Узагальнені економетричні моделі

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЛЕКЦІЯ

УЗАГАЛЬНЕНІ ЕКОНОМЕТРИЧНІ МОДЕЛІ

Анотація

Моделі з порушенням передумов використання звичайного методу найменших квадратів. Узагальнений метод найменших квадратів. Суть гетероскедастичності. Гетероскедастичність і зважений метод найменших квадратів.

1. Моделі з порушенням передумов використання звичайного методу найменших квадратів

Під час реалізації регресійного аналізу за допомогою звичайного МНК особливу увагу необхідно звернути на проблеми, пов'язані з виконанням необхідних умов для випадкових відхилень, оскільки властивості статистичних оцінок параметрів лінійної регресії перебувають у прямій залежності від цих відхилень .

Для одержання якісних статистичних оцінок потрібно уважно стежити за виконанням передумов, що сформульовані в теоремі Гаусcа-Маркова, бо при їх порушенні звичайний МНК дає статистичні оцінки, яким притамані небажані властивості.

Однією із передумов теореми Гаусса-Маркова є:

Де:

n - число спостережень.

Виконання цієї умови називають гомоскедастичністю залишків. У випадку, коли порушується ця передумова, тобто:

Це є головною ознакою наявності гетероскедастичності моделі.

Моделі, для яких не виконуються передумови Гаусса-Маркова, можна розділити на три групи:

До першої належать такі моделі, для яких виконуються наступні умови стосовно компонент випадкового вектора :

1) вони мають нульові математичні сподівання:

2) між собою є попарно некорельовані:

В цьому випадку коваріаційна матриця випадкового вектора буде мати такий вигляд:

Отже:

(1)

Такі моделі називають економетричними моделями з ознакою гетероскедастичності залишків.

До другої групи належать моделі, для яких виконуються такі умови:

1) збурення мають нульові математичні сподівання:

2) вони є попарно корельованими:

(2)

Де:

В цих моделях між випадковими відхиленями існує кореляційний зв'язок, хоча дисперсії їх є сталими величинами.

Коваріаційна матриця в цьому випадку матиме вигляд

(3)

Слід пам'ятати, що , тобто матриця є симетричною. Тому в цих моделях хоча умова гомоскедастичності (сталість дисперсій залишків) і виконується, але використання звичайного МНК не рекомендується внаслідок існування коваріаційних моментів між випадковими залишками.

До третьої групи належать моделі, для яких:

1) збурення мають нульові математичні сподівання:

2) елементи є попарно корельованими

(4)

Слід наголосити, що для всіх трьох груп лінійних моделей з порушенням передумов застосування МНК точкові статистичні оцінки для теоретичних параметрів будуть незміщененими, але втрачають свою ефективність, тобто вони не матимуть мінімальну дисперсію, що призведе до зниження ймовірності одержання доброякісної оцінки.

Для моделей першої групи статистична оцінка параметрів здійснюється шляхом використання зваженого методу найменших квадратів. Для моделей другої та третьої груп - узагальненого методу найменших квадратів, які будуть розглянуті в наступних пунктах.

2. Узагальнений метод найменших квадратів

Умова гомоскедастичності є головною для лінійної класичної моделі і записується як:

(5)

Для лінійних моделей з властивістю випадкового вектора , коли:

 (6)

Матриця є симетричною, додатньо визначеною матрицею n-го порядку, неможливим є використання звичайного МНК з метою визначення статистичних оцінок, як це було здійснено для лінійної класичної моделі. В такому випадку використовують так званий узагальнений метод найменьших квадратів (УМНК). Нехай досліджується лінійна модель:

(7)

З порушенням умови гомоскедастичності, а саме:

(8)

Тоді додатньо визначена матриця допускає існування такої невиродженої матриці , що:

(9)

Із (9) буде випливати:

(10)

Таким чином, одержимо:

 (11)

Враховуючи (11) для моделі (7) здійснимо таке перeтворення: ліву і праву частини рівняння помножимо зліва на матрицю :

(12)

Позначивши:

(13)

Одержимо:

(14)

Здійснивши перевірку моделі на наявність гетероскедастичності, маємо:

Таким чином, виявилось, що перетворена модель (14) є гомоскедастичною, а тому для визначення статистичних оцінок цієї моделі можемо використати звичайний МНК, як для класичної лінійної моделі і одержимо:

 (15)

Враховуючи (13) маємо:

Коваріаційна матриця вектора буде дорівнювати:

Таким чином, одержали:

(16)

(17)

Розглянутий метод перетворення початкової моделі (7) із подальшим використанням звичайного МНК до моделі (14) для визначення :

- дістав назву узагальненого методу найменших квадратів (УМНК).

