Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Государственный Университет Управления

Кафедра прикладной математики

Курсовая работа

По дисциплине: "Прикладная математика"

Выполнила:

Стародубова Екатерина Антоновна

Руководитель:

Сухоминский В.Л.

Москва 2005

Содержание

1. Задание на курсовой проект

2. Линейная производственная задача

3. Двойственная задача

4. Задача о "расшивке узких мест производства"

5. Транспортная задача линейного программирования

6. Задача распределения капиталовложений методом динамического программирования

7. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

8. Решение матричной модели производственной программы

9. Анализ доходности и риска финансовых операций

Список литературы

1. Задание на курсовой проект

Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов

компактно записаны в виде

Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Если по оптимальной производственной программе какие-то два вида продукции не должны выпускаться, то в таблице исходных данных вычеркнуть соответствующие два столбца, составить математическую модель задачи оптимизации производственной программы с двумя оставшимися переменными, сохранив прежнюю нумерацию переменных и решить графически.

2. Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

3. Составить математическую модель транспортной задачи по исходным данным из приложения 2, где вектор объемов производства А(a1,..., am), потребления - В (b1,..., bn) и матрица транспортных издержек С=(сij), i =; j = кратко записаны в виде



Если полученная модель окажется открытой, то свести ее к замкнутой и найти оптимальное решение транспортной задачи методом потенциалов.

4. Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

6. Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

7. Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.

8. Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.

2. Линейная производственная задача

базис матрица прибыль финансы

Сформулировать линейную производственную задачу и составить ее математическую модель, взяв исходные данные из приложения 1, где технологическая матрица А затрат различных ресурсов на единицу каждой продукции, вектор объемов ресурсов В и вектор удельной прибыли С при возможном выпуске четырех видов продукции с использованием трех видов ресурсов. Преобразовать данную задачу к виду основной задачи линейного программирования, решить ее методом направленного перебора базисных допустимых решений, обосновывая каждый шаг процесса, найти оптимальную производственную программу, максимальную прибыль, остатки ресурсов различных видов и указать узкие места производства.

В последней симплексной таблице указать обращенный базис Q-1, соответствующий оптимальному набору базисных неизвестных. Проверить выполнение соотношения

H = Q-1B

Исходные данные

А - матрица удельных затрат;

В - вектор объёмов ресурсов;

С - вектор удельной прибыли.

компактно записаны в виде:

Задача - найти производственную программу, максимизирующую прибыль при имеющихся ограниченных ресурсах.

Математическая модель линейной производственной задачи.

Получили задачу на условный экстремум. Для ее решения систему неравенств при помощи неотрицательных неизвестных х 5, х 6, х 7 заменим системой линейных алгебраических уравнений.

x₅, x₆, x₇ - имеют смысл остатков соответствующих ресурсов.

Среди всех решений системы уравнений (4), удовлетворяющих условия (5), надо найти то решение, при котором функция (1) примет наибольшее значение.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (4) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид - дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные х₁, х₂, х₃, х₄, получаем базисное неотрицательное решение.

(6) x₁=0, x₂=0, x₃=0, x₄=0, x₅=140, x₆=90, x₇=198.

х₁, х₂, х₃, x₄ - определяют производственную программу.

Из выражения (1) видно, что наиболее выгодно производить продукцию 2-ого вида, так как прибыль на единицу продукции здесь наибольшая. Чем больше выпуск в этой продукции, тем больше прибыль. Выясним, до каких пор наши ресурсы позволяют увеличить выпуск этой продукции. Для этого запишем для системы уравнений (4) общее решение.

Мы пока сохраняем в общем решении х 1=х 3=х 4=0 и увеличиваем только х 2. При этом значения базисных переменных должны оставаться неотрицательными, что приводит к системе неравенств

Дадим х 2 наибольшее значение х 2 = 90/3, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, и подставим его в (8).

x₅=140 - 1*90/3 = 110

x₆=90 - 3*90/3 = 0

x₇=198 - 2*90/3 = 138

Получаем для системы уравнений (4) частное неотрицательное решение

(9) x₁=0, x₂=90/3, x₃=0, x₄=0, x₅=110, x₆=0, x₇=138.

