Модели анализа и прогнозирования производственных и социально-экономических систем

Размещено на http://www.allbest.ru

Задание 1

Для 7 семей имеются данные о потреблении некоторого продукта Х (тыс. дол.) и среднедушевом доходе Y (тыс. дол.).

Показатели

1. Определить параметры a и b квадратичной регрессии y ? = a+b*x².

2. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

3. Определить с помощью среднего коэффициента эластичности силу влияния фактора на результат и оцените с помощью средней ошибки аппроксимации качество управления.

4. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента при а=0,005.

5. Оценить статистическую значимость построенной модели линейной регрессии с помощью F- критерия Фишера.

Решение.

Для удобства составим таблицу.

Месяцы продукт (тыс. долл.) среднедушевой доход (тыс. долл.)

Проведем расчеты для регрессии. Составим таблицу расчетов 1.

b=(8.566-1.243*5.114)/13.1412=0.1381, a=0.38.

Линейное уравнение регрессии примет вид: =0,383+0,168х, т.е. при возрастании среднедушевого дохода потребление возрастает в среднем на 0,1681 тыс. руб.

2. Рассчитаем коэффициент корреляции:

0,168*(3,625/2,95)=0,2060.

Так как значение коэффициента корреляции то связь между признаком у и фактором х является связью средней тесноты.

Рассчитаем коэффициент детерминации:

R2=r2yx=0.043.

Так как R2 = 0,0427 то можно сказать, что 4,3 % результата объясняется вариацией объясняющей переменной. Это плохой результат.

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности 0,69 %.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора x на 1 % от своего среднего значения. Т.к. 0,69 % значит, в среднем, при увеличении среднедушевого дохода на 1 %, потребление увеличится на 0,69 %.

4. Средняя ошибка аппроксимации 8,146 % не вышла за допустимые пределы (8 - 10 %), что говорит о надежности выбранной модели регрессии 4,69.

По таблице распределения Фишера находим 4,69, где количество независимых факторов, количество степеней свободы регрессии. Так как то гипотеза о статистической незначимости параметра b уравнения регрессии не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Проведем расчеты для регрессии.

1. Приведем нелинейную форму данной регрессии к линейному виду.

Составим таблицу расчетов 2 и проведем соответствующие выкладки.

Уравнение регрессии примет вид -0,43+0,788vx.

С увеличением дохода потребление возрастает в среднем на 0,788 тыс. руб.

2. Рассчитаем индекс корреляции 0.999.

Так как значение коэффициента корреляции, то связь между признаком у и фактором х является связью средней тесноты.

Рассчитаем коэффициент детерминации: 0.997.

Так как 0,9972 то можно сказать, что 99,7 % результата объясняется вариацией объясняющей переменной. Этот результат еще хуже предыдущего.

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности 0.32 %.

При увеличении среднедушевого дохода потребление увеличится на 0,32 %.

4. Средняя ошибка аппроксимации 3,018675 вышла за допустимые пределы (8-10 %), что говорит о ненадежности выбранной модели регрессии.

5. Вычислим значение F-критерия Фишера (n - объем совокупности).

По таблице распределения Фишера находим 0.96, где количество независимых факторов, количество степеней свободы регрессии.

Так как то гипотеза о статистической незначимости параметра b уравнения регрессии не отклоняется и признается статистическая незначимость ненадежность уравнения регрессии.

Задание 2

Оценка коэффициента в в уравнении парной линейной регрессии Y=a+вX+е тем точнее, чем:

А) больше дисперсия объясняющей переменной Х;

Б) больше объем выборки n;

В) меньше дисперсия отклонений е;

Г) все три условия.

Решение.

