Аналіз варіаційних рядів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Варіаційним рядом (або генеральною сукупністю), побудованим за вибіркою X1, X2, ..., XN, називають послідовність xi, розміщених у порядку зростання: X[1]? X[2]?...?X[N]. Варіаційний ряд - упорядкована за величиною послідовність вибіркових значень спостережуваної випадкової величини рівні між собою елементи вибірки нумеруються в довільному порядку; елементи варіаційного ряду називаються порядковими (ранговими) статистиками; число лm = m / n називається рангом порядкової статистикиВаріаційний ряд використовується для побудови емпіричної функції розподілу. Якщо елементи варіаційного ряду незалежні і мають загальну щільність розподілу f, то спільна щільність розподілу елементів варіаційного ряду має вигляд

Варіаційні ряди показують закономірність розподілу одиниць досліджуваної вибірки по ранжируваною значенням варіюючої ознаки, наприклад, проби повітря за вмістом пилових частинок.

Варіаційні ряди бувають: а)перериваним, які носять назву дискретних, або ранжируваних, тобто розташованих у порядку зростання від найменшого значення до найбільшого; та б) безупинні, звані інтервальними.

Графічно варіаційні ряди відображаються у формі кривої розподілу або полігону частоти.

1. Варіаційні ряди

Одиниці досліджуваної сукупності володіють цікавими для нас ознаками в різній мірі. Для кожної одиниці сукупності дана ознака приймає різні значення, тобто має деяку варіацію.

Варіацією ознаки називається наявність відмінностей у чисельних значеннях ознак у окремих одиниць сукупності.

Щоб виявити характер розподілу одиниць сукупності за варіюючими ознаками, визначити закономірності в цьому розподілі, будують ряди розподілу одиниць сукупностей за якоюсь варіюючою ознакою.

Ряди розподілу, побудовані за кількісною ознакою, називаються варіаційними.

Форма статистичних розподілів може бути різноманітною, вона залежить від характеру зміни ознаки. В одних випадках значення ознаки концентруються біля деякого центру розподілу дуже тісно, в інших випадках спостерігається значне розсіювання, хоча середні величини можуть бути однаковими. У зв'язку з цим необхідно визначити характер розсіювання ознаки.

З цією метою вирішують наступні завдання. По-перше, визначають міру варіації, тобто кількісно вимірюють ступінь коливання ознаки. Це дозволяє порівняти різні сукупності між собою за ступенем розсіювання і відслідковувати рівень варіації ознаки однієї і тієї ж сукупності в різні періоди.

По-друге, для вивчення мінливості ознак з'ясовують причини, що викликають варіацію, що передбачає дослідження закономірностей варіації у статистичних сукупностях.

2. Побудова та графічне зображення варіаційних рядів

За своєю конструкцією варіаційний ряд складається з двох стовпців (граф). У першому стовпці наводяться індивідуальні значення ознаки - варіанти - xі. У другому стовпці містяться:

* абсолютні числа, що показують скільки разів у вихідній сукупності зустрічається дане значення ознаки (даний варіант). Їх називають частотами - fі. Сума всіх частот повинна дорівнювати загальній чисельності одиниць у вихідній сукупності;

* відносні числа, що показують частку або питому вагу кожної групи в загальній чисельності одиниць вихідної сукупності, їх називають частості - W: fі (Wі). Сума всіх частостей повинна бути дорівнює 1 в частках або 100% в питомих вагах. Варіаційні ряди за способом побудови бувають двох видів: дискретні і інтервальні.

Дискретний ряд розподілу можна розглядати як таке перетворення ранджованого (упорядкованого) ряду, при якому перераховуються окремі значення ознаки, і вказується їх частота.

Загальна схема ряду розподілу така: в сукупності, що складається з N одиниць, деяка змінна величина xі (тобто будь-яка варіююча ознака) приймає різні значення, а кожне з цих значень має частоту fі. Виходячи з цього, дискретний ряд розподілу можна представити таким чином (див. Таблиця, 1). Однак наведена схема варіаційного ряду застосовна лише для тих випадків, коли варіююча ознака може приймати невелику кількість значень, тобто коли число варіантів невелика. Якщо ж варіантів багато, неможливо утворити групи для кожного з них. Кількість груп не повинна перевищувати 12-15 (при достатньо великому числі спостережень, наприклад, понад 500), в іншому випадку варіаційний ряд стає занадто громіздким.

Таблиця 1

Якщо число варіантів велике або ознака має безперервну варіацію, то об'єднання окремих спостережень в групи можливе лише на базі інтервалу, тобто такої групи, яка має певні встановлені межі значень варіюючої ознаки. Ці межі позначаються двома числами, вони вказують верхню і нижню межі, тобто значення, з якого починається ця група, і значення, на якому вона закінчується. При використанні інтервалів утворюються інтервальні ряди розподілу. Будуючи інтервальний варіаційний ряд, визначають передусім число груп, на яку слід розбити всю сукупність. Чим більше груп, тим вже буде інтервал і тим точніше опис розподілу. Проте дуже велика кількість груп ускладнює розуміння характеру варіації. Питання про число груп слід вирішувати в кожному випадку особливо в залежності від досліджуваного об'єкта, обсягу сукупності. Найчастіше будують варіаційні ряди з 7-10 груп.