Нетрудно убедиться, что это решение является новым базисным неотрицательным решением системы линейных алгебраических уравнений (4), для получения которого достаточно было принять в системе (4) неизвестную х 2 за разрешающую и перейти к новому предпочитаемому виду этой системы, сохранив правые части уравнений неотрицательными, для чего за разрешающее уравнение мы обязаны принять второе, так как

Min (bi/ai2>0) = min (140/1; 90/3; 198/2) = 90/3

А разрешающим элементом будет а 22=3. Применив известные формулы исключения, получаем для системы уравнений (4):

Уравнение 4.2 - разрешающее.

Вычитаем из 1-ого ур-ния найденное.



Вычитаем из 3-его ур-ния найденное.

Приравняв к нулю свободные переменные х₁, х₃, х₄, х₆, получаем базисное неотрицательное решение, совпадающее с (9), причем первые четыре компоненты его определяют новую производственную программу

(18) x₁=0, x₂=90/3, x₃=0, x₄=0.

Исследуем, является ли эта программа наилучшей, т.е. обеспечивает ли она наибольшую прибыль. Для этого выразим функцию прибыли (1) через новые свободные переменные х 1, х 3, х 4, х 6.

Из второго уравнения системы (17) выражаем базисную переменную х 2 через свободные и подставляем в (1). Получаем

Видим, что программа (18) не является наилучшей, так как прибыль будет расти, если мы начнем производить или первую, или третью, или четвертую продукцию, но наиболее быстро функция z растет при возрастании х 1. Поэтому принимаем х 1 в системе (17) за разрешающую неизвестную, находим разрешающее уравнение по



и исключаем х 1 из всех уравнений системы (17), кроме третьего уравнения. Получим следующий предпочитаемый эквивалент системы условий, который определит для системы (4) новое базисное неотрицательное решение и уже третью производственную программу, для исследования которого нам придется выразить функцию (19) через новые свободные переменные, удалив оттуда переменную х 1, ставшую базисной. Мы видели выше, как это делается (удаляли х 2 из (1)).

Важно обратить внимание на то, что эти удаления можно выполнить очень просто. Представим соотношение (1) в виде уравнения

и припишем его к системе (4). Получается вспомогательная система уравнений

Напомним, что разрешающую неизвестную в системе (4) мы выбрали х₂. Этой переменной в последнем уравнении системы (22) отвечает наименьший отрицательный коэффициент 2= -39. Затем мы нашли разрешающий элемент а 22=3 и исключили неизвестную х₂ из всех уравнений системы (4), кроме второго. Далее нам пришлось х₂ исключать и из функции (1). Теперь это можно сделать очень просто, если посмотреть на систему уравнений (22). Очевидно, достаточно умножить второе уравнение системы (22) на 13 и прибавить к четвертому; получим



Таким образом, мы преобразовывали вспомогательную систему уравнений (22) к виду

Первые три уравнения этой системы представляют некоторый предпочитаемый эквивалент (17) системы уравнений (4) и определяют базисное неотрицательное решение (9) и производственную программу (18), а из последнего уравнения системы (24) получается выражение (19) функции цели через свободные переменные. Очевидно, если имеется хотя бы один отрицательный коэффициент j при какой-нибудь переменной xj в последнем уравнении системы (24), то производственная программа не является наилучшей и можно далее продолжать процесс ее улучшения. С помощью (19) мы выяснили, что следует начинать производить продукцию первого вида, т.е. фактически мы нашли в последнем уравнении системы (24) наименьший отрицательный коэффициент

и решили перевести свободную переменную х 1 в число базисных, для чего, согласно (20) определили разрешающее уравнение и указали разрешающий элемент а 31=3.

