Теоретические знания в области экономико-математических моделей и методов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Целью выполнения курсовой работы по дисциплине «Исследование операций» является углубление теоретических знаний в области экономико-математических моделей и методов.

Основные задачи в процессе выполнения курсовой работы:

- углубление теоретических знаний экономико-математических методов и моделей, изучаемых в исследовании операций;

- закрепление получаемых на практических занятиях по дисциплине навыков:

- формализации реальной ситуации, перевода её на язык математической модели, постановки оптимизационных задач;

- нахождения решений оптимизационных задач в детерминированной и стохастической постановках;

- применение аппарата корреляционно-регрессионного анализа для исследования взаимосвязей между экономическими показателями;

- использование методов теории управления запасами;

- применения средств Excel Microsoft для решения оптимизационных задач и проведения статистического анализа взаимосвязей показателей.

В зависимости от вида решаемых задач, в математическом программировании выделяют такие области, как линейное, нелинейное, дискретное, динамическое, геометрическое, стохастическое программирование. В данной курсовой работе подробно рассмотрено нелинейное программирование, методы решения задач нелинейного программирования.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Постановка задачи. Как уже упоминалось во введении, предположение о возможности описать зависимости между управляемыми переменными с помощью линейных функций далеко не всегда адекватно природе моделируемого объекта. Например, в рассмотренных в главе 1 моделях цена товара считается независимой от количества произведенного продукта, однако в повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с тем, что она может зависеть от объема партии товара. Аналогичные замечания могут быть сделаны и по поводу технологических ограничений: расход определенных видов сырья и ресурсов происходит не линейно, а скачкообразно (в зависимости от объема производства). Попытки учесть эти факторы приводят к формулировке более общих и сложных оптимизационных задач. Изучение методов их решения составляет предмет научной области, получившей названия нелинейного программирования.

Общая задача нелинейного программирования (ОЗНП) определяется как задача нахождения максимума (или минимума) целевой функции x1, х2, xn на множестве D, определяемом системой ограничений:

Где хотя бы одна из функций f или gi является нелинейной.

По аналогии с линейным программированием ЗНП однозначно определяется парой (D, f) и кратко может быть записана в следующем виде:

Также очевидно, что вопрос о типе оптимизации не является принципиальным.

Поэтому мы, для определенности, в дальнейшем по умолчанию будем рассматривать задачи максимизации.

Как и в ЗЛП, вектор:

х* = (x1*,x2*,...,xn*) * D

- называется допустимым планом, а если для любого x D выполняется неравенство:

f * (x*) ? f * (x)

- то х* называют оптимальным планом. В этом случае х* является точкой глобального максимума.

С точки зрения экономической интерпретации f(x) может рассматриваться как доход, который получает фирма (предприятие) при плане выпуска х:

а * gi * (х) ? 0

- как технологические ограничения на возможности выпуска продукции. В данном случае они являются обобщением ресурсных ограничений в ЗЛП:

аiх - bi ? 0

Задача (1.2) является весьма общей, т. к. допускает запись логических условий, например:

Или запись условий дискретности множеств:

Набор ограничений, определяющих множество D, при необходимости всегда можно свести либо к системе, состоящей из одних неравенств:

Либо, добавив фиктивные переменные у, к системе уравнений:

Перечислим свойства ЗНП, которые существенно усложняют процесс их решения по сравнению с задачами линейного программирования:

1. Множество допустимых планов D может иметь очень сложную структуру (например, быть невыпуклым или несвязным).

2. Глобальный максимум (минимум) может достигаться как внутри множества D, так и на его границах (где он, вообще говоря, будет не совпадать ни с одним из локальных экстремумов).

3. Целевая функция f может быть не дифференцируемой, что затрудняет применение классических методов математического анализа.

В силу названных факторов задачи нелинейного программирования настолько разнообразны, что для них не существует общего метода решения.

Решение задач условной оптимизации методом Лагранжа. Одним из наиболее общих подходов к решению задачи поиска экстремума (локального максимума или минимума) функции при наличии связующих ограничений на ее переменные (или, как еще говорят, задачи условной оптимизации) является метод Лагранжа. Многим читателям он должен быть известен из курса дифференциального исчисления. Идея данного метода состоит в сведении задачи поиска целевой функции:

На множестве допустимых значения D, описываемом системой уравнений:

К задаче безусловной оптимизации функции:

Где:

u Rm - вектор дополнительных переменных, называемых множителями Лагранжа.

Функцию Ф, где x Rn, u Rn, называют функцией Лагранжа. Поскольку она непосредственно относится к предмету математического анализа, приведем ее без доказательства.

Теорема 1.1. Если х* является точкой условного экстремума функции (1.3) при ограничениях (1.4) и ранг матрицы первых частных производных функций

Равен т, то существуют такие и1*, и2, иm*, не равные одновременно нулю, при которых:

Из теоремы (1.1) вытекает метод поиска условного экстремума, получивший название метода множителей Лагранжа, или просто метода Лагранжа. Он состоит из следующих этапов.

1. Составление функции Лагранжа Ф (х,и).

2. Нахождение частных производных:

3. Решение системы уравнений:

Относительно переменных x и u.

4. Исследование точек, удовлетворяющих системе (1.7), на максимум (минимум) с помощью достаточного признака экстремума.

Присутствие последнего (четвертого) этапа объясняется тем, что теорема (1.1) дает необходимое, но не достаточное условие экстремума. Положение дел с достаточными признаками условного экстремума обстоит гораздо сложнее.

