Эконометрика: примеры решения задач

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ФГБОУ ВПО «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ «Финансы и кредит»

Контрольная работа

По дисциплине: Эконометрика

Вариант № 1

Выполнил:

Гаджиева С.А.

Когалым, 2013

Задача 1

Имеется информация за 10 лет относительно среднего дохода и среднего потребления (млн. руб.):

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости .

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

4. Спрогнозируйте потребление при доходе и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания .

5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных объемов потребления при доходе .

6. Оцените на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн.руб.

7. Рассчитайте коэффициент детерминации .

8. Рассчитайте - статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение

1) Оценим коэффициенты линейной регрессии Y = ₀ +₁Х + по методу наименьших квадратов. Согласно методу наименьших квадратов система нормальных уравнений имеет вид:

Расчет необходимых сумм сведем в таблицу (см. табл.1)

Таблица 1

Система нормальных уравнений примет вид:

Решим её по формулам Крамера (методом определителей):

коэффициент линейный регрессия корреляция

Итак, уравнение линейной регрессии будет иметь вид: .

2) Проверим статистическую значимость оценок b₀,b₁ теоретических коэффициентов ₀,₁ при уровне значимости = 0,05 при помощи t-статистики Стьюдента.

Выдвигаем гипотезу Н₀ о статистически незначимом отличии показателей от нуля: = =0.

t_табл для числа степеней свободы df=n-2=10-2=8 и = 0,05 составит 2,31.

Определим случайные ошибки и по формулам:

Расчет необходимых сумм сведем в таблицу (табл.2)

Таблица 2

Находим фактические значения t-критерия:

< t_табл=2.31, т.е. статистически незначим.

> t_табл=2.31, т.е статистически значим.

3) Рассчитаем 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Определяем предельные ошибки для каждого показателя:

Доверительные интервалы:

С вероятностью p=1- = 0,95 параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. существенно отличны от нуля.

4) Спрогнозируем среднее потребление Y при среднем доходе Х =23.

=18,268 ден. ед.

Полученное значение является выборочной оценкой условного математического ожидания .

Построим 95% доверительный интервал.

Искомый доверительный интервал составит:

Итак, среднее потребление для дохода Х=23 млн.руб. с надежностью 0,95 находится в пределах от 16,3738 млн.руб. до 20,1622 млн.руб.

5) Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных значений себестоимости при X =23.

Доверительный интервал находится по формуле:

Искомый доверительный интервал:

Итак, при Х=23 не менее 95% возможных значений потребления будет находится в пределах от 15,034 млн.руб. до 21,502 млн. руб.

6) Оценим на сколько изменится потребление, если доход вырастет на 3 млн.руб.

Судя по уравнению регрессии , при увеличении дохода на 3 млн.руб., потребление в среднем увеличится на 0,801*3=2,403 млн.руб.

7) Найдем коэффициент детерминации

Необходимые расчеты представлены в табл.3

Таблица 3

,

т.е. 88,82% вариации потребления объяснено вариацией доходов.

8) Рассчитаем F - статистику для коэффициента детерминации и оценим его статистическую значимость.

Табличное значение F-критерия на уровне значимости 0,05 составляет .

Т.к. F_факт=63,56 > , то коэффициент детерминации существенно отличен от нуля, т.е. является статистически значимым.

Задача 2

Имеется следующая модель кейнсианского типа:

где

Переменные являются эндогенными.

Определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели. Напишите приведенную форму модели.

Решение

Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Модель включает в себя 4 эндогенные переменные C_t, I_t, T_t, Y_t и две предопределенные переменные: экзогенную G_t и лаговую Y_t-1.

Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

I уравнение (функция потребления).

Это уравнение включает в себя 3 эндогенные переменные C_t, T_t, Y_t и ни одной предопределенной. Т.е., число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, равно 2. Тогда: 2+1=3, т.е. уравнение идентифицируемо.

II уравнение (функция инвестиций).

Содержит 1 эндогенную и 1 предопределенную переменные. Т.е., число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, равно 1. Тогда: 1+1=2 > 1, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.

III уравнение (функция налогов).

Содержит 2 эндогенные и ни одной предопределенной. Т.е.: 2+1=3 > 2, т.е. уравнение сверхидентифицируемо.

IV уравнение (тождество доходов) представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели (табл. 4)

Таблица 4

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных модели минус 1, т.е. 4-1=3.

I уравнение

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид

Определитель этой матрицы равен нулю, т.е. достаточное условие не выполняется.

II уравнение

Ее ранг равен трем, т.к. определитель квадратной подматрицы этой матрицы не равен нулю:

Итак, достаточное условие идентификации для этого уравнения выполняется.

III уравнение

Ее ранг равен трем, т.к. определитель квадратной подматрицы этой матрицы не равен нулю:

Итак, достаточное условие идентификации для этого уравнения выполняется.

Итак, только для первого уравнения не выполняется достаточное условие идентификации.

Остальные уравнения сверхидентифицированы.

Запишем приведенную форму модели:

, где V₁,V₂,V₃,V₄ - случайные ошибки.

Задача 3

Для оценки коэффициентов уравнения регрессии вычисления проведены в матричной форме.

Определите эмпирические коэффициенты регрессии.

Решение

Находим обратную матрицу А^-1=(Х^ТХ)^-1 по формуле , где - матрица, присоединенная к матрице Х^ТХ.

Далее находим алгебраические дополнения всех элементов транспонированной матрицы (Х^ТХ)^Т и составляем из них присоединенную матрицу .

Затем находим обратную матрицу по формуле .

Получим:

Теперь получим вектор оценок по формуле : b=(Х^ТХ)^-1Х^ТY

Получили: b₀=28.16, b₁=2.71, b₂=-2.2.

Итак, уравнение регрессии будет иметь вид:

.

Задача 4

Коэффициент детерминации между переменными и равен 0,64. Каким будет коэффициент корреляции в случае линейной модели регрессии?

Решение

Коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции. Т.е., если R²=0.64, то коэффициент корреляции составит: , что говорит о достаточно тесной, прямой связи между переменными.

Список использованной литературы

1. Кремер Н.Ш., Путко Б.Л. Эконометрика: Учебник для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2002. - 569 с.

2. Практикум по эконометрике: Учебн. пособие. / Под ред. И.И. Елисеева и др. - М.: Финансы и статистика, 2004. - 485 с.

3. Эконометрика: Учебник. / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 609 с.

Размещено на Allbest.ru