Учитывая сказанное выше, теперь мы будем преобразовывать не систему (17), а всю вспомогательную систему (24), по формулам исключения. Эта система преобразуется к виду

Из 1-ого вычитаем полученное:

Из 4-ого вычитаем полученное:

x₁=46; x₂=30; x₃=0; x₄=0; x₅=18; x₆=0; x₇=0, (26)

т.е. определяют производственную программу

x₁=46; x₂=30; x₃=0; x₄=0 (27)

и остатки ресурсов:

первого вида х₅=0

второго вида х₆=13 (28)

третьего вида х₇=0

В последнем уравнении системы (25) среди коэффициентов при неизвестных в левой части уравнения нет ни одного отрицательного. Если из этого уравнения выразить функцию цели z через остальные неотрицательные переменные

Z = 2412 - 18х₃ - 8х₄ - 7х₆ - 9х₇ (29)

то становится совершенно очевидным (в силу того, что все xj0), что прибыль будет наибольшей тогда, когда

x₃=0; x₄=0; x₆=0; x₇=0. (30)

Это означает, что производственная программа (27) является наилучшей и обеспечивает предприятию наибольшую прибыль

zmax = 2412 (31)

Итак, организовав направленный перебор базисных неотрицательных решений системы условий задачи, мы пришли к оптимальной производственной программе и указали остатки ресурсов, а также максимальную прибыль.

Остается заметить, что процесс решения обычно записывается в виде некоторой таблицы 1.

Таблица 1

где представлены расширенные матрицы вспомогательных систем уравнений (22) (24) (25). Эти таблицы принято называть симплексными.

Проверим получившийся результат.

Воспользуемся тем, что в оптимальной производственной программе х₃=0, х₄=0. Предположим, что третью и четвертую продукции мы не намеревались выпускать с самого начала. Рассмотрим задачу с оставшимися двумя переменными, сохранив их нумерацию. Математическая модель задачи будет выглядеть следующим образом:



Точка М находится на пересечении || и ||| линий.

Из графика видно, что результаты совпадают.

Обращенный базис, отвечающий оптимальной производственной программе, содержится в последней симплексной таблице:

Обращенный базис Q-1

Для того, чтобы убедиться в правильности полученного решения, следует проверить отношение Н = Q-1 * В:

3. Двойственная задача

Сформулировать задачу, двойственную линейной производственной задаче, как задачу определения расчетных оценок ресурсов, и найти ее решение, пользуясь второй основной теоремой двойственности (о дополняющей нежесткости). Указать оценку единицы каждого ресурса, минимальную суммарную оценку всех ресурсов, оценки технологий.

Применить найденные двойственные оценки ресурсов к решению следующей задачи.

Сформулировать задачу о "расшивке узких мест производства" и составить математическую модель. Определить область устойчивости двойственных оценок, где сохраняется структура программы производства. Решить задачу о расшивке узких мест производства при условии, что дополнительно можно получить от поставщиков не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида (если задача окажется с двумя переменными, то только графически); найти план приобретения дополнительных объемов ресурсов, дополнительную возможную прибыль.

По пунктам 1, 2, 3 составить сводку результатов [10, c. 21].

Знакомый предприниматель П (Петров), занимающийся производством каких-то других видов продукции, но с использованием трех таких же видов ресурсов, какие имеются у нас, предлагает нам "уступить" по определенным ценам все имеющиеся у нас ресурсы и обещает платить у₁ рублей за каждую единицу первого ресурса, у₂ руб - второго, у₃ руб - третьего. Возникает вопрос: при каких ценах у₁, у₂, у₃ мы можем согласиться с предложением П.

Величины у₁, у₂, у₃ принято называть расчетными, или двойственными, оценками ресурсов. Они прямо зависят от условий, в которых действует наше предприятие.

Математическая модель исходной задачи выглядит следующим образом:

Тогда двойственной задачей к (1-3) будет следующая:

Следует найти вектор двойственных оценок у(у₁, y₂, y₃)

Решение полученной задачи легко найти с помощью второй основной теоремы двойственности, согласно которой для оптимальных решений (х₁, х₂, х₃, х₄) и (y₁, y₂, y₃) пары двойственных задач необходимо и достаточно выполнение условий



Ранее было найдено, что в решении исходной задачи x10, x20, поэтому

Если же учесть, что первый ресурс был избыточным (х₅=18) и, согласно той же теореме двойственности, ее двойственная оценка равна нулю у₁=0, то приходим к системе уравнений

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у₁=0; у₂=7; у₃=9, (4)

причем общая оценка всех ресурсов равна 2412.