Але при цьому слід наголосити, що для реалізації УМНК необхідно знати елементи матриці , що на практиці є справою дуже складною. А тому цей метод, певною мірою, виконує чисто ілюстративну функцію в економетрії.

Для практичного використання цього методу необхідно накласти певні умови на структуру матриці .

3. Суть гетероскедастичності

Розглянемо моделі, що належать до першої групи моделей з порушенням передумов використання звичайного МНК.

При здійсненні вибірки ми маємо справу з конкретними реалізаціями залежної змінної Y і відповідними значеннями пояснюючих змінних (регресорів), при цьому завжди буде присутній фактор випадкових збурень, що породжують відхилення .

Випадковi величини апріорно можуть набувати довільних значень, що підпорядковані певним імовірним розподілам. Однією з головних вимог до цих розподілів є рівність їх дисперсій.

Цю вимогу потрібно розуміти так: не зважаючи на те, що при кожному конкретному спостереженні випадкові відхилення будуть між собою відрізнятися, не повинно існувати причини, яка б спонукала значну розбіжність між цими величинами.

Тобто похибки в середньому для всіх спостережень повинні мало відрізнятися. Звичайно, в певному розумінні, тут припускається ідеалізація ситуації.

Така ідеальна ситуація в реальних умовах не спостерігається. Часто, при реалізації спостережень в одних і тих самих умовах, відхилення будуть суттєво відрізнятися між собою, тобто в одних спостереженнях вони виявляються відносно великими, в інших - малими.

Так, наприклад, нехай залежність витрат на споживання (Y) середньостатистичного суб'єкта від його доходів (Х) описується парною лінійною регресією:

(18)

Розглянемо для цієї моделі два випадки (рис. 1 а, б):

1) умова гомоскедастичності виконується;

2) умова гомоскедастичності не виконується (наявна гетероскедастичність).

В цьому випадку можуть виникати проблеми, пов'язані з ефектом масштабу (різних одиниць виміру).

У часових рядах явище гетероскедастичності пов'язане з тим, що одні й ті самі показники розглядаються в різні моменти часу (наприклад чистий експорт, темпи інфляції в певному регіоні за певний проміжок часу).

Рисунок 1 а:

За наявності гетероскедастичності (моделі першої групи) статистична оцінка дисперсії обчислена за формулою:

 (19)

Де:

n - кількість спостережень;

m - кількість регресорів в моделі, яка використовується для визначення дисперсій;

- для всіх емпіричних коефіцієнтів не буде незміщеною.

Тоді: t-статистика, а F-статистика, інтервальні оцінки параметрів моделі стануть ненадійними.

Рисунок 1 б:

Отже використання звичайного МНК при наявності гетероскедастичності в моделі буде неефективним.

Це добре ілюструється на прикладі парної лінійної регресії, графік якої зображено на рис. 2.

За МНК маємо суму квадратів похибок:

(20)

Рисунок 2:

Очевидно, що кожне конкретне значення в наведеній сумі (20) має одинакову, так би мовити, “питому вагу”, незалежно від того, чи одержали його при значенні (де є мала дисперсія), чи при значенні (де наявна велика дисперсія), що звичайно суперечить здоровому глузду, оскільки точка, одержана із розподілу точніше визначає напрямок (тенденцію) лінії регресії, ніж точка, одержана при .

Тому, якщо поталанить врахувати “питому вагу” всіх точок , то це дозволить одержати ефективніші (доброякісні) (більш ефективні) статистичні оцінки.

4. Гетероскедастичність і зважений метод найменших квадратів

Ознаку гетероскедастичності в кожному конкретному випадку виявити складно, оскільки для цього необхідно знати величини для кожного фіксованого значення . На практиці, як правило, для кожного конкретного значення ми маємо в розпоряджені лише одне значення залежної змінної , а не цілий ряд розподілу. Це не дозволяє нам оцінити дисперсію випадкової величини Y при фіксованому значенні . Існують опробовані тести за допомогою яких можна виявити гетероскедастичність. І, як свідчить практика, їх використання дають позитивні наслідки. Такими є тести Глейзера і Гольдфельда-Квандта.

Тести Глейзера і Гольдфельдта-Квандта можуть виявити присутність ознаки гетероскедастичності в моделі лише у випадку порушення умови , тобто, коли дисперсії залишків не є сталими величинами. Коли ж умова виконується, і при цьому , то виявити це порушення умови гомоскедаститчності вищенаведеними тестеми неможливо.

У цьому випадку маємо справу із лінійною моделю з порушенням ознаки гомоскедастичності, яка належить до другої групи. Така ситуація виникає при досліджені моделей із ознакою автокореляції.

Розглянемо приклад.

Приклад:

Розглянемо залежність між прибутком банків України (Y, млн. грн.) та величиною їх статутного фонду (X, млн. грн.) на прикладі вибіркових даних, приведених в таблиці 1.