Вообще говоря, они существуют, но справедливы для гораздо более частных ситуаций (при весьма жестких предпосылках относительно функций f и gi) и, как правило, трудно применимы на практике.

Еще раз подчеркнем, что основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной и, соответственно, расширить арсенал доступных средств решения проблемы. Однако нетрудно заметить, что задача решения системы уравнений (1.7), к которой сводится данный метод, в общем случае не проще исходной проблемы поиска экстремума (1.3) - (1.4). Методы, подразумевающие такое решение, называются непрямыми. Они могут быть применены для весьма узкого класса задач, для которых удается получить линейную или сводящуюся к линейной систему уравнений (1.7). Их применение объясняется необходимостью получить решение экстремальной задачи в аналитической форме (допустим, для тех или иных теоретических выкладок). При решении конкретных практических задач обычно используются прямые методы, основанные на итеративных процессах вычисления и сравнения значений оптимизируемых функций.

Градиентные методы решения задач безусловной оптимизации. Ведущее место среди прямых методов решения экстремальных задач занимает градиентный метод (точнее, семейство градиентных методов) поиска стационарных точек дифференцируемой функции. Напомним, что стационарной называется точка, в которой:

f * (x) = 0

И которая в соответствии с необходимым условием оптимальности является «подозрительной» на наличие локального экстремума. Таким образом, применяя градиентный метод, находят множество точек локальных максимумов (или минимумов), среди которых определяется максимум (или минимум) глобальный.

Идея данного метода основана на том, что градиент функции указывает направление ее наиболее быстрого возрастания в окрестности той точки, в которой он вычислен.

Поэтому, если из некоторой текущей точки х(1) перемещаться в направлении вектора:

f * (x (1))

То функция f будет возрастать, по крайней мере, в некоторой окрестности х1. Следовательно, для точки:

х*(2) = х*(1) + лf * (x(1))

- лежащей в такой окрестности, справедливо неравенство:

f * (x (1)) ? f * (x (2))

Продолжая этот процесс, мы постепенно будем приближаться к точке некоторого локального максимума.

Однако как только определяется направление движения, сразу же встает вопрос о том, как далеко следует двигаться в этом направлении или, другими словами, возникает проблема выбора шага л в рекуррентной формулe:

Задающей последовательность точек, стремящихся к точке максимума.

В зависимости от способа ее решения различают различные варианты градиентного метода. Остановимся на наиболее известных из них.

Метод наискорейшего спуска.

Название метода можно было бы понимать буквально, если бы речь шла о минимизации целевой функции. Тем не менее по традиции такое название используется и при решении задачи на максимум.

Пусть:

f * (x) = f * (x1,x1,...xn)

-дифференцируемая функция, заданная на Rn:

а * х * (q) = (x1 * (q), x2(q), ..., xn * (q))

- некоторая текущая точка. Оговоримся, что каких-либо общих рекомендаций, касающихся выбора исходной точки (или, как еще говорят, начального приближения) х(0), не существует, однако по возможности она должна находиться близко от искомого оптимального плана х*. Как уже говорилось выше, если х(q) - нестационарная точка:

* |f * (x(q)) | >0

То при движении в направлении f и функция f(х) на некотором промежутке обязательно будет возрастать. Отсюда возникает естественная идея такого выбора шага, чтобы движение в указанном направлении продолжалось до тех пор, пока возрастание не прекратится. Для этого выразим зависимость значения f(x) от шагового множителя л > 0. полагая:

х = х * (q) + лf * (x(q))

Или, в координатной форме:

Чтобы добиться наибольшего из возможных значений f при движении по направлению f, нужно выбрать такое значение , которое максимизирует функцию:

ц(л) * (ц() = max * (ц(л))

Для вычисления , используется необходимое условие экстремума:

dц * (л) / dл = 0

Заметим, что если для любого:

л > 0 * dц * () / dл > 0

То функция f(х) не ограничена сверху. В противном случае, получаем:

Что, в свою очередь, дает:

Если считать, что следующая точка:

х * (q+1)

- соответствует оптимальному значению л=, то в ней должно выполняться условие:

dц * () / dл = 0

И следует находить из условия:

f * (x * (q+1)) * f * (x * (q)) = 0

Или:

Условие (1.13) означает равенство нулю скалярного произведения градиентов функции f точках:

x * (q+1) * x(q)

Геометрически оно может быть интерпретировано как перпендикулярность векторов градиентов функции f в указанных точках, что и показано на рис. Продолжая геометрическую интерпретацию метода наискорейшего спуска, отметим, что в точке x вектор f, будучи градиентом, перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку. Стало быть, вектор f является касательным к этой линии. Итак, движение в направлении градиента f следует продолжать до тех пор, пока он пересекает линии уровня оптимизируемой функции.

После того как точка x найдена, она становится текущей для очередной итерации. На практике признаком достижения стационарной точки служит достаточно малое изменение координат точек, рассматриваемых на последовательных итерациях. Одновременно с этим координаты вектора:

Дf * (x * (q))

Должны быть близки к нулю.

Метод дробления шага.

Для нахождения шага л в методе наискорейшего спуска требуется решить уравнение (1.13), которое может оказаться достаточно сложным. Поэтому часто ограничиваются «подбором» такого значения л, что:

ц * (л) > ц * (0)

Для этого задаются некоторым начальным значением л1, и проверяют условие ц(л1) >ц(0). Если оно не выполняется, то полагают:

л2 = 1 / 2 л1

До тех пор, пока не удается найти подходящий шаг, с которым переходят к следующей точке x. Критерий завершения алгоритма, очевидно, будет таким же, как и в методе наискорейшего спуска.

