Математическое моделирование финансовых операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

"Финансовый университет при Правительстве Российской федерации"

(Финансовый университет)

Владимирский филиал Финуниверситета

Кафедра математики и информатики

Контрольная работа

по дисциплине "Финансовая математика"

вариант № 10

2013

Содержание

Задание 1

Задание 2

Список литературы

Задание №1

Поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов).

Таблица 1

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Кредит от коммерческого банка на жилищное строительство	43	54	64	41	45	58	71	43	49	62	74	45	54	66	79	48

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б1=0,3; б2=0,6; б3=0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1=1,10 и d2=1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1=0,32;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение

1) Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Yp(t+k)=[a(t) + k*b(t)] * F(t+k-L).

Коэффициенты модели a(t), b(t) и F(t) рассчитываются по формулам:

a(t)= б1 *Y(t) / F(t-L) + (1- б1)*[a(t-1)+b(t-1)];

b(t)= б3 * [a(t)-a(t-1)]+(1- б3)*b(t-1);

F(t)= б2 * Y(t) / a(t) + (1- б2)*F(t-L).

Для расчета a(1) и b(1) необходимо оценить значения этих коэффициентов для предыдущего периода времени. Для оценки начальных значений a(0) и b(0) применим линейную модель к первым 8 значениям Y(t) из табл.1. Линейная модель имеет вид:

Yp(t)=a(0) + b(0)*t.

Таблица 2. Промежуточные расчеты для вычисления коэффициентов

	Y(t)	Y(t)-Yср	t	t-tср	(Y(t)-Yср)*(t-tср)	(t-tср)2	Yp(t)
	43	-9,375	1	-3,5	32,8125	12,25	49,41666667
	54	1,625	2	-2,5	-4,0625	6,25	50,26190476
	64	11,625	3	-1,5	-17,4375	2,25	51,10714286
	41	-11,375	4	-0,5	5,6875	0,25	51,95238095
	45	-7,375	5	0,5	-3,6875	0,25	52,79761905
	58	5,625	6	1,5	8,4375	2,25	53,64285714
	71	18,625	7	2,5	46,5625	6,25	54,48809524
	43	-9,375	8	3,5	-32,8125	12,25	55,33333333
Сумма					35,5	42
Среднее	52,375		4,5

a(0)= Yср - b(0)*tср = 52,375 - 0,845*4,5=48,57

Уравнение с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Yp(t) = 48,57 + 0,845t

Из этого уравнения находим расчетные значения Yp(t) и сопоставляем их с фактическими значениями (табл.3)

Таблица 3. Сопоставление фактических данных Y(t) и рассчитанных по линейной модели значений Yp(t)

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	43	54	64	41	45	58	71	43
Yp(t)	49,42	50,26	51,11	51,95	52,80	53,64	54,49	55,33

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3), F(-2), F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные в табл.1. Эти значения необходимы для расчета коэффициентов сезонности первого года F(1), F(2), F(3), F(4) и других параметров модели Хольта-Уинтерса.

;

;

;

.

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса.

Рассчитаем значения Yp(t), a(t), b(t) и F(t) для t=1.

Полагая, что t=0, k=1, находим Yp(1):

Yp(0+1) =Yp(1)=[a(0)+1*b(0)]*F(0+1-4) = [48,57+1*0,845]*0,861 = 42,559

Полагая что t=1, находим:

a(1)=б1*Y(1)/F(-3)+(1-б1)* [a(0)+b(0)]=0,3 * 43/0,861 + (1-0,3) * [48,57 + +0,845] = 49,57

b(1)= б3*[a(1)-a(0)]+(1-б3)*b(0) = 0,3*[49,57-48,57]+(1-0,3)*0,845 = 0,891

F(1)= б2*Y(1)/a(1)+(1-б2)*F(-3) =0,6*43/49,57+(1-0,6)*0,861 = 0,865

Аналогично рассчитаем для t=1:

Yp(2)=54,39

a(2)= 50,35

b(2)= 0,859

F(2)=1,075

Для t=2:

Yp(3)=65,43

a(3)=50,88

b(3)= 0,758

F(3)= 1,266

Для t=3:

Yp(4)=40,44

a(4)=51,85

b(4)= 0,823

F(4)= 0,788

и т.д.