Таблиця 1:

Необхідно:

1) обчислити оцінки параметрів моделі за методом найменших квадратів, перевірити суттєвість зв'язку в моделі та статистичну значущість розрахованих оцінок параметрів моделі;

2) проаналізувати доцільність застосування методу найменших квадратів, перевіривши тестами Гольдфельда-Квандта та Глейзера наявність гетероскедастичності залишків;

3) розрахувати оцінки параметрів моделі з урахуванням результатів тестів на наявність гетероскедастичності залишків.

Розв'язання:

1) Побудова моделі за МНК, перевірка моделі та її параметрів на статистичну значущість.

Лінійна економетрична модель, оцінки параметрів якої знайдено за методом найменших квадратів для вибіркових даних (табл. 1), має вигляд:

(21)

Коефіцієнт детермінації цієї моделі R²=0,854, між результативною змінною Y і регресором X коефіцієнт парної кореляції r_xy=0,924. Перевіримо статистичну значущість коефіцієнта парної кореляції за критерієм Стьюдента:

.

При рівні значущості =0,05 та ступенях свободи:

k = n - m - 1 = 28

- табличне значення критерію Стьюдента:

= 2,048

Отже:

>

- зв'язок в моделі між Y та X суттєвий. Стандартні помилки оцінок параметрів і відповідні їм значення t-критерію дорівнюють:

Дає змогу зробити висновок про суттєву відмінність від нуля розрахованих оцінок параметрів моделі.

2) Перевірка на наявність гетероскедастичності залишків.

Застосуємо тест Гольдфельда-Квандта для перевірки наявності гетероскедастичності залишків. Тестом перевіряється за критерієм Фішера основна гіпотеза H₀ при альтернативній гіпотезі H_б не H₀. Для цього упорядкуємо вхідні дані в порядку спадання значень пояснюючої змінної X (табл. 2).

Таблиця 2:

Відкинемо:

()

- середніх спостережень (друга підвибірка), вважаючи, що дисперсія залишків для них постійна. За методом найменших квадратів знайдемо оцінки параметрів спочатку для першої моделі з:



- найбільшими значеннями регресора X, потім для другої - з найменшими значеннями X ( третя підвибірка).

Знайдемо значення та (табл. 3) для першої та другої моделей та перевіримо наявність гетероскедастичності залишків на основі тесту Гольдфельда-Квандта.

Таблиця 3:

Для цього обчислимо суми квадратів залишків:

Розраховане значення:

Порівняємо з табличним значенням = 3,18 із ступенями свободи k₁ = 11 - 1 - 1 = 9 і k₂ = 11 - 1 - 1 = 9 при рівні значущості б = 0,05. Так як:

>

Гіпотезу H₀ про відсутність гетероскедастичності залишків відхиляємо.

Проаналізуємо наявність гетероскедастичності за тестом Глейзера. Для моделі (20) обчислимо значення залишків та запишемо їх за абсолютною величиною (табл. 4).

Таблиця 4:

Коефіцієнт детермінації моделі R²=0,628, між та X коефіцієнт парної кореляції r = 0,792. Стандартні помилки оцінок параметрів і відповідні їм значення t-критерію дорівнюють:

При рівні значущості =0,05 і ступенях свободи k=n-m-1=28 табличне значення критерію Стьюдента:

t_/2,k = 2,048

Порівняємо розраховані значення з табличним:

Отже, приймаємо за тестом Глейзера гіпотезу про наявність гетероскедастичності залишків.

3) Застосуємо зваженений метод найменших квадратів для знаходження оцінок параметрів моделі з гетероскедастичними регресійними залишками.

На основі тесту Гольдфельда-Квандта та Глейзера припускаємо, що:

Використовуючи (15), одержуємо:

Де:

На основі даних таблиці 5, знаходимо, що:

.

Таблиця 5:

Для визначення та використовується формула:

Де:



Тут:

n - m - 1 = 30 - 1 - 1 = 28

Таким чином, одержано: квадрат економетричний вектор

Перевіримо статистичну значущість оцінок параметрів на основі t-критерію:

При рівні значущості =0,05 та ступенях свободи k=n-m-1=28 табличне значення критерію Стьюдента:

= 2,048

Розраховані оцінки параметрів моделі суттєво відрізняються від нуля.

В порівнянні з моделлю (21) середньоквадратичні помилки оцінок параметрів зменшились при відповідному збільшенні значення .

Отже, економетрична модель з урахуванням гетероскедастичності залишків має наступний вигляд:



Тобто майже чверть величини статутного фонду визначає щорічний прибуток банку, що може бути характеристикою ефективності використання початкового (акціонерного) капіталу українських банків.

Размещено на Allbest.ru

...