Математичне моделювання первинних перетворювачів фізичних величин на основі апроксимаційних методів

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Державний університет "Львівська політехніка"

УДК 621.382

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПЕРВИННИХ ПЕРЕТВОРЮВАЧІВ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН НА ОСНОВІ АПРОКСИМАЦІЙНИХ МЕТОДІВ

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата технічних наук

Попов Ярослав Богданович

Львів - 1998

АНОТАЦІЯ

Попов Я.Б. Математичне моделювання первинних перетворювачів фізичних величин на основі апроксимаційних методів. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Державний університет “Львівська політехніка”, Львів, 1998.

Дисертація присвячена питанню побудови нелінійних математичних моделей первинних перетворювачів фізичних величин. Розроблені методики та алгоритми грунтуються на апроксимаційній теорії, зокрема мінімаксній апроксимації та методі найменших квадратів. Отримані способи апроксимацій градуювальних характеристик первинних перетворювачів дозволяють досягнути в кілька разів вищої точності наближень у порівнянні з існуючими за однакової кількості параметрів. Використання розробленої методики автоматичного знаходження параметрів деяких лінеаризуючих схем дає можливість у два-три рази зменшити похибку вимірювань, зумовлену нелінійністю первинних перетворювачів вимірювальних пристроїв, не вносячи додаткових ускладнень в їх структуру.

Ключові слова: градуювальна характеристика, мінімаксна апроксимація, оптимізація параметрів схем лінеаризації, наближення сплайнами, первинний перетворювач фізичної величини.

АННОТАЦИЯ

Попов Я.Б. Математическое моделирование первичных преобразователей физических величин на основе аппроксимационных методов. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. - Государственный университет “Львивська политехника”, Львов, 1998.

Диссертация посвящена вопросу построения нелинейных математических моделей первичных преобразователей физических величин. Разработанные методики и алгоритмы базируются на аппроксимационной теории, в частности, минимаксной аппроксимации и методе наименьших квадратов.

Для многих полупроводниковых преобразователей характерна нелинейная зависимость информационных параметров от измеряемой физической величины. Современные методы аппроксимации градуировочных характеристик преобразователей нелинейными относительно параметров выражениями базируются, как правило, на методе наименьших квадратов или чебышевском приближении. При этом либо решают систему нелинейных уравнений, либо систему уравнений сводят к линейной используя преобразование переменных. Недостатки первого способа очевидны. Во втором случае минимизируется отклонение аппроксимирующего выражения не от заданной зависимости, а от преобразованной, что часто является причиной использования для приближения слишком сложных выражений. Кроме того, экспериментальные точки, равноудаленные для непреобразованной переменной, могут оказаться не равноудаленными для преобразованной переменной, что предъявляет дополнительные требования к процессу получения экспериментальных данных.

В работе разработано методику минимаксного приближения гладких таблично заданных зависимостей некоторыми нелинейными функциями от рационального полинома. Полученные алгоритмы используют решение только линейных систем уравнений без предварительного преобразования переменных. Кроме того, значительно расширено количество нелинейных выражений, которые можно использовать для приближений. Полученные способы аппроксимаций градуировочных характеристик первичных преобразователей позволяют достичь в несколько раз меньшей погрешности приближений по сравнению с классическими при одинаковом количестве параметров.

Стремление достичь заданную погрешность аппроксимации с использованием одного приближающего выражения на всем интервале аппроксимации приводит к излишнему усложнению приближающего выражения. Одним из способов достижения заданной погрешности является разбиение интервала приближения на ряд подинтервалов. Соответствующую часть характеристики на каждом подинтервале аппроксимируют, как правило, однотипным выражением. При этом, существенным является выбор общего вида аппроксимирующего выражения, поскольку в случае приближения набором возможных выражений заранее не известно, которое из выражений является оптимальным. Критерием оптимальности в нашем случае логично выбрать погрешность приближения или количество подинтервалов.

В работе предложена методика выбора из набора заданных приближающих выражений оптимального для математического моделирования с заданной погрешностью градуировочных характеристик первичных преобразователей физических величин.

Разработка высокоточных измерительных приборов на основе полупроводниковых преобразователей часто бывает усложнена нелинейностью характеристик этих датчиков в широких диапазонах измеряемых физических величин. В связи с этим высокоточные средства измерений, как правило, используют методы линеаризации.

Использование простых и достаточно точных моделей первичных преобразователей, полученных с помощью описанных выше методик, позволяет создавать более общие модели измерительных приборов и производить оптимизацию их параметров по определенным критериям.