4. Задача о "расшивке узких мест производства"

При выполнении оптимальной производственной программы второй и третий ресурсы используются полностью, т.е. образуют узкие места производства. Будем их заказывать дополнительно. Пусть T(t1,t2,t3)- вектор дополнительных объемов ресурсов. Так как мы будем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

H + Q-1T 0.

Задача состоит в том, чтобы найти вектор T (t1, 0, t3),

максимизирующий суммарный прирост прибыли

W = 7t2 + 9t3 (1)

при условии сохранения двойственных оценок ресурсов (и, следовательно, структуры производственной программы)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

причем по смыслу задачи

t1 0, t3 0. (4)

Переписав неравенства (2) и (3) в виде:

1) t2=0; t3=27

t3=0; t2=-162

3) t2=0; t3=-138

t3=0' t2=207

Точка М на пересечении

Точка M имеет координаты (30;32)

W = 7t2 + 9t3 max

W = 7*30 + 9*32=210+288=498

W = 498

Сводная таблица результатoв

Cj	27	39	18	20	Bi	X4+i	Yi	Ti
	2	1	6	5	140	18	0	0
aij	0	3	0	4	90	0	7	30
	3	2	4	0	198	0	9	32
Xj	46	30	0	0	2412			498
j	0	0	18	8

5. Транспортная задача линейного программирования

Однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах производства (хранения) в количествах a1,a2,…..am единиц, необходимо распределить между n пунктами потребления, которым необходимо соответственно b1,b2,….bn единиц. Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения равна cij и известна для всех маршрутов. Необходимо составить план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были минимальными.

Исходные данные имеют вид

A - вектор объемов производства

B - вектор потребностей потребителей

C - матрица транспортных издержек

Обозначим через xij количество груза, планируемого к перевозке от i-го поставщика j-му потребителю.

-открытая модель транспортной задачи

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть так:

найти план перевозок

минимизирующий общую стоимость всех перевозок

при условии, что из любого пункта производства вывозится продукции меньше, чем имеется у поставщиков

Xijai, i= 1,m

Общий объем производства аi =71+40+60=171

bi = 38+39+48+40=165 больше, требуется всем потребителям, т.е. имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом потребления 171-165=6 единиц, причем тарифы на перевозку в этот пункт условимся считать равными нулю, помня, что переменные, добавляемые к левым частям неравенств для превращения их в уравнения, входят в функцию цели с нулевыми коэффициентами.

Первое базисное допустимое решение легко построить по правилу северо-западного угла.

Важные формулы:

pi=cij-qi

qi= cij - pi

ij = pi + qj - cij

pi=0, qi=2-0=2, qi=1-0=1

qi=1, pi=3-1=2

pi=2, qi=7-2=5

qi=5, pi=4-5=-1

pi=-1, qi=2--1=3

pi=-1, qi=0--1=1

Полученные результаты можно проверить. =

pi+qi=индекс.

Например, 2+0=2; 3+-1=2.

Теперь понадобится формула

ij = pi + qj - cij

13=0+5-6= -1

14=0+3-5= -2

15=0+1-0= 1

21=2+2-5= -1

24=2+3-6= -1

25=2+1-0= 3

31=-1+2-3= -2

32=1+-1-2= -2

Унас есть положительные числа - 15, 25 - самое большое положительное число.

25 - это число 6.

Производим операцию заново.

	37	39	48	40	6	pi
70	2 37	1 33	6	5	0	0
40	5	3 6	7 28	6	0 6	2
60	3	2	4 20	2 40	0	-1
qi	2	1	5	3	-2

ij = pi + qj - cij

13=-1

14=-2

15=-2

21=-1

24=-1

31=-2

32= -2

35=-3

В данной таблице все ?ij 0, i = 1,m; j = 1,n .

