Размещено на http://www.allbest.ru/

Лекція

Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії

Анотація

Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії. Специфікація моделі. Визначення параметрів вибраного рівняння. Аналіз якості моделі. Довірчі інтервали для оцінок параметрів економетричної моделі. Прогнозування значень залежної змінної. Визначення коефіцієнта еластичності.

Економетричний аналіз лінійної функції парної регресії

Регресійний аналіз дозволяє визначити статистичні оцінки для параметрів функції регресії. Але, оскільки ми маємо в розпорядженні лише статистичні оцінки, одержані за результатами обробки однієї реалізованої вибірки, то неможливо зробити висновки відносно того, наскільки одержане емпіричне рівняння регресії буде відповідати рівнянню для всієї генеральної сукупності, тобто наскільки близькі будуть статистичні оцінки параметрів до своїх теоретичних значень , а, отже, і наскільки близькими будуть модельовані значення ознаки Y () до значень умовних математичних сподівань , а також наскільки при цьому ці значення будуть надійними.

Розв'язуванням цих питань займається економетричний аналіз, використовуючи при цьому методи математичної статистики.

Розглянемо наступний приклад.

Приклад 1. Досліджується залежність обсягів реалізації продукції підприємства (Y) від його кредиторської заборгованості (X) протягом року на основі даних його фінансової звітності, наведених в табл. 1.

Необхідно:

1) визначити вид зв'язку між заданими показниками;

2) розрахувати оцінки параметрів методом найменших квадратів;

3) виконати аналіз якості побудованої моделі та оцінок її параметрів;

4) розрахувати прогнозне значення залежної змінної та довірчі інтервали прогнозу;

5) визначити коефіцієнт еластичності.

Таблиця 1

Розв'язання.

1) Специфікація моделі.

В даному прикладі розглядається зв'язок між двома показниками - обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю підприємства, отже, маємо парну регресію.

Позначимо залежну величину - обсяг реалізації продукції - через y, а незалежну величину - кредиторську заборгованість - через х.

У випадку парної регресії зв'язок між величинами може бути представлений у графічній формі, що дає можливість наочно впевнитись у виборі кращої форми регресійного рівняння (специфікації моделі).

Представимо графічно залежність між наведеними показниками на рис. 1. парна регресія параметр еластичність

Очевидно, що в даному випадку зв'язок між наведеними показниками близький до лінійного, тому емпіричне рівняння матиме вигляд:

.

Рисунок 1

2) Визначення параметрів вибраного рівняння.

Розрахуємо значення коефіцієнтів:

; .

Для потрібних обчислень необхідно поетапно розрахувати наступні величини: , для кожного спостереження , , а також

.

Обчислимо =0,7858;

=0,7542.

Розрахунки значень інших величин подано в табл.2.

Таблиця 2

,

.

Отже, емпіричне лінійне рівняння парної регресії (економетрична модель залежності між обсягом реалізації продукції та кредиторською заборгованістю) по визначеним має вигляд:

.

Розрахунки значень запишемо в табл.. В цю ж таблицю включимо й відповідні значення , обчислені як:

.

3) Аналіз якості моделі.

Перевірка загальної якості рівняння регресії.

Нагадаємо, що загальну якість рівняння регресії здійснюють через розрахунок коефіцієнта детермінації, що обчислюється за формулою:

або .

Обчислимо суми:

, , .

Для цього в стовпчиках таблиці 3 запишемо розрахунок величин , , та знайдемо відповідні значення , , а потім визначимо:

та .

Таблиця 3

Таким чином, маємо:

0,8905.

Відомо, що є мірою, яка дозволяє визначити наскільки вдало емпіричне рівняння регресії узгоджується із статистичними даними, тобто наскільки реальні значення відхиляються від побудованої лінії регресії. Для нашого прикладу з рис. 11.2 бачимо, що точки відповідні реальним спостереженням розташовуються дуже близько від лінії регресії, отже, отриманий результат є цілком закономірним. Зробимо висновок: на 89 % зміна обсягів реалізації продукції пояснюється зміною кредиторської заборгованості підприємства, і лише на 11 % такі зміни пов'язані з іншими (не врахованими в даній економетричній моделі) факторами.

Оскільки:

,

обчислимо значення парного коефіцієнта кореляції

та здійснимо перевірку його статистичної значущості.

Маємо .

Для перевірки на статистичну значущість парного коефіцієнта кореляції r_xy обирається статистичний критерій:

по заданому рівню значущості і ступенях свободи . Обчислене значення порівнюємо з табличним значенням, на основі чого робимо висновок стосовно прийняття гіпотези про значущість (незначущість) коефіцієнта кореляції.

.

якщо =0,05; , то табличне значення =2,228; .

Оскільки

,

то приймається гіпотеза про статистичну значущість розрахованого для даного прикладу коефіцієнта кореляції.

Загалом проведений аналіз якості побудованої лінії регресії дає підстави вважати дану модель якісною, а тому можливо використовувати її для подальших досліджень.

Перевірка статистичної значущості оцінок параметрів економетричної моделі.

Для перевірки нульової гіпотези при альтернативній гіпотезі вибирають за статистичний критерій випадкову величину:

, (),

що має розподіл Стьюдента (t-розподіл) із ступенями свободи. По обраному рівню значущості та числу ступенів свободи k=10 маємо =2,228 та другу точку .

Область прийняття гіпотези, що визначається інтервалом: , .

Обчислимо спостережене значення обраного статистичного критерію, як:

, ().

Нагадаємо, що коли:

,

то приймається гіпотеза про те, що , і, навпаки, (), якщо

.

