Модели систем массового обслуживания с ограниченной очередью

Размещено на http://www.allbest.ru/

СОДЕРЖАНИЕ

• ВВЕДЕНИЕ
• 1. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
• 1.1 Предмет и задачи теории массового обслуживания
• 1.2 Характеристики СМО
• 2. ПАРАМЕТРЫ СМО
• 2.1 Общие положения
• 2.2 Процесс поступления заявок
• 2.3 Процесс обслуживания
• 2.4 Дисциплина обслуживания
• 1.5 СМО с неоднородной нагрузкой
• 1.6 Многоканальные СМО
• 1.7 Мнемоническое обозначение СМО
• 3. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ
• 3.1 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди
• 3.2 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди
• ЗАКЛЮЧЕНИЕ
• СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время появилось большое количество литературы, посвященной непосредственно теории массового обслуживания, развитию ее математических аспектов, а также различных сфер ее приложения - военной, медицинской, транспортной, торговле, авиации и др.

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929), с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.

Теория массового обслуживания -- область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами. Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого, варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий управленческих решений.

1. ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1.1 Предмет и задачи теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику.

На первичное развитие теории массового обслуживания оказали особое влияние работы датского ученого А.К. Эрланга (1878-1929).

Теория массового обслуживания - область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживан6ия, производительностью отдельного канала и эффективным обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими процессами.

Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.) от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Результирующими показателями или интересующими нас характеристиками СМО являются - показатели эффективности СМО, которые описывают способна ли данная система справляться с потоком заявок.

Задачи теории массового обслуживания носят оптимизационный характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению такого варианта системы, при котором будет обеспечен минимум суммарных затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и простоев каналов обслуживания.

1.2 Характеристики СМО

Система массового обслуживания (СМО) - это система, предназначенная для многоразового использования при выполнении однотипных операций.

Канатами обслуживания СМО называются обслуживающие устройства, входящие в систему, например приборы станции, линии связи, рабочие точки, вычислительные машины и др.

Одноканальные и многоканальные СМО выделяются числом каналов обслуживания. Заявки (требования) на обслуживание поступают в случайные моменты и образуют случайный поток заявок. Случайность времени поступления заявок может приводить к очередям или простаиванию каналов.

Таким образом, СМО включает входящий поток заявок, очередь, поток не обслуженных заявок, выходной поток обслуженных заявок.

СМО с отказами - это система, в которой заявка, поступившая в момент времени, когда все каналы заняты, получает отказ. В СМО с ожиданием такая заявка становится в очередь на обслуживание.

Теория массового обслуживания имеет своим предметом построение математических моделей СМО, позволяющих определить показатели эффективности СМО по заданным условиям работы СМО и характеру потока заявок.

Показателями эффективности СМО выступают средние значения (математические ожидания) соответствующих случайных величин и вероятности соответствующих случайных событий, например среднее число заявок за единицу времени, среднее число заявок в очереди, вероятность отказа в обслуживании без ожидания и т.п.

Перечень характеристик систем массового обслуживания можно представить следующим образом:

· среднее время обслуживания;

· среднее время ожидания в очереди;

· среднее время пребывания в СМО;

· средняя длина очереди;

· среднее число заявок в СМО;

· количество каналов обслуживания;

· интенсивность входного потока заявок;

· интенсивность обслуживания;

· интенсивность нагрузки;

· коэффициент нагрузки;

· относительная пропускная способность;

· абсолютная пропускная способность;

· доля времени простоя СМО;

· доля обслуженных заявок;

· доля потерянных заявок;

· среднее число занятых каналов;

· среднее число свободных каналов;

· коэффициент загрузки каналов;

· среднее время простоя каналов.

В результате показатели эффективности функционирования СМО выражаются через параметры СМО и потока заявок, а также зависят от характера работы СМО. В теории обычно накладываются упрощающие ограничения на вид потоков заявок. Среди таких ограничений выделяются следующие:

· стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка;

· ординарность потока означает, что невозможно одновременное поступление двух и более заявок;

· отсутствие последствия означает, что для любого момента времени вероятностные характеристики потока в последующие моменты времени зависят только от его состояния в данный момент и не зависят от его состояния в предыдущие моменты времени.