В работе разработана методика оптимизации параметров схем линеаризации, которая базируется на использовании метода наименьших квадратов. Использование разработанного алгоритма автоматического нахождения параметров некоторых линеаризирующих схем дает возможность в два-три раза уменьшить погрешность измерений, обусловленную нелинейностью первичных преобразователей измерительных приборов, не внося дополнительных усложнений в их структуру.

Для целой группы первичных преобразователей физических величин (давления, индукции магнитного поля и т.п.) свойственна зависимость информационных параметров и от температуры. В этом случае необходимо использовать аппроксимационные алгоритмы двух или нескольких переменных.

В работе предложено алгоритм аналитического представления таблично заданной функции двух переменных для промышленного преобразователя давления ТГ 2.5 Б отечественного производства, который, в отличии от существующих, позволяет достичь необходимой погрешности аппроксимации.

Ключевые слова: градуировочная характеристика, минимаксная аппроксимация, оптимизация параметров схем линеаризации, приближение сплайнами, первичный преобразователь физической величины.

THE SUMMARY

Popov I.B. Mathematical modeling of physical quantities sensors on the base of approximation methods. - Manuscript.

The thesis are presented for the Candidate of Sciences degree in specialty 01.05.02 - mathematical modeling and numerical methods. - Lviv Polytechnic State University, Lviv, 1998.

Thesis are dedicated to the question of development of nonlinear mathematical models for sensors of physical quantities. The elaborated methods and algorithms are based on approximation theory (minimax approximation and least squares method). The obtained approximation techniques of the sensors experimental characteristics allowed to improve the approximation accuracy in several times in comparison with other methods with the same number of parameters. The application of the developed technique for automatic acquisition of some linearization structures circuit parameters improve the accuracy of measurements in two-three times without additional modernization of the structure.

Key words: experimental characteristic, minimax approximation, linearization circuit parameters optimization, spline approximation, physical quantity sensor.

мінімаксний апроксимація лінеаризуючий перетворювач

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність проблеми. Сучасний розвиток засобів вимірювання фізичних величин (температури, тиску, індукції магнітного поля тощо), а також систем автоматизації наукових експериментів, автоматизованого керування технологічними процесами і складними об'єктами суттєво залежить від наявності ефективних засобів математичного моделювання та оптимізації. Це зумовлено значною складністю сучасних пристроїв вимірювання, високими вимогами до точності, надійності та ефективності.

Розробка високоточних вимірювальних засобів на основі напівпровідникових перетворювачів часто ускладнена нелінійністю характеристик цих давачів у широких діапазонах вимірювання та значним розкидом градуювальних характеристик окремих перетворювачів навіть у межах однієї партії. У зв'язку з цим градуювальні характеристики для цього типу перетворювачів визначають індивідуально.

Високоточні засоби вимірювання, як правило, використовують певні методи лінеаризації. Для підвищення ефективності існуючих лінеаризаційних структур необхідно розробити достатньо ефективні засоби математичного моделювання первинних перетворювачів та алгоритми оптимізації параметрів схем.

Математичні моделі первинних перетворювачів можна одержати шляхом апроксимації їх експериментально знятих характеристик. При моделюванні первинних перетворювачів фізичних величин на основі апроксимаційних методів необхідно, щоб характеристики перетворювачів задовільняли умови гладкості та неперервності на інтервалі апроксимації, що для ряду поширених перетворювачів має місце на практиці.

Відомо, що для багатьох напівпровідників характерна нелінійна (експоненціальна, степенева тощо) залежність інформаційних параметрів від вимірюваної фізичної величини.

Сучасні методи апроксимацій експериментальних даних нелінійними відносно параметрів виразами базуються, як правило, на методі найменших квадратів чи найкращому чебишовському наближенні. При цьому розв'язують нелінійну систему рівнянь або апроксимацію зводять до поліноміальної через перетворення змінних. Останній спосіб має ряд недоліків. По-перше, мінімізується відхилення апроксимуючого виразу не від заданої залежності, а від перетвореної. Тому для досягнення достатньої точності часто невиправдано збільшують порядок полінома (в літературі зустрічаються наближення поліномами сьомого і навіть дванадцятого степеня). По-друге, якщо використовується перетворення змінних, то експериментальні точки, що були рівновіддалені для не перетвореної змінної, можуть стати нерівновіддаленими для нової змінної. У такому випадку потрібно зняти значно густішу експериментальну характеристику у певному діапазоні, а для цілого ряду вимірювань (наприклад, низьких та наднизьких температур) високу густину точок забезпечити іноді важко або неможливо.

