Экономико-математическое моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача №1

Допустим предприятие выпускает три вида изделий (И1, И2, И3), используя три вида ресурсов (Р1, Р2, Р3). Запасы ресурсов (З) ограничены. Прибыль от реализации (П) единицы изделия и нормы расхода ресурсов представлены в таблицах. Определить ассортимент и объемы выпуска продукции, получаемую прибыль, величину остатков ресурсов. Найти решение задачи симплексным методом с представлением всех симплексных таблиц (промежуточных шагов решения) и проанализировать полученные результаты. Составить двойственную задачу. Определить двойственные оценки из последней симплексной таблицы и провести анализ последней симплексной таблицы.

	И1	И2	И3	З
Р1	5	6	7	50
Р2	6	5	2	30
Р3	3	4	2	51
П	5	2	7

Для определения оптимального плана производства, необходимо решить следующую задачу: определить максимум целевой функции

f(x) = 5X1 + 2X2 + 7X3max

при следующих условиях

Х1, Х2, Х3 0.

Запишем данную задачу в каноническом виде

линейный программирование транспортный симплексный

Для решения задачи линейного программирования составим симплексную таблицу

Базис	Коэффициент цели	План	Коэффициент функции цели
			5	2	7	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х4	0	50	5	6	7	1	0	0	50/7=
Х5	0	30	6	5	2	0	1	0	30/2=15
Х6	0	51	3	4	2	0	0	1	51/2=25,5
F(x)=0*50+30*0+0*51=0	-5	-2	-7	0	0	0

?1=0*5+0*6+0*3-5=-5

?2=0*6+0*5+0*4-2=-2

?3=0*7+0*2+0*2-7=-7

?4=?5=?6=0

Наибольшим по модулю является элемент третьего столбца, значит данный столбец выбираем за ведущий.

Для определения ведущей строки делим план на соответствующие элементы третьего столбца и записываем в последний столбец. Первая строка является ведущей, так как значение самое маленькое из определенных.

На пересечении ведущих строки и столбца находится ключевой элемент.

Из базиса выходит х4, а входит х3. Сделаем пересчет таблицы. Для этого каждый элемент первой строки разделим на 7, из каждого элемента второй строки отнимем первуюстрокуумноженную на 2/7, и из каждого элемента третьей строки отнимем первую строку, умноженную на 2/7. Таблица будет иметь следующий вид:

Базис	Коэффициент цели	План	Коэффициент функции цели
			5	2	7	0	0	0
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
Х3	7		5/7	6/7	1	1/7	0	0
Х5	0		4		0	-2/7	1	0
Х6	0	36	1		0	-2/7	0	1
F(x)=7*50/7+110/7*0+257/7*0=50	0	4	0	1	0	0

?1=7*5/7+0*4+0*1-5=0

?2=7*6/7+0*+0*-2=4

?3=7*1+0*0+0*0-7=0

?4=7*1/7+0*-2/7+0*-2/7-0=1

?5=?6=0

Индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план.

Необходимо выпускать изделия И3 в количествеединицы. Второе сырье в количестве кг и третье в количестве 36 кг остается неиспользованным. Общий доход от продажи составит 50усл.ед. Из таблицы также видно, что оптимальным решением двойственной задачи является Y* = (1, 0, 0), поскольку решение двойственной задачи находится в столбцах, соответствующих дополнительным переменным исходной задачи (Х4, Х5, Х6).Переменная , = 0, и, значит, второй и третий вид сырья имеется в избытке.

Выпускать продукцию типа И2 невыгодно, а принудительный выпуск единицы данной продукции уменьшит доход на 4ус.ед.

Также увеличение на 1 кг сырья первого вида дает новый оптимальный план, при котором доход возрастет на 1усл.ед. и составит 51усл.ед. Это можно также достигнуть за счет увеличения выпуска изделия И3 на 1/7.

Вычислим минимальное значение целевой функции двойственной задачи:

F(y) = 501+ 30 0+ 510= 50оно совпадает с максимальным значением целевой функции исходной задачи.

