Производственная функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Производственная функция Кобба-Дугласа

2. Линейный регрессионный анализ

3. Матричный формализм и оценка параметров

4. Оценка параметров производственных функций

Заключение

Список литературы

Введение

Экономический рост - это увеличение масштабов совокупного производства и потребления в стране, характеризуемое прежде всего такими макроэкономическими показателями, как валовой национальный продукт, валовой внутренний продукт, национальный доход.

Экономический рост сопровождается целым рядом количественных и качественных изменений в обществе, включая структурную трансформацию экономики. Для стран с экономическим ростом характерны индустриализация, сопровождаемая снижением доли сельского хозяйства в объеме ВВП и занятости в сельском хозяйстве, сокращением доли продовольственных товаров в совокупном потреблении, роста доли сбережений и государственных расходов в ВВП.

Экономический рост измеряется темпами роста или прироста этих показателей за определенный период времени - отношение показателей в конце и в начале периода или отношение прироста показателя к его начальному значению.

Производственная функция - это зависимость между набором факторов производства и максимально возможным объемом продукта, производимым с помощью данного набора факторов. В работе рассматривается производственная функция Кобба-Дугласа.

1. Производственная функция Кобба-Дугласа

Функция Кобба-Дугласа относится к наиболее известным производственным функциям неоклассического типа [2, 3].

Если обозначить объем выпуска за некоторый временной промежуток символом Y, величину использованных в этом интервале производственных фондов (капитала) символом K и объем привлеченного труда - L, то статистические данные по объемам выпусков можно аппроксимировать (приближенно описать) степенной зависимостью от K и L с тремя параметрами

(1)

где с, a и b - параметры, с > 0, a > 0, b > 0.

Экономист Дуглас в сотрудничестве с математиком Коббом в 20-х годах XX столетия аппроксимировали функцией (1) данные по американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 г. В результате они получили, что , т.е.

(2)

где с > 0, 0 < a < 1.

Производственная функция (2) называется функцией Кобба-Дугласа. Она является однородной функцией.

Это означает, что увеличение аргументов в m раз приводит к увеличению значения функции тоже в m раз. Действительно, если



то

.

Если в качестве множителя m выбрать m = 1/L, то получим выпуск, нормированный на величину затраченного труда

.

Введем следующие обозначения: - капиталовооруженность труда, - производительность труда. В этом случае функция Кобба-Дугласа принимает вид

(3)

С 20-х годов XX столетия функция Кобба-Дугласа претерпела ряд модификаций. Одной из них является введение в функцию техногенного фактора - сомножителя , учитывающего технический прогресс, где l - постоянная темпа прогресса, а t - время

(4)

В настоящей работе предлагается аппроксимировать данные, которые приведены в работе Дугласа [4] по объемам производства ; и соответствующие им данные по и ; зависимостями (1), (2), (4). Развитие вычислительной техники и программного обеспечения сделало эту задачу доступной студенту, знакомому с численными методами аппроксимации и языками программирования или математическими программными средами типа Mathcad, Maple, MatLab и другие.

Рассмотрим общий подход к решению данной задачи.

2. Линейный регрессионный анализ

Пусть имеется линейная относительно величин и функциональная зависимость, например

(5)

где аргумент x может принимать значения . Если коэффициенты , которые будем называть параметрами, известны, то рассчитать значения функции для заданного набора , не представляет особой сложности. В данном случае мы имеем дело с, так называемой, прямой задачей.

На практике чаще встречается обратная задача, когда известен дискретный набор значений наблюдаемых величин ; определенных с некоторыми погрешностями (неточное знание величин будем отмечать верхним индексом u), а также соответствующих им значений . Предположим, что значения известны точно, а и связаны некоторой зависимостью, например (5). Необходимо по наблюдаемому дискретному набору с неточными значениями установить значения параметров .

Поскольку отличаются от истинных значений, то можно определить лишь приближенные значения (оценки) параметров , и, следовательно, построить лишь приближенную кривую

 (6)

которая, конечно, отличается от истинной

.

Предварительно необходимо выработать метод, критерий, который позволил бы провести кривую (6) через область расположения точек «наилучшим образом», или, другими словами, определить «наилучшие параметры».

В качестве критерия используется, как правило, минимизация суммы квадратов уклонений: «наилучшая кривая» должна проходить через область расположения наблюдаемых значений так, чтобы обеспечить

(7)

Это упрощенная форма критерия, т.к. в нем не учтены погрешности наблюдаемых значений. При учете погрешностей в (7) должны войти, так называемые, веса для точек . В нашем случае веса предполагаются одинаковыми, что, по сути, означает равенство ошибок наблюдений для всех точек.

производственный функция матричный линейный



Рис. 1. Значения наблюдаемых величин ; - - - - предполагаемая истинная кривая (5); ??? «наилучшая кривая» (6)

Введем уклонения кривой от наблюдаемых значений (рис. 1)

Тогда критерий (7) принимает вид

(8)

Метод, обеспечивающий построение аппроксимирующей кривой по этому критерию, носит название метода наименьших квадратов.