Отже, є потреба у розробці загальних алгоритмів апроксимації експериментальних залежностей напівпровідникових первинних перетворювачів нелінійними відносно параметрів виразами.

Часто спроби досягти заданої похибки при використанні одного апроксимуючого виразу на всьому інтервалі наближення призводять до значного ускладнення наближаючого виразу. Одним із засобів досягнення заданої похибки апроксимації є розбиття інтервалу наближення на ряд підінтервалів (наближення сплайнами). Відповідну частину характеристики на кожному з підінтервалів наближають, як правило, однотипними виразами.

Суттєве значення при побудові сплайну має вибір загального виду апроксимуючого виразу, адже у разі наближень набором можливих виразів невідомо, який вираз з набору є оптимальним. Критерієм оптимальності логічно вибрати похибку наближення або кількість ланок сплайн-апроксимації. Потрібно розробити алгоритми, що вибирали б вираз оптимального виду для апроксимації конкретної експериментальної залежності.

Метою дисертаційної роботи є розробка ефективних алгоритмів математичного моделювання первинних перетворювачів фізичних величин на основі апроксимаційних методів та використання цих моделей для створення алгоритмів оптимізації параметрів схем вимірювальних пристроїв.

Відповідно до поставленої мети дисертаційна робота містить розв'язання таких задач:

огляд та аналіз існуючих методів аналітичного представлення експериментально знятих залежностей;

розробка алгоритму згладження експериментальних даних для випадку нерівновіддалених експериментальних точок;

модифікація алгоритму мінімаксної апроксимації таблично заданих функцій поліномом чи раціональним поліномом;

розробка загальної методики апроксимації експериментальних характеристик напівпровідникових первинних перетворювачів нелінійними виразами від раціонального многочлена;

розробка алгоритмів нелінійних сплайн-апроксимацій експериментальних залежностей з наперед заданим параметром (похибкою, кількістю ланок тощо);

розробка алгоритмів сплайн-апроксимацій експериментальних залежностей виразом оптимального виду із заданою похибкою;

розробка методики оптимізації параметрів схем лінеаризації;

експериментальні дослідження та порівняння ефективності одержаних алгоритмів з існуючими.

Методи досліджень. При виконанні поставлених задач використовувались: теорія вимірювань, теорія апроксимацій, методи програмування та обчислювальної математики, аналітичні можливості комп'ютерної алгебри.

Наукова новизна роботи:

розроблено загальну методику мінімаксної апроксимації експериментальних характеристик напівпровідникових первинних перетворювачів нелінійними відносно параметрів виразами від раціонального многочлена;

розроблено методику оптимізації параметрів лінеаризуючих схем;

розроблено алгоритми нелінійної сплайн-апроксимацій експериментальних даних з наперед заданим параметром (точністю чи кількістю ланок) та сплайн-апроксимацій виразами оптимального виду;

модифіковано алгоритм згладження експериментальних даних з нерівновіддаленими аргументами;

модифіковано структуру алгоритму мінімаксної апроксимації експериментальних залежностей поліномом чи раціональним поліномом.

Практична цінність роботи:

розроблено пакет програм в системі комп'ютерної алгебри Maple V, який використовується для аналітичного представлення характеристик різноманітних первинних перетворювачів фізичних величин;

розроблено прикладні програми, що використовуються для моделювання перетворювачів конкретного типу при створенні вимірювальних пристроїв;

алгоритми оптимізації параметрів схем лінеаризації використовуються для автоматичного знаходження значень параметрів схем деяких вимірювачів температури.

Достовірність результатів досліджень забезпечується коректністю та строгістю постановки задачі і математичних методів, використаних при доведенні основних тверджень, порівняннями результатів, одержаних за допомогою методів, викладених у роботі та відомих раніше, результатами використання підготованих пакетів програм для розробки вимірювальних пристроїв.

Реалізація науково-технічних результатів. Розроблені в дисертації методи і алгоритми впроваджені:

в інституті прикладної фізики Львівського Державного університету при побудові пристроїв вимірювання температури та тиску на основі напівпровідникових первинних перетворювачів;

у відділі напівпровідникових мікросенсорів НДВ НМС ДУ “Львівська політехніка” при розробці пристроїв вимірювання низьких температур та індукції магнітного поля.