Данное базисное решение будет оптимальным

L=cij*xij=37*2+33*1+6*3+28*7+20*4+40*2=74+33+18+196+80++80 = 481(Z_{оптимальное})

Z_{опорное} = 37*2+33*1+6*3+34*7+14*4+40*2=74+33+18+238+56+80=499

?Z = Z_опорн. - Z_{оптимальное}=499-481=18

6. Задача распределения капиталовложений методом динамического программирования

Методом динамического программирования решить задачу распределения капитальных вложений между четырьмя предприятиями производственного объединения, располагающего суммой в 700 тыс. руб., по исходным данным, приведенным в приложении 3 (выделяемые суммы кратны 100 тыс.).

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определённой структуры. Данная задача с n переменными представляется как много шаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Рассмотрим нелинейную задачу распределения ресурсов между предприятиями отрасли. Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через fj(xj) прирост мощности или прибыли на j-том предприятии, если оно получит xj рублей капвложений. Требуется найти такое распределение (х 1, х 2, ..., хn) капвложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли

Z=f1(x1)+f2(x2)+...+fn(xn)

при ограничении по общей сумме капвложений

х 1 + х 2 +...+хn = b

причём будем считать, что все переменные xj принимают только целые значения xj =1,2,...

Функции fj(xj) мы считаем заданными, заметив, что их определение -довольно трудоёмкая экономическая задача.

Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Введём параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния Fk() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получат рублей. Параметр может меняться от 0 до b. Если из рублей k-ое предприятие получит Хк рублей, то каково бы ни было это значение, остальные -Хк рублей естественно распределить между предприятиями от 10-го до (к-1)-го предприятия, чтобы была получен максимальная прибыль

Fk-1(-xk).

Тогда прибыль k предприятий будет равна

fk(xk) + Fk-1(-xk).

Надо выбрать такое значение xk между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению:

Рассмотрим конкретный пример. Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций fj(xj) приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Xj	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(xj)	0	15	26	38	45	52	58	63
f2(xj)	0	10	17	23	29	34	38	41
f3(xj)	0	11	19	26	30	33	35	36
f4(xj)	0	25	34	41	46	50	53	56

Прежде всего заполняем табл. 2. Значения f2(x2) складываем со значениями

F1( - x2) = f1(- x2)

и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.

Таблица 2.

	-х 2	0	100	200	300	400	500	600	700
х 2		0	15	26	38	45	52	58	63
0	0	0	15	26	38	45	52	58	63
100	10	10	25	36	48	55	62	68	---
200	17	17	32	43	55	62	69	---	---
300	23	23	38	49	61	68	---	---	---
400	29	29	44	55	67	---	---	---	---
500	34	34	49	60	---	---	---	---	---
600	38	38	53	---	---	---	---	---	---
700	41	41	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 3.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F2()	0	15	26	38	48	55	62	69
x2()	0	0	0	0	100	100	100	200
x2()						200	200

Продолжая процесс, табулируем функции F3(), () и т.д.

Таблица 4.

	-x3	0	100	200	300	400	500	600	700
x3		0	15	26	38	48	55	62	69
0	0	0*	15*	26*	38*	48	55	62	69
100	11	11	26*	37	49*	59*	66	73	---
200	19	19	34	45	57	67*	74*	---	---
300	26	26	41	52	64	74*	---	---	---
400	30	30	45	56	68	---	---	---	---
500	33	33	48	59	---	---	---	---	---
600	35	35	50	---	---	---	---	---	---
700	36	36	---	---	---	---	---	---	---

Таблица 5.

	0	100	200	300	400	500	600	700
F3()	0	15	26	38	49	59	67	74
x3()	0	0	0	0	100	100	200	200
x3()			100					300

Таблица 6.