Усредненная кривая , проведенная «наилучшим образом», носит название кривой регрессии. Регрессия - зависимость среднего значения от какой-либо величины (совокупности величин). Модель, описывающая поведение усредненной кривой, приведенной к линейной относительно неизвестных параметров форме, носит название линейной регрессионной модели.

3. Матричный формализм и оценка параметров

Для дальнейшего изложения рациональнее перейти к матричной форме записи уравнений. Для этого введем следующие обозначения. Совокупность наблюдаемых значений ; запишем в виде вектора

(9)

а набор ; - в виде вектора

(10)

В системе уравнений, определяющих значения в точках ,

(11)

перейдем к матричной форме записи. Для этого введем матрицу

(12)

вектор и вектор .

Тогда система уравнений (11) запишется в виде одного матричного уравнения

? =

или в более компактной записи

(13)

Критерий (7) можно переписать в виде

(14)

Если ввести вектор уклонений

то критерий (14) запишется еще более компактно

(15)

Оптимальные значения компонент вектора (обозначим их как ) будут найдены, если продифференцировать М по вектору и приравнять производные нулю. М зависит от вектора :

поэтому определяем из

(16)

где транспонирование введено, чтобы обеспечить переход к вектору столбцу после дифференцирования.

Дифференцируя М по , имеем

Произведем согласно (16) операцию транспонирования и получим

(17)

Из (17) следует, что

и .

Чтобы найти вектор , умножим слева последнее выражение на обратную матрицу :

.

Так как

,

где I - единичная матрица, а

,

то

(18)

Подставляя вектор в выражение (13), можно определить регрессионную кривую

Итак, чтобы найти оптимальные значения компонент вектора , которые соответствуют регрессионной кривой, необходимо:

а) сформировать вектор - выражение (10);

б) сформировать матрицу X - выражение (12);

в) найти обратную матрицу ;

г) произвести умножение матриц согласно выражению (18).

4. Оценка параметров производственных функций

Согласно изложенному выше, оценка параметров производственной функции (1) осуществляется следующим образом. В наличии имеются значения объемов выпусков Yi, соответствующие объемы капитала Ki и затраченного труда . Уравнение (1) логарифмированием приведем к линейному относительно оцениваемых параметров виду

(19)

Сформируем вектор

,

матрицу

и вектор параметров

.

Тогда вектор наилучших параметров определяется согласно (18), а регрессионная кривая для производственной функции (1) имеет вид

(20)

Производственную функцию Кобба-Дугласа (3) логарифмированием приводим к линейному виду

(21)

Векторы , и матрица Х для этого случая имеют вид

, ,

Вектор наилучших оценок параметров вновь определяется из (18), а регрессионная кривая для функции (3) теперь имеет вид

(22)

Для производственной функции (4) линейное относительно параметров уравнение имеет вид

Вектор такой же, как и в предыдущем разделе, матрица Х состоит из трех столбцов:



а вектор параметров содержит три компоненты

Наилучшая оценка для вектора определяется из (18), и, наконец, регрессионная кривая

(23)

Заключение

Основные современные модели экономического роста, как и любые модели представляют собой абстрактное, упрощенное выражение реального экономического процесса в форме уравнений или графиков. Целый ряд допущений, предваряющих каждую модель, дает возможность проанализировать отдельные стороны и закономерности такого сложного явления как экономический рост.

Основополагающим в макроэкономике неоклассического направления является понятие производственной функции. Производственной макроэкономической функции можно дать два основных определения:

1. это функция равновесного состояния выпуска продукции и определяющих его факторов производства (капитала, труда, земли, НТП);

2. это соотношение между национальным продуктом и взаимосвязанными факторами богатства общества, используемыми в экономике для его получения.

Используя производственную функцию Кобба-Дугласа можно определить зависимость объема выпуска продукции от двух факторов производства - капитала и труда.

Список литературы

1. Булатов А.С. Экономика. Учебник для экономических академий, вузов и факультетов М., 1995.

2. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

3. Красильников О.Ю. Отражение структурных сдвигов в теориях экономического роста. Экономика: проблемы теории. Саратов: Изд-во Научная книга, 2001.

4. Райхлин Э. Основа экономической теории. Экономический рост и развитие. М.: Юрист, 2001.

5. Современная экономика. под ред. О.Ю. Мамедова. -- Ростов-на-Дону, Феникс, 1995.

6. Учебное пособие для подготовки менеджера. Под общей ред. В.Е. Ланкина. Таганрог: ТРТУ, 2006.

7. Хазанова А.Э. Математическое моделирование в экономике: учебное пособие. М.: БЭК, 1998.

8. Чепурин М. Н. Курс экономической теории. Киров, 1995.

9. Экономическая теория. Под ред. Камаева В.Д. М., Владос 1999.

Размещено на Allbest.ru

...