Для визначення числа груп, на які ділять сукупність, використовують формулу Стерджесса:

k = 1 + 3,322 * lgN,

де N - загальне число одиниць сукупності. За формулою Стерджесса можна визначити і довжину інтервалу i.

, де xmax - xmin - розмах варіації.

Застосування формули Стерджесса не завжди дає хороші результати.

Інтервали можуть бути закриті і відкриті. Закриті інтервали обмежені з обох сторін, тобто мають кордон як нижню («від»), так і верхню («до»). Відкриті інтервали мають яку-небудь одну межу: або верхню, або нижню. Наявність відкритих інтервалів хоча і небажано, але тим не менш майже неминуче, так як заради компактності ряду всі крайні випадку необхідно зводити в одну групу. Однак, визнаючи неминучість виникнення відкритих інтервалів, слід підкреслити, що вони не повинні включати в себе значну частину загального числа спостережень, інакше опис всього розподілу буде недостатньо точним.

Для аналізу структури сукупності і розрахунку узагальнюючих характеристик необхідно доповнювати вихідну таблицю декількома додатковими колонками (графами), в яких вказуються такі елементи варіаційного ряду, як середина інтервалу і накопичена частота.

Середину інтервалу для інтервального ряду, в якому верхні та нижні межі сусідніх інтервалів збігаються, знаходять як півсуму нижнього і верхнього значень інтервалу. Що стосується відкритих інтервалів, то довжина першого інтервалу прирівнюється умовно до довжини другого, а центральним варіантом останнього інтервалу зазвичай служить сума його нижнього значення і половини перед останнього інтервалу.

Будь-який розподіл можна охарактеризувати за допомогою накопичених частот. Накопичена частота показує число одиниць сукупності, у яких значення варіанту не більше даного. Накопичена частота для даного варіанту або для верхньої межі даного інтервалу виходить підсумовуванням (накопиченням) частот усіх попередніх інтервалів, включаючи даний.

Графічно варіаційний ряд можна зобразити, як і будь-який ряд значень аргументу і функції, використовуючи прямокутну систему координат і ладу точки з координатами (х1, f1), (x2, f2), ... (xn, fn). Якщо потім послідовно з'єднати отримані точки відрізками прямої, а з першої і останньої точки опустити перпендикуляри на вісь х, отримаємо замкнену фігуру у вигляді многокутника, яка називається полігоном і графічно представляє розподіл сукупності за ознакою х. Полігон частіше використовується для дискретних варіаційних рядів.

Інтервальний варіаційний ряд зображують у вигляді гістограми. Для ряду з рівними інтервалами на осі х відкладають відрізки, рівні довжині інтервалу. На цих відрізках, як на основах, будують прямокутники, висота яких пропорційна частоті або частості. Площа всієї гістограми чисельно дорівнює сумі частот, або чисельності одиниць у сукупності (якщо на осі ординат відкласти частоти).

Будь варіаційний ряд можна представити графічно у вигляді прямої накопичених частот. При цьому на осі х відкладають варіанти або верхні межі інтервалів, а на осі у - відповідні накопичені частоти. Отримані точки з'єднують для неперервної ознаки плавною кривою, яка називається кумулятивною кривою. Можна побудувати кумулятивний розподіл «не менше ніж», а можна «більше ніж». У першому випадку графік кумулятивного розподілу називається кумулята, у другому - огіва.

3. Показники характеристики варіаційного ряду

Ряд розподілу характеризує склад, структуру сукупності за певною ознакою. Елементами ряду розподілу є варіанти-значення ознаки x та частоти ряду fj. Залежно від статистичної природи варіантні ряди поділяються на атрибутивні та варіаційні. У співвідношенні варіантів та частот проявляється закономірність розподілу. Вона описується низкою статистичних характеристик, зокрема: а) частотні характеристики; б) характеристики центру розподілу; в) характеристики варіації; г) характеристики нерівномірності розподілу, концентрації, асиметрії.

Частотними характеристиками будь-якого ряду є абсолютна чисельність j-ї групи - частота fj та відносна частота - частка dj.

Очевидно, що , а або 100%.

Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна частота (частка ), яка характеризує обсяг сукупності із значенням варіант, які не перевищують xj. Кумулятивні частотні характеристики утворюються послідовним підсумовуванням абсолютних чи відносних частот. Так, S1 = f1 , S2 = f1+f2 , S3 = f1+f2+f3 і т.д. Якщо інтервали варіаційного ряду нерівні, то використовують щільність частоти (частки) на одиницю інтервалу qj = fj / hj ; або qj = dj / hj , де hj - ширина j-го інтервалу.

