Моделирование элементов системы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача

Моделирование элементов системы

Задание:

Техническая система S состоит из трех элементов вариантах. Времена безотказной работы Х₁ Х₂, Х₃ элементов системы являются непрерывными случайными величинами с известными законами распределены вероятностей. Внешняя среда Е оказывает воздействие на работу системы виде случайной величины V с известным дискретным распределением вероятностей.

Последовательность работы:

1. Разработать алгоритмы случайных величин Х₁ ,Х₂, Х₃ и V c использованием генераторов случайных чисел, содержащемся в математическом пакете Microsoft Excel.

2. Определить время безотказной работы системы формулой:

(Y /(1 + 0,1 V))

3. Построить моделирующий алгоритм, имитирующий работу системы и учитывающий возможность отказа элементов. Реализовать полученный алгоритм на ЭВМ и создать файл со значениями случайных величин Х₁. Х₂, Х₃, V, Y, Z. Число опытов для машинного эксперимента принять равным 100.

4. Выполнить статистическую обработку полученных результатов. Для этого необходимо:

а) для каждой случайной величины рассчитать основные статистические характеристики: выборочное среднее, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, наименьшее и наибольшее значения, размах выборки, асимметрию, эксцесс;

б) данные для случайной величин Z, разбить на 10 групп и сформировать статистический ряд, содержащий границы и середины частичных интервалов, а также соответствующе частоты; вычислить относительные, накопленные и накопленные относительные частоты;

в) для величины Z построить полигон частот, построить гистограмму по плотностям относительных частот;

г) для величин Х₁ Х₂, Х₃ и V установить их соответствие заданным законам распределения, используя критерий ;

д) для случайной величины Z рассмотреть три непрерывных распределения (равномерное, нормальное, гамма), изобразить на гистограмме для Z плотности этих распределений;

е) с помощью критерия выполнить проверку справедливости гипотезы о соответствии статистических данных выбранным распределениям, уровень значимости при подборе подходящего распределения принять б=0,05.

5. Определить плотность распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее кв. отклонение времени безотказной работы Z системы. Определить основание характеристики надежности системы: среднее время безотказной работы Т; и вероятность безотказной работы Р(t) в течение времени t. Найти вероятность безотказности системы за время Т.

Вариант	X1	X2	X3	V
7	W(2,1;24)	W(2,1;24)	E(3;0,25)	B(3;0,5)

Рисунок 1:

Система перестанет работать, когда из строя выйдет Х1 или Х2 и Х3.

Решение:

Алгоритм статистического моделирования. Получение случайных чисел.

0,25 - 0,750117 - 7,284411 - 7,284411 - 33,30607 - 2 - 14,56882 - 12,14;

0,93 - 0,430154 - 37,92377 - 37,92377 - 18,3667 - 1 - 18,3667 - 16,7;

0,94 - 0,197726 - 75,73549 - 75,73549 - 33,71374 - 1 - 33,71374 - 30,65;

0,02 - 0,43903 - 44,06257 - 44,06257 - 97,46953 - 4 - 88,12514 - 62,95;

0,5 - 0,511232 - 1,46006 - 1,46006 - 27,17658 - 1 - 2,92012 - 2,65;

0,82 - 0,723783 - 11,71118 - 11,71118 - 10,50559 - 1 - 10,50559 - 9,55;

0,58 - 0,207562 - 0,870946 - 0,870946 - 42,1748 - 1 - 1,741893 - 1,58;

0,3 - 0,720867 - 5,18818 - 5,18818 - 30,59011 - 1 - 10,37636 - 9,43;

0,42 - 0,952311 - 5,0673 - 5,0673 - 18,55032 - 1 - 10,1346 - 9,21;

0,7 - 0,656656 - 5,108472 - 5,108472 - 15,44292 - 1 - 10,21694 - 9,29;

0,39 - 0,829053 - 3,845943 - 3,845943 - 22,6937 - 1 - 7,691886 - 6,99;

0,54 - 0,600964 - 1,867607 - 1,867607 - 22,6287 - 1 - 3,735213 - 3,4;

0,61 - 0,52664 - 2,248593 - 2,248593 - 22,54954 - 1 - 4,497187 - 4,09;

0,85 - 0,13177 - 39,17676 - 39,17676 - 43,76576 - 1 - 43,76576 - 39,79;

