Финансовая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Задача 1

В каждом варианте приведены поквартальные данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года (всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года).

Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Вариант 5	35	44	52	34	37	48	59	36	41	52	62	38	46	56	67	41

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учётом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания б1 = 0,3; б2 = 0,6; б3 = 0,3.

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

ь случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

ь независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения d1 = 1,10 и d2 = 1,37) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r1 = 0,32;

ь нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперёд, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчётные и прогнозные данные.

Решение

1) Для того чтобы построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса необходимо предварительно подготовить значения коэффициентов а(0), b(0), F(-3), F(-2), F(-1), F(0). Для этого построим вспомогательную линейную модель, использовав первые 8 кварталов (2 года), значения которых даны нам в исходных данных (Сервис > Анализ данных > Регрессия). Получим «Вывод итогов» программы Регрессия, где в строках «Y-пересечение» и «Переменная Х1» находятся коэффициенты, которые можно использовать в качестве предварительных оценок а(0) и b(0). Заносим данные в таблицу «Построение модели Хольта-Уинтерса».

Рассмотрим столбец «Предсказанное Y» итогов регрессии, в котором содержатся теоретические Y и составим формулы: коэффициент сезонности первого квартала: Y(1)/ Y(1) и пятый квартал: Y(5)/ Y(5). В качестве оценки коэффициента сезонности предыдущего года возьмём среднее значение:

F(-3) = Ѕ*(Y(1)/ Y(1)+ Y(5)/ Y(5)) = 0,86;

Аналогично:

F(-2) = Ѕ*(Y(2)/ Y(2)+ Y(6)/ Y(6)) = 1,08;

F(-1) = Ѕ*(Y(3)/ Y(3)+ Y(7)/ Y(7)) = 1,27;

F (0) = Ѕ*(Y(4)/ Y(4)+ Y(8)/ Y(8)) = 0,79.

Предварительный расчёт завершён можно перейти к основному по формулам Хольта-Уинтерса. Используем t = 0 и k = 1. По основной формуле получим:

Yp(1) = [a(0)+b(0)*1]*F (0+1 - 4) = 34,52.

Уточним коэффициенты для t = 1:

a(1) = ба* Y(1)/F(-3)+(1 - ба)*(a(0)+b(0)) = 40,25;

b(1) = бb*(a(1) - a(0))+(1 - бb)* b(0) = 0,92;

F(1) = бF*Y(1)/a(1)+(1 - бF)* F(-3) = 0,87.

Аналогично выполняется расчёт t = 2,3,…, 16 (до шестнадцатой строки). Для автоматического вычисления в Excel можно растянуть строку, содержащую коэффициенты сглаживания a(1), b(1), F(1) и расчётное значение Yp(1). Модель Хольта-Уинтерса построена - это заполненная таблица основного расчёта. Результаты моделирования столбец Yp(t).

Исходные данные	Построение модели Хольта-Уинтерса
t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)
-3				0,86
-2				1,08
-1				1,27
0		39,21	0,87	0,79
1	35	40,25	0,92	0,87	34,52
2	44	41,07	0,89	1,07	44,35
3	52	41,63	0,79	1,26	53,41
4	34	42,63	0,85	0,79	33,43
5	37	43,26	0,78	0,86	37,67
6	48	44,24	0,84	1,08	47,29
7	59	45,62	1,01	1,28	56,75
8	36	46,24	0,89	0,78	37,01
9	41	47,30	0,94	0,86	40,52
10	52	48,21	0,93	1,08	52,13
11	62	48,93	0,87	1,27	62,87
12	38	49,39	0,75	0,78	39,07
13	46	51,07	1,03	0,89	43,32
14	56	52,03	1,01	1,08	56,23
15	67	52,93	0,97	1,27	67,46
16	41	53,59	0,88	0,77	41,80
17					48,26
18					59,65
19					71,32
20					43,93

Для вычисления средней относительной ошибки аппроксимации Зотн. рассмотрим столбцы Y(t), Yp(t), определим остатки Е(t) = Y(t) - Yp(t) и относительную погрешность Еотн(t) = |Е(t)/ Y(t)|*100%.

