Статистические оценки параметров выборки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

Решение. Для построения интервального ряда из дискретного используется формула Стерджесса, с помощью которой определяется оптимальное количество интервалов (n):

k = 1 +3,322 lg N, (1)

, (2)

где k - число групп (округляемое до ближайшего целого числа); N - численность совокупности.

Из формулы Стерджесса видно, что число групп - функция объема данных (N).

Зная число групп, рассчитывают длину (размах) интервала по формуле (3):

, (3)

где X_мax и X_min - максимальное и минимальное значения в совокупности.

В нашей задаче k = 1 + 3,322lg20 = 1 + 3,322*1,301 = 5,32. Так как число интервалов не может быть дробным, то округлим его до ближайшего целого числа, т.е. до 5.

Рассчитаем длину (размах) интервала по формуле (3):

В нашей задаче h = (128-92)/5 = 7,2.

Интервальная группировка данных приведена в первом столбце таблицы 1, которая содержит также алгоритм и промежуточные расчеты.



Таблица 1. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Xi, лет	fi	ХИ	XИfi	ХИ-		(ХИ-)2	(ХИ-)2fi	(ХИ-)3 fi	(ХИ-)4 fi
92-99,2	4	95,6	382,4	-11,8	-47,2	139,24	556,96	-6572,128	77421,949
99,2-106,4	7	102,8	719,6	-4,6	-32,2	21,16	148,12	-681,35	3134,219
106,4-113,6	4	110	440	2,6	104	6,76	27,04	70,30	182,79
113,6-120,8	3	117,2	351,6	9,8	29,4	96,04	288,12	2823,576	27774,768
120,8-128	2	124,4	248,8	17	34	289	578	9826,00	167042
Итого	20		2142,4		-5,6	552,2	1598,24	5466,398	275555,727

Средний IQ находим по средней арифметической простой формуле (4):

=,

= 107,4.

На основе этой группировки строится график распределения IQ студентов (рис. 1).

Рис. 1. График распределения IQ студентов

Медиана - величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части - со значением признака меньше медианы и со значением признака больше медианы.

, (5)

где Ме - медиана;

X₀-нижняя граница интервала, в котором находится медиана;

h - величина (размах) интервала;

- накопленная частота в интервале, предшествующем медианному;

f_Me - частота в медианном интервале.

(IQ).

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на 4 равные по численности части - квартили, которые обозначаются заглавной латинской буквой Q с подписным значком номера квартиля. Ясно, что Q₂ совпадает с Ме. Для первого и третьего квартилей приводим формулы и расчет по данным табл. 1:

(IQ).

(IQ).

Мода - это наиболее часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле (6):

, (6)

где Мо - мода;

Х ₀-нижнее значение модального интервала;

f_Mo - частота в модальном интервале;

f_Mo-1 - частота в предыдущем интервале;

f_Mo+1 - частота в следующем интервале за модальным;

h - величина интервала.

По данным табл. 1 рассчитаем точечную моду по формуле (6):

(IQ).

К изучению структуры ряда распределения средняя арифметическая величина также имеет отношение, хотя основное значение этого обобщающего показателя другое.

Средняя величина - это обобщающий показатель совокупности, характеризующий уровень изучаемого явления или процесса. Средние величины могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном (несгруппированном) порядке, по общей формуле (7). Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием общей формулы (8). интервальный квадратическое отклонение дисперсия

=; (7) =. (8)

При этом обозначено: X_i - значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов; m - показатель степени, от значения которого зависят виды средних величин. Используя формулы (7) и (8) при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида (см. таблицу 2).



Таблица 2. Виды степенных средних и их применение

m	Название средней	Формула расчета средней	Когда применяется
		простая	взвешенная
1	Арифметическая	= (7)	= (8)	Чаще всего, кроме тех случаев, когда должны применяться другие виды средних
- 1	Гармоническая	ГМ = (9)	ГМ = (10)	Для осреднения величин с дробной размерностью при наличии дополнительных данных по числителю дробной размерности
0	Геометрическая	(11)	(12)	Для осреднения цепных индексов динамики
2	Квадратическая	= (13)	= (14)	Для осреднения вариации признака (расчет средних отклонений)
3	Кубическая	= (15)	= (16)	Для расчета индексов нищеты населения
1	Хронологическая	(17)	(18)	Для осреднения моментных статистических величин

Выбор вида формулы средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять. Показатель степени m в общей формуле средней величины оказывает существенное влияние на значение средней величины: по мере увеличения степени возрастает и средняя величина (правило мажорантности средних величин), то есть:

< < < < .