Оптимизационные задачи для выпуклых функций. Общим недостатком рассмотренных выше методов безусловной оптимизации было, с одной стороны, то, что они позволяют отыскивать только точки, подозрительные на локальный экстремум, а с другой - то, что найденные решения могут существенно зависеть от начального приближения. Поиск глобального оптимума подразумевает перебор найденных точек, который, в случае градиентных методов, может быть осуществлен за счет подбора соответствующих начальных приближений х(0).

Однако существует один класс функций, для которых градиентные методы приводят к нахождению глобального оптимума. Это выпуклые функции. Выполняется неравенство:

Если же:

То функция называется вогнутой.

Геометрический смысл понятий выпуклости и вогнутости для случая функции одной переменной представлен на рис. 1.3. Из него, в частности, видно, что график выпуклой функции лежит ниже отрезка, соединяющего точки х, а график вогнутой - выше.

Можно доказать, что достаточным условием выпуклости функции f, является положительная определенность матрицы:

Называемой также матрицей Гессе, во всех точках х D. Соответственно, достаточным условием вогнутости является отрицательная определенность матрицы Гессе.

В частности, для функций одной переменной достаточным условием выпуклости (вогнутости) является выполнение неравенства:

fn * (x) ? 0 * (fn * (x) ? 0)

Как следует из геометрической интерпретации, для выпуклой функции локальный экстремум, если он существует, совпадает с глобальным. Справедлива теорема.

Теорема 1.2 - Если f(x) выпуклая (вогнутая) на Rn функция х* - точка глобального минимума (максимума).

Доказательство.

Доказательство достаточно провести для случая вогнутой функции, т. к. для противоположного случая оно будет абсолютно аналогичным с точностью до знака. Пусть х - произвольная точка, отличная от точки х*. Тогда, для любого л [0,1], в силу вогнутости функции f(x) будет выполняться:

Из чего следует:

Если ввести вектор:

l = х - х*

И обозначить:

Дх = л * (x - х*) = лl

То длина вектора Дх будет равна:

||Дx|| = л * ||l||

Следовательно:

Устремив л - 0 и учитывая, что вектор l направлен с Дх, получим:

По условию теоремы f(x*)=0. Это означает, что для любого вектора l (а, стало быть, для любой точки х) согласно формуле, выражающей производную по направлению через градиент:

Следовательно, для любой точки х, не равной х*, справедливо неравенство:

f * (x) - f * (x) ? 0 <=> f * (x) ? f * (x*)

Т. е. х* - точка глобального максимума. A.

Поскольку выпуклые функции обладают столь «полезными» оптимизационными качествами, они занимают исключительно важное место в теории исследования операций. Соответствующий раздел получил название выпуклого программирования, а общая задача выпуклого программирования формулируется как проблема поиска максимума вогнутой (минимума выпуклой) функции на выпуклом множестве.

Метод допустимых направлений. Данный метод также называется методом возможных направлений или же по имени автора - методом Зойтендейка. Его основную идею будет удобно продемонстрировать на примере ЗНП с ограничениями в форме неравенств:

В указанном методе так же, как и в градиентных методах, находится последовательность точек х0, х1, хq, таких, что:

f * (х * (q+1)) ? f * (x(q))*

При этом переход от точки x(q)) к точке х, происходит по некоторому выбранному направлению s(q) с шаговым множителем лq:

Так как в данных методах при переходе к очередной рассматриваемой точке происходит улучшение значения целевой функции (в частности, для задачи минимизации - уменьшение), их также называют релаксационными методами.

По отношению к векторам, задающим направления перемещения, вводятся два фундаментальных понятия.

Направление s называется допустимым (возможным) в точке D, если существует такое л > 0, что:

x * (q+1) = x * (q) + лs * D

Направление s называется прогрессивным в точке xD, если существует такое л >0, что:

f * (x * (q) + лs) > > f * (x * (q))

Для задачи максимизации и:

f * (x * (q) + лs) < f * (x * (q))

Для задачи минимизации.

На основе данных определений достаточно просто сформулировать критерий проверки оптимальности точки (так называемый критерий оптимальности в терминах допустимых и прогрессивных направлений):

- точка х* является оптимальным планом задачи (1.16), если в ней ни одно допустимое направление не является прогрессивным.

В алгоритме метода допустимых направлений правила выбора точки х, к которой происходит очередной переход, различаются в зависимости от того, где находится текущая точка хq. Принципиально возможны две ситуации.

1. Точка хq лежит внутри области D, т. е. для всех:

i * 1: m * gi * (х * (q)) < 0

Очевидно, что для внутренней точки любое направление будет допустимым, поэтому естественным представляется движение в сторону «гарантированного» возрастания значения функции, а именно в направлении градиента. Значит, для внутренней точки хq целесообразно выбрать:

s * (q) = f * (х * (q))

Шаговый множитель лq выбирается так, чтобы, с одной стороны, новая точка х принадлежала D, а с другой - значение целевой функции в ней (q+1) было как можно большим.

С этой целью сначала найдем промежуток [0, ] из условия:

для чего необходимо решить систему неравенств:

Зная промежуток [0, ], определяем значение шагового множителя лq из условия максимизации значения функции в направлении s(q):

Вновь найденная точка х может находиться или внутри области D, или на ее границе.