0,77 - 0,998085 - 7,47914 - 7,47914 - 5,205363 - 1 - 5,205363 - 4,73;

0,49 - 0,054938 - 0,253959 - 0,253959 - 72,11209 - 1 - 0,507919 - 0,46;

0,39 - 0,465681 - 1,921163 - 1,921163 - 34,01751 - 1 - 3,842326 - 3,49;

0,92 - 0,039099 - 176,3047 - 176,3047 - 66,40071 - 1 - 66,40071 - 60,36;

0,49 - 0,539634 - 1,562667 - 1,562667 - 26,4742 - 1 - 3,125333 - 2,84;

0,65 - 0,19389 - 1,732186 - 1,732186 - 41,33053 - 1 - 3,464372 - 3,15;

0,43 - 0,979145 - 5,711883 - 5,711883 - 17,45659 - 1 - 11,42377 - 10,39;

0,99 - 0,666769 - 25,97989 - 25,97989 - 8,333044 - 1 - 8,333044 - 7,58;

0,77 - 0,009358 - 13,95893 - 13,95893 - 98,56172 - 1 - 27,91786 - 25,38;

0,42 - 0,909727 - 4,308126 - 4,308126 - 19,08933 - 1 - 8,616252 - 7,83;

0,01 - 0,011402 - 483,0665 - 483,0665 - 182,2937 - 4 - 182,2937 - 130,21;

0,63 - 0,256723 - 1,48449 - 1,48449 - 36,51 - 1 - 2,968979 - 2,7;

0,22 - 0,864341 - 8,38072 - 8,38072 - 32,89492 - 2 - 16,76144 - 13,97;

0,58 - 0,397358 - 1,431813 - 1,431813 - 29,20306 - 1 - 2,863626 - 2,6;

0,44 - 0,730753 - 2,609306 - 2,609306 - 22,51281 - 1 - 5,218612 - 4,74;

0,09 - 0,440082 - 33,78385 - 33,78385 - 64,77822 - 3 - 64,77822 - 49,83;

0,93 - 0,268282 - 59,00658 - 59,00658 - 27,68321 - 1 - 27,68321 - 25,17;

0,05 - 0,860818 - 15,37107 - 15,37107 - 63,90404 - 3 - 30,74213 - 23,65;

0,09 - 0,501164 - 29,55613 - 29,55613 - 61,85013 - 2 - 59,11225 - 49,26;

0,54 - 0,289646 - 0,87037 - 0,87037 - 37,15109 - 1 - 1,740739 - 1,58;

0,64 - 0,524307 - 2,616716 - 2,616716 - 21,93765 - 1 - 5,233432 - 4,76;

0,88 - 0,533869 - 23,31848 - 23,31848 - 15,08899 - 1 - 15,08899 - 13,72;

0,11 - 0,096316 - 73,15576 - 73,15576 - 90,34871 - 2 - 90,34871 - 75,29;

0,65 - 0,954957 - 5,727939 - 5,727939 - 9,606345 - 1 - 9,606345 - 8,73;

0,39 - 0,064469 - 0,565759 - 0,565759 - 73,49153 - 1 - 1,131517 - 1,03;

0,89 - 0,476105 - 28,42806 - 28,42806 - 17,06207 - 1 - 17,06207 - 15,51;

0,61 - 0,2318 - 1,12154 - 1,12154 - 39,26586 - 1 - 2,24308 - 2,04;

0,45 - 0,895834 - 3,950818 - 3,950818 - 18,1153 - 1 - 7,901635 - 7,18;

0,58 - 0,699427 - 2,610494 - 2,610494 - 18,07434 - 1 - 5,220988 - 4,75;

0,68 - 0,94055 - 5,944237 - 5,944237 - 9,033425 - 1 - 9,033425 - 8,21;

0,81 - 0,400922 - 14,90792 - 14,90792 - 22,48281 - 1 - 22,48281 - 20,44;

0,88 - 0,292838 - 35,48528 - 35,48528 - 27,19182 - 1 - 27,19182 - 24,72;

0,21 - 0,949747 - 8,167039 - 8,167039 - 31,84239 - 2 - 16,33408 - 13,61;

0,18 - 0,121217 - 26,7749 - 26,7749 - 76,93398 - 2 - 53,54981 - 44,62;