	-x4	0	100	200	300	400	500	600	700
x4		0	15	26	38	49	59	67	74
0	0	0	15	26	38	49	59	67	74
100	25	25						92
200	34	34					93*
300	41	41				90
400	46	46			84
500	50	50		76
600	53	53	68
700	56	56

Продолжая процесс, табулируем функции F3(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали:

Zmax = 93 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено

х*4 = 4 (700) = 200 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 500 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено

x*3 = 3 (700-x*4) = 3 (500) = 100 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим

x*2 = 2 (700 - x*4 - x*3) = 2 (400) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается

x*1 = 700 - x*4 - x*3 - x*2 = 300 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

x*1 =300; x*2 =100; x*3 = 100; x*4 = 200.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший воможный прирост прибыли 93 тыс. руб.

f1(x*1) + f2(x*2) + f3(x*3) + f4(x*4) = z max=38+10+11+34=93

Ответ: Оптимальная производственная программа имеет вид:

Х1* = 300 ; Х2* = 100 ; Х3* = 100 ; Х4* = 200, при этом максимальная прибыль составляет 93 тыс. руб.

7. Матричная игра как модель конкуренции и сотрудничества

Рассмотреть матричную игру как модель сотрудничества и конкуренции, взяв исходные данные из приложения 5. Найти графически решение игры. Указать, как проявляется конкуренция между игроками и сотрудничество между ними.

Пусть игроки - Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей A=ai j . Пусть стратегия Первого есть Р, а Второго Q. Тогда выигрыш Первого есть с.в. W(P,Q) c рядом распределения:

Математическое ожидание этой с.в., т.е. есть средний выигрыш Первого. Пусть D[W(P,Q)] есть дисперсия этой с.в. Естественно назвать среднее квадратическое отклонение с.в. W(P,Q) т.е. риском для Первого при игре со стратегиями P,Q.

Поскольку выигрыш Первого есть проигрыш для Второго, то W(P,Q) есть случайный проигрыш Второго и r вполне естественно можно назвать риском игры с такими стратегиями и для Второго.

Предположу сначала, что игроки озабочены только максимизацией среднего дохода за партию игры - обычная цель в таких играх. Тогда игроки будут играть со своими оптимальными стратегиями:

- Первый игрок

- Второй.

Математическое ожидание с. в. называется ценой игры, обозначу ее .

Вычислю дисперсию выигрыша Первого при оптимальных стратегиях игроков.

.

Так как

,

а через сумма обозначена .

Замечу, что в сумме можно оставить лишь те слагаемые, у которых

Замечу теперь, что если Первый играет со стратегией , а Второй отвечает -й чистой стратегией, то выигрыш первого есть с.в. с рядом распределения:

Если есть оптимальная стратегия Первого, а , то из теории матричных игр с нулевой суммой известно, что выигрыш Первого при таких стратегиях по-прежнему равен цене игры , а дисперсия выигрыша Первого при этом равна

,

то есть равна . Таким образом, что происходит с риском выигрыша Первого, можно понять, сравнив дисперсию при оптимальных стратегиях

и дисперсию

или величины

и .

Пусть

Как легко понять, если среди есть разные числа, то

Теперь можно сделать следующий вывод: Чуть-чуть отойдя от своей оптимальной стратегии (смотрите ниже Задачу) и таким образом почти не уменьшив свой выигрыш, Первый может значительно уменьшить свой риск. При этом уменьшается и риск Второго, что отвечает и его интересам.

Чисто математически можно сказать, что в описанной ситуации риск выигрыша Первого не зависит от его стратегии непрерывно.

Рассмотрю подробно пример матричной игры с матрицей с матрицей ai j. Как известно, общий случай в окрестности оптимальных стратегий игроков сводится к анализу такой игры.

Исходные данные:



Так как ни один столбец не доминирует над другим, оставляем все без изменений.

Рассмотрим варианты: первый играет по смешанной стратегии, а второй по чистой. Подсчитаем математическое ожидание выигрыша:

Графическое решение:

На рисунке ищем верхнюю точку нижней огибающей. Это точка М. Точка М показывает цену игры и оптимальную стратегию первого игрока.