2. Точка q находится на границе области. Это означает, что одно или несколько неравенств из системы ограничений задачи (2.16) выполняются как строгие равенства:

gi * (x * (q)) = 0

Например:

g1 * (x * (q)) = 0

g3 * (x * (q)) = 0

Ограничение, которое в текущей точке выполняется как равенство, называют активным.

Множество номеров активных ограничений в точке x будем обозначать как I.

Также из рисунка видно, что все допустимые направления, исходящие из точки x, должны образовывать тупые углы с векторами градиентов функций, задающих активные ограничения в данной точке.

Последнее условие может быть выражено через задание ограничений на значения скалярных произведений вектора направления s на градиенты функции ограничений:

Где:

Iл - множество номеров индексов линейных ограничений;

Iн - множество номеров индексов нелинейных ограничений.

Соответственно:

I * (x * (q)) ? Iл

- номера линейных активных ограничений, а номера нелинейных активных ограничений. Отличие условий заключается в том, что в случае линейного ограничения направление, образующее прямой угол с градиентом ограничивающей функции, будет заведомо допустимым, а в случае нелинейного ограничения - возможно, нет. Все возможные направления в точке x образуют так называемый конус допустимых направлений, и из них для следующего перехода, очевидно, нужно выбрать прогрессивное. Если такового не существует, то согласно сформулированному выше критерию точка x является оптимальной! Для ускорения максимизации функции желательно, чтобы угол между искомым допустимым прогрессивным направлением s и градиентом целевой функции:

?f * (x * (q))

Был как можно меньше или, что то же самое, как можно большей была бы проекция s (при условиях нормировки вектора s). Иными словами, желательно, чтобы неравенство:

s * (q) * ?f * (x * (q)) + у ? 0

Выполнялось при минимально возможном уR. Тогда задачу отыскания наилучшего допустимого прогрессивного направления s можно свести к задаче минимизации параметра у:

При условиях:

s * 12 + s * 22 +... + sn * 2 ? l

- условие нормировки, обеспечивающее ограниченность решения; ф - некоторое достаточно малое число, характеризующее «строгость» выполнения неравенств.

В отличие от всех остальных, последнее условие в системе (1.23) является нелинейным, что существенно усложняет процесс решения задачи (1.22)-(1.23). Поэтому на практике для определения направления s переходят от данной задачи к задаче линейного программирования путем замены указанных выше условий нормировки на ограничения:



После того как прогрессивное направление s найдено, шаговый множитель определяется по методу, описанному в п. 1.

В заключение отметим, что при практических расчетах алгоритм завершается при достижении такой точки х*, в которой:

|?f * (x*) | < е

Где:

е -достаточно малое число.

Представляется полезным обратить внимание читателя и на то, что применяемый для решения задач линейного программирования симплекс-метод может быть рассмотрен как частный случай метода допустимых направлений. В частности, этап выбора столбца, вводимого в очередной базис, соответствует определению допустимого прогрессивного направления. Более подробно о такой концепции симплекс-метода можно прочесть в 1.

Пример решения ЗНП методом допустимых направлений. Рассмотрим процесс применения метода допустимых направлений на конкретном примере. Пусть дана ЗНП:

Итерация 1. В качестве начального приближения возьмем точку х1.

Нетрудно заметить, что она удовлетворяет системе неравенств (1.27), все неравенства выполняются как строгие, т. е. множество индексов активных ограничений:

I * (х * (1)) = ?

Следовательно, в х1 любое направление является допустимым, и нам остается определить, с каким шагом л1 можно двигаться вдоль градиента целевой функции:

s * (1) = ?f * (x * (1)) = (1, 1)

Система неравенств типа (1.18), из решения которых определяется интервал допустимых значений для л, для данной задачи примет вид:

Тогда:

Достигается при 1 = 3. Отсюда получаем следующую точку:

Итерация 2. Путем подстановки координат точки x2 в (1.27) определим множество активных ограничений в точке x2:

I * (x * (2)) = {2}

Соответственно, задача (1.24) - (1.25), которую требуется решить для определения допустимого прогрессивного направления s(2) с учетом, что:

В данном случае оптимальный план ЗЛП находится довольно просто и равен:

у * s1 * s2 * = -1 * 1 * 0

Отбросив дополнительную переменную у, получаем вектор s2, т. е. очередная точка будет определяться как:

Действуя по аналогии с предыдущей итерацией, для определения промежутка допустимых значений шагового множителя л составляем систему неравенств (1.18):



Окончательно имеем л [0; 1].

Тогда:

Достигается при 2=1.

Отсюда получаем следующую точку x3.

Итерация 3. В точке x3 множество активных ограничений будет иметь вид:

I * (x * (3)) = {1,2}

Найдем значения градиентов:

?f * (x * (3)) = (1, 1)

?g1 * (x * (3)) = (2x1 * 3)

2x2 * (3) = (8, 6)

?g2 * (x * (2)) = (0,1)

Задача определения допустимого прогрессивного направления (1.24)-(1.25) будет иметь вид:



Значение ф из практических соображении следует брать достаточно малым, например ф = 0,001.

Опуская решение данной задачи, приведем интересующие нас компоненты ее оптимального плана: s3. Итак, не существует прогрессивного направления, исходящего из точки х3.