0,48 - 0,557693 - 1,641504 - 1,641504 - 26,23199 - 1 - 3,283008 - 2,98;

0,39 - 0,907938 - 4,56119 - 4,56119 - 20,58902 - 1 - 9,12238 - 8,29;

0,01 - 0,471381 - 40,89643 - 40,89643 - 101,4502 - 4 - 81,79287 - 58,42;

0,48 - 0,838672 - 3,249269 - 3,249269 - 18,33658 - 1 - 6,498538 - 5,91;

0,89 - 0,094572 - 72,29572 - 72,29572 - 49,61127 - 1 - 49,61127 - 45,1;

0,99 - 0,768528 - 20,39589 - 20,39589 - 5,372163 - 1 - 5,372163 - 4,88;

0,81 - 0,919033 - 9,265612 - 9,265612 - 5,796074 - 1 - 5,796074 - 5,27;

0,55 - 0,277267 - 0,867276 - 0,867276 - 37,69545 - 1 - 1,734552 - 1,58;

0,13 - 0,433816 - 25,48612 - 25,48612 - 57,4988 - 2 - 50,97225 - 42,48;

0,44 - 0,472836 - 1,528624 - 1,528624 - 31,59537 - 1 - 3,057247 - 2,78;

0,8 - 0,285613 - 14,95151 - 14,95151 - 29,48762 - 1 - 29,48762 - 26,81;

0,4 - 0,053188 - 0,468342 - 0,468342 - 76,94429 - 1 - 0,936685 - 0,85;

0,86 - 0,177613 - 39,75158 - 39,75158 - 37,53574 - 1 - 37,53574 - 34,12;

0,83 - 0,898383 - 10,11588 - 10,11588 - 5,857114 - 1 - 5,857114 - 5,32;

0,12 - 0,045849 - 88,29432 - 88,29432 - 103,4749 - 2 - 103,4749 - 86,23;

0,46 - 0,669792 - 2,193444 - 2,193444 - 23,53575 - 1 - 4,386888 - 3,99;

0,53 - 0,202565 - 0,642747 - 0,642747 - 44,44857 - 1 - 1,285493 - 1,17;

0,28 - 0,669322 - 6,044669 - 6,044669 - 33,8068 - 2 - 12,08934 - 10,07;

0,79 - 0,670412 - 9,784937 - 9,784937 - 12,81303 - 1 - 12,81303 - 11,65;

0,1 - 0,726786 - 18,11321 - 18,11321 - 52,04356 - 2 - 36,22642 - 30,19;

0,92 - 0,159088 - 80,78042 - 80,78042 - 38,3255 - 1 - 38,3255 - 34,84;

0,14 - 0,676719 - 16,73453 - 16,73453 - 47,84118 - 2 - 33,46906 - 27,89;

0,92 - 0,156665 - 76,30236 - 76,30236 - 38,81247 - 1 - 38,81247 - 35,28;

0,66 - 0,819377 - 4,665885 - 4,665885 - 12,20615 - 1 - 9,33177 - 8,48;

0,02 - 0,684525 - 24,85957 - 24,85957 - 91,06687 - 4 - 49,71915 - 35,51;

0,57 - 0,465512 - 1,550742 - 1,550742 - 26,4954 - 1 - 3,101484 - 2,82;

0,86 - 0,932915 - 10,28417 - 10,28417 - 4,423338 - 1 - 4,423338 - 4,02;

0,36 - 0,474596 - 2,543511 - 2,543511 - 35,49317 - 1 - 5,087021 - 4,62;

0,15 - 0,384238 - 22,88042 - 22,88042 - 56,96603 - 2 - 45,76083 - 38,13;

0,74 - 0,463135 - 6,916109 - 6,916109 - 21,31067 - 1 - 13,83222 - 12,57;

0,12 - 0,924477 - 11,18735 - 11,18735 - 44,72232 - 2 - 22,37469 - 18,65;

0,04 - 0,37568 - 49,03049 - 49,03049 - 83,16812 - 3 - 83,16812 - 63,98;

0,27 - 0,650316 - 6,490575 - 6,490575 - 35,09756 - 2 - 12,98115 - 10,82;

0,52 - 0,580951 - 1,732219 - 1,732219 - 24,04951 - 1 - 3,464439 - 3,15;

0,67 - 0,717502 - 4,294126 - 4,294126 - 14,61681 - 1 - 8,588252 - 7,81;

