Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Построение и анализ линейной множественной регрессии

В табл. Б1 приведены ежегодные данные о потребительских расходах и располагаемых личных доходах для США на период с 1959 по 1983 годы. Оцените множественную регрессию между регрессандом (эндогенной переменной) У и регрессорами (экзогенными переменными) Х_1, Х_2, Х_3, используя данные за 25 лет. Дайте интерпретацию коэффициентам регрессии. Исследуйте степень корреляционной зависимости между переменными. Проверьте остатки на наличие автокорреляции и гетероскедастичность.

Решение

Оценим параметры теоретической модели линейной множественной регрессии следующего вида:

Оценку прамаметров произведем с помощью метода наименьших квадратов, исходя из которого следует решить систему 4-х линейных уравнений:

Решив данную систему c помощью пакета программы Statistica, получили:

Оценки парметров равны:

Эмпирическое уравнение регрессии будет иметь вид:

Внизу приведены значения стандартных ошибок коэффициентов регрессии

Коэффициенты эмпирического уравнения регрессии являются оцененными параметрами теоретического уравнения множественной регрессии, которые включают в себя оценку отклонения .

Сравним полученные значения t-статистик коэффициентов эмпирического уравнения с критическим значением t-статистики, которое при заданном числе степеней свободы 21 (=n - m - 1, где n=25 - объем выборки, m=3 - количество объясняющих переменных) и уровне значимости б=0,01 (что говорит, об 1-%-ном уровне ошибки) равно t_кр = 2,518. Все эти значения ниже, что говорит о их незначимости в модели, если рассматривать их в отдельности, но при этом они получены при высоких уровнях значимости (от 30% и выше), что свидетельствует о большой вероятности ошибки принятия гипотезы о незначимости полученных коэффициентов регрессии b₀, b₁, b₂ и b₃.

Теперь посмотрим на статистику Фишера, которая позволяет сделать вывод о значимости модели в целом. При числах степеней свободы 3 и 21, а уровне значимости 0,01 критическое значение F-статистики равно F_кр = 26,7. В нашей модели значение F-статистики равно 90,1 при 0 уровне значимости, так как это значение выше критического, то можно сказать, что нет причин принимать гипотезу о незначимости модели, следовательно, она значима в целом.

Значение коэффициента детерминации R² = 0,92, близкое 1, свидетельствует о высокой степени зависимости между объясняемой переменной (TPE) и объясняющими переменными (TIME, PI, TOB), то есть присутствует максимальное соответсвие между уравнением множественной регрессии и статистическими данными.

Для исследования степени корреляционной зависимости между переменными построим корреляционную матрицу:

Из матрицы видно, что очень высокая степень положительной зависимости между экзогенными переменными, т.е. регрессорами, TIME и PI, TIME и TOB, PI и TOB, а также между эндогенной переменной TPE и всеми экзогенными переменными является также сильной - значение коэффициента корреляции между ними стремится к 1.

Построим статистику Дарбина-Уотсона для определения наличия автокорреляции остатков в построенной модели, т.е. наличия зависимости между остатками:

Так как , то это свидетельствует об отсутствии автокорреляции остатков.

Для исследования модели на наличие гетероскедастичности, т.е. непостоянства дисперсий отклонений, построим график зависимости квадратов отклонений (по оси ординат) от линейной комбинации объясняющих переменных (по оси абсцисс):

На графике видно, что зависимость между квадратами ошибок и линейной комбинацией объясняющих переменных отсутствует, что указывает на отсутствие гетероскедастичности, то есть дисперсия случайных отклонений постоянна.

2. Системы одновременных уравнений и их идентификация

Представить представленные ниже модели в приведенном виде и построить графы состояний для структурной и приведенной форм модели.

Что можно сказать об идентифицируемости модели?

Какие из переменных являются эндогенными, а какие из переменных являются экзогенными?

В моделях через е_t и v_t обозначены случайные члены

Рассматривается модель «доход - потребление» вида

с_t =в₀ +в₁y_t + е_t

i_t = г₀ + г₁ y_t + г₂ y_t-1 +v_t

y_t = с_t +i_t +g_t,

где с_t - объем потребления.i_t - объем инвестиций, y_t - доход, g_t - объем государственных расходов в период t.

Решение

Построим граф состояний для структурной формы модели (в круге - эндогенная переменная, в прямоугольнике - экзогенная переменная):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим граф состояний для приведенной формы модели:

Размещено на http://www.allbest.ru/

3. Анализ временных рядов и прогнозирование

Построить график временного ряда

Подобрать модель авторегрессии - скользящего среднего ARMA (p, q) к данному ряду, оценить ее параметры.

Проверить качество модели и степень ее адекватности реальным данным с помощью анализа остатков

На основе наблюдаемых значений провести прогноз на несколько периодов вперед.

Провести экспоненциальное сглаживание данного временного ряда с целью проведения прогноза.

Сравнить результаты прогнозирования, проведенные двумя способами.

В качестве временного ряда предлагается динамика дефлятора цен для личных потребительских расходов на образование (1972 г. - 100%)

Решение

Построим исходный график

Приведем данный график к стационарному виду путем последовательных преобразований

График преобразованных данных (модель авторегрессии)

Оценим параметры полученной авторегрессионной модели

Variable: PPRIV: x^(1/4); x - .137-1.06*x (t-1); D(-1)

Transformations: D(1)

Model: (1,1,0) (1,0,0) Seasonal lag: 2

No. of obs.:22 Initial SS=.00769 Final SS=.00574 (74.56%) MS=.00030

Parameters (p/Ps-Autoregressive, q/Qs-Moving aver.); highlight: p<.05

Const. p(1) Ps(1)

Estimate: - .0008 - .3569 - .5880

Std. Err.:.00183.23639.23122

Итак, мы получили модель авторегрессии с регулярным и сезонным параметрами и сезонным лагом, равным 2.

Сезонный параметр Ps(1) является статистически значимыми в нашей модели.

Оценим качество и степень адекватности модели с помощью анализа остатков ряда.

Построим графики остатков Normal Plot (график на нормальной вероятностной бумаге).

Красная линия - статистические данные; синие точки - ожидаемые значения.

На графике показано, что модель вполне адекватно описывает ожидаемые значения, их отклонения от реальных данных относительно небольшие.

Проведем прогноз потребительских расходов на образование на 3 года вперед.

Прогноз показал, что расходы на образование в последующие 3 года возрастут.

Проведем экспоненциальное сглаживание и прогнозирование.

Выберем экспоненциальную модель линии тренда и подберем автоматически параметры альфа и гамма, сделаем экспоненциальное сглаживание и прогнозирование:

регрессия множественный прогнозирование корреляционный

По МНК наилучшими значениями являются: альфа = 1 и гамма = 0.259.

Сравнивая полученные 2-мя способами результаты прогноза на несколько лет вперед, мы видим, что они отличаются по значениям, но по графикам видно, что линии тренда возрастают одинаково вверх.

Размещено на Allbest.ru