Таким образом, оптимальный план рассматриваемой задачи х*, а максимальное значение целевой функции:

f* = х1 * (3) + х2 * (3) = 7

Графическая иллюстрация проведенного процесса решения представлена графически на рис. 1.6.

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Задание практической части курсовой работы.

Управление работой доменной печи, её производительностью требует исследования факторов, влияющих на уровень производительности. Среди этих факторов должны быть учтены как технологические параметры процесса, так и состав шихты.

Статистика наблюдений суточной производительности доменной печи и пяти показателей, которые могут оказывать на неё влияние, приведена в табл.

Необходимо проанализировать взаимосвязь производительности и трёх факторов.

Набор факторов для анализа определяется номером варианта (номером фамилии студента в списке группы). Ниже указан перечень факторов, которые должны быть рассмотрены в варианте №15.

Таблица:

Номер фамилии студента в списке группы	Номера факторов для анализа
5,15,25	1, 3, 5

Необходимо выяснить наличие или отсутствие парных связей производительности и каждого из трёх факторов; при наличии связи установить её форму. Проверить наличие мультиколлинеарности факторов. Построить множественную регрессионную модель. Оценить качество полученного уравнения регрессии.

Таблица:

Номер наблюдения	Суточная производительность, т/сут, y	Содержание железа в шихте, %, x1	Давление дутья, атм. x2	Содержание кремния в чугуне, % x3
1	2596,9	45,4	2,67	0,886
2	2593,9	46,08	2,698	0,9
3	2504,2	42,24	2,64	0,882
4	2517,8	46,3	2,72	0,96
5	2581,6	47,69	2,69	0,938
6	2633,8	47,47	2,7	0,866
7	2457,1	46,31	2,69	0,977
8	2641	47,02	2,69	0,955
9	2579,3	45,67	2,71	0,827
10	2593	45,7	2,72	0,87
11	2586,5	46,91	2,71	0,966
12	2599,1	46,28	2,74	0,92
13	2591,1	46,02	2,73	0,92
14	2664	46,83	2,71	0,866
15	2673,3	48,43	2,63	1,006
16	2595	47,15	2,71	1,086
17	2596,8	45,87	2,72	0,913
18	2620,5	46,57	2,75	0,884
19	2505,2	45,57	2,81	0,908
20	2590,8	44,14	2,86	0,925
21	2607,8	46,06	2,85	0,876
22	2475,1	43,72	2,83	1,03
23	2669,1	44,47	2,86	0,951
24	2624,2	44,03	2,86	0,934
25	2520,4	44	2,81	0,984
26	2646,1	44,34	2,74	0,917
27	2671,6	45,06	2,78	0,855
28	2636	44,93	2,79	0,852
29	2611,9	45,61	2,81	0,877
30	2599	45,4	2,8	0,85
31	2413,4	45,1	2,74	1,159
32	2693,5	47,11	2,79	0,844
33	2689	47,31	2,79	0,911
34	2689,2	46,9	2,79	0,922
35	2638	47,6	2,78	0,961
36	2673,8	47,4	2,79	0,964
37	2629,9	47,2	2,77	1,022
38	2586,9	45,1	2,79	0,892
39	2652,8	46,8	2,79	0,871
40	2601,4	48,2	2,65	0,92
41	2733,3	47,6	2,78	0,856
42	2738	49,1	2,78	0,867
43	2705,3	46,7	2,79	0,932
44	2595	44,3	2,78	0,969
45	2563,7	44,8	2,76	0,964
46	2509,1	46	2,76	0,964
47	2577,8	45,2	2,76	0,991
48	2538,2	46,6	2,69	1,09
СУММА	125010,4	2210,29	132,208	44,68
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ	2604,383333	46,04770833	2,754333333	0,930833333
КВАДРАТ СРЕДНЕГО	6782812,547	2120,391443	7,586352111	0,866450694

Необходимые величины для последующих расчетов на основе данных таблице выше, приведены в таблицы ниже.

Таблица:

Номер наблюдения	y2	x12	x22	x32
1	6743889,61	2061,16	7,1289	0,784996
2	6728317,21	2123,3664	7,279204	0,81
3	6271017,64	1784,2176	6,9696	0,777924
4	6339316,84	2143,69	7,3984	0,9216
5	6664658,56	2274,3361	7,2361	0,879844
6	6936902,44	2253,4009	7,29	0,749956
7	6037340,41	2144,6161	7,2361	0,954529
8	6974881	2210,8804	7,2361	0,912025
9	6652788,49	2085,7489	7,3441	0,683929
10	6723649	2088,49	7,3984	0,7569
11	6689982,25	2200,5481	7,3441	0,933156
12	6755320,81	2141,8384	7,5076	0,8464
13	6713799,21	2117,8404	7,4529	0,8464
14	7096896	2193,0489	7,3441	0,749956
15	7146532,89	2345,4649	6,9169	1,012036
16	6734025	2223,1225	7,3441	1,179396
17	6743370,24	2104,0569	7,3984	0,833569
18	6867020,25	2168,7649	7,5625	0,781456
19	6276027,04	2076,6249	7,8961	0,824464
20	6712244,64	1948,3396	8,1796	0,855625
21	6800620,84	2121,5236	8,1225	0,767376
22	6126120,01	1911,4384	8,0089	1,0609
23	7124094,81	1977,5809	8,1796	0,904401
24	6886425,64	1938,6409	8,1796	0,872356
25	6352416,16	1936	7,8961	0,968256
26	7001845,21	1966,0356	7,5076	0,840889
27	7137446,56	2030,4036	7,7284	0,731025
28	6948496	2018,7049	7,7841	0,725904
29	6822021,61	2080,2721	7,8961	0,769129
30	6754801	2061,16	7,84	0,7225
31	5824499,56	2034,01	7,5076	1,343281
32	7254942,25	2219,3521	7,7841	0,712336
33	7230721	2238,2361	7,7841	0,829921
34	7231796,64	2199,61	7,7841	0,850084
35	6959044	2265,76	7,7284	0,923521
36	7149206,44	2246,76	7,7841	0,929296
37	6916374,01	2227,84	7,6729	1,044484
38	6692051,61	2034,01	7,7841	0,795664
39	7037347,84	2190,24	7,7841	0,758641
40	6767281,96	2323,24	7,0225	0,8464
41	7470928,89	2265,76	7,7284	0,732736
42	7496644	2410,81	7,7284	0,751689
43	7318648,09	2180,89	7,7841	0,868624
44	6734025	1962,49	7,7284	0,938961
45	6572557,69	2007,04	7,6176	0,929296
46	6295582,81	2116	7,6176	0,929296
47	6645052,84	2043,04	7,6176	0,982081
48	6442459,24	2171,56	7,2361	1,1881
СУММА	325801431,2	101867,9641	364,300304	41,811308
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ	6787529,818	2122,249252	7,589589667	0,871068917