Дані про впровадження підтверджено відповідними актами.

Апробація роботи. Основні положення і результати дисертаційної роботи доповідались й обговорювались на:

Науково-технічній конференції "Приладобудування-96" (Вінниця-Судак, серпень, 1996);

1-шій міжнародній школі-семінарі "Моделювання'96" (Алушта, вересень, 1996);

Міжнародній науково-практичній конференції "СЗПОІ" (Одеса, червень, 1997);

Першій міжнародній конференції з моделювання (Алушта, вересень, 1997);

Науково-технічній конференції "Контроль та управління в технічних системах" (Вінниця, вересень, 1997).

Конференції “Математичне моделювання в електроенергетиці і електротехніці” (Львів, вересень, 1997).

Конгресі ІЕЕ Східної та Центральної Європи (Веймар, Німеччина, травень, 1998), де доповідь отримала першу премію на конкурсі робіт молодих вчених.

Міжнародній конференції з моделювання “ССМ'98” (Ліон, Франція, червень 1998).

Особистий внесок автора. Автором самостійно виконана основна частина теоретичних та експериментальних досліджень:

розроблено методику та алгоритм апроксимації градуювальних характеристик термодавачів нелінійними відносно параметрів виразами [3,5,10];

розроблено методику оптимізації параметрів лінеаризуючих схем [3, 4];

розроблено модифікований алгоритм Ланцоша для згладження експериментальних даних з нееквідистантним аргументом [1];

розроблено алгоритм рівноміроного сплайн-наближення градуювальних характеристик первинних перетворювачів з наперед заданим параметром [2,6,7,8];

розроблено алгоритм наближення градуювальних характеристик первинних перетворювачів виразом оптимального виду [10];

розроблено алгоритм мінімаксного наближення експериментальних залежностей двох змінних [9].

Аналіз результатів окремих досліджень та прикладних застосувань проведено у співавторстві згідно наведеного списку літератури.

Публікації результатів досліджень. Основний зміст дисертаційної роботи опублікованj в 10 друкованих працях.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Основний зміст дисертаційної роботи складають результати теоретичних і практичних розробок, проведених автором при виконанні робіт згідно з держбюджетною темою “Швидкодіючі перетворювачі інформації для вимірювальних приладів і систем”, номер державної реєстрації: 0196U000181 за 1996-1998 рр. на кафедрі “Автоматика і телемеханіка” ДУ“Львіська політехніка”.

Структура і обсяг роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу і чотирьох розділів, висновку, списку літературних джерел з 112 найменувань і додатків. Робота викладена на 130 сторінках, включаючи 52 рисунки і 22 таблиці. У додатках наведено документи про впровадження та приклади використання деяких програм.

2. зміст дисертації

У вступі наведено загальну характеристику роботи, обгрунтовано її актуальність, сформульовано мету та основні задачі досліджень, визначено методи вирішення сформульованих задач, сформульовано наукову новизну роботи і практичну цінність отриманих результатів, її апробацію та публікації.

У першому розділі проведено огляд деяких методів лінеаризації, що використовуються в засобах вимірювання, побудованих на основі напівпровідникових первинних перетворювачів. Коротко розглянуто терморезистивні первинні перетворювачі, їх характеристики та показано, що градуювальні характеристики ряду напівпровідникових давачів температури апроксимують поліномами високих степенів з попереднім перетворенням змінних.

Розглянуто сучасні методи аналітичного представлення експериментальних характеристик перетворювачів фізичних величин. Відзначено переваги та недоліки поширених методів апроксимації та обгрунтовано доцільність використання мінімаксних наближень.

В другому розділі розроблено модифікований метод Ланцоша, що використовується для згладження експериментальних даних з нееквідистантними аргументами. Ефективність алгоритму згладження проілюстровано на прикладі.

Досліджено на збіжність два алгоритми заміни точок V-альтернансу найкращого чебишовського наближення для таблично заданих залежностей - алгоритм Валле-Пуссена та R-алгоритм. Показано, що кожен з розглянутих алгоритмів не збігається для деяких таблично заданих функцій та наближаючих виразiв. Запропоновано структуру модифікованого алгоритму для апроксимацій експериментальних характеристик первинних перетворювачів фізичних величин, що послідовно використовує вище вказані алгоритми заміни точок чебишовського альтернансу. Вибрані алгоритми мають різну область збіжності, тому їх спільне використання дає вірний результат у всіх перевірених випадках наближення експериментальних характеристик (порядку тисячі).

