Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекция

Принципи побудови економетричних моделей. Парна лінійна регресія

Анотація

Основні задачі економетрії. Корреляційний та регресійний зв'язок між змінними. Парна лінійна регресія. Теоретичне рівняння регресії у векторно-матричній формі. Емпіричне рівняння регресії у векторно-матричній формі. Причини появи випадкових збудників. Умови Гауса-Маркова. Гомоскедастичні та гетероскедастичні моделі.

1. Основні задачі економетрії

Термін "економетрика" (економетрія) був введений в словесний обіг ще в 1910 р. П. Чомпою в книзі "Нарис економетрії і природничої бухгалтерії, основаної на політичній економії", яка була надрукована в м. Львові. В подальшому цьому термінові значну увагу приділяв норвезький вчений Р. Фріш (1895-1973), який наголосив, що економетрія є синтезом економічної теорії, математики і статистики.

Офіційною датою народження нового напрямку економічних досліджень вважають 1931 р., коли було створено "Міжнародне товариство розвитку економічної теорії в її зв'язку зі статистикою і математикою". В 1933р. це товариство почало видавати журнал "Економетрика".

Поняття "економетрика" було загальноприйнятим терміном тільки в період його зародження. В подальшому почали швидко розвиватися окремі напрямки економетрики: теоретичні дослідження, що грунтувалися на використані математики й статистики; абстрактно-теоретичні дослідження математичних моделей економіки, які не використовують емпіричних даних; дослідження чисто емпірично-статистичного спрямування.

Економетрія пов'язана з науковою діяльністю таких видатних вчених, лауреатів Нобелівської премії як Р. Фішер, Я. Тімберген, В. Леонтьєв, Т. Кумпанс. Варто також нагадати про внесок в економетрію вчених: В.К. Ошітрієва, В.І. Борткевича, Н.А. Столярова, Н.Н. Шапошнікова, Е.Е. Слуцького, Л.В. Канторовича.

Економетрія, в широкому розумінні, є сукупністю різного роду економічних досліджень, що здійснюються з використанням математичних методів. Поряд із економіко-математичними дослідженнями, економетрія включає в свою сферу також всі області застосування математичних методів для розв'язування прикладних економічних задач. Тому економетрія у вузькому розумінні - це використання статистичних методів в економічних дослідженнях, а саме, побудова математико-статистичних моделей економічних процесів, оцінка параметрів моделей.

Якщо результати економічної теорії мають якісний зміст, то економетрія привносить в них емпіричну суть. Якщо математична економіка виражає економічні закони у вигляді математичних співвідношень, то економетрія здійснює статистичну перевірку цих законів, використовуючи емпіричну інформацію. Одержані математичними методами і виражені мовою математики результати лише тоді мають цінність, якщо їх можна інтерпретувати мовою економіки.

Економетрія використовує традиційні математико-статистичні та спеціально розроблені методи для виявлення кількісних взаємозв'язків між економічними показниками. Економетрія має економічну та математичну складові, причому економічній складовій надається перевага.

Важливою проблемою економіки є правильне прогнозування певної реальної ситуації, в якій відбувається досліджуваний економічний процес, а також знаходження таких важелів впливу на цей процес, за допомогою яких він розвивався б необхідним чином. В реальній обстановці часто трапляються ситуації, коли розв'язуючи одну й ту ж саму економічну проблему, її дослідники можуть пропонувати різні, часом навіть протилежні методи її вирішення. Тому досвідчений політик, керівник підрозділу, галузі чи підприємства опирається, як правило, на інтуїцію, обираючи певну стратегію розв'язування проблеми, щоб одержати бажаний результат. Поганий чи хороший вибір керівника перевірити практично неможливо внаслідок того, що економічна ситуація перебуває у функціональній залежності від часу, тобто вона є динамічною, і ніколи не може повторюватися. Отже, експериментально неможливо перевірити кінцеві результати розвитку подій за кількома запропонованими стратегіями в одних і тих самих умовах.

Тому першою із основних задач економетрії є дослідження розвитку економічних процесів і прогнозування їх динаміки. Вдалим чи невдалим буде цей прогноз залежатиме від того, чи поталанить дослідникові виявити рушійні чинники, що впливають на ці процеси і які не завжди можна визначити. Врахування цих факторів в математичних моделях дає змогу раціонально керувати ними і, таким чином, досягти наміченої мети.

Будь-який економічний процес характеризується певними економічними показниками (параметрами), значення яких залежать від великої кількості факторів, що впливають на них і які практично врахувати всі неможливо. Але в кожній конкретній ситуації зі всієї множини цих факторів суттєвий вплив на економічні параметри процесу має лише деяка обмежена кількість факторів.

Тому другою задачею економетрії є правильний вибір факторів при побудові математико-статистичних моделей. Бажано, щоб питома вага решти факторів, які будуть неврахованими в моделі, була настільки несуттєвою, що ігнорування їх в процесі побудови моделі не призводила до значних відхилень поведінки модельованої системи (процесу) порівняно з реальною.

В наш час економічна теорія дослідила та вивчила значну кількість стабільних зв'язків між показниками економічних систем (процесів). Так, наприклад, добре вивчені такі зв'язки: між попитом споживача на продукцію та сумою коштів, що він може витрачати на неї; між рівнем безробіття та інфляцією; між обсягом виробництва та рядом показників, таких як основні фонди, термін їхньої експлуатації, кількість оборотних коштів, професійний рівень персоналу; між продуктивністю праці та рівнем механізації виробничих процесів, технологією виробництва.

Дослідження такого роду зв'язків і їм подібним дає можливість спрямовувати економічні процеси в потрібному напрямку, тобто реалізовувати бажану економічну політику не лише на мікрорівні, а й на рівні економіки держави. Для ефективної реалізації економічної політики необхідно здійснювати регулювання певних економічних параметрів, а для цього необхідно володіти достеменною інформацією про зв'язок їх із іншими, ключовими величинами, щоб в майбутньому прийняти правильне рішення на мікро-, мезорівні чи в масштабах всієї країни.

Наприклад, у ринковій економіці не можна безпосередньо регулювати темп інфляції, але можна вплинути шляхом фіскального (бюджетно-податкового) важеля або монетарної (кредитно-грошової) політики. У цьому випадку необхідно досконало вивчити залежність між пропозицією грошей та рівнем цін, які діють в державі.

Але в реальних умовах, навіть в стабільних залежностях між показниками економічних величин, завжди проявляється певна невідповідність. Особливо виникають труднощі під час аналізу маловивчених і нестабільних зв'язків. Тому в сучасній економічній теорії в дослідженнях використовують апарат математичних моделей, ймовірнісні та статистичні методи аналізу параметрів цих моделей.

Отже, третьою важливою задачею економетрії є вибір та побудова математико-статистичної моделі, здійснення ряду модельних експериментів, аналіз одержаних результатів і перенесення їх на реальну економічну систему (процес) як основу для прийняття належних управлінських рішень.

З'ясуємо сутність кореляційного та регресійного аналізу.

Якщо в природничих науках в значній мірі мають справу з функціональними залежностями між змінними, то в економіці такі залежності в більшості випадків бувають відсутні. Наприклад, не може існувати строгої функціональної залежності між доходами громадян і їх витратами на споживання, між ціною на певний товар і попитом на нього; продуктивністю праці та стажем роботи працівників підприємства і т.д.

Відсутність жорсткої функціональної залежності між змінними в сфері економіки пов'язана з рядом причин. Так, при аналізі впливу однієї змінної на іншу може бути не врахований ряд факторів, що впливають або на кожну із змінних окремо, або на всі одночасно. Цей вплив може бути як безпосереднім, так і через цілий ланцюг інших факторів, врахувати які практично неможливо, оскільки вони мають випадкове походження. Тому в економічних дослідженнях як правило мають справу не з функціональною, а зі статистичною або кореляційною залежністю, вивченням якої займається кореляційний та регресійний аналіз.

Для прикладу розглянемо дві змінні Y та Х, між якими можуть існувати дві форми зв'язку - кореляційний та регресійний.

При наявності кореляційного зв'язку між Y та Х ці змінні вважають рівноправними в тому розумінні, що їх не поділяють на залежну та незалежну. В цьому випадку вирішується лише питання про наявність між цими змінними зв'язку, про який нас інформує кореляційний (коваріаційний) момент К_ху (cov(x,y)). У випадку, коли К_ху?0 (cov(x,y)?0), цей зв'язок існує. В протилежному випадку - К_ху=0 (cov(x,y)=0) - зв'язок відсутній. Суттєвість цього зв'язку (тісноту) вимірюють коефіцієнтом кореляції r_xy (| r_xy | ? 1 або :1? r_xy ?1). Цей зв'язок не має направленого характеру. Серед змінних Y та Х немає залежної і незалежної.