Таблица:

Номер наблюдения	x1*y	x2*y	x3*y	x1*x2	x2*x3	x3*x1
1	117899,26	6933,723	2300,8534	121,218	2,36562	40,2244
2	119526,912	6998,3422	2334,51	124,3238	2,4282	41,472
3	105777,408	6611,088	2208,7044	111,5136	2,32848	37,25568
4	116574,14	6848,416	2417,088	125,936	2,6112	44,448
5	123116,504	6944,504	2421,5408	128,2861	2,52322	44,73322
6	125026,486	7111,26	2280,8708	128,169	2,3382	41,10902
7	113788,301	6609,599	2400,5867	124,5739	2,62813	45,24487
8	124179,82	7104,29	2522,155	126,4838	2,56895	44,9041
9	117796,631	6989,903	2133,0811	123,7657	2,24117	37,76909
10	118500,1	7052,96	2255,91	124,304	2,3664	39,759
11	121332,715	7009,415	2498,559	127,1261	2,61786	45,31506
12	120286,348	7121,534	2391,172	126,8072	2,5208	42,5776
13	119242,422	7073,703	2383,812	125,6346	2,5116	42,3384
14	124755,12	7219,44	2307,024	126,9093	2,34686	40,55478
15	129467,919	7030,779	2689,3398	127,3709	2,64578	48,72058
16	122354,25	7032,45	2818,17	127,7765	2,94306	51,2049
17	119115,216	7063,296	2370,8784	124,7664	2,48336	41,87931
18	122036,685	7206,375	2316,522	128,0675	2,431	41,16788
19	114161,964	7039,612	2274,7216	128,0517	2,55148	41,37756
20	114357,912	7409,688	2396,49	126,2404	2,6455	40,8295
21	120115,268	7432,23	2284,4328	131,271	2,4966	40,34856
22	108211,372	7004,533	2549,353	123,7276	2,9149	45,0316
23	118694,877	7633,626	2538,3141	127,1842	2,71986	42,29097
24	115543,526	7505,212	2451,0028	125,9258	2,67124	41,12402
25	110897,6	7082,324	2480,0736	123,64	2,76504	43,296
26	117328,074	7250,314	2426,4737	121,4916	2,51258	40,65978
27	120382,296	7427,048	2284,218	125,2668	2,3769	38,5263
28	118435,48	7354,44	2245,872	125,3547	2,37708	38,28036
29	119128,759	7339,439	2290,6363	128,1641	2,46437	39,99997
30	117994,6	7277,2	2209,15	127,12	2,38	38,59
31	108844,34	6612,716	2797,1306	123,574	3,17566	52,2709
32	126890,785	7514,865	2273,314	131,4369	2,35476	39,76084
33	127216,59	7502,31	2449,679	131,9949	2,54169	43,09941
34	126123,48	7502,868	2479,4424	130,851	2,57238	43,2418
35	125568,8	7333,64	2535,118	132,328	2,67158	45,7436
36	126738,12	7459,902	2577,5432	132,246	2,68956	45,6936
37	124131,28	7284,823	2687,7578	130,744	2,83094	48,2384
38	116669,19	7217,451	2307,5148	125,829	2,48868	40,2292
39	124151,04	7401,312	2310,5888	130,572	2,43009	40,7628
40	125387,48	6893,71	2393,288	127,73	2,438	44,344
41	130105,08	7598,574	2339,7048	132,328	2,37968	40,7456
42	134435,8	7611,64	2373,846	136,498	2,41026	42,5697
43	126337,51	7547,787	2521,3396	130,293	2,60028	43,5244
44	114958,5	7214,1	2514,555	123,154	2,69382	42,9267
45	114853,76	7075,812	2471,4068	123,648	2,66064	43,1872
46	115418,6	6925,116	2418,7724	126,96	2,66064	44,344
47	116516,56	7114,728	2554,5998	124,752	2,73516	44,7932
48	118280,12	6827,758	2766,638	125,354	2,9321	50,794
СУММА	5758655	344355,8552	116253,7543	6086,763	123,0414	2057,302
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ	119971,9792	7174,080317	2421,953215	126,8076	2,563362	42,86046

Рассчитаем парные коэффициенты корреляции между результативным показателем и каждым независимым фактором, а так же коэффициенты корреляции между факторами для исключения мультиколлинеарности.

r_ij = (x_iy - x_i * y)/(Sx_i * Sy)

Sx_i= v x_i² - (x_i)²

S_y= v y² - (y)²

Sx₁ = v 2122,249252- 2120,391443 = 1,363;

Sу = v 6787529,818- 6782812,547 = 68,68238898;

ryx₁ = 0,492388932 средняя умеренная связь, прямая.