Розглянута властивість найкращого чебишовського наближення функцією від раціонального многочлена.

Для мінімаксної апроксимації таблично заданої залежності , де n - загальна кількість знятих експериментальних точок, будемо використовувати вираз , де - многочлен чи раціональний многочлен, нелінійний вираз є монотонним та неперервним на інтервалі апроксимації, - вектор параметрів апроксимаційного виразу.

Введемо поняття максимальної зваженої похибки наближення:

,(1)

де - вагова функція, . Найбільш широко вживаються значення вагової функції: для наближення з абсолютною похибкою, для наближення з відносною похибкою та для наближення з приведеною похибкою ( та відповідно максимальне та мінімальне значення заданої залежності на діапазоні наближення)

Як відомо, найкраще чебишовське наближення деякою монотонною і неперервною на інтервалі апроксимації функцією від раціонального многочлена існує і єдине. Отже, можна побудувати мінімаксне наближення залежності нелінійним виразом за допомогою алгоритму Ремеза.

Систему рівнянь чебишовської інтерполяції запишемо у вигляді:

,(2)

де - відхилення наближаючого виразу від точок V-альтернансу на -ій ітерації алгоритму. Далі у записі системи рівнянь чебишовської інтерполяції для спрощення писатимемо просто .

У роботі показано, що нелінійну систему рівнянь (2) можна замінити системою рівнянь (3):

.(3)

Ця система є системою рівнянь чебишовської інтерполяції для наближення залежності виразом з вагою

.(4)

Оскільки є многочленом чи раціональним многочленом, то, як відомо, відповідне наближення існує і єдине. Таким чином можна знайти мінімаксне наближення функції виразом з вагою за відомими алгоритмами. Одночасно буде знайдено і наближення функції нелінійним відносно параметрів виразом з вагою . Це наближення буде близьким до мінімаксного (з точністю до величини ).

Таблиця 1. Вирази, які використовуються для мінімаксних наближень

			Інтервал
			при довільному, при непарному

Алгоритм може використовуватися і для знаходження початкового наближення для мінімаксної апроксимації функцією від раціонального многочлена. Описаний алгоритм дає можливість використовувати для наближення будь-який монотонний, гладкий нелінійний вираз , де - раціональний многочлен.

У таблиці 1 наведено елементарні функції, які можуть використовуватись для наближення табличних даних. Наведені також обернені функції, похідні від обернених та інтервали, в яких мають міститися значення наближуваних залежностей.

Для наближення виду можна використовувати багато інших функцій , обернені яких не є елементарними функціями. Розширення класу таких функцій дає використання W-функції Ламберта.

В третьому розділі коротко розглянуто існуючі методи побудови сплайн-апроксимацій експериментальних характеристик первинних перетворювачів фізичних величин.

Спроби досягти заданої похибки при використанні одного апроксимуючого виразу на всьому інтервалі наближення у випадку нелінійних напівпровідникових давачів температури часто призводять до значного ускладнення апроксимуючого виразу. Одним із засобів досягнення заданої точності апроксимації є розбиття інтервалу наближення на ряд підінтервалів. Відповідну частину характеристики на кожному з підінтервалів наближають, як правило, однотипними виразами. Відомо, що оптимальним, з точки зору загальної максимальної похибки наближення, є таке розбиття інтервалу апроксимації на частини, при якому похибка на кожній з них однакова. Такий спосіб апроксимації називається рівномірним або балансним наближенням.

У роботі запропоновано методику побудови мінімаксної рівномірної апроксимації сплайнами таблично заданих залежностей та розроблено алгоритми сплайн-апроксимації експериментальних залежностей із заданим параметром (похибкою чи кількістю ланок). Ефективність алгоритмів проілюстровано на прикладах.

Можливість ефективної апроксимації нелінійними відносно параметрів виразами та рівномірного наближення сплайнами значно розширюють набір виразів, якими можна успішно апроксимувати таблично задані функції.

Виникає питання критеріїв та способів вибору тих чи інших виразів. Оскільки дана робота стосується апроксимації характеристик напівпровідникових первинних перетворювачів для засобів вимірювання, то основними критеріями оптимальності є максимальна похибка та кількість параметрів наближення. Заданої максимальної похибки можна досягнути будуючи рівномірне наближення сплайнами. Сучасні вимірювальні пристрої, як правило, використовують елементи цифрової техніки, тому використання елементарних функцій у апроксимаційних виразах у багатьох випадках ускладнить структуру пристрою незначно.