многоканальный очередь заявка

2. ПАРАМЕТРЫ СМО

2.1 Общие положения

Предметом изучения в курсе "Моделирование дискретных систем" являются Q-системы или системы массового обслуживания (СМО).

Системой массового обслуживания называется система, процесс функционирования которой является, по сути, процессом обслуживания, который состоит в предоставлении той или иной услуги, определяемой из функционального назначения системы. Объект обслуживания в СМО называется требованием или заявкой. Общепринятое графическое представление простейшей СМО имеет вид:

Рис. 2.1

Процесс функционирования СМО включает в общем случае следующие этапы:

приход (поступление) требования;

ожидание (при необходимости) в очереди;

обслуживание в приборе;

уход требования из системы.

Изучение любой системы, в том числе и СМО, предполагает ее формализацию (описание), т.е. определение параметров системы, необходимых и достаточных для анализа характеристик ее функционирования.

Для формализации любой СМО необходимо описать:

процесс поступления заявок в систему;

процесс обслуживания заявок в системе;

дисциплину обслуживания.

2.2 Процесс поступления заявок

Прежде чем описать процесс поступления заявок приведем необходимые обозначения и определения.

Пусть t₁, t₂, t₃, ... , t_k, ... -- моменты поступления в систему 1-го, 2-го, 3-го, ..., k-го, ... требований:

Рис. 2.2

Обозначим через _k = t_k - t_k-1 промежуток времени между моментами прихода (k-1)-го и k-го требований, который называется интервалом прихода k-го требования (k = 1, 2, 3, ...).

Если интервалы прихода всех заявок являются постоянными, т.е. , то такой поток называется детерминированным или регулярным. Однако, как правило, интервалы прихода _k являются случайными величинами, и соответствующий поток заявок называется стохастическим или случайным. Очевидно, что регулярный поток является частным случаем случайного потока.

Для описания стохастического потока (стохастического процесса поступления) заявок необходимо задать функцию распределения случайного в общем случае интервала прихода для каждой заявки:

 .(2.1)

Поток заявок, для которого функции распределения интервалов прихода всех заявок одинаковы, т.е. называется рекуррентным. Другими словами, для рекуррентного потока интервалы прихода ( ) всех заявок распределены по одному и тому же закону.

Важная характеристика любого потока -- это его интенсивность, которая обозначается через (t) и определяет среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени. Если интенсивность поступления (t) не зависит от времени, т.е. (t) , то такой поток называется стационарным.

Величина а, обратная интенсивности (а=1/), определяет среднее значение интервалов прихода или средний интервал поступления заявок.

Если в каждый момент времени t₁, t₂, t₃, ... поступает только одна заявка, то такой поток называется ординарным, в противном случае -- групповым (могут приходить одновременно две или более заявок). В дальнейшем рассматриваются только рекуррентные, стационарные и ординарные потоки.

Поток заявок называется потоком без последействия, если заявки поступают независимо друг от друга или другими словами момент поступления очередной заявки не зависит от того, когда пришла последняя заявка и от того, сколько их пришло.

При анализе СМО важное место занимает так называемый простейший поток. Простейшим называется поток, в котором интервалы поступления заявок распределены по экспоненциальному закону:

.(2.2)

Очевидно, что параметр данного экспоненциального распределения является интенсивностью соответствующего простейшего потока.

Простейший поток является потоком рекуррентным стационарным ординарным и без последействия и, наоборот, любой рекуррентный стационарный, ординарный поток без последействия является простейшим.

Простейший поток обладает следующими свойствами.

Сумма (слияние) двух или более простейших потоков образует простейший поток, интенсивность которого равна сумме интенсивностей составляющих его простейших потоков.

• 2) Если из простейшего потока интенсивности исключить каждую заявку с вероятностью р (а с вероятностью 1-р оставить), то как поток исключенных, так и поток оставшихся заявок, окажутся простейшими с интенсивностями р и (1-р) соответственно:

Рис. 2.3

• 3) Число заявок N(t) простейшего потока, поступающих в СМО за время t, будучи случайной целочисленной дискретной величиной, распределено по закону Пуассона:

(2.3)

Поэтому очень часто простейший поток называют стационарным Пуассоновским потоком. Такое же выражение было получено (см. пособие "Математические основы моделирования дискретных систем") и для простейшего процесса чистого размножения, что позволяет утверждать: процесс чистого размножения является адекватной моделью простейшего потока.