0,91 - 0,276288 - 48,61375 - 48,61375 - 27,64718 - 1 - 27,64718 - 25,13;

0,15 - 0,113384 - 39,28363 - 39,28363 - 81,07351 - 2 - 78,56726 - 65,47;

0,66 - 0,476985 - 2,845262 - 2,845262 - 23,25693 - 1 - 5,690523 - 5,17;

0,31 - 0,617611 - 4,603336 - 4,603336 - 33,32508 - 1 - 9,206672 - 8,37;

0,98 - 0,255829 - 72,76733 - 72,76733 - 27,7335 - 1 - 27,7335 - 25,21;

0,05 - 0,264252 - 63,77387 - 63,77387 - 85,10899 - 3 - 85,10899 - 65,47;

0,85 - 0,539621 - 18,44313 - 18,44313 - 15,58621 - 1 - 15,58621 - 14,17;

0,66 - 0,72101 - 3,928369 - 3,928369 - 14,98008 - 1 - 7,856739 - 7,14;

0 - 0,836289 - 17,06693 - 17,06693 - 148,1881 - 7 - 34,13387 - 20,08;

0,32 - 0,825967 - 5,179605 - 5,179605 - 26,78218 - 1 - 10,35921 - 9,42;

0,53 - 0,329696 - 0,953555 - 0,953555 - 34,87304 - 1 - 1,90711 - 1,73;

0,23 - 0,40322 - 9,013614 - 9,013614 - 47,2821 - 2 - 18,02723 - 15,02;

0,46 - 0,287384 - 0,854891 - 0,854891 - 40,26514 - 1 - 1,709782 - 1,55;

0,16 - 0,485867 - 18,32709 - 18,32709 - 51,18725 - 2 - 36,65419 - 30,55;

0,13 - 0,112603 - 55,1651 - 55,1651 - 84,56771 - 2 - 84,56771 - 70,47;

0,79 - 0,627625 - 10,10905 - 10,10905 - 14,1003 - 1 - 14,1003 - 12,82;

0,3 - 0,457596 - 4,152729 - 4,152729 - 39,49047 - 1 - 8,305459 - 7,55;

В колонки А и В заносим равномерное распределение случайных чисел из промежутка РРСЧ (0;1).

По формуле:

Колонки C,D,E и F заносим значения случайных величин. Х1, Х2, Х3 и V . Соответствующим преобразования РРСЧ.

По формулам:

X1= 24*(-LN(A2)^1/2,1)

X2=24*(-LN(A2)^1/2,1)

X3=-(LN(A2)+LN(B2))/0,2=ЦЕЛОЕ(LN(A3)/LN(1-0,9))+1

V=ЦЕЛОЕ(LN(A2)+LN(1-0,7))+1

Колонка G служит для значения случайных величин Y, а колонка Н - для значения случайной величины Z.

По формулам:

Z= Y/(1+0.1*V)

Y=MAX(X1,X2)+X3

Статистическая обработка данных.

1. Вычисление основных характеристик выборки.

Основными числовыми характеристиками выборки являются

Выборка средняя, выборка дисперсная среднее квадратичное отклонение, наибольшее и наименьшее значение.

Табл. - Расчет выборочных характеристик:

Формирование статистического ряда и графическое представление данных.

Группировка данных производят в следующих последовательности:

1) Округляем значения Х и Х;

2) находим шаг по формуле:

Где:

R = (Х - Х)

3) определяем границу интервалов, частот.

4)

5) В каждом интервале вычислим следующие значения:

6) для каждого интервала i=1,2.

а) частоты , т. е. число выборочных значений в интервале.

б) относительные частоты.

в) накопленные частоты:



г) накопленные частоты.

Рисунок 2. - Зависимость частот от середины интервалов (полигон частот):

Рисунок 3. - Зависимость накопительных частот от середины интервалов (кумулята частот):

Для применения критерия необходимо что бы каждого интервала было не меньше 5.

Если это не так , то стоящее рядом объединяет, а их частоты суммируются.



Где:

теоретическая вероятность того, что случайная величина принимается из интервала:

Случайная величина имеет функцию распределения :

Табл. - Значения плотностей распределения:

Табл. - Значения плотностей:

Табл.:

Рисунок 4:

моделирование алгоритм математический

Рисунок 5:

Размещено на Allbest.ru

...