Таблица 4. Модель Хольта-Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	E(t)=Y(t)-Yp(t)	E(t)/Y(t)*100%
-3				0,861231466
-2				1,077798684
-1				1,277654031
0		48,57142857	0,845238095	0,783146334
1	43	49,57021832	0,891303592	0,864966388	42,55918828	0,440811725	1,025143546
2	54	50,35370161	0,858957502	1,0745677	54,38736193	-0,387361929	0,717336905
3	64	50,87640368	0,758080871	1,265831943	65,43206038	-1,432060377	2,237594339
4	41	51,85001619	0,822740362	0,787703901	40,43735729	0,562642707	1,372299285
5	45	52,47847247	0,764455138	0,860483238	45,560164	-0,560164003	1,244808895
6	58	53,4626075	0,830359106	1,080749316	57,21313027	0,78686973	1,356671948
7	71	54,83195489	0,99205559	1,283252004	68,72577139	2,274228607	3,203138884
8	43	55,45351942	0,880908272	0,780336071	43,97279085	-0,972790848	2,262304297
9	49	56,51752338	0,935836979	0,864385941	48,47483075	0,525169246	1,071773972
10	62	57,42763379	0,928119009	1,080071497	62,0926799	-0,092679897	0,149483704
11	74	58,14882461	0,866040552	1,276858798	74,88513673	-0,885136726	1,196130711
12	45	58,61064395	0,744774187	0,772801607	46,05142798	-1,051427982	2,336506626
13	54	60,29042098	1,025275042	0,883153178	51,30598894	2,694011063	4,988909376
14	66	61,25310696	1,006498322	1,078526417	66,22533557	-0,225335567	0,341417525
15	79	62,14289901	0,971486441	1,273501626	79,49672475	-0,496724746	0,628765502
16	48	62,81357144	0,881242237	0,767620285	48,77489851	-0,774898509	1,614371895
17					56,25227713
18					69,64698219
19					83,35997562
20					50,92280925

2) Проверка точности модели

Условие точности выполняется, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%.

Суммарное значение относительных погрешностей (см. табл. 4) составляет 25,747, что дает среднюю величину 25,747/16 = 1,61%.

Следовательно, условие точности выполнено.

3) Проверка условия адекватности

Проверка случайности уровней. Проверку случайности уровней остаточной компоненты проводим на основе критерия поворотных точек (табл. 5).

Таблица 5. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели

t	E(t)	Точки поворота	E(t)^2	[E(t)-E(t-1)]^2	E(t)*E(t-1)
1	0,440811725	-	0,19431	-	-
2	-0,387361929	0	0,15005	0,68587	-0,17075
3	-1,432060377	1	2,05080	1,09139	0,55473
4	0,562642707	1	0,31657	3,97884	-0,80574
5	-0,560164003	1	0,31378	1,26069	-0,31517
6	0,78686973	0	0,61916	1,81450	-0,44078
7	2,274228607	1	5,17212	2,21224	1,78952
8	-0,972790848	1	0,94632	10,54314	-2,21235
9	0,525169246	1	0,27580	2,24388	-0,51088
10	-0,092679897	0	0,00859	0,38174	-0,04867
11	-0,885136726	0	0,78347	0,62799	0,08203
12	-1,051427982	1	1,10550	0,02765	0,93066
13	2,694011063	1	7,25770	14,02831	-2,83256
14	-0,225335567	0	0,05078	8,52258	-0,60706
15	-0,496724746	0	0,24674	0,07365	0,11193
16	-0,774898509	-	0,60047	0,07738	0,38491
сумма	0,40515	8	20,09215	47,56987	-4,09018

Общее число поворотных точек в данном случае равно p = 8

Рассчитаем значение q:

Если количество поворотных точек p больше q, то условие случайности уровней выполнено. В нашем случае p = 8, q = 6, значит условие случайности уровней ряда выполнено.

Проверка независимости уровней ряда остатков.

а) по d-критерию Дарбина-Уотсона

В нашем случае имеет место отрицательная автокорреляция. В таком случае величину d уточняем, вычитая полученное значение из 4:

Так как d2 < 1,63 < 2, то уровни ряда остатков независимы.

б) по первому коэффициенту автокорреляции

.

Если модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения r(1) < rтабл, то уровни ряда остатков независимы. В нашей задаче |r(1)| = 0,203 < rтабл = 0,32 - уровни независимы.

в) Проверка соответствия ряда остатков нормальному распределению определяем по RS -критерию. Рассчитаем значение RS:

RS = (Emax - Emin)/S

Emax = 2,69401;

Emin = - 1,43206;

Emax - Emin = 2,69401 - (-1,43206) = 4,12607;

;

.

Так как 3,00 < 3,57 < 4,21, полученное значение RS попало в заданный интервал. Значит уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Таким образом, условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности проведения прогноза показателя Yp(t) на 4 квартала вперед.

4) Построение точечного прогноза

Для t = 17 имеем:

Yp(17) =Yp(16+1)=[a(16)+b(16)]*F(16+1-4) = (62,81+0,881)*0,883 = 56,25.

Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

Yp(18) =Yp(16+2)=(62,81+2*0,881)*1,079 = 69,65

Yp(19) = (62,81+3*0,881)*1,274 = 83,36

Yp(20) = (62,81+4*0,881)*0,768 = 50,92

5) Отражение на графике фактических, расчетных и прогнозных данных



Задание № 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспоненциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %K, %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Таблица 6

Дни	Цены
	Макс.	Мин.	Закр.
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763
6	795	755	795
7	812	781	800
8	854	791	853
9	875	819	820
10	820	745	756

Решение

1) Расчет экспоненциальной скользящей средней

При расчете экспоненциальной скользящей средней (EMA) учитываются все цены предшествующего периода, однако последним значениям цены придается большее значение, чем предшествующим. Расчеты проводятся по формуле:

где

k = 2/(n+1);

Ct - цена закрытия t-го дня;

EMAt - значение EMA текущего дня t;

EMAt-1 - значение EMA предыдущего дня t;

Начальное значение EMA рассчитывается как средняя арифметическая цен за определенное количество (n = 5) предшествующих дней по формуле:

MAt = (Ct-n+1 + Ct-n+2 +…+Ct)/n,

где Ct - цена закрытия t-го дня;

MAt - значение скользящего среднего текущего дня t.

И так далее для 7, 8, 9, 10 дней. Расчеты приведены в таблице 7.

Таблица 7. Расчет EMA

Дни	Цена закрытия	Простая скользящая средняя	Экспоненциальная скользящая средняя	(Графа 2 минус графа 3)	(Графа 2 минус графа 4)
1	2	3	4
1	804
2	849
3	806
4	760
5	763	796,40	796,40	-33,40	-33,40
6	795	794,60	795,93	0,40	-0,93
7	800	784,80	797,29	15,20	2,71
8	853	794,20	815,86	58,80	37,14
9	820	806,20	817,24	13,80	2,76
10	756	804,80	796,83	-48,80	-40,83



Рис. 2. Экспоненциальная скользящая средняя

Вывод: с 5-го по 6-ый день ЕМА(t) выше чем С(t). Следовательно, покупки не рекомендуются. 6 день - пересечение графика скользящей средней с графиком Ct, сигнал разворота. 7-9 дни - ЕМА ниже Ct, тренд восходящий, рекомендуются покупки. 9 день - пересечение графиков, сигнал разворота. 9-10 дни - ЕМА выше Сt, следовательно тренд нисходящий, рекомендуются продажи.

2) Расчет момента

Момент - это разница между конечной ценой текущего дня Ct и цены n дней тому назад Ct-n .

Рассчитаем момент по формуле

,

где t>n+1 => расчет выполняем с шестого уровня, т.е.

и т.д.

Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы 8.

Таблица 8. Расчет MOM

Дни(t)	Цена закрытия С(t)	MOM(t)
1	804
2	849
3	806
4	760
5	763
6	795	-9
7	800	-49
8	853	47
9	820	60
10	756	-7

Рис. 3. Момент. Результат расчета

Вывод: Все значения МОМ (кроме МОМ(7)) положительны, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

Наиболее выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й и 8-й день, так как МОМ резко пошел вверх

3) Расчет скорости изменения цен

Скорость изменения цен (ROC) - это отношение конечной цены текущего дня к цене n дней тому назад, выраженное в процентах.

,

где Ct - цена закрытия t-го дня;

ROCt - значение ROC текущего дня t.

и т.д.

Расчеты представим в таблице (табл. 9) и изобразим на графике (рис. 4).

Таблица 9. Расчет ROC

Дни(t)	Цена закрытия С(t)	ROCt
1	804
2	849
3	806
4	760
5	763
6	795	98,88
7	800	94,23
8	853	105,83
9	820	107,89
10	756	99,08



Рис. 4. Индекс скорости изменения цен ROC

Вывод: Все значения ROC (кроме ROC(7)) более 100%, что свидетельствует об относительном росте цен (сигналы о покупке).

Наиболее выгодные варианты покупки наблюдаются в 7-й и 8-й день, так как ROC резко пошел вверх

4) Расчет индекса относительной силы

Для расчета индекса относительной силы (RSI) применяют формулу:

где AU - сумма приростов конечных цен за n последних дней;

AD - сумма убыли конечных цен за n последних дней.

и т.д.

Результаты вычислений занесем в соответствующий столбец расчетной таблицы 10.

Таблица 10. Расчет RSI

Дни(t)	Цена закрытия С(t)	Повышение цены	Понижение цены	Сумма повышений	Сумма понижений	RSI
1	804
2	849	45
3	806		43
4	760		46
5	763	3
6	795	32		80	89	47,33728
7	800	5		40	89	31,00775
8	853	53		93	46	66,90647
9	820		33	93	33	73,80952
10	756		64	90	97	48,12834

Рис. 5. Индекс относительной силы

Вывод: в зоне "перекупленности" цены находились в 8-й и 9-й дни, что является сигналом не покупать, т.к. следует ждать понижения цен.