Точка М находится на пересечении прямых 3 и 4:

-5*x*1+2*(1-x)*1=0*x*1+(-5)*(1-x)*1

-5x + 2 - 2x = -5 + 5x

-5x - 2x - 5x = -2 - 5

-12x = -7

x=7/12

x*- оптимальная смешенная стратегия первого игрока.

x* = (7/12; (1-7/12)

x* = (7/12; 5/12)

v= цена игры

v=-5*7/12 + 2*(1-7/12)=-35/12 + 2 - 14/12 = -49/12 +2 = -25/12

или

v= -5(1-7/12) = -5 + 35/12 = -25/12

Так как точка М лежит на пересечении 3-го и 4-го выражения, то оптимальную смешенную стратегию для 2-го игрока будим выбирать в виде:

0<=q<=1

Рассмотрим варианты, когда второй игрок играет в смешанных стратегиях, а первый в чистых.

Можно рассмотреть два варианта, т.к.

X*1 = 7/12 > 0

X*2 = 5/12 > 0

Можно выбрать любой из них:

M1(q)=1*0*1-3*0*1-5*q*1+0*(1-q)*1 = -5q

M1(q)= v

-5q=-25/12

q=25/12*1/5

q = 5/12

Варианты, для которых мат. ожидание выигрыша первого игрока одно и то же и равно цене игры:

M(P*;Q*)=M((1;0);Q*)=M((0;1);Q*)=M(P*(0;0;1;0)= M(P*(0;0;0;1)= v= -25/12

1) M(P*;Q*)= v= -25/12

-

P*=(7/12;5/12)

Q*=(0;0;5/12;7/12)

x	1	-3	-5	0	2	0	2	-5
p	0	0	35/144	49/144	0	0	25/144	35/144

2) P*=(1;0)

Q*=(0;0;5/12;7/12)

x	1	-3	-5	0	2	0	2	-5
p	0	0	5/12	7/12	0	0	0	0



3) P*=(0;1)

Q*=(0;0;5/12;7/12)

x	1	-3	-5	0	2	0	2	-5
p	0	0	0	0	0	0	5/12	7/12

4) P*=(7/12;5/12)

Q*=(0;0;1;0)

x	1	-3	-5	0	2	0	2	-5
p	0	0	7/12	0	0	0	5/12	0

5) P*=(7/12;5/12)

Q*=(0;0;0;1)

x	1	-3	-5	0	2	0	2	-5
p	0	0	0	7/12	0	0	0	5/12



Наибольшая конкуренция достигается в 4-ом варианте.

Наибольшее сотрудничество достигается в 2-ом и в 5-ом варианте.

8. Решение матричной модели производственной программы

Составить матричную модель производственной программы предприятия по исходным данным из приложения 6. По данному вектору выпуска товарной продукции найти вектор производственной программы и полные затраты всех внешних ресурсов.

а 11	a12	а 13	у 1
а 21	a22	а 23	у 2
а 31	a32	а 33	у 3
b11	b12	b13
b21	b22	b23
b31	b32	b33
b41	b42	b43

Подставив значения из индивидуального задания имеем:

0	1	0,4	50
0,1	0	0,2	40
0,3	0	0,1	30
0	7	8
4	3	2
50	40	20
0,1	0	0,2

Экономическая система состоит из 4-х взаимосвязанных отраслей производства, каждая из которых выпускает один вид продукции. Продукция идёт либо на экспорт, либо на внутреннее потребление.

Дана структурная матрица производства

матрица коэффициентов прямых затрат

вектор товарной продукции (Yi - конечный продукт идущий на экспорт)

i - номер отрасли.

Определить: матрицу коэффициентов постоянных затрат Q, вектор производственной программы X, матрицу Н коэффициентов полных затрат внешних ресурсов на единицу выпуска товарной продукции каждого вида и вектор S полных затрат всех видов ресурсов, необходимых на весь объём товарной продукции.

С помощью преобразований Жордана-Гаусса найдём элементы обратной матрицы:



Q = (Е - А) -1=

1	-0,1	-0,4	1	0	0
-0,1	1	-0,2	0	1	0
-0,3	0	0,9	0	0	1
0	-0,1	2,6	1	0	3,33
0	1	-0,5	0	1	-0,333
1	0	-3	0	0	-3,33
0	0	2,55	1	0,1	3,297
0	1	-0,5	0	1	-0,333
1	0	-3	0	0	-3,33
0	0	1	0,39	0,04	1,3
0	1	0	0,19	1,02	0,31
1	0	0	1,17	0,12	0,55
1	0	0	1,17	0,12	0,55
0	1	0	0,19	1,02	0,31
0	0	1	0,39	0,04	1,3

(действуем по методу Жордана, как и в первом задании).