Отже, задача оптимального наближення у нашому випадку зводиться до пошуку серед виразів із заданою кількістю параметрів такого, що давав би найменшу кількість підінтервалів при заданій похибці наближення. Зрозуміло, що алгоритм вибору оптимального виразу не може просто проводити сплайн-апроксимацію всіма виразами зі списку та порівнювати результати, бо це надто збільшить тривалість процесу наближення.

Розроблений алгоритм вибору оптимального апроксимуючого виразу використовує алгоритм побудови рівномірного наближення сплайнами. Вибір оптимального виразу проводиться на першому підінтервалі рівномірного поліноміального наближення зі заданою похибкою. Це значно прискорює роботу алгоритму, але вносить деяку похибку в його результати. У дев'яносто зі ста перевірених випадків алгоритм вірно вибирає оптимальний вираз.

Алгоритм перебирає всі можливі раціональні вирази та поліном з однаковою кількістю параметрів. Вибір кількості параметрів залишено за користувачем.

Нехай кількість параметрів вибрана користувачем дорівнює . В список раціональних виразів входить поліном степені та всі раціональні вирази, кількість параметрів яких рівна . До списку нелінійних виразів, що перевіряються на оптимальність, входять: , де - раціональний вираз чи поліном. Оскільки технічна реалізація нелінійних виразів складніша, ніж раціональних чи многочленних, то такі вирази вибираються тільки якщо їх похибка наближення на першому підінтервалі рівномірної поліноміальної сплайн-апроксимації є більш ніж на двадцять відсотків меншою від найкращої раціональної апроксимації.

В четвертому розділі запропоновано методику оптимізації параметрів схем лінеаризації та приведено приклад її використання для покращення точності вимірювання деяких цифрових термометрів.

Алгоритм оптимізації параметрів схем лінеаризації базується на використанні методу найменших квадратів. Шукаються параметри, що дають мінімум середньоквадратичного відхилення загального коефіцієнту перетворення схеми від прямої.

Як відомо, у випадку цифрового термометра компенсаційний зворотній зв'язок нелінійності первинного перетворювача можна формувати сигналом із інформаційного сигналу первинного перетворювача. При використанні АЦП це можна зробити, використовуючи вхід опорної напруги для зміни загального коефіцієнта передачі.

Відомо, що вихідний цифровий код аналого-цифрового перетворювача (АЦП) (покази цифрового індикатора) у цьому випадку представляється у вигляді:

(5)

де N - вихідний цифровий код АЦП; N₁ - число тактових імпульсів в першому циклі інтегрування АЦП (визначається значенням тактової частоти і для конкретної реалізації є незмінним); - опорна напруга АЦП; В - коефіцієнт передачі в коло зворотного зв'язку .

Характеристика ідеального вимірювального перетворення повинна бути лінійною. Отже, ідеальний вимірювач можна представити у вигляді:

(6)

де x - вимірювана температура.

Параметри та потрібно оптимізувати так, щоб характеристика реального перетворювача (5) максимально наближалась до ідеальної (6).

Загальний коефіцієнт перетворення (5) запишемо у вигляді формули () :

, (7)

де - значення опорної напруги, що задається у вигляді відношення двох коефіцієнтів. Вхідний сигнал, одержаний експериментально або теоретично, задається у аналітичному вигляді. Для цього можна використати мінімаксне наближення за одним з методів, розроблених у роботі. Запишемо вхідний сигнал у вигляді деякої нелінійної функції: .

Рівняння наближення виразу (6) виразом (5) за критерієм мінімуму середньоквадратичного відхилення записується у вигляді

,(8)

де - кількість точок шкали, по яких проводиться оптимізація.

Застосування даного способу приводить до системи нелінійних рівнянь, яка розв'язується за допомогою спеціально розробленого ітераційного алгоритму.

Використання описаної вище методики автоматичного знаходження параметрів деяких лінеаризуючих схем у порівнянні з іншими способами дає можливість у два-три рази зменшити похибку вимірювань, зумовлену нелінійністю первинних перетворювачів вимірювальних пристроїв, і не вносить додаткових ускладнень в їх структуру.

Описано деякі особливості програмної реалізації алгоритмів математичного моделювання первинних перетворювачів та обгрунтовано доцільність використання системи комп'ютерної алгебри Maple V для програмної реалізації розроблених алгоритмів.

