравнение не входит экзогенная переменная . Матрица коэффициентов будет иметь вид: B = (). Определитель данной матрицы не равен нулю. Ранг соответствует необходимому критерию. Следовательно, можно сделать вывод, что второе уравнение также является точно идентифицируемым.

Исходя из выполнения необходимого и достаточного условия для всех уравнений системы одновременных уравнений, можно сделать вывод о том, что система точно идентифицируема.

Далее переходим к решению системы:

1) Заносим данные в Exel. Далее рассчитываем среднее значение по каждому макроэкономическому показателю (таблица 8), а также рассчитываем отклонения макроэкономических показателей от их средних значений (таблица 9). Результаты представлены в таблице 8 и 9:

Таблица 8 - Средние значения макроэкономических показателей

Средние значения показателей
Процентная ставка, % (R, )	Объем ВВП, млрд.р. (Y, )	Денежная масса, млрд.р. (M, )	Объем инвестиций, млрд.р. (I, )
32,920	143246,667	3578,959	39613,017

Таблица 9 - Отклонения значений показателей от средних значений

Отклонения значений от средних
Годы	Процентная ставка, % (R, )	Объем ВВП, млрд.р. (Y, )	Денежная масса, млрд.р. (M, )	Объем инвестиций, млрд.р. (I, )
2000	73,329	-51905,667	4032,790	-37804,017
2001	26,705	-126073,667	-3262,395	-36563,717
2002	15,746	-117108,667	-3038,679	-35128,417
2003	-0,503	-106681,667	-2854,947	-32481,817
2004	-12,087	-93254,667	-2520,605	-28829,617
2005	-19,420	-78179,667	-1989,336	-24517,217
2006	-22,253	-63979,667	-1232,194	-19238,917
2007	-22,378	-46081,667	-688,186	-13559,717
2008	-22,503	-13455,667	181,130	-2410,717
2009	-18,962	-5804,667	-158,835	3764,583
2010	-21,253	21229,333	622,703	15767,783
2011	-10,378	153911,333	2324,381	59051,883
2012	1,037	384138,333	5005,213	112336,883

Примечание - Источник: собственная разработка.

2) Построим уравнения приведенной формы модели (3.3), вида:

(3.3)

воспользовавшись множественной регрессией для переменных, выраженных в отклонениях от среднего уровня, используя в качестве входных параметров для ряда Y и ряда X значения таблицы 9.

Итоги параметризации уравнения 1 приведенной формы модели (3.3):

Таблица 10 - Протокол регрессионного анализа построения уравнения 1 модели (3.3)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,680
R-квадрат	0,462
Нормированный R-квадрат	0,354
Стандартная ошибка	22,252
Наблюдения	13,000
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Знач-ть F
Регрессия	2,000	4249,539	2124,770	4,291	0,045
Остаток	10,000	4951,395	495,139
Итого	12,000	9200,934
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	-1,685	6,207	-0,272	0,792	-15,515
Переменная X 1	0,009	0,003	2,722	0,021	0,002
Переменная X 2	-0,001	0,000	-2,707	0,022	-0,001

Примечание - Источник: собственная разработка.

Итоги параметризации уравнения 2 приведенной формы модели (3.3):

Таблица 11 - Протокол регрессионного анализа построения уравнения 1 модели (3.3)

Регрессионная статистика
Множественный R	0,993
R-квадрат	0,986
Нормированный R-квадрат	0,983
Стандартная ошибка	18043,406
Наблюдения	13,000
Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Знач-ть F
Регрессия	2,000	2391540,492	1155770,246	355,985	0,000
Остаток	10,000	3255646,277	3255484,628
Итого	12,000	2350686,769
	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%
Y-пересечение	-26,297	5032,865	-0,005	0,996	-11240,219
Переменная X 1	10,380	2,784	3,728	0,004	4,177
Переменная X 2	2,670	0,170	15,737	0,000	2,292

Подставим полученные коэффициенты в модель (3.3):



По F-критерию Фишера полученные модели значимы (0.045 < 0.05 и 0.00<0.05). Можно говорить об удовлетворительной аппроксимации (модель в целом адекватна описываемому явлению), т.к. R-квадрат для обоих уравнений достаточно высок (56 % и 98 %). По первому выводу регрессионной статистики можно сделать вывод, что в построенном уравнении ряд y будет на 56 % объяснять поведение рядов и , по второму - на 98 %. [18]

Однако, проанализировав t-статистику и p-level для коэффициентов уравнений, можно сделать вывод о незначимости свободных членов в уравнениях. Во втором уравнении коэффициенты при иксах значимы. В первом уравнении коэффициент при значим, а при , если смотреть на t-статистику, коэффициент является незначимым.