Так, если , то , а если , то .

В нашей задаче, применяем формулу (8).

== 2142,4/20 = 107,12 (IQ).

Теперь осталось определить типичность или нетипичность найденной средней величины. Это осуществляется с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

Простейшим показателем является размах вариации - абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений (19):

. (19)

Н = 128-92 = 36.

Коэффициенты вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине. Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации.

Среднее линейное отклонение определяется по формулам (20) и (21):

- простое; (20)

- взвешенное. (21)

Среднее квадратическое отклонение определяется как корень квадратный из дисперсии, то есть по формуле (22):

. (22)

Дисперсия определяется по формулам (23) или (24):

- простая; (23)

- взвешенная. (24)

В нашей задаче, применяя формулу (21), определим ее числитель и внесем в расчетную таблицу. В итоге получим среднее линейное отклонение: Л = -5,6/20 = -0,28 (IQ). Разделив это значение на средний IQ, получим линейный коэффициент вариации: = -0,28/107,12 = -0,003. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов делаем вывод о типичности среднего IQ, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (-0,003 < 0,333).

Применяя формулу (24), получим в итоге дисперсию: Д = 1598,24/20 = 79,912. Извлечем из этого числа корень и получим в результате среднее квадратическое отклонение: = = 8,94 (IQ). Разделив это значение на средний IQ, получим квадратический коэффициент вариации: = 8,94/107,12 = 0,083. По значению этого коэффициента для рассмотренной группы студентов можно сделать вывод о типичности среднего IQ, т.к. расчетное значение коэффициента вариации не превышает критериального (0,083 < 0,333).

В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии - нормированный момент третьего порядка (25) и коэффициент асимметрии Пирсона (26):

, (25)

. (26)

Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней (правосторонняя скошенность), если отрицательно - левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен.

В нашей задаче ==5466,398/20 = 273,32; =8,94³= 714,517; =5466,398/714,517 = 7,65 > 0, значит, распределение студентов по IQ с правосторонней асимметрией. Это подтверждает и значение коэффициента асимметрии Пирсона: As = (107,12-53,2)/8,94 = 6,032.

Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4-го порядка:

=. (27)

Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4-го порядка , который и характеризует крутизну (заостренность) графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное (симметричное) распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распределения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения (28):

. (28)

В нашей задаче числитель центрального момента 4-го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге по формуле (28) имеем: Ex = (275581,145/20)/8,94⁴-3 = 1,93-3 = -1,07. Так как Ex<0, то распределение низковершинное.

Задача №2

Решение. Для расчета обобщающих характеристик выборки построим вспомогательную таблицу 3.

Таблица 3. Вспомогательные расчеты для решения задачи

X	f	Х'	X'f	(Х' -)2	(Х' -)2f
до 5000	10	2500	25000	510948501,39	5109485013,90
5000-15000	40	10000	400000	228135951,39	9125438055,60
15000-30000	25	22500	562500	6781701,39	169542534,75
30000-50000	30	40000	1200000	221885751,39	6656572541,70
свыше 50000	15	55000	825000	893760651,39	13406409770,85
Итого	120		301250000		34467447916,80

По формуле (8) рассчитаем средний вклад в выборке: = 3012500,00/120 = 25104,17 (у.е.). Применив формулу (24) и рассчитав ее числитель в последнем столбце таблицы, получим дисперсию среднего выборочного вклада: = 34467447916,80/120 = 287228732,64.

Объем выборочной совокупности:

N= 120/5 % = 2400.

n = 120.

Теперь можно определить среднюю ошибку выборки по формуле (29):

= = 1507,944 (у.е.).

В нашей задаче = 0,954, значит t = 2. Тогда предельная ошибка выборки по формуле (30):

= 2*1507,943 = 3015,887(у.е.).

Для определения средней ошибки выборки при определении доли вкладчиков с доходами более 15000 у.е. в ГС необходимо определить их долю: w = 70/120 = 0,58 или 58 %, а затем ее дисперсию по формуле = w(1-w) = 0,58*(1-0,58) = 0,244. Тогда можно рассчитать среднюю ошибку выборки по формуле (29): = = 0,068 или 6,8 %. А затем и предельную ошибку выборки по формуле (30):

= 2*0,068 = 0,136 или 13,6 %.

Доверительный интервал среднего вклада находим по формуле (31):

25104,17-1507,944 25104,17+1507,944 или 23596,226 у.е. 26612,114 у.е., то есть средний размер вклада всех вкладчиков с вероятностью 95,4 % будет лежать в пределах от 23596,23 до 26612,114 у.е.