Задача№2

Решить задачу графическим и аналитическим методами. Для всех вариантов Х1 и Х2 принимают неотрицательные значения.

18X1 - 10X2<= 90 5X1 + 4X2>= 200

- 10X1 + 25X2<= 0 X2>= 70

7X1 + 7X2<= 63 9X1 - X2>= 0

17X1 + 12X2<= 204 5X1 - 4X2>= 200

f(X) = -5X1 - 4X2 -> min f(X) = - 3X1 - 2X2 -> max

Максимум достигается в точке пересечения второй и первой прямой. Составим для них уравнение и найдем точку оптимальности:

Выразим из первого уравнения х2 и подставим во второе:

-10х1+25*=0 отсюда Х1=45/11 значит х2=(90-18*45/11)/10=18/11

Вычислим значение функции цели в точке А(45/11; 18/11)

f(x)max = -545/11 + -4*18/11 = -27

а)

б)

Максимум достигается в точке пересечения второй и четвертой прямой. Составим для них уравнение и найдем точку оптимальности:



Методом замены переменной получим х1=96, х2=70

Вычислим значение функции цели в точке А(96; 70)

f(x)min = -396-2*70 = -428

Задача №3

Решить транспортную задачу распределительным методом или методом потенциалов

Допустим имеется три поставщика продукции с соответствующими предложениями а1, а2 и а3 и три потребителя, спрос которых составляет в1, в2 и в3 соответственно. Стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления до каждого пункта назначения задается матрицей С.

а1= 112, а2 = 238, а3 = 250 6 2 4

в1 = 120, в2 = 130, в3 = 200 С = 1 5 3

Пункты отправления	Предложение
	В1	В2	В3
А1	6	2	4	112
А2	1	5	3	238
А3	2	2	4	250
Спрос	120	130	200

Всего предложения: 112+238+250=600, всего спроса: 120+130+200=450

Данная задача открытая. Преобразуем ее в закрытую. Введем фиктивного потребителя в4=150

Пункты отправления		Предложение
	В1	В2	В3	В4
А1	6	2	4		112
А2	1	5	3		238
А3	2	2	4		250
Спрос	120	130	200	150	600

Сделаем опорный план методом северо-восточного угла.

Пункты отправления		Предложение
	В1	В2	В3	В4
А1	1126	2	4
А2	81	1305	1003
А3	2	2	1004	150
Спрос

Согласно данному плану перевозок функция цели - общая стоимость перевозок всего груза - составляет

f(х) = 6 112+ 1 8+ 5130 + 3100+ 4100 + 0*150= 1830.

Решим задачу методом потенциала.

	V1= 6	V2 = 10	V3 = 8	V4 = 4		Для занятых клеток U1 + V1 = 6, U2+ V1= 1, U2 + V2= 5, U2+ V3= 3, U3+ V3 = 4, U3+ V4= 0,
U1= 0	1126	2	4	0	112
U2 = -5	81	1305	1003	0	238
U3 = -4	2	2	1004	1500	250
	120	130	200	150

ПоложимU1= 0, тогда учитывая занятые клетки

V1= 6, V2 = 10, U2 = -5, U3 = -4, V3 = 8, V4 = 4.

Подсчитаем ij для свободных клеток:

12 = 2 - (0+10) = -8, 13 = 4 - (0 +8) = -4,

14 = 0 - (0+4) = -4, 24 = 0 - (4-5) = 1,

31 = 2 - (6-4) = 0, 32 = 2 - (-4+10) = -4,

Поскольку среди значений ij есть отрицательные, то план перевозок не оптимален и необходимо, сделав сдвиг по циклу пересчета для клетки (1,2), перейти к новому плану.