Sx₂ = v 7,589589667 - 7,586352111 = 0,056899522;

Sу = 68,68238898;

ryx₂ = 0,189480507 связь слабая (практически отсутствует), прямая.

Sx₃ = v 0,871068917 - 0,866450694 = 0,067957503;

Sу = 68,68238898;

ryx₃ = -0,491400727 связь средняя, умеренная, обратная.

rх_ix_j = (x_iх_j - x_i * х_j)/(Sx_i * Sх_j)

Sx₁ = v 2122,249252- 2120,391443 = 1,363;

Sx₂ = v 7,589589667 - 7,586352111 = 0,056899522;

Sx₃ = v 0,871068917 - 0,866450694 = 0,067957503;

rx₁x₂ = -0,298789277;

rx₂x₃ = -0,11989686;

rx₃x₁ = -0,02468418.

Далее проверим значимость полученных коэффициентов корреляции по приведенной ниже формуле расчета t-статистики.

(0,05;46) = 2,0129.

Для ryx₁:

t_набл = (0,492388932 * v46)/(v1-0,492388932) = 3,836901465, нулевая гипотеза отвергается , коэффициент значим.

Для ryx₂:

t_набл = (0,189480507 * v46)/(v1-0,035902863) = 1,308829448, нулевая гипотеза принимается, коэффициент не значим.

Для ryx₃:

t_набл = (-0,491400727 * v46)/(v1-0,241474674) = -3,826746267, нулевая гипотеза отвергается, коэффициент значим.

Сделав отбор только тех факторных признаков, которые значимо влияют на результативный, получим регрессионные модели следующего вида:

y1 = а₀ +а₁х₁

y2 = а₀ +а₁х₃

Мы исключили давление дутья, атм.

Далее построим уравнение регрессии для зависимого показателя и отобранного фактора. Для этого, для начала, рассчитаем коэффициенты регрессии.

Для фактора x1:

na₀ + a₁?x_i = ?y_i

a₀?x_i + a₁?x_i² = ?(x_iy_i)

48 + 221029а₁ = 125010;

221029 + 101867б9641 = 5758655.

На корреляционном поле данная модель регрессии будет выглядеть следующим образом:

Для фактора x3:

na₀ + a₁?x_i = ?y_i

a₀?x_i + a₁?x_i² = ?(x_iy_i)

48* a₀ + a₁* 44,68 = 125010,4 /48

a₀*44,68 + a₁* 41,811308= 116253,7543 / 48

a₀ + a₁*0,93 = 2604,38

a₀*0,93 + 0,87*a₁=2421,95

a₀ = 2604,38 - 0,93* a₁

0,93*(2604,38 - 0,93* a₁) + 0,87*a₁ = 2421,95

0,0051* a₁ = -0,1234

a₀ = 2604,38 + 0,93*24,2.

Тогда уравнение регрессии примет вид:

y = 2626,886 - 24,2 * x3

Наблюдаем обратную связь. На корреляционном поле данная модель регрессии будет выглядеть следующим образом:

Проверим значимость уравнений регрессии. Для этого рассчитаем коэффициент детерминации и проведем для него расчет F-статистики.

Для регрессии линейной парной коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента линейной корреляции.

Для:

y = 2492,018 + 2,44 * x

R² = 0,491400727² = 0,241474674.

Коэффициент детерминации показывает, насколько результативный признак зависит от анализируемых признаков.

Из этого следует, что результативные признаки практически не зависят от факторного признака.

Таблица:

yi	yi^	(yi-yi^)2	(yi^)2
2596,9	2602,794	34,739236	6774536,606
2593,9	2604,4532	111,3700302	6783176,471
2504,2	2595,0836	8259,828749	6734458,891
2517,8	2604,99	7602,0961	6785972,9
2581,6	2608,3816	717,2540986	6803654,571
2633,8 ...

Подобные документы

• Экономико-математические модели

  Основные понятия и типы моделей, их классификация и цели создания. Особенности применяемых экономико-математических методов. Общая характеристика основных этапов экономико-математического моделирования. Применение стохастических моделей в экономике.
  
  реферат [91,1 K], добавлен 16.05.2012
  

• Классификация экономико-математических методов и моделей

  Теоретические основы экономико-математических методов. Этапы принятия решений. Классификация задач оптимизации. Задачи линейного, нелинейного, выпуклого, квадратичного, целочисленного, параметрического, динамического и стохастического программирования.
  
  курсовая работа [2,3 M], добавлен 07.05.2013
  

• Применение экономико-математических методов в экономике

  Открытие и историческое развитие методов математического моделирования, их практическое применение в современной экономике. Использование экономико-математического моделирования на всей уровнях управления по мере внедрения информационных технологий.
  