Описано результати використання розроблених алгоритмів мінімаксної нелінійної апроксимації для математичного моделювання деяких первинних перетворювачів температури, індукції магнітного поля та тиску.

У результаті досліджень встановлено, що оптимальним виразом для апроксимації залежності опору від температури ниткоподібних арсенід-галієвих термометрів опору є:

. (9)

Рис. 1. Залежність опору від температури арсенід-галієвого терморезистора.

На рисунку 1 наведено типову градуювальну характеристику арсенід-галієвого термометра опору. На ньому квадратиками позначено експериментально отримані точки даних, а лінія відповідає наближаючому виразу.

Експериментальні дані було попередньо згладжено за допомогою згаданого вище модифікованого алгоритму Ланцоша.

Мінімаксна апроксимація характеристики виразом типу (9) дає результат з приведеною похибкою 0.21%. Наближення цієї ж характеристики експоненційним виразом дає похибку 0.29%, звичайним поліноміальним виразом з такою ж кількістю параметрів - 4.51%.

Для порівняння, використання класичного способу апроксимації з перетворенням змінних та подальшим поліноміальним наближенням (з такою ж кількістю параметрів, як і у попередніх прикладах) дає приведену похибку наближення 7.10%.

Магніторезистори, побудовані на основі кристалів групи забезпечують високу чутливість і можливість використання при “додатних” температурах. В роботі досліджувались польові залежності при двох струмах живлення: 50 і 100 мА (двох напрямків: прямого і зворотного), та статичні вольт-амперні характеристики для різних варіантів конструктивного виконання. Контакти з мікродроту приварювали до різних ділянок чутливого елемента. Розглянемо тільки три випадки. На рисунку 2 наведено три схеми можливого розташування контактів.

18

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Розташування контактів у чутливих елементах.

Дослідження вольт-амперних характеристик магніторезисторів показало, що вони наближаються з достатньою точністю поліномом п'ятого степеня. Для апроксимації використовувався розроблений у роботі алгоритм мінімаксного наближення.

Використання апроксимаційних моделей дає можливість легко порівнювати характеристики чутливого елемента при різних конструктивних реалізаціях та вибирати кращий варіант. Аналіз вольт-амперних характеристик показав, що приварювання контактів за схемою К3 зменшує розходження прямої та зворотної гілок характеристики, особливо на початковій ділянці, зменшується при цьому і перехідна область.

Було виявлено, що для аналітичного представлення польових залежностей магніторезисторів оптимальним є використання полінома другого степеня. Цей результат відповідає теоретичним моделям.

В роботі приводяться отримані апроксимаційні моделі ряду поширених первинних та зразкових перетворювачів температури (як термодіодних, так і терморезистивних), в тому числі апроксимація залежності температури від частоти ядерного квадрупольного резонансного термометра, робочим матеріалом якого є .

Запропоновано алгоритм аналітичного представлення таблично заданої функції двох змінних (тиску і температури) для промислового перетворювача тиску ТГ 2.5 Б вітчизняного виробництва. Оскільки вимоги щодо точності наближення є високі і використання широковживаних методів (наприклад, методу найменших квадратів) не дають бажаних результатів, алгоритм базується на методі найкращого наближення Чебишова. Прямі алгоритми мінімаксного наближення у випадку функцій двох змінних є досить складними і використовуються рідко. Тому було запропоновано використати два вкладених мінімаксних наближення однієї змінної. Розроблений алгоритм дав можливість здійснити апроксимацію табличної функції двох змінних з приведеною похибкою 0.048%. Цей результат відповідає сучасному світовому рівню точності для приладів даного типу. Алгоритм є достатньо простий для реалізації на мовах програмування систем комп'ютерної алгебри і може використовуватись для аналогічних наближень характеристик перетворювачів, вихідний сигнал яких залежить від двох параметрів.

основні результати роботи та висновки

В дисертаційній роботі на базі теоретичних досліджень розроблено алгоритмічне та програмне забезпечення для моделювання первинних перетворювачів фізичних величин на основі апроксимаційних методів. Результати доведені до практичної реалізації і впроваджені в двох науково-дослідних лабораторіях з метою вдосконалення вимірювальних пристроїв.

В дисертаційній роботі одержані такі основні результати:

Розроблено методику мінімаксного наближення гладких таблично заданих залежностей деякими нелінійними функціями від раціонального полінома. На відміну від відомих, алгоритм використовує розв'язання систем лінійних рівнянь без попереднього перетворення змінних та значно розширює кількість можливих нелінійних апроксимуючих виразів. Використання методики для математичного моделювання деяких типів первинних перетворювачів дає точність вищу у кілька разів у порівнянні з класичними методами з такою ж кількістю параметрів.