	V1= -2	V2 = 2	V3 = 0	V4 = -4		Для занятых клеток U1 + V2= 2, U2+ V2 = 5, U2+ V1= 1, U2+ V3= 3, U3+ V3= 4, U3+ V4= 0,
U1= 0	06	1122	4	0	112
U2 = 3	1201	185	1003	0	238
U3 = 4	2	2	1004	1500	250
	120	130	200	150

ПоложимU1= 0, тогда учитывая занятые клетки

V1= -2, V2 = 2, U3= 4, U2= 3, V3 = 0, V4 = -4.

Подсчитаем ij для свободных клеток:

11 = 6 - (0-2) = 8, 13 = 4 - (0 -4) = 8,

14 = 0 - (0-4) = 4, 24 = 0 - (3-4) = 1,

31 = 2 - (4-2) = 0, 32 = 2 - (4+2) = -4,

Поскольку среди значений ij есть отрицательные, то план перевозок не оптимален и необходимо, сделав сдвиг по циклу пересчета для клетки (3,2), перейти к новому плану.

	V1= 2	V2 = 2	V3 = 4	V4 = 0		Для занятых клеток U1 + V2= 2, U3+ V2 = 2, U3+ V3= 4, U3+ V4= 0, U2+ V3= 3, U2+ V1= 1,
U1= 0	6	1122	4	0	112
U2 = -1	1201	05	1183	0	238
U3 =0	2	182	824	1500	250
	120	130	200	150

ПоложимU1= 0, тогда учитывая занятые клетки

V1= 2, V2 = 2, U3= 0, U2=-1, V3 = 4, V4 = 0.

Подсчитаем ij для свободных клеток:

11 = 6 - (0+2) = 4, 13 = 4 - (0 +4) = 0,

14 = 0 - (0 +0) = 0, 22 = 5 - (2-1) = 4,

24 = 0 - (0-1) = 1, 31 = 2 - (2+0) = 0,

Поскольку среди значений ij нет отрицательных, то найден оптимальный план перевозок.

f(х) = 1122+ 120 1+ 1183 + 182+824= 1062

Задача №4

Построить сетевую модель выполнения комплекса работ и рассчитать основные временные параметры для всех событий и работ.

Коды работ	to	tнв	tп
1-2	1	5	7
1-3	1	2	3
1-5	2	3	7
2-3	0	0	0
2-4	3	4	7
3-4	3	5	7
3-6	1	2	5
4-6	1	3	6
5-6	1	2	3
6-7	2	3	4
7-8	4	5	6
7-9	6	7	8
8-10	0	0	0
8-12	2	3	4
9-10	4	5	7
9-11	0	0	0
10-11	0	0	0
10-12	1	2	4
11-13	1	3	4
12-13	2	3	4

Где to- оптимистическая оценка, tнв- наиболее вероятная оценка, tп - пессимистическая оценка.

В случаях, когда время выполнения работ точно не известно, то есть продолжительность работы является случайной (стохастической) величиной, характеризующейся законом в-распределения с числовыми характеристиками - средним значением, или математическим ожиданием продолжительности работы tожij и дисперсией продолжительности работы у2ij.

Тогда среднее (ожидаемое) время выполнения работы определяется выражением

toжij = ,

Определение степени неопределённости выполнения работ, лежащих на критическом пути

,

Рассчитаем данные показатели и запишем в последние колонки.

Коды работ	to	tнв	tп	tож	Дисперсия
1-2	1	5	7	4,67	1,0
1-3	1	2	3	2,00	0,1
1-5	2	3	7	3,50	0,7
2-3	0	0	0	0,00	0,0
2-4	3	4	7	4,33	0,4
3-4	3	5	7	5,00	0,4
3-6	1	2	5	2,33	0,4
4-6	1	3	6	3,17	0,7
5-6	1	2	3	2,00	0,1
6-7	2	3	4	3,00	0,1
7-8	4	5	6	5,00	0,1
7-9	6	7	8	7,00	0,1
8-10	0	0	0	0,00	0,0
8-12	2	3	4	3,00	0,1
9-10	4	5	7	5,17	0,3
9-11	0	0	0	0,00	0,0
10-11	0	0	0	0,00	0,0
10-12	1	2	4	2,17	0,3
11-13	1	3	4	2,83	0,3
12-13	2	3	4	3,00	0,1

Построим сетевой график на основании данных.