Регресійний зв'язок між змінними Y та Х є таким, що коли одна із них, наприклад Х, вибирається як незалежна змінна, то її називають пояснюючою змінною (регресором), а другу змінну Y - залежною (пояснювальною, регресандом). В цьому випадку пояснююча змінна Х (регресор) є причиною зміни залежної змінної Y (регресанда). Так, збільшення доходу населення викликає збільшення витрат на споживання; збільшення ціни на товар викликає зменшення попиту на нього; зниження відсоткової ставки збільшує кількість інвестицій.

Але залежності, наведені в прикладах, в дійсності, не будуть однозначними. Кожному конкретному значенню пояснюючої змінної X=x_i буде відповідати множина значень змінної Y. Отже, пояснююча змінна Х впливає на Y в середньому.

2. Парна лінійна регресія

В економічних дослідженнях найбільш широке використання знайшли моделі лінійної регресії, хоча це і є спрощений засіб в моделюванні реальних економічних процесів. Грунтовне вивчення і застосування методики побудови лінійних моделей надає необхідну теоретичну базу для створення більш складних, нелінійних моделей, які в більшій мірі відповідають реальним економічним процесам. Якщо в рівняння включено лише одну пояснюючу змінну, то одержуємо теоретичну модель, яка дістала назву парної лінійної регресії:

y_і = ?₀ + ?₁x_i + _i, (1)

Теоретичну модель для парної лінійної регресії можна записати наступним чином:

(2)

або у векторно-матричній формі, співвідношення (1) буде мати такий вигляд:

, (3)

Для визначення теоретичних коефіцієнтів ?₀, ?₁ необхідно буде використати всі значення (х_і, у_і) змінних Y і Х генеральної сукупності, що практично здійснити не можливо. Тому переходимо до побудови так званого емпіричного рівняння на базі інформації, одержаної із статистичноъ вибірки.

Емпіричне рівняння регресії має вигляд:

, (4)

який аналогічно із теоретичною моделлю, запишемо у векторно-матричній формі: регресія гомоскедастична гетероскедастична модель

, (5)

.

3. Деяка інформація про випадкові збудники

Причини, які спонукають появу випадкових збудників в рівняннях (1) можуть бути такими:

1. Слід пам'ятати, що будь-яка регресійна модель є в певній мірі спрощенням реальної ситуації, яка в дійсності являє собою складне переплетіння різних факторів, багато з яких практично неможливо врахувати в моделі. Так, наприклад, попит на товар буде визначатися як його ціною, так і ціною на ті товари, які можуть його заміняти, ціною на супроводжуючі товари, доходами споживачів та їх вподобаннями і т.ін. Однак в цьому переліку не враховуються традиції як релігійні, так і національні, особливості кліматичних умов і багато інших факторів. При цьому ще виникає проблема визначення факторів, які за певних умов будуть домінуючими, а якими можна знехтувати. В ряді випадків існують фактори, які не можна використати в моделі тому, що для них проблематично одержати необхідні статистичні дані. Наприклад, величина заощаджень родини визначається не лише доходами її членів, а й їхнім здоров'ям, інформацію про що в цивілізованих країнах тримають в таємниці. Окрім цього, багато факторів мають випадковий характер (погода, стихійні лиха), які посилюють неоднозначність.

2. Неправильно вибрана функціональна залежність. Це може трапитися внаслідок недостатнього дослідження процесу, який підлягає моделюванню. Так, виробнича функція, яка описує залежність Y від одного фактора Х може бути виражена лінійним співвідношенням:

,

хоча насправді, при більш ретельному дослідженні, стане відомо, що співвідношення між Y та Х матиме нелінійний характер, наприклад:

.

Вибір форм функціональної залежності між змінними називають специфікацією моделі.

3. Можуть бути невірно вибрані пояснюючі змінні.

4. В багатьох моделях залежність між факторами має складну форму зв'язку між цілими комплексами подібних величин. Так, при дослідженні залежності попиту Y в якості пояснюючої вибирають змінну, яка уособлює складну комбінацію індивідуальних запитів, що мають на неї певний вплив поряд із факторами, які враховані в моделі. Здійснюється так зване агрегування пояснюючих змінних, що може бути однією із причин появи в моделі випадкового збудника .

5. Можуть бути допущені помилки при аналізі та обробці статистичних даних, які також сприятимуть появі .

6. Як правило, будь-яка статистична інформація є обмеженою і, крім цього, більшість моделей описуються неперервними функціями, але при цьому використовуються вибіркові дані, які мають дискретну структуру.