3) Составляем матрицу системы приведенных уравнений из коэффициентов при переменных , полученных из регрессионного анализа:

.

4) По найденным приведенным коэффициентам, рассчитаем структурные коэффициенты, используя вычисленные формулы:

Исходя из полученных коэффициентов, наша структурная модель будет выглядеть следующим образом:

(3.3)

По коэффициентам второго уравнения системы можно сделать вывод, что при увеличении процентной ставки на 1 процентный пункт, ВВП в среднем увеличивается на 1110,67 млрд.р. При увеличении инвестиций в экономику на 1 млрд.р., объем ВВП, в свою очередь, вырастет примерно на 3,299 млрд.р. Объем ВВП на начало периода в среднем составит 1850,74 млрд.р. Отрицательный коэффициент при в первом уравнении показывает обратную зависимость между объемом ВВП и процентной ставкой, т.е. при увеличении ВВП на 1 млрд.р., процентная ставка падает в среднем на 0,02%, и наоборот. Однако, если рассматривать первое уравнение системы, грамотную экономическую интерпретацию дать сложно в связи с отрицательны значением свободного члена и положительным коэффициентом при , т.к. эти коэффициенты говорят о том, что уровень процентной ставки в среднем на начало периода составит -168,44%, что никак не может соответствовать действительности, и при увеличении объема денежной массы на 1 млрд.р. процентная ставка вырастет в среднем на 1,15%, что противоречит макроэкономической модели равновесия на товарном и денежном рынках. Вероятно, были допущены ошибки в спецификации модели и не учтены важные влияющие факторы, а именно объем сбережений. Также мог оказать свое влияние малый объем наблюдений.

Заключение

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. В виду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предполагаемой модели для описания экономических процессов.

Структурная форма модели позволяет увидеть влияние изменений любой экзогенной переменной на значения эндогенной переменной. Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому для определения структурных коэффициентов модели используется приведенная форма модели. Коэффициенты приведенной формы модели представляют собой нелинейные функции коэффициентов структурной формы модели. Однако при переходе от приведенной формы модели к структурной зачастую можно столкнуться с проблемой идентификации. Модель неидентифицируема, если число приведенных коэффициентов меньше числа структурных коэффициентов, и в результате структурные коэффициенты не могут быть оценены через коэффициенты приведенной формы. Однако существуют решения данной проблемы идентификации: добавление влияющих экзогенных переменных в уравнения модели или же предположение, что некоторые из структурных коэффициентов модели, ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной в левой части системы, равны нулю. При анализе идентифицируемости модели каждое уравнение системы проверяется на необходимое (счетное правило) и достаточное условия идентифицируемости. При выполнении обоих условий для всех уравнений, модель является идентифицируемой (сверхидентифицируемой), в противном случае - неидентифицируемой.

В третьей главе была рассмотрена модель денежного рынка по Кейнсу. Построенная модель является идентифицируемой. С помощью регрессионной статистики была построена приведенная форма модели, через коэффициенты которой была построена структурная форма модели. Однако результаты оказались неверными ввиду неучтенного влияющего фактора, а именно объема сбережений.

Экономическая составляющая эконометрии, безусловно, является первичной. Именно экономика определяет постановку задачи и исходные предпосылки, а результат, формируемый на математическом языке, представляет интерес лишь в том случае, если удается его экономическая интерпретация. Безусловно, экономисту-кибернетику необходимо быть специалистом по составлению и решению систем эконометрических уравнений с помощью тех или иных программных систем, анализировать их идентифицируемость и уметь дать экономическую интерпретацию, чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно рушить поставленную задачу.



Список использованных источников

1. Елисеева, И.И. Эконометрика / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Т.В. Костеева и др.; под ред. И.И. Елисеевой. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва: Финансы и статистика, 2007. - 576 с.

2. Елисеева, И.И. Эконометрика / И.И. Елисеева. - Москва: "Финансы и статистика", 2003. - 344 с.

3. Бородич, С.А. Вводный курс эконометрики: Учебное пособие / С.А. Бородич. - Минск: БГУ, 2000. - 354 с.

4. Айвазян, С.А. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - Москва: ЮНИТИ, 1998. - 1022 с.

5. Яковлева, А.В. Эконометрика. Конспект лекций / А.В. Яковлева. - Москва: Эксмо, 2008. - 224 с.

6. Елисеева, И.И. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордиенко и др. - Москва: Финансы и статистика, 2001. - 192 с.