Итак, полученная матрица коэффициентов полных затрат:

Вектор производственной программы найдём так:

1,17*50+0,12*40+0,55*30 = 58,5+4,8+16,5 = 80

0,19*50+1,02*40+0,31*30 = 9,5+40,8+9,3 = 60

0,39*50+0,04*40+1,3*30 = 19,5+1,5+9 = 30

Xi - валовый выпуск продукции i - й отрасли.

Матрицу Н найдём следующим образом:

По формуле:

Cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ai3*b3j

C11 = a11 * b11 + a12 * b21 + a13 * b31 = 0 + 7 * 0,19 + 8 * 0,39 = 4,45

C12 = 0+7*1,02+8*0,04=7,14+0,32=7,46

C13=0+7*0,31+8*1,3=2,17+10,4=12,6

И так далее по формуле.

НIJ - полные затраты i-го внешнего ресурса на единицу выпуска j-ой товарной продукции.

Элементы вектора S вычислим так:

4,45*50+7,46*40+12,6*30=898,9

6,03*50+3,62*40+5,73*30=618,2

73,9*50+47,6*40+65,9*30=7576

0,2*50+0,02*40+0,32*30=20,4

Si - полные затраты i-го вида ресурса на весь объём товарной продукции.

9. Анализ доходности и риска финансовых операций

Провести анализ доходности и риска финансовых операций по исходным данным, приведенным в приложении 7.

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода - разности между конечной и начальной оценками.

Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неопределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны, т.е. при их проведении возможны как прибыль так и убыток (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию).

Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска?

Существует несколько разных способов. Наиболее распространенным является представление дохода операции как случайной величины и оценка риска операции как среднего квадратического отклонения этого случайного дохода.

Рассмотрим операцию, доход которой есть случайная величина Q. Средний ожидаемый доход Q - это математическое ожидание с.в. Q:

,

где pi есть вероятность получить доход qi. А среднее квадратическое отклонение (СКО)



- это мера разбросанности возможных значений дохода вокруг среднего ожидаемого дохода. Вполне разумно считать количественной мерой риска операции и обозначить r. Дисперсия:

Рассмотрим четыре операции Q1, Q2, Q3, Q,4. Найдем средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций.

Ряды распределения, средние ожидаемые доходы и риски:

Нанесем средние ожидаемые доходы Q и риски r на плоскость - доход откладываем по горизонтали, а риски по вертикали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем правее точка (Q, r), тем более доходная операция, чем точка выше - тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку правее и ниже.

Точка 1 правее всех, точка 3 левее точки 1, но она ниже на 2,5, чем точка 1.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подходящую взвешивающую формулу, которая для пар (Q, r) дает одно число, по которому и определяют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть

 (Q)= 2Q - r .

Тогда получаем:

(Q1)= 2*4.81-1.77 = 7.85; (Q2)= 4.75; (Q3)= 11.70; (Q4)= 3.08

(Q1)=2*10 - 6,8 = 13,2

(Q2)=2*3 - 4,5 = 1,5

(Q3)=2*5,2 - 4,6 = 5,8

(Q4)=2*6 - 10,2 = 1,8

Из этого можно сделать вывод, что 1-я операция - лучшая, а 2-я - худшая.

Список литературы

1. Методические указания к выполнению курсовой работы по дисциплине "Прикладная математика"/Сост.: Колемаев В.А., Карандаев И.С. и др. ГУУ, М.:2000.

• Математические методы принятия решений в экономике / под ред. В.А. Колеманова. ГУУ, М.:1999
• 3. Задачи и методы стохастического программирования / Юдин Д.Б. Мысль, М.:1979.
• Размещено на Allbest.ru

...