  контрольная работа [22,4 K], добавлен 10.06.2009
  

• Методы математического моделирования экономики

  Основы составления, решения и анализа экономико-математических задач. Состояние, решение, анализ экономико-математических задач по моделированию структуры посевов кормовых культур при заданных объемах животноводческой продукции. Методические рекомендации.
  
  методичка [55,1 K], добавлен 12.01.2009
  

• ЭММ и М

  Предмет экономико-математического моделирования, цель разработки экономико-математических методов. Для условной экономики, состоящей из трех отраслей, за отчетный период известны межотраслевые потоки и вектор конечного использования продукции.
  
  контрольная работа [71,0 K], добавлен 14.09.2006
  

• Экономико-математические модели задач о смесях на примере СПК "Родина"

  Теоретические основы экономико-математических задач о смесях. Принципы построения и структура интегрированной системы экономико-математических моделей. Организационно-экономическая характеристика и технико-экономические показатели работы СПК "Родина".
  
  курсовая работа [66,6 K], добавлен 01.04.2011
  

• Моделирование экономики

  История развития экономико-математических методов. Математическая статистика – раздел прикладной математики, основанный на выборке изучаемых явлений. Анализ этапов экономико-математического моделирования. Вербально-информационное описание моделирования.
  
  курс лекций [906,0 K], добавлен 12.01.2009
  

• Расчет оптимизационных моделей

  Особенности формирования и способы решения оптимизационной задачи. Сущность экономико-математической модели транспортной задачи. Характеристика и методика расчета балансовых и игровых экономико-математических моделей. Свойства и признаки сетевых моделей.
  
  практическая работа [322,7 K], добавлен 21.01.2010
  

• Оптимизация параметров объекта управления "Научно-производственный центр газотурбостроения "Салют" путем количественного экономико-математического моделирования

  Применение методов оптимизации для решения конкретных производственных, экономических и управленческих задач с использованием количественного экономико-математического моделирования. Решение математической модели изучаемого объекта средствами Excel.
  
  курсовая работа [3,8 M], добавлен 29.07.2013
  

• Исследование операций в экономике

  Графическое решение задач линейного программирования. Решение задач линейного программирования симплекс-методом. Возможности практического использования математического программирования и экономико-математических методов при решении экономических задач.
  
  курсовая работа [105,5 K], добавлен 02.10.2014
  

• Методика математического моделирования программы развития сельскохозяйственного предприятия

  Классификация экономико-математических моделей. Использование алгоритма последовательных приближений при постановке экономических задач в АПК. Методики моделирования программы развития сельскохозяйственного предприятия. Обоснование программы развития.
  
  курсовая работа [244,3 K], добавлен 05.01.2011
  

• Экономико-математическое моделирование как способ изучения хозяйственной деятельности

  Сущность и содержание метода моделирования, понятие модели. Применение математических методов для прогноза и анализа экономических явлений, создания теоретических моделей. Принципиальные черты, характерные для построения экономико-математической модели.
  
  контрольная работа [141,5 K], добавлен 02.02.2013
  

• Изучение экономико-математических методов и их применения в управленческом учете

  Общая характеристика и классификация экономико-математических методов. Стохастическое моделирование и анализ факторных систем хозяйственной деятельности. Балансовые методы и модели в анализе связей внутризаводских подразделений, в расчетах и цен.
  
  курсовая работа [200,8 K], добавлен 16.06.2014
  

• Применение методов экономико-математического моделирования

  Экономико-математическое моделирование как метод научного познания, классификация его процессов. Экономико-математическое моделирование транспортировки нефти нефтяными компаниями на примере ОАО "Лукойл". Моделирование личного процесса принятия решений.
  
  курсовая работа [770,1 K], добавлен 06.12.2014
  

• Решение экономических задач оптимизационного типа

  Исследование методики построения модели и решения на ЭВМ с ее помощью оптимизационных экономико-математических задач. Характеристика программных средств, позволяющих решать такие задачи на ЭВМ. Определение оптимального варианта производства продукции.
  
  лабораторная работа [79,3 K], добавлен 07.12.2013
  

• Исследование моделей

  Линейная регрессивная модель. Степенная регрессивная модель. Показательная регрессивная модель. Регрессивная модель равносторонней гиперболы. Преимущества математического подхода. Применение экономико-математических методов и моделей.
  
  курсовая работа [31,6 K], добавлен 05.06.2007
  

• Особенности экономико-математического моделирования

  Понятие и сущность производственной функции и изокванты. Классификация товаров на основе прямой и перекрестной эластичности. Характеристика моделей и задач оптимального управления запасами предприятия. Анализ соотношения между доверительными интервалами.
  
  контрольная работа [1,0 M], добавлен 23.11.2010
  

• Построение экономической модели с использованием симплекс-метода

  Математическое моделирование как теоретико-экспериментальный метод позновательно-созидательной деятельности, особенности его практического применения. Основные понятия и принципы моделирования. Классификация экономико-математических методов и моделей.
  
  курсовая работа [794,7 K], добавлен 13.09.2011
  

• Основные понятия и методы экономико-математического моделирования

  Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике.
  
  реферат [431,4 K], добавлен 11.02.2011
  

• Исследование операций, методы оптимизации

  Построение экономических и математических моделей принятия решений в условиях неопределенности. Общая методология оптимизационных задач, оценка преимуществ выбранного варианта. Двойственность и симплексный метод решения задач линейного программирования.
  
  курс лекций [496,2 K], добавлен 17.11.2011
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам