Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція

Ризик у відносному вираженні

Анотація

Ризик у відносному вираженні. Коефіцієнт сподіваних збитків. Коефіцієнти варіації, семіваріації, семівідхилення від зваженого середньогеометричного. Правила визначення знака інгредієнта. Коефіцієнти асиметрії та варіації асиметрії. Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу.

1. Ризик у відносному вираженні

У відносному вираженні ризик визначається як величина збитків, віднесена до деякої бази. За базу зручно приймати або майно підприємця, або загальні витрати ресурсів на даний вид підприємницької діяльності, або ж очікуваний прибуток від даного підприємництва.

Для підприємства за базу визначення відносної величини ризику, як правило, беруть вартість основних фондів та оборотних засобів або плановані сумарні затрати на даний вид ризикованої діяльності, маючи на увазі як поточні затрати, так і капіталовкладення чи розрахунковий прибуток.

Під ризиком банкрутства розуміють, зокрема, співвідношення максимально можливого обсягу збитків до обсягу власних фінансових ресурсів інвестора.

У відносному вираженні ризик визначається іноді за допомогою такого коефіцієнта ризику:

де W - коефіцієнт ризику, х - максимально можливий обсяг збитків (грош. од.), K - обсяг власних фінансових ресурсів з урахуванням точно відомих необхідних надходжень.

1.1 Коефіцієнт сподіваних збитків

Коефіцієнт сподіваних збитків K_Z враховує обсяг сподіваних збитків по відношенню до суми абсолютних значень сподіваних вигод та сподіваних збитків. Він обчислюється за формулою:

ризик коефіцієнт варіація асиметрія

де Z - заплановане значення економічного показника; та - відповідно сподівані величини сприятливих та несприятливих відхилень (по відношенню до Z).

Формально та - це умовні математичні сподівання щодо відхилень, тобто:

,

де - множина сприятливих значень економічного показника по відношенню до рівня Z, - множина його несприятливих значень. Очевидно, що

Наприклад, якщо Х має позитивний інгредієнт (Х = Х ⁺), то:

= {x_i X, для яких x_i Z},

= {x_i X, для яких x_i < Z}.

Значення K_Z [0,1], причому К_Z = 0, якщо є відсутніми сподівані збитки і К_Z = 1, якщо є відсутніми сподівані вигоди. Слід зауважити, що К_Z має негативний інгредієнт ().

У дискретному випадку, тобто у випадку, коли X = {x₁; x₂; …; x_n} і відомі ймовірності настання кожної події P = {p₁; p₂; …; p_n}, величини та (умовні математичні сподівання) обчислюються за формулами:

де - індикатор несприятливого (по відношенню до Z) відхилення, - індикатор сприятливого (по відношенню до Z) відхилення.

Наприклад, коли Х = Х ⁺ (має позитивний інгредієнт), то:

У неперервному випадку, тобто в ситуації, коли відома щільність ймовірності f(х) випадкової величини Х, маємо:

На практиці замість величин та можна використати їхні статистичні оцінки:

де t - кількість спостережень,

- кількість несприятливих відхилень,

- кількість сприятливих відхилень,

Т ₁ + Т ₂ = Т.

Еластичність коефіцієнта сподіваних збитків щодо величини Z обчислюється за формулою:

Чим більшим (за абсолютною величиною) буде коефіцієнт еластичності, тим більшим буде й ступінь ризику.

Знання величини еластичності е_Z дає змогу встановити, наскільки відсотків зміниться коефіцієнт ризику, коли дана планова величина економічного показника зміниться на 1 %. Знаючи це співвідношення, можна виразити коефіцієнт ризику в одиницях вимірювання планової величини.

На практиці можна скористатись скінченно-різницевим аналогом формули для обчислення еластичності:

де величина Z задається дослідником (наприклад,

Z = (Z_max - Z_min)/100), K_Z = K(Z + Z) - K(Z).

Приклад 1. Акції виду А і В залежно від стану економіки можуть мати різні норми прибутку. Експерти вказують на 5 можливих станів економіки та дають оцінки ймовірності настання цих станів (дані наведено в табл. 1).

Таблиця 1

Стани економічного середовища	Ймовірність	Норма прибутку акції (%)
	Р	RА	RВ
Значне піднесення	0,1	20	10
Незначне піднесення	0,3	10	5
Стагнація	0,2	2	2
Незначна рецесія	0,3	-2	1
Значна рецесія	0,1	-10	-5

Акції вважаються збитковими, якщо їхня норма прибутку буде меншою 5 %.

Виходячи з коефіцієнта сподіваних збитків, обчислити ризики цих акцій і порівняти їх між собою.

Розв'язання. Згідно з умовою задачі Z = 5 %. Відповідні розрахунки подано у вигляді табл. 2.

Отже, для акцій виду А маємо:

Для акцій виду В:

Таблиця 2

Оскільки , то акції виду В є більш ризикованими з точки зору коефіцієнта сподіваних збитків.

1.2 Коефіцієнти варіації, семіваріації, семівідхилення від зваженого середньогеометричного

У випадку, коли оцінюється ризик як варіабельність щодо отримання доходів, то для оцінки ризику використовується коефіцієнт варіації, тобто відношення середньоквадратичного відхилення економічного показника ефективності Х з позитивним інгредієнтом до сподіваного значення цього показника (М⁺(Х⁺) = М(Х⁺)):

Коефіцієнту варіації можна надати таке економічне трактування: це величина ризику, що припадає на одиницю доходу. А тому можна зробити висновок, що CV(X⁺) = CV- (X⁺), тобто коефіцієнт варіації має негативний інгредієнт (чим менше значення CV(X⁺) для проекту, тим меншим відносним ризиком він обтяжений).

Коефіцієнт варіації використовується в тому разі, коли для двох альтернативних проектів А і В виявиться, що:

> та > ( < та < ),

де =M(X⁺_А); = (X⁺_А); = M(X⁺_В); = (X⁺_В).

Перевага надається тому проекту, для якого є меншим коефіцієнт варіації.

У випадку, коли:

> та > (чи < та < )

і при цьому , прийняте суб'єктом керування (менеджером, управлінською командою) рішення залежить від його ставлення до ризику (схильності чи несхильності). Якщо ж суб'єкт керування є нейтральним до ризику, то при наданні переваги тому чи іншому проекту слід скористатись коефіцієнтом семіваріації:

Очевидно, що

CSV(X⁺) = CSV- (X⁺),

тобто перевага надається тому проекту, для якого є меншою величина коефіцієнта семіваріації.

Як оцінку ступеня ризику, пов'язаного з середньогеометричним значенням випадкової величини, можна використовувати коефіцієнт семівідхилення від зваженого середньогеометричного, який обчислюється за формулою:

Приклад 2. Результати спостережень за нормами прибутків портфелів цінних паперів А і В подано в табл. 3.

Таблиця 3

Період	Норма прибутку (%)
	RA	RB
1	5	3,6
2	3	6
3	2	7,2
4	3	6
5	7	1,2

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів цінних паперів. Який з портфелів слід придбати інвестору, якщо він є нейтральним до ризику?

Розв'язання. Знайдемо числові значення параметрів, що характеризують ці портфелі цінних паперів:

A: M⁺(R_A) = 4, - (R_A) = 2;

B: M⁺(R_B) = 4,8, - (R_B) = 2,4.

З урахуванням того, що М⁺(R_A) < M⁺(R_B), - (R_A) < - (R_B), а також того, що інвестор є нейтральним до ризику, для вибору оптимального портфеля (того, що є менш ризикованим) можна скористатись критерієм мінімального коефіцієнта варіації:

Оскільки CV- (R_A) = CV- (R_B) = 0,5, то відповідь щодо вибору оптимального портфеля, виходячи з коефіцієнта варіації, дати неможливо. А тому скористаємося критерієм мінімального коефіцієнта семіваріації:

Оскільки CSV- (R_A) < CSV- (R_B), то при виборі портфеля цінних паперів перевагу слід надати портфелю А.

1.3 Правила визначення знака інгредієнта

При побудові відносних оцінок ризику застосовуються такі правила (особливості) визначення інгредієнта оцінки.

Якщо розглядається оцінка виду [-]/[+] (символічний запис [-]/[+] означає, що розглядається відносна оцінка, чисельник якої має позитивний, а знаменник - негативний інгредієнт), то, враховуючи правила зміни інгредієнта, (1/[+]= [-]; 1/[-]= [+], тобто при діленні на певну характеристику її інгредієнт змінюється на протилежний), слід пам'ятати, що:

[-]/ [+]= [-] 1/ [+]= [-] [-]= [-].

Розглянемо цю ситуацію на прикладі коефіцієнта варіації:

.

Отже, добуток двох характеристик з негативними інгредієнтами утворює нову характеристику, що також має негативний інгредієнт.

При побудові оцінки виду [+]/ [-], маємо:

[+]/ [-]= [+]· 1/ [-]= [+]· [+]= [+],

тобто добуток двох характеристик з позитивними інгредієнтами породжує нову характеристику, що також має позитивний інгредієнт.

Наприклад,

.

Більш складною є ситуація [+]/ [+]. Дослідимо її. З одного боку:

,

з іншого:

.

Оскільки характеристики ([+]· [-]) та 1/([+]· [-]) мають протилежні інгредієнти, то отримане протиріччя вказує на невизначеність інгредієнта результуючої оцінки. А тому безпосереднє використання оцінок такого виду може призвести до неправильного результату при прийнятті рішень. Вихід з такої ситуації можна знайти лише при накладанні певних додаткових умов на характеристики, що є базовими при утворенні відносної оцінки.

При побудові оцінок виду [-]/ [-]отримуємо:

тобто щодо інгредієнта відносних оцінок такого виду знову маємо невизначеність, а тому їх використання може призвести до суперечливого результату.

1.4 Коефіцієнти асиметрії та варіації асиметрії

У випадку асиметричного розподілу певних показників ефективності (ЧПВ) аналіз лише середньоквадратичного відхилення як міри ризику може бути недостатнім. Особливо коли ці значення співпадають для кількох альтернативних об'єктів (проектів). У цьому випадку слід аналізувати як показник ризику таку числову характеристику випадкової величини, як коефіцієнт асиметрії. Його обчислюють за формулою:

As(X) =,

де As(X) - коефіцієнт асиметрії. У випадку, коли в наявності є статистична інформація щодо показника ефективності Х, зібрана протягом T періодів, коефіцієнт асиметрії обчислюють за формулою:

As(X) = .

Якщо As(X) = 0, то графік функції щільності ймовірності для випадкової величини Х є симетричним відносно М(Х). Якщо розподіл ймовірностей є асиметричним, причому його "довга частина" ("хвіст") розміщена праворуч від моди випадкової величини Мо(Х) (має правосторонній скіс, рис. 1а), то зважена сума кубів додатних відхилень від М(Х) є більшою від суми кубів від'ємних відхилень.

Рисунок 1 - Функція щільності розподілу ймовірності у випадках додатного (а) та від'ємного (б) коефіцієнтів асиметрії

Тоді, з урахуванням того, що (Х)>0, отримуємо, що As(X)>0. Аналогічно отримуємо, що As(X)<0 у випадку, коли функція щільності має лівосторонній скіс (рис. 1б) і "хвіст" розподілу виступає ліворуч.

Якщо Х=Х⁺, то за решти рівних умов серед m різних альтернативних об'єктів (проектів, стратегій) меншим ризиком обтяжений той об'єкт (), для якого виконується умова:

тобто As(X⁺) = As⁺(X⁺). Це пояснюється тим, що несприятливі відхилення від сподіваного значення з відносно великою ймовірністю розташовані для обраного об'єкта ліворуч найближче до сподіваного значення (менше відхиляються від нього в несприятливий бік) порівняно з іншими, а сприятливі значення значно віддалені від сподіваної величини (ці значення - "хвіст" - розташовані праворуч).

У зв'язку з цим можна вважати, що критерій максимальної асиметрії є критерієм, який забезпечує мінімальний ризик по відношенню до несприятливих відхилень від сподіваного результату (для задач максимізації показників ефективності).

Як міру ризику можна використовувати також величину:

Очевидно, що оцінка має негативний інгредієнт , а тому перевага надається тому об'єкту (проекту), для якого вона є мінімальною:

Для відносного вираження ризику з урахуванням As⁺(X⁺) можна використовувати коефіцієнт варіації асиметрії:

Очевидно, що

CVAs(X⁺) = CVAs- (X⁺),

тобто перевага надається тому об'єкту (проекту), для якого CVAs- (X⁺) приймає найменше значення:

Використання коефіцієнта асиметрії можливе і тоді, коли показники ефективності об'єкта (проекту) містять негативний інгредієнт, тобто (сподівані збитки, затрати). У цьому випадку більш ефективним рішенням будуть відповідати менші значення коефіцієнта асиметрії, а тому серед m альтернативних рішень оптимальним буде те, для якого:

У цій ситуації:

As(X-) = As- (X-).

Можна скористатись також критеріями:

Зауваження 1. Під час прийняття рішень критерії, які базуються на оцінках As(X) та As(X), слід використовувати тоді, коли M(X_i)=M(X_j); i, j = 1,..., m або ж M(X_i)M(X_j). Оцінки CVAs(X) використовуються тоді, коли M(X_i) M(X_j), i, j = 1,..., m.

Приклад 3. Результати спостережень за нормами прибутку портфелів цінних паперів А і В протягом минулих п'яти періодів наведено в табл. 4.

Таблиця 4

Період	Норма прибутку (%)
	RA	RB
1 2 3 4 5	5 3 2 3 7	3 5 6 5 1

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів. Потрібно оцінити коефіцієнти асиметрії для норм прибутку портфелів цінних паперів і прийняти оптимальне рішення щодо інвестування.

Розв'язання. Для портфеля цінних паперів виду А маємо:

Для портфеля В:

Отже, виходячи з того, що

As⁺(R_A)>As⁺(R_B), або

(R_A)<(R_B), або

CVAs- (R_A)<CVAs- (R_B),

приходимо до висновку, що менш ризикованим є портфель цінних паперів А і інвестиції слід робити в цей портфель.

Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 2.

Приклад 4.

Результати спостережень за нормами прибутків портфелів цінних паперів А і В подано в табл. 5.

Таблиця 5

Період	Норма прибутку (%)
	RA	RB
1	5	3,6
2	3	6
3	2	7,2
4	3	6
5	7	1,2

Інвестор має можливість придбати лише один з цих портфелів цінних паперів. Використовуючи в якості міри ризику коефіцієнт варіації асиметрії, вибрати портфель цінних паперів, що обтяжений мінімальним ризиком.

Розв'язання. Для портфеля цінних паперів А маємо:

R_A =; M⁺(R_A)=4; - (R_A) = 2; As⁺(R_A) = 1,8;

(R_A) = 0,357; CVAs- (R_A) = 0,089.

Для портфеля В:

R_B =; M⁺(R_B) = 4,8; - (R_B) = 2,4; As⁺(R_B) = - 1,8;

(R_B) = 2,8; CVAs- (R_B) = 0,583.

Оскільки M⁺(R_A) < M⁺(R_B), то в якості міри ризику доцільно використати коефіцієнт варіації асиметрії. Враховуючи, що:

CVAs- (R_A) = 0,089 < 0,583 = CVAs- (R_B),

найменший ризик має портфель А.

Отриманий у цьому прикладі результат повністю узгоджується з висновком, зробленим у рішенні прикладу 2.

1.5 Коефіцієнт ексцесу та варіації ексцесу

У ситуації, коли аналіз певних показників ефективності об'єкта (проекту) показує, що ці показники мають майже однакові сподівані значення, приблизно рівні їхні середньоквадратичні відхилення (і навіть семіквадратичні відхилення), а також є рівними значення коефіцієнтів асиметрії, то для порівняння ризиковості цих проектів можна скористатись коефіцієнтом ексцесу. Його обчислюють за формулою:

де Ех(Х) - коефіцієнт ексцесу. Статистичну оцінку коефіцієнта ексцесу можна здійснити за формулою:

де Т - кількість періодів.

Чим більше значення коефіцієнта ексцесу, тим більш "гостровершинним" (функція f₂(x) на рис. 2) є графік функції щільності ймовірності для випадкової величини, що характеризує об'єкт (проект). Ця властивість коефіцієнта ексцесу вказує на більш високу "концентрацію" значень показника ефективності в околі його сподіваного значення.

Рисунок 2 - Форма функції щільності залежно від коефіцієнта ексцесу (Ex₁(X) < Ex₂(X))

Зменшення значення Ех(Х) приводить до того, що графік функції щільності ймовірності випадкової величини Х стає менш "гостровершинним" (функція f₁(x) на рис. 2), тобто більш "згладженим". Ця ситуація вказує на те, що розміри інтервалу, на який "найчастіше" потрапляють значення показника ефективності, збільшилися.

Очевидно, що серед m різних альтернативних об'єктів (проектів, стратегій) найменш ризиковий той, для якого "концентрація" значень показника ефективності в околі його сподіваного значення є вищою, тобто той (Х_k0), для якого виконується:

,

тобто Ех(Х) = Ех⁺(Х).

Приклад 5. Норми прибутків портфеля цінних паперів А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл. 6.

Таблиця 6

Період	Норма прибутку (%)	Період	Норма прибутку (%)
t	RA	RB	t	RA	RB
1	6,9	3,71	6	2,81	5,06
2	4,7	4,90	7	2,70	5,92
3	5,85	1,73	8	2,35	7,67
4	6,88	2,67	9	2,73	4,94
5	4,5	3,88	10	3,87	2,81

Який з цих портфелів є менш ризикованим щодо інвестицій?

Розв'язання. Для портфеля А:

M⁺(R_А) = 4,329; - (R_A) = 1,7447; SSV - (R_A) = 1,1386; As⁺(R_A) = 0,3337;

Ex⁺(R_A) = - 1,6225.

Для портфеля В:

M⁺(R_B) = 4,327; - (R_B) = 1,7425; SSV - (R_B) = 1,1744; As⁺(R_B) = 0,3353;

Ex⁺(R_B) = - 0,9367.

Оскільки для портфелів цінних паперів, що досліджуються, практично рівними є величини сподіваних норм прибутку, середньоквадратичні та семіквадратичні відхилення, коефіцієнти асиметрії, то лише виходячи з того, що Ex⁺(R_B) = - 0,9367 > - 1,6225 = Ex⁺(R_A) і що As⁺(R_B) As⁺(R_А) > 0, можна надати перевагу портфелю цінних паперів В як такому, що має менший ризик несприятливих відхилень норми його прибутку від її сподіваного значення.

За міру ризику можна використовувати також величину:

або ж коефіцієнт варіації ексцесу:

Очевидно, що величини Ex(X) та CVEx(X) мають негативні інгредієнти. А тому серед m альтернативних об'єктів Х_k, k = 1,..., m, перевага надається тому (Х_k0), для якого виконується умова:

,

або ж у випадку, коли здійснюється відносне оцінювання ризику, умова:

Приклад 6. Норми прибутків портфелів цінних паперів виду А і В, що спостерігались за останні 10 періодів, подано в табл. 7.

Таблиця 7

Період	Норма прибутку (%)	Період	Норма прибутку (%)
t	RA	RB	t	RA	RB
1	11,73	3,71	6	4,85	5,06
2	7,99	4,90	7	4,59	5,92
3	9,95	1,73	8	4,0	7,67
4	11,7	2,67	9	4,64	4,94
5	7,65	3,88	10	6,58	2,81

Який з цих портфелів є менш ризикованим?

Розв'язання. Для портфеля А:

M⁺(R_А) = 7,368; - (R_A) = 2,9660; SSV - (R_A) = 1,9356; As⁺(R_A) = 0,3337;

Ex⁺(R_A) = - 1,6225.

Для портфеля В:

M⁺(R_B) = 4,327; - (R_B) = 1,7425; SSV - (R_B) = 1,1744; As⁺(R_B) = 0,3353;

Ex⁺(R_B) = - 0,9367.

Оскільки M⁺(R_A) M⁺(R_B), то для порівняння портфелів цінних паперів необхідно використати оцінки ризику у відносному вираженні. Маємо:

тобто,

.

Обчислимо коефіцієнти семіваріації:

тобто знову:

.

Обчислимо і порівняємо коефіцієнти варіації ексцесу:

Оскільки = 0,3559 < 0,4476=, то перевагу слід надати портфелю цінних паперів А.

Аналогічний результат буде і в разі використання коефіцієнта варіації асиметрії.

2. Використання нерівності Чебишева

Повертаючись до варіації (дисперсії) як міри ризику, треба зазначити, що дисперсія, звичайно, не повністю характеризує ступінь ризику, але дає змогу у деяких випадках чітко виявити граничні шанси менеджера (інвестора, підприємця).

Теоретична база цього закладена у відомій нерівності Чебишева: ймовірність того, що випадкова величина відхиляється за модулем від свого математичного сподівання більше, ніж на заданий допуск , не перевищує її дисперсії (варіації), поділеної на ².

Тут відразу треба зазначити, що варіація V деякої випадкової величини R має бути меншою, ніж ², оскільки величина ймовірності не перевищує одиниці:

Що стосується випадкової величини X (ефективність, прибуток), то можна записати:

,

де m - математичне сподівання випадкової величини X.

2.1 Уникнення банкрутства при отриманні кредиту

Припустимо, що інвестиції здійснюються за рахунок кредиту, взятого під відсоток r_s та під заставу нерухомості. Яка ймовірність того, що інвестор не зможе повернути свій борг і позбудеться своєї нерухомості?

Це ймовірність того, що випадкова величина R набуде свого значення, яке відповідає умові:

R < r_s, або - (R - m) > m - r_s.

Отже, одержимо:

P(R < r_s) = P(- (R - m) > m - r_s) P(|R - m| > m - r_s) (V/(m - r_s))2. (1)

Звідси маємо, що шанс збанкрутувати не перевищує величини V/(m - r_s)². Звичайно при цьому мають на увазі, що обов'язково виконується умова раціональності такого вкладу "під кредит", тобто, що m > r_s а оцінка (10.1) має сенс лише тоді, коли варіація (дисперсія) не дуже велика, тобто, коли виконується умова:

V (m - r_s)².

Коли задані умови (гіпотези) виконуються, то для того щоб шанс збанкрутувати був не більшим, ніж 1/9, достатньо виконати умову (правило трьох сігм):

V 1/9(m - r_s)², або m r_s + 3.

Слід зазначити, що тут, як один з параметрів ризику у системі кількісних оцінок ризику, виступає ймовірність несприятливої події:

.

поряд з таким параметром ризику, як дисперсія (варіація). У даному випадку р_н 1/9. Звичайно, можна сперечатися, чи задовольняє ця величина менеджера (суб'єкта прийняття рішення), чи ні. У ряді випадків величину р_н необхідно брати досить малою, інколи для забезпечення "допустимого" ризику покладають р_н = 0,001.

Приклад 7. Підприємство бере кредит під 10 % річних для впровадження нових технологій. При цьому експерти оцінюють, що ризик, пов'язаний з коливанням сподіваних прибутків, становить 5 %. Необхідно з імовірністю 1/9 оцінити рівень сподіваних прибутків, щоб уникнути банкрутства.

Розв'язання. Маємо, що r_s = 10 %, = 5 %. Скориставшись правилом трьох сігм, одержимо:

m 10 % + 3*5 % = 25 %,

тобто рівень (норма) сподіваних прибутків повинен бути не меншим, ніж 25 %.

2.2 Уникнення банкрутства при наданні кредиту

Розглянемо ще одну ситуацію, коли інвестор вкладає в звичайні акції лише частину власного капіталу, залишаючи певну частку на збереження під майже безризиковий відсоток r₀ (державні короткотермінові цінні папери). Яка буде при цьому величина ймовірності банкрутства?

Якщо А - обсяг наявного капіталу, а x₀·А - частка, що залишається на збереження (вкладається в безризикові цінні папери), то банкрутство стає можливим лише тоді, коли:

x₀·А·(1 + r₀) + (1 - x₀)·A·(1 + R) < 0,

R < - (1 + x₀·r₀) / (1 - x₀).

Тобто в цьому випадку замість величини r_s, яка фігурувала в попередньому випадку, маємо величину - (1 + x₀·r₀) / (1 - x₀).

Оцінка за Чебишевим дає ризик банкрутства, що буде меншим, ніж 1/9, тоді, коли:

, або

. (2)

Бачимо, що гра на біржі на власний капітал значно безпечніша. Навіть якщо вкласти його лише у ризиковані цінні папери, тобто, коли х ₀ = 0, то достатнім є виконання умови:

m > - 1 + 3, (3)

якщо інвестора задовольняє даний рівень надійності (ризику банкрутства p_н < 1/9).

Приклад 8. Капітал інвестора становить 100 тис. грн. У безризикові цінні папери він вкладає 25 тис. грн. при річній нормі прибутку 30 %. Решту грошей, тобто 75 тис. грн., він збирається вкласти у папери, обтяжені ризиком. Середньоквадратичне відхилення (ризик) цих цінних паперів дорівнює 10 %. Інвестор прагне, щоб шанс банкрутства був би для нього не більшим, ніж 1/9.

Яка повинна бути сподівана норма прибутку обтяжених ризиком цінних паперів?

Розв'язання. Маємо, що r₀ = 30 %, x₀ = 25/100 = 0,25, = 10 %. Використавши формулу (2), одержимо:

m > - ((1 + 0,25·0,3)/(l - 0,25)) + 3·0,1 = - 1,133.

Тобто сподівана норма доходу цінних паперів, обтяжених ризиком, повинна бути не меншою, ніж - 113,3 %.

Приклад 9. При виготовленні на експорт набору певних товарів прагнуть, щоб ризик банкрутства був не більшим, ніж 1/9. У справу вкладають власний капітал обсягом 2 млн. грн. Сподіваний (середній) рівень рентабельності дорівнює 10 %.

Обчислити, яким має бути значення середньоквадратичного відхилення рівня рентабельності від сподіваної величини.

Розв'язання. Маємо, що х ₀ = 0, m = 10 %. З формули (10.3) одержимо, що:

(m + 1)/3, тобто (0,1 + 1)/3 = 0,367.

Отже, ризик (середньоквадратичнe відхилення) повинен бути не вищим, ніж 36,7 %.

2.3 Визначення меж зон допустимого, критичного та катастрофічного ризиків

Якщо в результаті певного виду підприємницької діяльності здійснена оцінка величин m = M(X) та ² = ²(Х), а також встановлені для даної фірми величини критеріїв допустимого, критичного та катастрофічного ризиків k_доп, k_кр, k_кат, то границі значень можна оцінити таким чином. Нехай m=_т; x_доп=_доп; x_доп>m (випадок x_доп<m характеризує ситуацію, що є несприятливою щодо підприємницької діяльності, оскільки верхня межа зони допустимих збитків є меншою від величини сподіваних збитків). Тоді:

,

Враховуючи, що х_доп > m, приходимо до оцінки:

Поклавши х_кр=_кр· та х_кат = _кат·, аналогічно приходимо до оцінок:

Отже, мінімальні значення порогових значень можливих збитків, що задовольняють поставленим вимогам, будуть:

Приклад 10.

Відомо, що відносні збитки, обчислені по відношенню до запланованих витрат від даного виду підприємницької діяльності, мають логарифмічно нормальний закон розподілу ймовірностей з функцією щільності:

де m = 3, = 0,8.

Керівництво фірми вважає, що для їхнього підприємства критерії допустимого, критичного та катастрофічного ризиків набувають таких значень: k_доп=0,2; k_кр=0,02; k_кат=0,002. Поклавши M(X) = 27,660 та (X) = 26,189, оцінити теоретичні значення границь зон допустимих, критичних та катастрофічних відносних збитків.

Розв'язання. Виходячи з виведених вище формул, отримуємо:

При виведенні формул для оцінок х_доп, х_кр та х_кат використовувалась нерівність (наприклад, для х_доп) Х - m х_доп - m, яка на відміну від результатів, отриманих раніше, враховує як оцінку:

, так і оцінку

, тобто має місце таке співвідношення:

Якщо ж є підстави вважати, що:

(наприклад, коли Мо(Х)М(Х), тобто функція щільності розподілу є симетричною відносно прямої х = m), то приходимо до оцінки:

тобто

Аналогічно отримуємо, що:

Відмінність останніх результатів від тих, що отримані раніше, пояснюється тим, що нерівність Чебишева не враховує властивостей функції щільності розподілу ймовірності.

Размещено на Allbest.ru

...