Аналогично определяем доверительный интервал для доли по формуле (32):

0,58-0,136 p0,58+0,136 или 0,447 p0,719, то есть доля вкладчиков с доходами более 15000 у.е. в банке с вероятностью 95,4 % будет лежать в пределах от 44,7 % до 71,9 %.

В нашей задаче выборка бесповторная, значит, воспользуемся формулой (33), в которую подставим уже рассчитанные дисперсии среднего выборочного вклада вкладчиков (= 287228732,64) и доли вкладчиков с доходами более 15000 у.е.

(= 0,2436):

n_б/повт = = 1577 (чел.),

n_б/повт= = 98 (чел.).

Таким образом, необходимо включить в выборку не менее 1577 вкладчиков при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е., и не менее 98 вкладчиков при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада более 15000 у.е., чтобы при этом не ошибиться более чем на 10 %.

Задача №3

Решение. Любое изменение уровней ряда динамики определяется базисным (сравнение с первым уровнем) и цепным (сравнение с предыдущим уровнем) способами. Оно может быть абсолютным (разность уровней ряда) и относительным (соотношение уровней).

Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда (34), а цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда (35).

, (34)

. (35)

В таблице 4 в столбце 3 рассчитаны базисные абсолютные изменения по формуле (34), а в столбце 4 - цепные абсолютные изменения по формуле (35)

Таблица 4. Анализ динамики валового сбора

Год	y					, %	, %
2006	15,7
2007	19,4	3,7	3,7	1,23	1,23	23,57	23,57
2008	21,8	6,1	2,4	1,39	1,123	38,853	12,4
2009	21,4	5,7	-0,4	1,36	0,98	36,306	-1,834
2010	30,9	15,2	9,5	1,97	1,443	96,815	44,4
2011	29,0	13,3	-1,9	1,85	0,94	84,713	-6,15
Всего	138,2		13,3		1,85

Между базисными и цепными абсолютными изменениями существует взаимосвязь: сумма цепных абсолютных изменений равна последнему базисному изменению, то есть:

. (36)

В нашей задаче правильность расчета абсолютных изменений по формуле (36): = 13,3 рассчитана в итоговой строке 4-го столбца, а = 13,3 - в предпоследней строке 3-го столбца табл. 4.

Относительное изменение (темп роста или индекс динамики) уровней рассчитывается как отношение (деление) двух уровней ряда по формуле (37) - для базисного способа сравнения или по формуле (38) - для цепного.

; (37)

. (38)

Относительное изменение показывает во сколько раз уровень данного периода больше уровня какого-либо предшествующего периода (при >1) или какую его часть составляет (при <1). Относительное изменение может выражаться в виде коэффициентов, то есть простого кратного отношения (если база сравнения принимается за единицу), и в процентах (если база сравнения принимается за 100 единиц) путем домножения относительного изменения на 100 %.

В табл. 4 в столбце 5 рассчитаны базисные относительные изменения по формуле (37), а в столбце 6 - цепные относительные изменения по формуле (38).

Между базисными и цепными относительными изменениями существует взаимосвязь: произведение цепных относительных изменений равно последнему базисному изменению, то есть:

. (39)

В нашем примере правильность расчета относительных изменений по формуле (39): = 1,23*1,23*0,98*1,443*0,94 = 1,85 рассчитано по данным 6-го столбца, а = 1,85 - в предпоследней строке 5-го столбцы табл. 4.

Темп изменения (темп прироста) уровней - относительный показатель, показывающий, на сколько процентов данный уровень больше (или меньше) другого, принимаемого за базу сравнения. Он рассчитывается путем вычитания из относительного изменения 100 %, то есть по формуле (40):

, (40)

или как процентное отношение абсолютного изменения к тому уровню, по сравнению с которым рассчитано абсолютное изменение (базисный уровень), то есть по формуле (41):

. (41)

В табл. 4 в столбце 7 рассчитаны базисные темпы изменения валового сбора по формуле (40), а в столбце 8 - цепные темпы изменения по формуле (41).

Обобщенной характеристикой ряда динамики является средний уровень ряда . Способ расчета зависит от того, моментный ряд или интервальный.

Виды средних величин, применяемых при расчете среднего уровня

Вид ряда динамики	Название средней величины	Формула средней величины	Номер формулы
Равномерный интервальный	Арифметическая простая		(42)
Равномерный моментный	Хронологическая простая		(43)
Неравномерный интервальный	Арифметическая взвешенная		(44)
Неравномерный моментный	Хронологическая взвешенная		(45)

В нашей задаче ряд динамики интервальный, значит, применяем формулу средней арифметической простой (7): = 138,2 / 6 = 23,033 (млн. т.) То есть за период 2006-2011 в стране Х в среднем за год валовый сбор сахарной свеклы составил 23,033 (млн. т.).