7. Шалабанов, А.К. Эконометрика. Учебно-методическое пособие / А.К. Шалабанов, Д.А. Роганов. - Казань: ТБИСИ, 2008. - 198 с.

8. Липенков, А.Д. Эконометрика: Конспект лекций / А.Д. Липенков. - Челябинск, 2008. - 39 с.

9. Шалабанов, А.К. Практикум по эконометрике с применением MS Excel / А.К. Шалабанов, Д.А. Роганов. - Казань: ТБИСИ, 2008. - 53 с.

10. Кремер, Н.Ш. Эконометрика: учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко; под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд., стереотип. - Москва: Юнити-Дана, 2008. - 311 с.

11. Магнус, Я.Р. Эконометрика: начальный курс / Я.Р. Магнус, П.К. Катышев, А.А. Пересецкий. - изд-во "Дело", 2000. - 374 с.

12. Тихомиров, Н.П., Дорохина Е.Ю. Эконометрика / Н.П. Тихомиров, Е.Ю. Дорохина. - Москва: Экзамен, 2003. - 294 с.

13. Фишер, Ф. Проблема идентификации в эконометрии. / Ф.Фишер. - Москва: Статистика, 1978. - 223 с.

14. Шанченко, Н.И. Эконометрика: лабораторный практикум / Н.И. Шанченко. - Ульяновск: УлГТУ, 2004. - 79 с.

15. Авдашкова, Л.П. Эконометрика и экономико-математические методы и модели: практикум для студентов экономических специальностей. Часть 3 / авт.: Л.П. Авдашкова, М.А. Грибовская, Т.Ф. Калмыкова, Л.Н. Марченко, Т.М. Моисеева. - Гомель: учреждение образования "Белорусский торгово-экономический университет потребительской кооперации", 2012. - 118 с.

16. Системы одновременных уравнений. Структурная и приведенная форма модели [Электронный ресурс] / Официальный сайт Алтайского государственного университета. - Барнаул, 2013. - Режим доступа: http://www.econ.asu.ru/ecm/pdf/Tema10.pdf. - Дата доступа: 24.05.2013.

17. Системы система одновременных эконометрических уравнений [Электронный ресурс] / Электронная библиотека Библиотекарь.ру. - Москва, 2013. - Режим доступа: http://www.bibliotekar.ru/economicheskaya-statistika-2/17.htm. - Дата доступа: 24.05.2013.

18. Решение прикладных задач средствами EXEL. Регрессионный анализ [Электронный ресурс] / Официальный сайт Родионова М.А. - Пенза, 2010. - Режим доступа: https://sites.google.com/site/umkmatematosnovyps/home/ rodionov-m/matematiko-statisticeskie-metody-resenia-eksperimentalnyh-psihologiceskih-zadac/glava-2-soderzanie-prakticeskih-zanatij-po-kursu-matematiceskie-osnovy-psihologii-/p-14-resenie-prikladnyh-zadac-sredstvami-excel. - Дата доступа: 24.05.2013.

19. Технология вычислений в EXEL для модели системы одновременных уравнений [Электронный ресурс] / Электронная библиотека студенческих работ и методических пособий - Москва, 2012. - Режим доступа: http://kurs.znate.ru/docs/index-135069.html?page=17. - Дата доступа: 24.05.2013.

20. Денисейко, И.В. Эконометрика: лабораторный практикум / И.В. Денисейко, Т.А. Бородина. - Минск: БГЭУ, 2010. - 109 с.

21. Берндт, Э.Р. Практика эконометрики: классика и современность: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям 060000 экономики и управления/ Пер. сангл. под ред. оф. С А Айвазяна/ Э.Р. Берндт. - М: ЮНИТИ-ДАНА, 2005.

22. Воскобойников, Ю.Е. Эконометрика в Excel / Ю.Е. Воскобойников. - Новосибирск: НГАСУ, 2006.

23. Конторович, Г.Г. Эконометрика//Методические материалы по экономическим дисциплинам для преподавателей средних школ и вузов. Экономическая статистика. Эконометрика. Программы, тесты, задачи, решения / Под ред. Л.С. Гребнева. - Москва: ГУ-ВШЭ, 2000.

24. Семенова, Е.Г. Основы эконометрического анализа: учеб. пособие / Е.Г. Семенова, М.С. Смирнова; ГУАП. - СПб., 2006. - 72 с.

25. Валовый внутренний продукт [Электронный ресурс] / Официальный сайт Национального статистического комитета Республики Беларусь. - Минск, 2013. - Режим доступа: http://belstat.gov.by/homep/ru/indicators/gross.php. - Дата доступа...