Оценка качества модели
E(t)	отн. погр.	Пов. точ.
0,48	1,36
-0,35	0,81	0
-1,41	2,71	1
0,57	1,68	1
-0,67	1,82	1
0,71	1,48	0
2,25	3,82	1
-1,01	2,80	1
0,48	1,16	1
-0,13	0,25	0
-0,87	1,40	0
-1,07	2,83	1
2,68	5,83	1
-0,23	0,41	0
-0,46	0,69	0
-0,80	1,94

Найдём среднее значение Еотн(t) с помощью математической функции СРЗНАЧ = 1,94 - относится к интервалу от 0 до 5% - точная модель.

Оценим адекватность построенной модели:

ь свойство случайности остатков по критерию Пиков:

а) количество поворотных точек (Мастер функций > Логические > ЕСЛИ) = 8.

б) критическое значение:

Ркр. = [2/3*14 - 1,96 v(16*16 - 29) /90] = 6.

Следовательно, Р > Ркр, т.е. 8 > 6. Свойство случайности остатков выполняется;

ь свойство независимости остатков (критерий Дарбина-Уотсона):

а) статистика: d = ?(Et - Et-1)І/ ?EtІ. Вычислим значения числителя и знаменателя приведённой формулы, с помощью функций СУММКВ в знаменателе и СУММКВРАЗН - в числителе. Получим значение дроби равное 2,41;

б) критические значения: d1 = 1,10; d2 = 1,37;

в) вывод: данное значение больше двух и попадает в интервал от 2 до 4, следовательно, необходимо вычислить значение dґ = 4 - d = 4 - 2,42 = 1,59. Значение 1,59 принадлежит интервалу (d2 = 1,37; 2), т.е. свойство независимости остатков выполняется.

Для дополнительной проверки используют первый коэффициент автокорреляции (в учебных целях):

а) рассчитаем статистику r1 = ?(Et * Et-1)І/ ?EtІ или СУММПРОИЗВ/СУММКВ = -0,23.

б) по условию критическое значение r1 кр. = 0,32.

в) Т.к. r1 кр > ¦ r1 ¦> 0,32 > 0,23. Свойство независимости остатков выполняется.

ь Свойства нормального распределения остатков по R/S-критерию:

а) статистика: R/S = (Еmax - Emin)/SE. Максимальное и минимальное значения остаточной компоненты определим с помощью МАКС и МИН: 2,68 и -1,41 Значение знаменателя определим через функцию СТАНДОТКЛ > R/S = 3,55.

б) критический интервал от 3 до 4,21

в) вывод: полученное значение входит в интервал от 3 до 4,21. Отсюда - свойство нормального распределения остатков выполняется.

Общий итог: проверка показала, что построенная модель является точной и адекватной, поэтому прогнозирование по этой модели выполнять целесообразно.

Для прогнозирования можно использовать только основную формулу модели. В ней нужно зафиксировать t = 16 и изменять шаг упреждения k = 1; 2; 3; 4. Получим:

Yp (16+1) = [a(16)+b(16)*1]*F (16+1 - 4) = 48,26;

Yp (16+2) = [a(16)+b(16)*2]*F (16+2 - 4) = 59,65;

Yp (16+3) = [a(16)+b(16)*3]*F (16+3 - 4) = 71,32;

Yp (16+4) = [a(16)+b(16)*4]*F (16+4 - 4) = 43,92.

Построенный точечный прогноз может считаться достоверным, если модель точна и адекватна.

Расчётные значения хорошо описывают фактические значения показателя Y:

2. Задача 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная, закрытия) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

ь экспоненциальную скользящую среднюю;

ь момент;

ь скорость изменения цен;

ь индекс относительной силы;

ь %R, %K, %D.