Критический путь (1,2,4,6,7,9,10,11,13) равен 5+4+3+3+7+5+0+3=30 дня.

Дисперсия критического пути составляет:

1+0,4+0,7+0,1+0,1+0,3+0+0,3=2,9

Определение вероятности завершения комплекса работ в заданный директивный срок. Для этого необходимо найти аргумент функции нормального распределения Z по формуле

где Tдир - директивный срок завершения работ; Lкр - длительность критического пути; у2ijкр - суммарная дисперсия работ, лежащих на критическом пути.

Найдем аргумент функции вероятность завершения комплекса работ в течении35 дней.

С помощью функции ExcelНОРМСТРАСПР находим значение вероятности. С вероятностью 0,998 работы завершаться в течении 35 дней.

Максимальный срок выполнения всего комплекса работ Т при заданном уровне вероятности р

.

Найдем максимальный срок выполнения всего комплекса работ при вероятности 95%

Для получения величины Z можно использовать функцию НОРМСТОБР из категории СтатистическиеExcel.

Z=1.645

Т=30+1,645*1,7=32,8 дней

Таким образом, с вероятностью 0,95 комплекс работ будет завершен за 32,8 дней.

Линейная модель выглядит следующим образом:

Задача №5

Провести расчеты показателей качества системы массового обслуживания и проанализировать полученные результаты сравнивая их с представленным примером. Пояснить какая система является более приемлемой для внедрения на производстве и почему.

Допустим имеется возможность выбора способа реализации производственного процесса, используя различные технологии и различное оборудование: 1-й способ, рассмотренный в варианте, 2-й способ, для которого необходимо также рассчитать все приведенные показатели и сравнить с 1-м, определяется следующим образом: количество работников необходимо увеличить на 1 для всех вариантов. Интенсивность поступления заявок во всех случаях равна 1 (один из станков выходит из строя в среднем 1 раз в час), время обслуживания станка 6 мин.

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Кол-во станков	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Кол-во работников	2	2	2	2	2	3	3	3	3	3

Решение:

n = 3, m = 18, = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,

= = 10, = = 0,1.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 - все станки работают, очереди нет;

k = 1 - один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 - два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 - три станка обслуживаются, очереди нет;

k = 4 - три станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

k = 18 - три станка обслуживаются, пятнадцать в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р18.

Определим значения для случая, когда очереди нет

(0 k 2):

0 = 0,1 = 1; 1 = 0,11 = 1,8;

2 = 0,12 = 1,53, 3= 0,13 = 0,816.

Определим значения для случая, когда очередь есть

(4k12):

4= 0,14 = 0,33;

18= 0,112 = 2,47884684245287E-11.

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р0 = (5,87766997)-1 = 0,1701.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

М1 = Рk = 0,2152.

Это означает, что в среднем из 18 станков 0,2152 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди К1 = = 0,012.

Это означает, что в среднем каждый станок 1,2 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

М2 = Рk = 1,832.

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 2 станка из 18 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К2 = = 0,102.

Это означает, что 10,2 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 18.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

М3 = Рk = 1,667

Это означает, что из трех человек в среднем один всегда свободен.

Коэффициент простоя рабочего К3 = = 0,556.

Это означает, что в среднем каждый рабочий 55,6 % рабочего времени простаивает без работы.