Для розрахунку та використаємо формули:

,

.

Для проведення необхідних обчислень виконаємо розрахунок .

Тепер

=0,07730,99763

0,0771.

Також обчислимо :

0,07731,2662

0,09786.

Отже маємо:

1,56, тобто для оцінки параметру приймається гіпотеза ; аналогічно здійснюємо перевірку статистичної значущості параметру :

9,016, а тому оцінка параметру є статистично значущою, що свідчить про суттєвий вплив на залежну змінну обраної незалежної змінної, тоді як статистична незначущість коефіцієнту , вказує на те, що всі інші фактори, які не були враховані в даній регресійній моделі не дають значного впливу на залежну змінну.

Отже, на даному етапі аналізу побудованої економетричної моделі (перевірка статистичної значущості оцінок параметрів ) можна визначити модель як якісну, оскільки статистично значуща оцінка параметру вказує на суттєвий вплив обраного фактору на залежну змінну, тоді як всі інші невраховані фактори (статистично незначуща оцінка параметру ) не дають суттєвого впливу на зміну значень y.

Довірчі інтервали для оцінок параметрів економетричної моделі.

Довірчі інтервали обчислюється за формулами:

для :

для :

,

де визначається за таблицею розподілу Стьюдента по заданій надійності і числу ступенів свободи .

Оберемо рівень надійності та, враховуючи, що число ступенів свободи дорівнює =12-2=10 маємо =2,228.

Таким чином, довірчі інтервали для оцінок параметрів визначаються межами:

,

аналогічно для маємо:

.

4) Прогнозування значень залежної змінної.

Визначимо прогноз обсягів реалізації продукції на наступний період часу в залежності від кредиторської заборгованості, яка в січні наступного року запланована на рівні 1,25 млн. грн. Скористаємося визначеною залежністю між зазначеними показниками, яка має вигляд:

.

Найбільш грубою оцінкою такого прогнозу буде визначення однієї точки для значення :

.

Зобразимо знайдений прогноз поряд з реальними значеннями спостережень (рис. 2):

Рисунок 2

Розрахована точка з координатами () знаходиться на побудованій прямій, однак зрозуміло, що реальне значення для обраного може відхилятись від лінії регресії, тому для розрахунку точних прогнозів визначають не одну точку, а прогнозний інтервал.

Розрахуємо два види прогнозу:

- інтервал для прогнозу середнього значення залежної змінної,

- інтервал для прогнозу індивідуального значення залежної змінної.

4) Прогнозування середнього значення залежної змінної.

Довірчий інтервал для теоретичної функції регресії знаходимо за формулою:

де визначається за таблицею розподілу Стьюдента по заданій надійності і числу ступенів свободи , а визначається за формулою:

=.

Значення визначимо як і в попередніх випадках для =0,95 і числа ступенів свободи , маємо =2,228.

Для розрахунку величини скористаємося значеннями з таблиць:

та .

Визначимо похибку прогнозу для середнього значення .

=

0,9371930,07243.

Тоді,

,,

.

Знаходимо довірчий інтервал для прогнозованого індивідуального значення із заданою надійністю :

,

,

для розрахунку якої використовуються обчислення проведені вище:

1,4840,1147.

Тепер границі інтервалу будуть:

,,

.

5) Визначення коефіцієнта еластичності.

Для характеристики впливу регресора Х на залежну змінну Y в моделі використовується коефіцієнт еластичності K_E. Припустимо, величина y залежить від х і ця залежність описується функцією . Приріст незалежної змінної приводить до відповідної зміни залежної - . З точки зору економічних досліджень важливим є питання, як вимірювати вплив зміни одного фактору на інший. Як відомо, одним з показників реагування y на зміну x слугує похідна:

,

яка характеризує швидкість зміни функції зі зміною аргументу. Однак в економіці цей показник незручний у використанні, оскільки він залежить від вибору одиниць вимірювання.

Наприклад, якщо розглядати функцію попиту на певний продукт (S) від його ціни (Р), яка буде вимірюватися в грн., то бачимо, що значення похідної

при кожній ціні залежатиме від того, в яких одиницях вимірюється попит на цей продукт: кілограмах, центнерах, тонах тощо. Відповідно значення похідної будуть вимірюватися в кг/грн, ц/грн., або т/грн, отже при одному й тому ж значенні ціни похідні будуть різними. Тому в загальному випадку для виміру чуттєвості зміни функції до зміни аргументу в економці вивчають зв'язок не абсолютних змін х та y, (), а їх відносних чи процентних змін.

Коефіцієнт еластичності - границя відношення зміни у відсотках однієї ознаки при зміні на один відсоток іншої:

В загальному випадку буде неперервною функцією від .

Наприклад, якщо залежність попиту y від доходу x визначається функцією:

,

то буде визначатися наступним чином:

.

таким чином, коефіцієнт еластичності в даному випадку є сталою величиною.

Якщо ж , то маємо:

,

тобто в цьому випадку є функцією від х.

Для випадку множинної регресії вводиться поняття часткового коефіцієнту еластичності .

Частковий коефіцієнт еластичності - границя відношення зміни у відсотках Y при зміні на один відсоток одного з регресорів :

.

В даному випадку визначає еластичність впливу обраного регресора на залежну змінну Y.

Для парної лінійної регресії коефіцієнт еластичності визначається наступним чином:

.

Використовуючи початкові значення , можна зобразити графічно:

Рисунок 3

В даному випадку , тобто при зміні кредиторської заборгованості на 1 %, обсяги реалізації продукції змінюються менше, ніж на один відсоток.

Размещено на Allbest.ru

...