Расчёты приводить для всех дней, для которых эти расчёты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Вариант 5
Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523
6	535	501	506
7	555	500	553
8	580	540	570
9	580	545	564
10	603	550	603

Дополним диаграмму вспомогательными линиями, ограничивающими график снизу (линии поддержки) и сверху (линии сопротивления). На графике можно видеть неявный характер тренда - нерезкие колебания диаграммы. Но, тем не менее, происходит чередование участков восходящего (приблизительно 6 - 10 день) и нисходящего (приблизительно 1 - 5 день) тренда. Пересечение графика с линиями тенденции является сигналом разворота. Таким образом, сигнал разворота можно видеть примерно на 5 день. Сигнал разворота говорит о смене тренда: 5 день: нисходящий > восходящий. При восходящем тренде - рекомендуются покупки, при нисходящем - продажи.

ь Для расчета экспоненциальной скользящей средней предварительно нужно подготовить первоначальное значение ЕМА(5) = МА(5), т. к. интервал сглаживания равен 5 дням), оно равно 598. Дальнейшие расчёты проводим по основной формуле ЕМА(t), где t ? n+1, а k = 2/(5+1) = ?. Например, ЕМА(6) > 6 ? 5+1 > ?С(6) + ? ЕМА(5) = 567,20. Далее аналогично (можно протянуть столбец в Excel и подсчёты будут проведены автоматически).

Вывод: тренд нисходящий вплоть до 8 дня, т. к. график скользящей средней расположен выше графика цен закрытия - рекомендуются продажи. На 9 день наблюдается сигнал разворота - графики пересекаются. На 10 день тренд меняет своё направление, становится восходящим, т. к. график скользящей средней расположен ниже графика цен закрытия - рекомендуются покупки.

ь По условию интервал сглаживания n = 5. Расчёт начинается с t = 6 = 5+1:

МОМ(6) = C(6) - C(1) = -169. Далее аналогично.

Вывод: С 6 - 9 день тренд нисходящий, т. к. график момента расположен ниже горизонтальной оси нулевого уровня - рекомендуются продажи.

Далее следует сигнал разворота - пересечение графика с осью иксов.

На 10 день тренд меняет направление на восходящий - график момента расположен выше горизонтальной оси нулевого уровня - рекомендуются покупки.

ь ROC(6) = C(6)/C(5)*100 = 74,96; для 6 = 5+1.

Формула показывает: при восходящем тренде ROC > 100%, при нисходящем меньше. Сигналом разворота является пересечение графика с уровнем 100%.



Вывод: С 6 - 9 день тренд нисходящий, т. к. график расположен ниже уровня 100% - рекомендуются продажи.

Далее следует сигнал разворота - пересечение графика с линией 100%.

На 10 день тренд меняет направление на восходящий - график момента расположен выше уровня 100% - рекомендуются покупки.

ь Прежде чем приступить к расчёту индекса относительной силы RSI(t) выполним подготовительную работу в виде вычислений:

1. изменения цен ? C(t) = C(t) - C (t-1). Среди этих изменений часть положительных, часть отрицательных;

2. разности изменений на приросты (+? C(t)) и убыль (-? C(t)). В Excel приросты и убыль можно определить, использовав, логическую функцию ЕСЛИ. Следует отметить, что отрицательные изменения должны быть представлены без минусов, для этого была применена математическая функция ABS;

3. расчет сумм положительных приростов AU и отрицательных AD при интервале сглаживания - 5 дней. В ППП Excel - функция СУММ неполного столбца.

Пример, RSI(6) = 100 - 100/(1+AU (6,5)/AD (6,5)) = 0. Далее расчёты проводим аналогично.