Число требований,	Число требований, ожидающих обслуживания,	Число свободных рабочих,	и	Рk=bkЧР0	(k-n) Рk	kЧРk	(n-k) Рk
k	k - n	n - k
0	-	3	1	0,1701	-	0	0,5103
1	-	2	1,8	0,30618	-	0,30618	0,61236
2	-	1	1,53	0,260253	-	0,520506	0,31365
3	-	-	0,816	0,1388016	-	0,4164048	-
4	1	-	0,408	0,0694008	0,0694008	0,2776032	-
5	2	-	0,1904	0,032387	0,06477408	0,1619352	-
6	3	-	0,08250667	0,0140344	0,04210315	0,0842063	-
7	4	-	0,03300267	0,0056138	0,02245501	0,0392963	-
8	5	-	0,01210098	0,0020584	0,01029188	0,016467	-
9	6	-	0,00403366	0,0006861	0,00411675	0,0061751	-
10	7	-	1,21E-03	0,0002058	0,00144086	0,0020584
11	8	-	3,23E-04	5,489E-05	0,00043912	0,0006038
12	9	-	7,53E-05	1,281E-05	0,00011527	0,0001537
13	10	-	1,51E-05	2,562E-06	2,5615E-05	3,33E-05
14	11	-	2,51E-06	4,269E-07	4,6961E-06	5,977E-06
15	12	-	3,35E-07	5,692E-08	6,8308E-07	8,538E-07
16	13	-	1,12E-08	1,897E-09	2,4667E-08	3,036E-08
17	14	-	7,44E-10	1,265E-10	1,7709E-09	2,15E-09
18	15	-	2,48E-11	4,217E-12	6,3248E-11	7,59E-11
	-	-	5,87766997	-	0,21516795	1,8316299	1,667

1) Второй вариант, когда 4 рабочих при всех оставшихся параметрах.

n = 4, m = 18, = 1, = 6 мин = 0,1 ч.,

= = 10, = = 0,1.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 - все станки работают, очереди нет;

k = 1 - один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 - два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 - три станка обслуживаются, остальные работают;

k = 4 - четыре станка обслуживаются, остальные работают;

k = 18 - четыре станка обслуживаются, четырнадцать в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р18.

Определим значения для случая, когда очереди нет

(0 k 2):

0 = 0,1 = 1; 1 = 0,11 = 1,8;

2 = 0,12 = 1,53, 3 = 0,13=0,816,3 = 0,14=0,306

Определим значения для случая, когда очередь есть

(5k18):

5= 0,15 = 0,1071; … 18= 0,112 = 9,94E-13.

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Р0 = (5,6081)-1 = 0,1783.

Среднее число станков, стоящих в очереди:

М1 = Рk = 0,04.

Это означает, что в среднем из 18 станков 0,04 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди

К1 = = 0,0022.

Это означает, что в среднем каждый станок 0,22 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании)

М2 = Рk = 1,673.

Это означает, что в среднем 95 % рабочего времени 2 станка из 18 не будет работать.

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания

К2 = = 0,09.

Это означает, что 9 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 18.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих)

М3 = Рk = 2,367

Это означает, что из четырех человек в среднем два всегда свободны, а третий свободен на 37%

Коэффициент простоя рабочего

К3 = = 0,5917.

Это означает, что в среднем каждый рабочий 59,17 % рабочего времени простаивает без работы.

Число требований, k	Число требований, ожидающих обслуживания, k - n	Число свободных рабочих, n - k	и	Рk=kР0	(k-n) Рk	kРk	(n-k) Рk
0	-	3	1	0,3088	-	-	0,9264
1	-	2	1,2	0,37056	-	0,37056	0,74112
2	-	1	0,66	0,203808	-	0,407616	0,203808
3	-	-	0,22	0,067936	-	0,203808	-
4	1	-	0,099	0,030571	0,0305712	0,1222848	-
5	2	-	0,0396	0,012228	0,02445696	0,0611424	-
6	3	-	0,01386	0,00428	0,0128399	0,02567981	-
7	4	-	0,004158	0,001284	0,00513596	0,00898793	-
8	5	-	0,0010395	0,000321	0,00160499	0,00256798	-
9	6	-	0,0002079	6,42E-05	0,0003852	0,0005778	-
10	7	-	3,1185E-05	9,63E-06	6,7409E-05	9,6299E-05
11	8	-	3,1185E-06	9,63E-07	7,7039E-06	1,0593E-05
12	9	-	1,5593E-07	4,81E-08	4,3335E-07	5,778E-07
	-	-	3,23789986	-	0,07506976	1,20333219	1,87132

Сравнив две СМО можно прийти к выводу, что при увеличении обслуживающего персонала на одного рабочего, снизится простой оборудования на 1 % и уменьшится время простаивания каждого станка на 1%. Но увеличится простой работников с 55,6% до 59,7% рабочего времени.