Таким образом, для описания рекуррентного, стационарного и ординарного процесса поступления заявок необходимо в общем случае задать функцию распределения интервалов их поступления. Однако не всегда бывает известной функция распределения. В таких случаях вместо неизвестной функции распределения для описания входного потока задаются интенсивность (или средний интервал а=1/) и коэффициент вариации (КВ) _а интервалов поступления, что оказывается достаточным для многих теоретических и практических приложений. Более того, в большинстве аналитических исследований в качестве входного потока заявок рассматривается простейший поток, ибо только в этом случае удается получать сколько-нибудь содержательные результаты анализа СМО. А для описания простейшего потока достаточно задать интенсивность , т.к. при этом КВ _а1 в силу экспоненциального характера распределения интервалов поступления заявок.

Выделение используемых при анализе СМО потоков схематически представлено на рисунке:

Рис. 2.4

2.3 Процесс обслуживания

По аналогии с процессами поступления заявок в систему для описания процессов обслуживания необходимо задать функцию распределения B_k(t) длительности обслуживания для каждой k-й заявки (k = 1, 2, 3, ...), которая в общем случае является случайной величиной. При этом под длительностью обслуживания _в понимается промежуток времени, в течение которого заявка находится в обслуживающем приборе. Далее будем считать, что все заявки создают статистически однородную нагрузку, т.е. длительности обслуживания всех заявок распределены по одному и тому же закону:

(2.4)

Важной характеристикой процесса обслуживания является интенсивность обслуживания , характеризующая среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.

Величина b, обратная интенсивности (b=1/), определяет среднее время обслуживания одной заявки.

Как и в случае интервалов поступления, если функция распределения B(t) неизвестно, то для многих приложений (теоретических и практических) оказывается достаточным определить интенсивность обслуживания (или среднее время обслуживания b) и КВ _в длительности обслуживания. Если длительность обслуживания распределено по экспоненциальному закону, то достаточно задать интенсивность обслуживания (или среднее время обслуживания b). Следует отметить, что, в отличие от интервалов поступления заявок, отказ от экспоненциального характера распределения длительности их обслуживания не столь усложняет задачу аналитического исследования СМО, и многие содержательные результаты получены при произвольном характере распределения времени обслуживания.

2.4 Дисциплина обслуживания

Дисциплиной обслуживания (ДО) называется правило, по которому выбираются на обслуживание заявки из очереди. Различают следующие ДО:

1) обслуживание в порядке поступления или дисциплина FIFO (First Input, First Output -- первым пришел, первым ушел);

2) обслуживание в обратном порядке или дисциплина LIFO (Last Input, First Output -- последним пришел, первым ушел);

3) обслуживание в случайном порядке, когда заявка на обслуживание выбирается случайно среди ожидающих заявок.

В дальнейшем в качестве ДО будем рассматривать ДО FIFO.

Таким образом, для описания СМО необходимо задать:

1) функцию распределения A(t) интервалов поступления (общий случай) или интенсивность поступления (или средний интервал а=1/) и КВ _а интервалов поступления;

2) функцию распределения В(t) длительности обслуживания (общий случай) или интенсивность обслуживания (или среднее время обслуживания b=1/) и КВ _в времени обслуживания;

3) дисциплина обслуживания (ДО FIFO).

2.5 СМО с неоднородной нагрузкой

До сих пор, рассматривая СМО, негласно считалось, что нагрузка СМО является статистически однородной, т.е. все заявки имеют одинаковые функции распределения, как интервалов поступления, так и длительностей обслуживания. Однако в общем случае нагрузка СМО может быть неоднородной, когда в систему поступают заявки нескольких классов, отличающиеся друг от друга законами распределения либо интервалов поступления, либо длительностей обслуживания, а так же наличием между заявками разных классов приоритетов на обслуживание.

Для формализации СМО с неоднородной нагрузкой необходимо описать:

процесс поступления заявок каждого класса, т.е. необходимо задать либо функции распределений А₁(t), А₂(t), ..., А_H(t) интервалов поступления (общий случай), либо интенсивности поступления ₁, ₂, ..., _H (или средние интервалы поступления a₁, a₂, ..., а_H) с КВ _а1, _а2, ..., _аH интервалов поступления, где Н - количество классов заявок, поступающих в систему;

процесс обслуживания заявок каждого класса, т.е. необходимо задать либо функции распределения В₁(t), B₂(t), ..., B_H(t) длительностей обслуживания (общий случай), либо интенсивности обслуживания ₁, ₂, ..., _H (или средние времена обслуживания b₁, b₂, ..., b_H) с КВ ₁, ₂,..., _H длительностей обслуживания;

• дисциплину обслуживания, в качестве которой может быть задана:

а) ДО бес приоритетная, когда между заявками разных классов нет приоритетов (приоритет это преимущественное право на обслуживание);

б) ДО с относительными приоритетами, когда приоритеты заявок учитываются только в моменты выбора их из очереди на обслуживание;

в) ДО с абсолютными приоритетами, когда приоритеты учитываются так же и во время обслуживания - высокоприоритетные заявки прерывают обслуживание низкоприоритетных;

г) ДО со смешанными приоритетами, когда заявки данного класса имеют к заявкам одних классов относительный приоритет, к заявкам других - абсолютный, а к заявкам третьих - нет приоритета.

Вопросы математической формализации перечисленных ДО выходят за рамки курса "Моделирование дискретных систем".

Графическое представление СМО с неоднородной нагрузкой имеет вид.



Рис. 2.5

Очень часто при анализе СМО исходная неоднородная нагрузка сводится к эквивалентной (с точки зрения загрузки системы) однородной. Это сведение включает следующие преобразования исходных параметров (предполагается, что все входные потоки являются простейшими):

1) (2.5) -- интенсивность объединенного потока (простейшего);

2) (2.6) -- усредненное время обслуживания заявок объединенного потока, где -- доля заявок класса k в суммарном потоке ();

3) (2.7) -- из этого выражения определяется КВ длительности обслуживания заявок объединенного потока.

После преобразований исходная модель примет вид:

Рис. 2.6

2.6 Многоканальные СМО

До сих пор в рассматриваемых СМО присутствовал только один обслуживающий прибор. Такие системы называют одноканальными (ОК) СМО. Однако очень часто система может состоять из несколько обслуживающих приборов, работающих параллельно, и такую систему называют многоканальной (МК) СМО. При этом считается, что все приборы совершенно идентичны и заявка на обслуживание поступает в любой свободный прибор, который выбирается случайно.

Для описания МК СМО задается та же совокупность параметров, что и для ОК СМО (см. раздел 1.4). Дополнительно задается только количество N обслуживающих приборов. Графическое представление МК СМО имеет вид:

Рис. 2.7

2.7 Мнемоническое обозначение СМО

В теории массового обслуживания приняты очень удобные сокращенные обозначения для различных СМО, позволяющие легко охарактеризовать систему. В основе этих обозначений лежит трехбуквенная комбинация вида А/В/N, где:

А - описывает распределение (или задает характер закона распределения) интервалов поступления заявок;

В - описывает распределение длительностей обслуживания заявок;

N - задает количество обслуживающих приборов в СМО.

Иногда, когда СМО является системой с ограниченной емкостью накопителя (или с ограниченной очередью), приведенное обозначение расширяется до четырех букв А/В/N/К, где последняя буква (на самом деле число, как и N) К задает емкость накопителя (количество мест ожидания).