Занесём все данные в таблицу «Расчет индексов MOM, ROC, RSI (осцилляторы)» и построим график «График индекса относительной силы RSI(t)»:

t	H(t)	L(t)	C(t)	EMA(t)	MOM(t)	ROC(t)
1	718	660	675
2	685	601	646
3	629	570	575
4	585	501	570
5	598	515	523	598
6	535	501	506	567,20	-169	74,96
7	555	500	553	562,47	-93	85,60
8	580	540	570	564,98	-5	99,13
9	580	545	564	564,65	-6	98,95
10	603	550	603	577,43	80	115,30
t	изменен.	повышен.	понижен.	AU (t, 5)	AD (t, 5)	RSI(t)
1
2	-29	0	29
3	-71	0	71
4	-5	0	5
5	-47	0	47
6	-17	0	17	0	169	0
7	47	47	0	47	140	25
8	17	17	0	64	69	48
9	-6	0	6	64	70	48
10	39	39	0	103	23	82

Вывод: На 6 день RSI равен 0 - это означает, что AU (6,5) = 0, т.е. за 5 дней нет приростов, только убыль > быстрый непродолжительный нисходящий тренд, ожидается разворот. Затем до 7 дня график находится в зоне перепроданности - операции следует приостановить в ожидании скорого разворота тренда. Далее мы видим выход графика из критической зоны, т.е. сигнал разворота, график входит в нейтральную зону от 20 (25) до 75 (80) (8 - 9 день) - возможны операции (рекомендуются продажи по сигналам МОМ и ЕМА). На 10 день график входит в критическую зону перекупленности - зону бездействия, рекомендуется приостановить операции - сделки следует приостановить в ожидании сигнала разворота (выхода графика из критической зоны).

ь Прежде чем вычислять стохастические индексы, необходимо провести предварительные расчёты:

1. По условию n = 5. Для 5 дня определим максимальное значение H (t, n) с первого по пятый день (МАКС) и минимальное значение L (t, n) с первого по пятый день (МИН).

2. Заполним столбцы C - L, H - L, H - C в соответствии с формулами расчёта числителей и знаменателя % K и % R.

3. Пользуясь последними тремя колонками, определим значение % K и % R.

4. Определим трёхдневные суммы величин в столбцах C - L, H - L.

5. С помощью последних двух столбцов вычислим % D.

Полученные данные вносим в таблицу «Расчет индексов % K, %R, %D (стохастические линии)» и строим график «Стохастические линии % R, %K, %D».

Расчет индексов % K, %R, %D (стохастические линии)
t	H (t, 5)	L (t, 5)	C(t) - L (t, 5)	H (t, 5) - C(t)	H (t, 5) - L (t, 5)
1
2
3
4
5	718	501	22	195	217
6	685	501	5	179	184
7	629	500	53	76	129
8	598	500	70	28	98
9	598	500	64	34	98
10	603	500	103	0	103
t	%K	%R	sum (C-L)	sum (H-L)	%D
1
2
3
4
5	10,13825	89,86175
6	2,717391	97,28261
7	41,08527	58,91473	80	530	15
8	71,42857	28,57143	128	411	31
9	65,30612	34,69388	187	325	58
10	100	0	237	299	79

мультипликативный сезонный аппроксимация финансовый

Вывод: правила анализа стохастических линий соответствуют правилам анализа индекса относительной силы RSI(t). Таким образом, анализ стохастической линии % K показал, что с 5 - 6 день график находится в критической зоне перепроданности - рекомендуется приостановить операции. Далее - сигнал разворота - выход графика из критической зоны. С 7 - 9 день график находится в нейтральной зоне - можно проводить операции (продажи). На 10 день график находится в верхней критической зоне перекупленности (75 (80) - 100) - следует приостановить операции в ожидании сигнала разворота. При этом на графике существует точка - десятый день, в которой %K равен 100. Это свидетельствует о том, что цена закрытия десятого дня 603 равна максимальной цене десятого дня с параметром сглаживания n = 5. Т.е. цена закрытия является максимальной за десять дней, что говорит о наличии непродолжительного быстро восходящего тренда и появлении последующего разворота.

Стохастическая линия % R имеет график симметричный % K, для него верхняя зона - это зона перепроданности, а нижняя критическая зона - зона перекупленности. Сигналы поведения графика % R полностью совпадают с сигналами поведения графика % K.

Размещено на Allbest.ru

...