Запропоновано методику вибору з набору заданих наближаючих виразів оптимального (у сенсі мінімуму похибки) для математичного моделювання градуювальних характеристик первинних перетворювачів фізичних величин з заданою похибкою та кількістю параметрів.

Модифіковано алгоритм Ланцоша для згладження експериментальних даних. На відміну від існуючих він може використовуватись для обробки даних з нерівновіддаленими значеннями аргументу.

Запропоновано модифіковану структуру алгоритму мінімаксного наближення гладких таблично заданих залежностей раціональним поліномом. Розроблено алгоритм, що, на відміну від відомих, задовільно збігається і дає вірний результат у всіх перевірених випадках апроксимації гладких і монотонних таблично заданих залежностей.

На основі розроблених алгоритмів математичного моделювання первинних перетворювачів та методу найменших квадратів розроблено методику оптимізації параметрів лінеаризуючих структур. Використання розробленої методики для автоматичного знаходження параметрів деяких лінеаризуючих схем цифрових термометрів дало результуючу похибку нелінійності у два-три рази меншу, ніж у випадку використання інших методів.

Запропоновано алгоритм мінімаксної поліноміальної апроксимації таблично заданих залежностей двох змінних. На відміну від існуючих, розроблений алгоритм дозволяє досягнути необхідну похибку при апроксимації градуювальних характеристик первинних перетворювачів тиску серії ТГ вітчизняного виробництва.

Побудовані математичні моделі первинних перетворювачів фізичних величин дають можливість забезпечити необхідну точність моделей і є достатньо швидкодіючими.

ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНО У 10 НАУКОВИХ ПРАЦЯХ

Дудикевич В.Б., Попов Я.Б. Аналітичне представлення експериментальних характеристик термодавачів // Вісник Державного університету “Львівська політехніка”: Автоматика, вимірювання та керування. № 312, 1997, с. 29-32.

Дудикевич В.Б., Потіпко Т.І., Попов Я.Б. Наближення експериментальних характеристик термодавачів з заданою похибкою. Вісник ДУ “Львівська політехніка”. Автоматика, вимірювання та керування. № 324, 1998, с.59-65.

Дудикевич В.Б., Попов Я.Б. Математичне моделювання та оптимізація напівпровідникових перетворювачів температури // Вимірювальна техніка та метрологія, №53, 1998, с. 147-150.

Леновенко А.М., Василюк В.М., Попов Я.Б. Проектування цифрових засобів вимірювання з нелінійними сенсорами // Відбір і обробка інформації, № 12, 1998, с. 81-85.

Варшава С., Дудикевич В., Попов Я. Побудова моделей напівпровідникових терморезисторів // Матеріали першої міжнародної школи-семінар “Моделювання '96”, Крим. Видано: Жешув, 1996, с. 19.

Дудикевич В.Б., Попов Я.Б. Аналітичне представлення залежності температури від резонансної частоти ядерного квадрупольного резонансного термометра // Матеріали міжнар. наук.-техн. конференції “Приладобудування - 96”. Вінниця-Судак, 1996. Ч. 1. с. 45.

Varshava S., Dudykevych V., Popov I. Experimental Characteristics of Semiconductor Thermoresistors Modelling // Proceedings of the 1-st International Modelling School of AMSE-UA. - Crimea, Alushta, Ukraine, 12-17 September 1996. Published Rzeszow, 1996. pp. 71-73.

Варшава С.С., Дудикевич В.Б., Попов Я.Б. Створення магніто- та терморезисторів на основі напівпровідникових кристалів групи А3В5 та дослідження їх характеристик. Матеріали міжнарожної науково-практичної конференції "СЗПОІ", Одеса, 9-14 червня 1997 року, с. 47.

Володимир Василюк, Ярослав Попов. Алгоритм аналітичного представлення таблично заданої функції двох змінних для вимірювальних пристроїв. Книга за матеріалами четвертої науково-технічної конференції "КУТС-97", Вінниця, 1997, т. 2, с. 177-179.

Valery Dudykevych, Iaroslav Popov. Modeling Semiconductor Sensors Using Nonlinear Minimax Splines. Proceedings of the International Conference “Contribution of Cognition to Modelling”, Lyon, France, 6-8 July, 1998, pp. 15.13-15.16.

Размещено на Allbest.ru

...