Прогнозирование, базирующееся на инерционности второго рода, можно свести к подбору аналитических выражений (моделей трендов) типа y = f(t) по данным за прошлое и экстраполяции полученных трендов. Что касается инерции во взаимосвязях, то для прогнозирования она может быть использована, если соответствующую взаимосвязь удается представить в виде аналитического выражения (например, регрессионного уравнения), которое связывает изменение одного экономического показателя (зависимая переменная) с влиянием ряда фактор-аргументов, т.е. к данным наблюдения подбирается уравнение типа y = f (x1,x2,…). Прогноз получают путем подстановки в регрессионное уравнение переменных. Результат представляет собой оценку среднего значения зависимой переменной при данных уровнях фактор-аргументов. Для уравнения регрессии обычно определяют доверительные интервалы, которые также можно использовать в прогнозировании. Расчет доверительных интервалов позволяет определить область, в которой следует ожидать значение прогнозируемой величины. Выход этой величины за границы интервала в силу случайных колебаний имеет незначительную вероятность - меньше, чем дополнение до единицы доверительной вероятности, т.е. меньше уровня существенности. Если в ходе количественного анализа выявлена и обоснована зависимость одного явления от других, то в этом случае на долю регрессионного уравнения, или регрессии, падает задача измерения этой зависимости, в которой причинно-следственный механизм выступает, так сказать, в наглядной форме. Прогноз в этом случае лучше поддается содержательной интерпретации, чем простая экстраполяция тенденции. Во всяком случае, при применении регрессий (а точнее, при их получении) становится более ясным воздействие отдельных факторов и прогнозист лучше понимает природу исследуемого явления. Регрессионный анализ предполагает решение двух задач. Первая заключается в выборе независимых переменных, существенно влияющих на зависимую величину, и определения формы уравнения регрессии (обычно этот этап в разработке регрессии называют спецификацией). Данная задача решается путем анализа изучаемой взаимосвязи по существу. Формальные средства могут служить здесь лишь некоторыми ориентирами. Вторая задача - оценивание параметров - решается с помощью того или иного статистического метода обработки данных наблюдения.

Наиболее часто оценивание параметров регрессий достигается с помощью метода наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов, создание которого восходит к Гауссу и Лапласу, первоначально имел довольно узкую сферу применения, главным образом при обработке результатов наблюдений в астрономических и геодезических расчетах. Этот метод получил новую и широкую область приложения в экономико-статистических расчетах после создания теории корреляции и регрессии.

Метод наименьших квадратов. Основные допущения и свойства оценок. Рассмотрим самый простой случай. Пусть нам необходимо описать в виде некоторой функции взаимосвязь двух переменных величин y и x. Предполагается, что между этими величинами теоретически существует простейшая зависимость:

у = б + вx, (3.1)

где б и в - постоянные неизвестные коэффициенты (параметры), х - независимая, у - зависимая переменная.

Практически, однако, между у и х обычно существует не столь жесткая зависимость. Даже если она может быть представлена, допустим, в виде линейной функции, то отдельные наблюдения у будут в большей или меньшей мере отклоняться от линейной взаимосвязи в силу воздействия различных неучтенных факторов, а также случайных причин, влияния возмущений, помех и т.д. Отклонения от теоретической выбранной взаимосвязи, естественно, могут возникнуть и в силу неправильной спецификации уравнения, т.е. неправильного выбора формы самого уравнения, описывающего эту взаимосвязь. В дальнейшем, однако, будем полагать, что спецификация выполнена правильно.

Учитывая возможные отклонения, уравнение взаимосвязи двух переменных (парную регрессию) можно представить в виде:

y= б + вx + Э, (3.2)

где Э - случайная переменная, характеризующая отклонение от теоретической линии. Для краткости будем называть эту переменную возмущением.

Таким образом, в уравнении (3.2) значение у представляется как сумма двух частей - систематической (б + вx) и случайной (е). Уравнение (3.1) характеризует некоторое среднее значение у для данного значения х, в свою очередь уравнение (3.2) показывает индивидуальные значения у с учетом возможных отклонений от средних.

Относительно возмущения сделаем следующие предположения:

1. Возмущение является случайной переменной.