Задача №6

Определить наилучшую стратегию поведения на рынке товаров и услуг с помощью критериев: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и максимакса. Сi (i=1-m) - стратегии лица, принимающего решения, Пj (j=1-n) - вероятные состояния рыночной среды, qj- вероятности проявления каждой из n возможных ситуаций во внешней среде.

	q1=0,15	q2=0,2	q3=0,35	q4=0,25	q5=0,05
	П1	П2	П3	П4	П5
С1	44	16	66	47	10
С2	60	49	63	82	45
С3	13	64	69	86	35
С4	31	85	11	27	47
С5	21	46	31	83	43

Коэффициент “пессимизма” равен 0,3

Определим наилучшую стратегию по критерию Байеса:

44 0,15+ 16 0,2 + 66 0,35+ 47 0,25+10 0,05= 56,9,

60 0,15+ 49 0,2 + 63 0,35+ 82 0,25+45 0,05= 63,6,

13 0,15+ 64 0,2 + 69 0,35+ 86 0,25+35 0,05= 62,15,

31 0,15+ 85 0,2 + 11 0,35+ 27 0,25+47 0,05= 41,35,

21 0,15+ 46 0,2 + 31 0,35+ 83 0,25+43 0,05= 66,85,

Наилучшая стратегия С5 дает максимальный средний «выигрыш» в размере 66,85тыс. ден.ед.

Определим наилучшую стратегию по критерию Лапласа:

(44 + 16 + 66 + 47+10)/5 = 36,6,

(60 + 49 + 63 + 82+45)/5 = 59,8,

(13 + 64 + 69 + 86+35)/5 = 53,4,

(31 + 85 + 11 + 27+47)/5 = 40,2,

(21 + 46 + 31 + 83+43)/5 = 44,8,

Наилучшая стратегия С2 дает максимальный средний «выигрыш» в размере 59,8тыс. ден.ед.

Используя матрицу игры, по критерию Вальдаопределяем минимальный выигрыш для всех стратегий

1 = 10; 2 = 45; 3 = 13; 4 = 11,5 = 21

Наилучшая стратегия С2 дает максимальный (из минимальных) «выигрыш» в размере 45тыс. ден.ед.

По критерию Сэвиджа, используя матрицу рисков, находим максимальные риски для всех стратегий

ri = rij

Составим матрицу рисков

	П1	П2	П3	П4	П5
С1	16	69	3	39	37
С2	0	36	6	4	2
С3	47	21	0	0	12
С4	29	0	58	59	0
С5	39	39	38	3	4

ri = rij

r1 =69, r2 = 36, r3= 47, r4 = 59, r5 = 39

Наилучшая стратегия С2 допускает минимальный риск (из максимальных) в размере 36тыс. ден.ед.

Критерий крайнего оптимизма (максимакса):

M = аij.

Наивыгоднейшая стратегия С3 может дать «выигрыш» в размере 86тыс. ден.ед.

G = {kаij + (1 -k) аij},

где k - коэффициент «пессимизма».

k1=0.3*10+0.7*66=49,2

k2=0.3*45+0.7*82=70,9

k3=0.3*13+0.7*86=64,1

k4=0.3*11+0.7*85=62,8

k5=0.3*21+0.7*83=64,4

Наилучшая стратегия С2 дает «выигрыш» в размере 70,9тыс. ден.ед.

По большинству критериев наилучшей стратегией является С2

Размещено на Allbest.ru

...