В зоне "перепроданности" цены не находились, но в 7-й день RSI был минимален, что является сигналом покупать, так как следует ждать повышения цен, что и подтвердилось в следующие дни

5) Расчет стохастических линий: %K, %D, %R

При расчете стохастических линий используется более полная информация (максимальные, минимальные цены и цены закрытия).

где % Kt - значение индекса текущего дня t;

Ct - цена закрытия текущего дня t;

L5 и H5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

Похожая формула используется для расчета % R:

где % Rt - значение индекса текущего дня t;

Ct - цена закрытия текущего дня t;

L5 и H5 - минимальная и максимальная цены за 5 предшествующих дней, включая текущий.

и т.д.

Индекс % D рассчитывается аналогично индексу % K, с той лишь разницей, что при его построении величины (Ct -L5) и (H5-C5) сглаживают, беря их трехдневную сумму.

 и т.д.

Результаты вычислений приведены в таблице 11.

Таблица 11. Расчет индексов стохастических линий

Дни (t)	Цены	Максимальная цена за 5 дней Н 5	Минимальная цена за 5 дней L5	Сt-L5	H5-Ct	H5-L5	% K	% R	% за 3 дня	% за 3 дня	% D	Медленное % D
	Максимальная цена за день Ht	Минимальная цена за день Lt	Цена закрытия Ct
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	858	785	804
2	849	781	849
3	870	801	806
4	805	755	760
5	785	742	763	870	742	21	107	128	16,406	83,5937
6	795	755	795	870	742	53	75	128	41,406	58,5937
7	812	781	800	870	742	58	70	128	45,31	54,687	132	384	34,375
8	854	791	853	854	742	111	1	112	99,107	0,8928	222	368	60,326
9	875	819	820	875	742	78	55	133	58,646	41,3533	247	373	66,219	53,6403
10	820	745	756	875	745	11	119	130	8,461	91,5384	200	375	53,333	59,9597

1. В графах 1-4 приведены дни по порядку и соответствующие им цены (максимальная, минимальная и конечная).

2. Начиная с 5-го дня в графах 5 и 6 записываем максимальную и минимальную цены за предшествующие 5 дней, включая текущий.

3. В графе 7 записываем (Сt-L5) - разность между данными графы 4 и графы 6.

4. Графу 8 составляем значения разности между данными графы 5 и графы 4, т.е. результат разности (Н 5-Сt).

5. Размах цен за 5 дней (Н 5-L5) - разность между данными графы 5 и графы 6 записываем в графе 9.

6. Рассчитанные по формуле



значения %К заносим в графу 10.

7. В графу 11 заносим значения %R, рассчитанные по формуле

.

8. Шаги 2-7 повторяем для 6-й, 7-й строки и т.д. до конца таблицы.

9. Для расчета %D, начиная с 7-й строки, складываем значения Сt-L5 из графы 7 за 3 предыдущих дня, включая текущий (t=5, 6 и 7), и записываем в графе 12. Аналогично значения размаха (Н 5-L5) из графы 9 складывают за 3 предшествующих дня и заносят в графу 13.

10. По формуле

,

используя данные граф 12 и 13, рассчитываем %D и записываем в графе 14.

11. Шаги 9 и 10 повторяем для 8-й, 9-й строк и т.д. до конца таблицы.

12. Медленное %D находим как скользящую среднюю от %D (данные берем из графы 14) с интервалом сглаживания, равным трем. Результат записываем в графе 15.



Рис. 6. Стохастические линии

Вывод: График %К показывает, что в 5 день критерий находится в зоне "перепроданности"; в 6 и 7 день входит в нейтральную зону и поэтому возможны покупки. В 8 день критерий находится в зоне "перекупленности". В 9 день выходит из зоны "перекупленности" - сигнал к покупке. В 10 день входит в зону "перепроданности", необходимо остановить операции.

График %R является зеркальным отражением графика %К. Для него верхняя критическая зона является зоной "перепроданности", а нижняя - зоной "перекупленности". Таким образом, выводы по графику %R совпадают с выводами по графику %К.

График %D показывает, что в 7-10 дни критерий находится в нейтральной зоне. Следовательно, финансовые операции можно проводить, а именно - продажи. кредит цена мультипликативный сезонный

Список литературы

1. Финансовая математика: Математическое моделирование финансовых операций: Учеб. пособие/Под ред. В.А. Половникова и А.И. Пилипенко. - М.: Вузовский учебник, 2004. - 360 с.

2. Зуев В.П., Пыжев И.С. Финансовая математика: Учебно-методический комплекс для студентов заочного отделения экономического факультета. - 2009. - 222 с.

3. Финансовая математика. Учебник Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. 2009, - 624с.

Размещено на Allbest.ru

...