2. Математическое ожидание равно нулю.

3. Дисперсия возмущений постоянна.

4. Последовательные значения не зависят друг от друга.

Таким образом, при построении регрессии (в данном случае линейной парной регрессии) принимается гипотеза о том, что для каждого наблюдения i справедлива следующая взаимосвязь:

yi=б + вxi + еi.

Математическое ожидание, дисперсия и ковариации возмущения еi имеют следующие значения:

E(еi) =0;

E(еiеi) =0

Где i, j =1,…, n - номер наблюдения; символ Е указывает на операцию определения математического ожидания, отсюда Е (еiеi) - дисперсия возмущения, Е () - ковариация.

Итак, в результате статистического наблюдения мы имеем ряд характеристик независимой переменной х и соответствующие значения зависимой переменной уi. Задача, следовательно, заключается в определении параметров и. Однако истинные значения этих параметров получить нельзя, так как мы опираемся на ограниченный объем информации - на выборку ограниченного объема, поэтому получаемые расчетные значения параметров являются статическими оценками истинных параметров б и в. Обозначим соответствующие (выборочные) оценки как а и b. Таким образом, уравнение парной регрессии:

y?=a+bx

есть оценка взаимосвязи:

y=б + вx.

Приняв некоторую гипотезу о форме кривой, описывающей взаимосвязь переменных y и х (например, допустим, это будет простая линейная взаимосвязь), нам, тем не менее, не удается однозначно подобрать параметры уравнения, так как через область, в которой расположены точки, соответствующие отдельным наблюдениям, можно провести множество прямых (например, соединить первую и последнюю точку и т.д.). Необходим некоторый критерий. В качестве такого критерия, естественно, принять требование о соотношении значений наблюдений и расчетных данных, поскольку существует стремление провести прямую в целом наиболее близко к данным наблюдения. Различные методы оценивания параметров опираются на различные критерии, измеряющие степень близости расчетных и фактических данных, и, разумеется. Дают разные значения оценок параметров для одной и той же совокупности наблюдений. При этом оказывается, что получаемые оценки обладают различными статистическими свойствами.

Наиболее распространенным в силу своей простоты и сравнительно широкой области приложения является метод наименьших квадратов, МНК. Немаловажно и то, что получаемые МНК оценки при условии, что сделанные выше предположения относительно е справедливы, обладают рядом ценных для последующего применения регрессий в прогнозировании свойств, а именно: оценки параметров являются несмещенными, т.е. математическое ожидание оценок параметров равно истинному значению параметров, в частности для парной регрессии Е(б)=б и E(b)=в. Данное свойство является логическим следствием второго предположения о характере возмущения е. Несмещенность означает, что выборочные оценки параметров концентрируются вокруг неизвестных истинных параметров; оценки состоятельны, иначе говоря, дисперсия оценки параметра стремится к нулю с возрастанием n. Для парной регрессии это свойство можно записать так: и; оценки являются эффективными в том смысле, что они имеют минимальную дисперсию по сравнению с любыми другими оценками этого параметра. Если предположение 3 или 4 нарушено, то свойство несмещенности и состоятельности оценок сохраняется, однако оценки оказываются менее эффективными, чем в случае, когда эти допущения соблюдаются. Совершенно очевидно, что для прогнозирования не безразлично, какими свойствами обладает оценка. Что касается свойства несмещенности, то оно является необходимым. В самом деле, смещенные оценки априори дают неверное положение кривой в пространстве независимых переменных. Свойство состоятельности означает, что при увеличении объема наблюдения оценки параметров становятся более надежными в вероятностном смысле, т.е. с ростом n оценки все плотнее концентрируются вокруг истинных неизвестных значений параметров. Свойство эффективности, в общем, является наиболее важным, поскольку оно определяет степень возможной ошибки прогноза.