Кроме среднего уровня в рядах динамики рассчитываются и другие средние показатели - среднее изменение уровней ряда (базисным и цепным способами), средний темп изменения.

Базисное среднее абсолютное изменение - это частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений уровней (46). Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда - это частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений (47).

^Б = (46) ^Ц = (47)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными. В нашей задаче = 13,3/5 = 2,66, то есть ежегодно в среднем валовый сбор сахарной свеклы составил 2,66 (млн. т.).

Наряду со средним абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное. Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле (48), а цепное среднее относительное изменение - по формуле (49):

^Б== (48) ^Ц=. (49)

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность. В нашей задаче = = 1,13, то есть ежегодно в среднем валовый сбор сахарной свеклы растет в 1,13 раза.

Вычитанием 1 из среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики. В нашей задаче = 1,13-1 = 0,13, то есть ежегодно в среднем валовый сбор сахарной свеклы растет на 13 %.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда (тенденции развития ряда) возможна несколькими способами (метод средних, Фостера и Стюарта, Валлиса и Мура и пр.), но наиболее простым является графическая модель, где на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально. Тренд может представлять собой прямую линию, параболу, гиперболу и т.п. В итоге приходим к трендовой модели вида:

, (50)

где - математическая функция развития; - случайное или циклическое отклонение от функции; t - время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода - выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

- прямая линия;

- гипербола;

- парабола;

- степенная;

- ряд Фурье.

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис. 3).

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Рис. 3. График динамики валового сбора сахарной свеклы

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( - читается как "игрек, выравненный по t") от фактических () дает метод наименьших квадратов - МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

. (51)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (50) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда:

.

Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

.

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные - оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

. (32)

где n - количество уровней ряда; t - порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y - уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно - 1, - 2, - 3 и т.д., а следующие за средним (центральным) - соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают - 1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

. (43)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (43) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 5.

Из таблицы получаем, что = 138,2/6 = 23,033 и = 100,6/70 = 1,44. Отсюда искомое уравнение тренда =23,033+1,441t. В 6-м столбце таблицы 5 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-квадратики) и трендовых уровней (рис. 4).

Рис. 4. График эмпирических и трендовых уровней валового сбора сахарной свеклы

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

, (54)

где k - число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А - аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (56); Д_о - остаточная дисперсия (57), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (55) и аналитической дисперсии:

; (55)

; (56)

. (57)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 5. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Год	y	t	t2	yt		(y - )2	(- )2	(y - )2
2006	15,7	-5	25	-78,5	15,85	0,022	51,634	53,78
2007	19,4	-3	9	-58,2	18,722	0,46	18,59	13,201
2008	21,8	-1	1	-21,8	21,6	0,041	2,065	1,521
2009	21,4	+1	1	21,4	24,5	9,43	2,065	2,67
2010	30,9	3	9	92,7	27,345	12,64	18,59	61,89
2011	29,0	5	25	145	30,22	1,5	51,634	35,601
Итого	138,2		70	100,6	138,2	24,077	144,58	168,653

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (54), для чего в 7-м столбце таблицы 5 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце - числитель аналитической дисперсии. В формуле (54) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = 144,58*4/(24,077*1) = 578,306 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 7,71 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [= k - 1 = 1] и 8-й строке [= n - k = 4]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (58):

, (58)

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1 (приложение 2); - ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (59):

, (59)

где и - соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n - число уровней ряда; k - число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2012 и 2013 годы с уровнем значимости = (1-0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (59): == 2,453. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,5706 при = 6-1=5.

Прогноз на 2012 и 2013 годы с вероятностью 95 % осуществим по формуле (58):

Y₂₀₁₂₌(23,033+1,437*7)2,5706*2,453 или 26,79<Y₂₀₁₂<39,4 (млн. т.).

Y₂₀₁₃₌(23,033+1,437*9)2,5706*2,453 или 29,661<Y₂₀₁₂<42,274 (млн. т.).