Приведенные трех или четырех буквенные обозначения называют обозначениями Кендалла. В этих обозначениях А и В могут принимать значения из следующего набора символов {M, D, E_k, H_k, G, U}. При этом:

а) А или В=M, если распределение интервалов поступления или длительностей обслуживания заявок является экспоненциальным (М - от слова Markovian - Марковский);

б) А или В=D, если интервалы поступления или длительности обслуживания являются детерминированными (D - Determinate);

в) А или В=E_k, если соответствующие распределения являются Эрланговскими порядка k (E - Erlang);

г) А или В=H_k, в случае гиперэкспоненциальных распределений порядка k (H - Hyperexponential);

д) А или В= G, в случае распределений общего (произвольного) вида (G - General - общий, общего вида);

е) А или В= U - при равномерных распределениях соответствующих случайных величин (U - Uniform distribution - равномерное распределение).

Так, например, обозначение вида:

М/М/1 означает СМО с простейшим потоком на входе и экспоненциально распределенной длительностью обслуживания заявок в приборе (один)

D/Е₂/3/5 - СМО с регулярным потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенной по закону Эрланга 2-го порядка, тремя обслуживающими приборами и пятью местами ожидания;

М/G/2 - СМО с простейшим потоком на входе, длительностью обслуживания, распределенная по закону произвольного вида, и двумя обслуживающими приборами.

В случае СМО с неоднородной нагрузкой используются обозначения вида , где символ вектора над буквами А и В указывает на неоднородность нагрузки, а индекс Н задает количество классов заявок. Например, -- это обозначение СМО с одним обслуживающим прибором, четырьмя классами заявок, которые образуют на входе системы простейшие потоки и имеют общие законы распределения длительностей обслуживания.

3. МОДЕЛИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОГРАНИЧЕННОЙ ОЧЕРЕДЬЮ

3.1 Многоканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Рассмотрим многоканальную СМО , на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью , а интенсивность обслуживания каждого канала составляет , максимально возможное число мест в очереди ограничено величиной m. Дискретные состояния СМО определяются количеством заявок, поступивших в систему, которые можно записать.

- все каналы свободны, ;

- занят только один канал (любой), ;

- заняты только два канала (любых), ;

- заняты все каналов, .

Пока СМО находится в любом из этих состояний, очереди нет. После того как заняты все каналы обслуживания, последующие заявки образуют очередь, тем самым, определяя дальнейшие состояние системы:

- заняты все каналов и одна заявка стоит в очереди,

;

- заняты все каналов и две заявки стоят в очереди,

;

- заняты все каналов и все мест в очереди,

.

Граф состояний n-канальной СМО с очередью, ограниченной m местами на рис.3.1.

Рисунок 3.1 - Граф состояний n-канальной СМО с ограничением на длину очереди m

Переход СМО в состояние с большими номерами определяется потоком поступающих заявок с интенсивностью , тогда как по условию в обслуживании этих заявок принимают участие одинаковых каналов с интенсивностью потока обслуживания равного для каждого канала. При этом полная интенсивность потока обслуживания возрастает с подключением новых каналов вплоть до такого состояния , когда все n каналов окажутся занятыми. С появлением очереди интенсивность обслуживания более увеличивается, так как она уже достигла максимального значения, равного .

Запишем выражения для предельных вероятностей состояний:

.

Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты:

(3.1)

Выражение для можно преобразовать, используя формулу геометрической прогрессии для суммы членов со знаменателем :

(3.2)

Образование очереди возможно, когда вновь поступившая заявка застанет в системе не менее требований, т.е. когда в системе будет находиться требований. Эти события независимы, поэтому вероятность того, что все каналы заняты, равна сумме соответствующих вероятностей

Поэтому вероятность образования очереди равна:

Основные характеристики системы:

1. Вероятность того, что все обслуживающие устройства свободны, определяется с помощью формулы (3.2).

2. Вероятность того, что обслуживанием занято определенное число устройств , определяется с помощью (3.1).