Задание 3

Для уравнения y ?=2,88+0,72х1-1,51х2 рассчитан множественный коэффициент корреляции r_(?yx_1 x?_2)=0,84. Какая доля вариации результативного показателя у(%) объясняется входящими в уравнение регрессии переменными х1 и х2?

А) 70,6;

Б)16,0;

В) 84,0;

Г) 29,4.

Решение.

Величина влияния фактора на исследуемый отклик может быть оценена при помощи коэффициента линейной парной корреляции, характеризующего тесноту (силу) линейной связи между двумя переменными.

Коэффициент обладает следующими свойствами:

1) не имеет размерности, следовательно, сопоставим для величин различных порядков;

2) изменяется в диапазоне от -1 до +1. Положительное значение свидетельствует о прямой линейной связи, отрицательное - об обратной. Чем ближе абсолютное значение коэффициента к единице, тем теснее связь. Считается, что связь достаточно сильная, если коэффициент по абсолютной величине превышает 0,7, и слабая, если он менее 0,3.

Значение коэффициента вычисляется при помощи MS Excel (функция КОРРЕЛ).

Величина r2 называется коэффициентом детерминации. Он определяет долю вариации одной из переменных, которая объясняется вариацией другой переменной. Следовательно,

?r^2?_(?yx_1 x?_2)=0,842=70,56.

Задание 4

Макроэкономическая модель имеет вид:

{(С_t=a_1+b_11•D_t+е_1,@I_t=a_2+b_22•Y_t+b_23•Y_(t-1)+е_2,@Y_t=D_t+T_1@D_t=C_t+I_1+G_1),

где С - расходы на потребление; Y - чистый национальный продукт; D- чистый национальный доход; Т- косвенные налоги; G- государственные расходы; I- инвестиции; t- текущий период; t-1 - предыдущий период. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Определите метод оценки параметров модели.

Решение. При анализе сложных производственных и социально-экономических систем часто строят системы взаимозависимых уравнений. В таких системах одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других уравнениях - в правую часть системы. Система взаимозависимых уравнений получила название системы совместных, одновременных уравнений. Тем самым подчеркивается, что в системе одни и те же переменные одно - временно рассматриваются как зависимые в одних уравнениях и как независимые в других. В эконометрике эта система уравнений называется также структурной формой модели. В отличие от других систем каждое уравнение системы одновременных уравнений не может рассматриваться самостоятельно, и для нахождения его параметров традиционный МНК неприменим. Для этой цели используются специальные приемы оценивания.

Система совместных, одновременных уравнений (или структурная форма модели) обычно содержит эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенной считается та переменная, значение которой определяется внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений в системе.

Экзогенной является переменная, значение которой определяется вне модели и поэтому берется как заданное. Модель не объясняет, как получаются значения этой переменной, они просто используются как наперед заданные. Это предопределенные независимые переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

Использование МНК для оценивания структурных коэффициентов модели дает, как принято считать в теории, смещенные и несостоятельные оценки. Поэтому обычно для определения структурных коэффициентов модели структурная форма модели преобразуется в приведенную форму модели.

В общем случае приведенная форма модели представляет собой систему линейных функций эндогенных переменных от экзогенных.

Модель денежного рынка, приведенная в условии задачи, представляет собой систему взаимозависимых уравнений, т.е. является структурной формой модели. Нам необходимо идентифицировать данную модель.

Идентификация - это единственность соответствия между приведенной и структурной формами модели.

С позиции идентифицируемости структурные модели можно подразделить на три вида:

- идентифицируемые;

- неидентифицируемые;

- сверхидентифицируемые.

Структурная модель всегда представляет собой систему совместных уравнений, каждое из которых требуется проверить на идентификацию. Модель считается идентифицируемой, если каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой. Сверхидентифицируемая модель содержит хотя бы одно сверхидентифицируемое уравнение. Выполнение условия идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы. Необходимое условие чтобы уравнение было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе, было равно числу эндогенных переменных в данном уравнении без одного. Если обозначить число эндогенных переменных в j-ом уравнении системы через Н, а число экзогенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение, - через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

D + 1 = H - уравнение идентифицируемо;

D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо;

D + 1 > H - уравнение сверхидентифицируемо.