7. Слід також зважити на наявність людського фактора, який в тій чи іншій мірі обов'язково є присутнім в будь-якому економічному процесі, але врахувати який в моделі поки що практично неможливо. В певних ситуаціях цей фактор може навіть якісну модель деформувати до примітивного рівня.

4. Умови Гауса-Маркова. Гомоскедастичні та гетероскедастичні моделі

Для визначення емпіричного вектора необхідно використати метод найменших квадратів (МНК), а для цього потрібно, щоб виконувалися певні умови, які називаються умовами Гаусса-Маркова, а саме:

1. Математичне сподівання випадкових відхилень повинно дорівнювати нулеві:

. (6)

Ця умова вимагає, щоб випадкові відхилення в середньому не впливали на залежну змінну Y, тобто в кожному конкретному спостереженні відхилення може набувати додатні або від'ємні значення, але не повинно спостерігатися систематичне зміщення відхилень в переважній більшості в бік одного знаку.

Із врахуванням вищесказаного, використовуючи рівняння (2), будемо мати:

, (7)

2. Дисперсія випадкових відхилень повинна бути сталою величиною:

, .

Ця вимога передбачає, що не зважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні випадкове відхилення може виявитися відносно великим чи малим, це не повинно складати основу для апріорної причини, тобто причини, що не базується на досвіді, що спонукала б велику похибку.

3. Випадкові відхилення та , повинні бути незалежними одне від одного.

Виконання цієї умови припускає, що між будь-якими випадковими відхиленнями відсутній систематичний зв'язок, тобто величина та знак будь-якого випадкового відхилення не буде являтися причиною величини та знаку будь-якого іншого випадкового відхилення. Цю умову можна записати так:

. (8)

Тут,

є математичний запис коваріаційного (кореляційного) моменту.

4. Випадковий вектор відхилень повинен бути незалежним від регресорів матриці .

Ця умова виконується автоматично, коли пояснюючі змінні не є стохастичними величинами в заданій моделі.

,

бо , а ( не є випадковою величиною).

5. Компоненти випадкового вектора повинні мати нормальний закон розподілу .

Тоді випадковий вектор буде мати нормальний закон розподілу виду .

6. Між регресорами , матриці Х повинна бути відсутня лінійна (кореляційна) залежність. Для цього випадку повинна виконуватися умова:

. (9)

Слід при цьому наголосити, що матриця є симетричною.

7. Економетричні моделі повинні бути лінійними відносно своїх параметрів.

Економетричні моделі, для яких виконуються умови (1-7), називають класичними лінійними моделями.

Моделі, для яких виконується умова (2) (сталість дисперсії випадкових відхилень), називають гомоскедастичними.

Моделі, для яких не виконується умова (2):

,

називають гетероскедастичними.

Слід також зауважити, що ранг матриці Х повинен бути:

. (10)

Виконання перелічених умов дає нам право на використання МНК для визначення статистичних оцінок параметрів теоретичної лінійної множинної регресії, перевірку статистичних гіпотез та побудови інтервальних статистичних оцінок.

5. Специфікація моделі

Будь-яка математична модель є спрощеним образом оригіналу, який може являти собою економічну систему, в якій взаємодіє безліч факторів, які впливають на залежну змінну, багато з яких фізично не можливо включити до моделі. Тому задачу побудови якісної математичної моделі в формі рівняння регресії на основі певної статистичної вибірки можна умовно поділити на такі три етапи:

1) вибір форми рівняння регресії (специфікація моделі);

2) визначення параметрів, які є складовими частинами вибраного рівняння;

3) аналіз якості рівняння як математичної моделі досліджуваного процесу та перевірка моделі на адекватність емпіричним даним із можливим наступним удосконаленням специфікації рівняння зв'язку.

Найбільш очевидним є вибір специфікації моделі у випадку парної регресії, оскільки його можна виконати візуально, використовуючи графічне зображення емпіричних даних як точок (x_i, y_i) на кореляційному полі в декартовій системі координат, які утворюють так звану діаграму розсіювання (рис. 1 а, б, в).

Так на рис. 1а можна припустити, що зв'язок між Y та Х є лінійним ; на рис. 1б залежність близька до параболічної , а на рис. 1в явної залежності між Y та Х не спостерігається.

Рисунок 1

Для множинної регресії виявлення залежності між змінними значно ускладнюється. Тут в деяких випадках може спрацювати інтуїція.

Размещено на Allbest.ru