3. Вероятность того, что все обслуживающие устройства заняты и требований ожидают в очереди, с учетом (3.1)

(3.3)

4. Вероятность отказа в обслуживании наступает тогда, когда все каналов и все мест в очереди заняты

(3.4)

5. Среднее число устройств, занятых обслуживанием, равно

(3.5)

6. Среднее число простаивающих устройств

(3.6)

7. Коэффициент простоя обслуживающих устройств

(3.7)

8. Коэффициент занятости

(3.8)

9. Относительная пропускная способность будет равна

(3.9)

10. Абсолютная пропускная способность -

(3.10)

11. Среднее число требований, находящихся в очередях

(3.11)

12. В случае если , эта формула принимает другой вид -

13. Среднее число требований, находящихся в системе

(3.12)

14. Среднее время ожидания требования в очереди

(3.13)

Среднее время ожидания в очереди определяется формулами Литтла -

Среднее время пребывания заявки в СМО, как и для одноканальной СМО, больше среднего времени ожидания в очереди на среднее время обслуживания, равное , поскольку заявка всегда обслуживается только одним каналом:

Пример 1. Автозаправочная станция (АЗС) с двумя колонками (n=2) обслуживает прибывающие машины. Поток машин имеет интенсивность машин в минуту; среднее время обслуживания одной машины . Площадка у АЗС может вместить не более m=3 машин. Машина, прибывшая в момент, когда все три места в очереди заняты, покидает АЗС (получает отказ).

Найти:

1. Вероятность отказа.

2. Относительную и абсолютную пропускные способности.

3. Среднее число машин в очереди.

4. Среднее время ожидания машин в очереди.

Решение.

Имеем

По формуле (3.2) находим

Тогда вероятность отказа равна

Относительная пропускная способность

Абсолютная пропускная способность

Среднее число машин в очереди находим по формуле (3.11)

Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле (3.13)

3.2 Одноканальная СМО с ограниченной длиной очереди

Описание такой системы сводится к предыдущему пункту при n=1. Граф такой системы имеет вид, представленный на рис. 3.2

Рисунок 3.2 - Граф состояний одноканальной СМО с ограничением на длину очереди m

Из (3.1) следует, что

 (3.14) и (3.15)

Основные характеристики системы:

1. Вероятность того, что система обслуживающее устройство свободно, равна .

2. Вероятность того, что обслуживающее устройство занято, равно .

3. Вероятность того, что устройство занято и требований ожидают в очереди, равна .

4. Вероятность отказа равна .

5. Относительная пропускная способность, равна .

6. Абсолютная пропускная способность равна .

7. Среднее число требований, ожидающих в очереди, равно

.

8. Среднее время ожидания и очереди равно

.

Пример 2. Рассмотрим пример 1 в случае, когда на АЗС имеется только одна колонка (n=1). Тошда

Так как

 то

Относительная пропускная способность ;

Абсолютная пропускная способность

Среднее число машин в очереди равно

Среднее время ожидания в очереди

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

За последние годы область применения математических методов теории массового обслуживания непрерывно расширяется и все больше выходит за пределы задач, связанных с "обслуживающими организациями" в буквальном смысле слова. Как своеобразные системы массового обслуживания могут рассматриваться: электронные цифровые вычислительные машины; системы сбора и обработки информации; автоматизированные производственные цехи, поточные линии; транспортные системы; системы противовоздушной обороны и т. д.

Близкими к задачам теории массового обслуживания являются многие задачи, возникающие при анализе надежности технических устройств.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок в системе (которая рассматривается как СМО) должно быть достаточно велико (массово).

2. Все заявки, поступающие на вход СМО, должны быть однотипными.

3. Для расчетов по формулам необходимо знать законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки. Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими.

4. Структура СМО, т.е. набор поступающих требований и последовательность обработки заявки, должна быть жестко зафиксирована.

5. Необходимо исключить из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще одно, оказывающее сильное влияние на размерность и сложность математической модели.

6. Количество используемых приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО.

В ходе выполнения работы была достигнута основная цель - изучен основной материал, то есть характеристики, задачи, предмет СМО, а также рассмотрели одноканальные и многоканальные СМО с ограниченной длиной очереди.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Фомин, Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности / Г.П. Фомин. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Вентцель, Е.С. Теория вероятностей и её инженерные приложения / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. - М: Наука, 1988.

3. Вентцель, Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель. - М.: Наука, 1980.

4. Лифшиц, А.Л. Статистическое моделирование СМО / А.Л. Лифшиц. - М., 1978.

5. Советов, Б.А. Моделирование систем / Б.А. Советов, С.А. Яковлев. - М.: Высшая школа, 1985.

6. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 2001.

Размещено на Allbest.ru

...