Приложение 1

Значения F-критерия Фишера при уровне значимости = 0,05

?1 ?2	1	2	3	4	5	6	8	12	24
1	161,5	199,5	215,7	224,6	230,2	233,9	238,9	243,9	249,0	254,3
2	18,51	19,00	19,16	19,25	19,30	19,33	19,37	19,41	19,45	19,50
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,84	8,74	8,64	8,53
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,04	5,91	5,77	5,63
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,82	4,68	4,53	4,36
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,15	4,00	3,84	3,67
7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,73	3,57	3,41	3,23
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,44	3,28	3,12	2,93
9	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,23	3,07	2,90	2,71
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,07	2,91	2,74	2,54
11	4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	2,95	2,79	2,61	2,40
12	4,75	3,88	3,49	3,26	3,11	3,00	2,85	2,69	2,50	2,30
13	4,67	3,80	3,41	3,18	3,02	2,92	2,77	2,60	2,42	2,21
14	4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,70	2,53	2,35	2,13
15	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,64	2,48	2,29	2,07
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,59	2,42	2,24	2,01
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,55	2,38	2,19	1,96
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,51	2,34	2,15	1,92
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,48	2,31	2,11	1,88
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,45	2,28	2,08	1,84
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,42	2,25	2,05	1,81
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,40	2,23	2,03	1,78
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,38	2,20	2,00	1,76
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2,62	2,51	2,36	2,18	1,98	1,73
25	4,24	3,38	2,99	2,76	2,60	2,49	2,34	2,16	1,96	1,71
26	4,22	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,32	2,15	1,95	1,69
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,30	2,13	1,93	1,67
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,44	2,29	2,12	1,91	1,65
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,54	2,43	2,28	2,10	1,90	1,64
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,27	2,09	1,89	1,62
35	4,12	3,26	2,87	2,64	2,48	2,37	2,22	2,04	1,83	1,57
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,18	2,00	1,79	1,51
45	4,06	3,21	2,81	2,58	2,42	2,31	2,15	1,97	1,76	1,48
50	4,03	3,18	2,79	2,56	2,40	2,29	2,13	1,95	1,74	1,44
60	4,00	3,15	2,76	2,52	2,37	2,25	2,10	1,92	1,70	1,39
70	3,98	3,13	2,74	2,50	2,35	2,23	2,07	1,89	1,67	1,35
80	3,96	3,11	2,72	2,49	2,33	2,21	2,06	1,88	1,65	1,31
90	3,95	3,10	2,71	2,47	2,32	2,20	2,04	1,86	1,64	1,28
100	3,94	3,09	2,70	2,46	2,30	2,19	2,03	1,85	1,63	1,26
125	3,92	3,07	2,68	2,44	2,29	2,17	2,01	1,83	1,60	1,21
150	3,90	3,06	2,66	2,43	2,27	2,16	2,00	1,82	1,59	1,18
200	3,89	3,04	2,65	2,42	2,26	2,14	1,98	1,80	1,57	1,14
300	3,87	3,03	2,64	2,41	2,25	2,13	1,97	1,79	1,55	1,10
400	3,86	3,02	2,63	2,40	2,24	2,12	1,96	1,78	1,54	1,07
500	3,86	3,01	2,62	2,39	2,23	2,11	1,96	1,77	1,54	1,06
1000	3,85	3,00	2,61	2,38	2,22	2,10	1,95	1,76	1,53	1,03
	3,84	2,99	2,60	2,37	2,21	2,09	1,94	1,75	1,52	1



Приложение 2

Значения t-критерия Стьюдента при уровне значимости : 0,10, 0,05, 0,01

Число степеней свободы ?	a	Число степеней свободы ?	a
	0,1	0,05	0,01		0,1	0,05	0,01
1	6,314	12,706	63,66	18	1,734	2,101	2,878
2	2,92	4,3027	9,925	19	1,729	2,093	2,861
3	2,353	3,1825	5,841	20	1,725	2,086	2,845
4	2,132	2,7764	4,604	21	1,721	2,08	2,831
5	2,015	2,5706	4,032	22	1,717	2,074	2,819
6	1,943	2,4469	3,707	23	1,714	2,069	2,807
7	1,895	2,3646	3,5	24	1,711	2,064	2,797
8	1,86	2,306	3,355	25	1,708	2,06	2,787
9	1,833	2,2622	3,25	26	1,706	2,056	2,779
10	1,813	2,2281	3,169	27	1,703	2,052	2,771
11	1,796	2,201	3,106	28	1,701	2,048	2,763
12	1,782	2,1788	3,055	29	1,699	2,045	2,756
13	1,771	2,1604	3,012	30	1,697	2,042	2,75
14	1,761	2,1448	2,977	40	1,684	2,021	2,705
15	1,753	2,1315	2,947	60	1,671	2	2,66
16	1,746	2,1199,	2,921	120	1,658	1,98	2,617
17	1,74	2,1098	2,898		1,645	1,96	2,576

Размещено на Allbest.ru

...