Достаточное условие Уравнение идентифицируемо, если по отсутствующим в нем переменным (эндогенным и экзогенным) можно из коэффициентов при них в других уравнениях системы получить матрицу, определитель которой не равен нулю (), а ранг матрицы не меньше, чем число эндогенных переменных в системе без одного ()где Ку - число эндогенных переменных в системе).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

В нашей системе три эндогенных переменных: Rt, Yt, It и одна экзогенная переменная М1.

1 уравнение: Н = 2 (Rt, Yt), D = 0, т.е. D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо.

2 уравнение: Н = 3 (Rt, Yt, It), D = 1, т.е. D + 1 < H - уравнение неидентифицируемо.

3 уравнение: Н = 2 (Rt, It), D = 1, т.е. D + 1 = H - уравнение идентифицируемо.

Для проверки на достаточное условие идентификации заполним таблицу, состоящую из коэффициентов при отсутствующих в данном уравнении переменных, из которой следует, что определитель полученной матрицы не равен нулю (и = 2 (число эндогенных переменных в системе и равно 3). Итак, третье уравнение точно идентифицируемо. Модель считается идентифицируемой только тогда, когда каждое уравнение системы идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель считается неидентифицируемой Опираясь на это утверждение, приходим к выводу, что наша модель неидентифицируема и. не имеет статистического решения. Для оценки параметров структурной модели система должна быть идентифицируема или сверхидентифицируема. Наша исходная система не позволяет оценить параметры. Чтобы получить единственно возможное решение для структурной модели, необходимо предположить что некоторые из структурных коэффициентов модели ввиду слабой взаимосвязи признаков с эндогенной переменной из левой части системы равны нулю. Тем самым уменьшится число структурных коэффициентов модели. Уменьшение числа структурных коэффициентов модели возможно и другим путем: например, путем приравнивания некоторых коэффициентов друг другу, т.е. путем предположений, что их воздействие на формируемую эндогенную переменную одинаково. Если один из предложенных способов позволит привести нашу исходную модель к точно идентифицируемой структурной модели, то для оценки параметров этой полученной модели можно будет применить косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Процедура применения КМНК предполагает выполнение следующих этапов работы:

1. Структурная модель преобразовывается в приведенную форму модели.

2. Для каждого уравнения приведенной формы модели обычным МНК оцениваются приведенные коэффициенты.

3. Коэффициенты приведенной формы модели трансформируются в параметры структур ной модели.

Задание 5

Для модели авторегрессии второго порядка АР(2) е(t)=a1*е(t-1)+a2*е(t-2)+u(t) верно следующее утверждение:

регрессия корреляция наименьший квадрат

А) (1)= 2(0)+ 2(2)

Б) (0)= 1(0)+ 2(2)

В) (1)= 1(0)+ 2(2)

Г) (1)= 2(2)+ 2(2).

Выберете правильный ответ.

Решение.

AP(2) Yi = b1*Yi-1 + b2*Yi-2 + a0*Xi.

Наиболее адекватная модель АРСС выбирается с помощью критерия среднего квадратичного отклонения. В нашем случае сравниваются корреляционные функции при k = 1..10.

Критерий: Нормированная спектральная плотность для модели АРСС(p, q) вычисляется по формуле. Моделируем исходных процесс наиболее адекватной моделью АРСС(p,q) c помощью рекуррентного соотношения. С начальными нулевыми условиями, т.е. Y-1, Y-2, Y-3, X-1, X-2 и X-3 равны нулю. Xi - случайная величина с нормальным законом распределения, у = 1, m = 0 (N(0, 1)). Собираем статическую информацию о сгенерированном случайном процессе так же, как и для исходного процесса.

Размещено на Allbest.ru