До характеристик центру розподілу відносять середню, моду та медіану. Середня величина характеризує типовий рівень ознаки в сукупності. За даними ряду розподілу середня розраховується як арифметична зважена: на основі частот на основі часток

; ,

де m - число груп.

В інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл у межах j-го інтервалу , як варіант xj використовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають також, як і сусіднього закритого інтервалу. Так у ряду розподілу, який характеризує попит на держоблігації на вторинному ринку, середній термін обертання облігації становить .

Мода Мо - це найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту (частку).

У дискретному ряду Мо визначається візуально за максимальною частотою або часткою. Наприклад, в результаті опитування населення щодо самовизначення матеріального стану за чотирма градаціями (добрий, задовільний, незадовільний, нестерпний) більшість респондентів визначили свій стан як незадовільний. Або у розподілі сучасних сімей за кількістю дітей найпоширенішими є малодітні сім'ї, що мають 1 дитину. Зустрічаються ряди, мають дві моди (біомодальний ряд) або декілька (полімодальний). В інтервальному ряду за найбільшою частотою визначається модальний інтервал. Конкретне значення моди в інтервалі обчислюється за формулою

,

де xo та h - відповідно нижня межа та ширина модального інтервалу; fmo, fmo+1, fmo-1 - частоти (частки) модального, передмодального та післямодального інтервалу.

Медіана Ме - це варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини. Медіана, як і мода, не залежить від крайніх значень варіант, тому застосовується для характеристики центру в ряду розподілу з невизначеними межами. Для визначення Ме у ряду використовують кумулятивні частоти або частки . У дискретному ряду медіаною буде значення ознаки, для якої кумулятивна частота перевищує половину обсягу сукупності , або кумулятивна частка ? 0,5. В інтервальному ряду у такий спосіб визначається медіальний інтервал. Конкретне значення медіани в інтервалі обчислюється за формулою

,

де xo та h - відповідно нижня межа та ширина медіального інтервалу; fme - частота медіального інтервалу; Sfme-1 - кумулятивна частота передмедіанного інтервалу.

Отже, кумулятивна частота =57 визначає, що п'ятидесята з початку ряду облігація знаходитиметься в інтервалі 4-6 з частотою fme=29. Медіанний термін обертання проданих облігацій становить .

У симетричних рядах розподілу значення моди та медіани зберігаються з середньою величиною , а в помірно асиметричних вони співвідносяться таким чином: .

В аналізі закономірностей розподілу використовуються також інші порядкові характеристики : квартилі та децилі.

Квартилі Q - це значення варіант, які ділять упорядкований ряд за обсягом на чотири рівних частини, а децилі D - на десять рівних частин. Отже, в ряду розподілу визначаються три квартилі та дев'ять децилів. Медіана є водночас другим квартилем та п'ятим децилем. Розрахунок квартилів та децилів грунтується на кумулятивних частотах (частках). Наприклад, перший та третій квартилі визначаються за формулами:

Перший квартиль:

Третій квартиль:

Перший та дев'ятий децилі обчислюються за формулами:

;

Отже, в ряду розподілу проданих облігацій перша квартиль становить 3,5 міс., а третя - 7,6 міс., тобто у 25 % облігацій, проданих на вторинному ринку, термін обертання не перевищує 3,5 міс., а у 75 % проданих облігацій з довгим терміном обертання мінімальний строк обертання дорівнює 7,6 міс.

Значення децилів вказують на те, що серед 10 % проданих облігацій з найменшим терміном обертання, найтриваліший строк становить 1,3 міс., а серед 10 % облігацій з довгим терміном обертання мінімальний строк- 9,8 міс., тобто у 7,5 рази більший.

4. Аналіз варіаційних рядів

Первинні статистичні дані часто представлені невпорядкованою послідовністю чисел, що характеризують ту чи іншу сторону процесу. У цій сукупності чисел буває важко розібратися і первинна обробка матеріалів зводиться до приведення наявних даних до виду, зручному для аналізу.

Для початку необхідно поставити завдання аналізу:

1. Побудувати інтервальний ряд розподілу.

2. Дати графічне зображення у вигляді гістограми і кумуляти.

3. Визначити показники центру розподілу.

4. Визначити показники варіації.

Після цього можна почати обробку статистичних даних. Побудуємо інтервальний ряд розподілу на основі статистичних даних зазначених у таблиці 2 в додатку.

Розмах варіації стажу дорівнює: R = xmax - xmin = 19-1 = 18 років. Для визначення оптимального числа груп і довжину інтервалу використовуємо формули Стерджесса:

n = 1 + 3,322 * lgN = 1 +3,322 * lg30 = 5,88 6 (кількість інтервалів); = Року (довжина інтервалу).

Таким чином, за допомогою отриманих даних розіб'ємо стаж робітників на інтервали і занесемо в таблицю (табл.3). Порахуємо кількість робітників у кожному інтервалі (граф.1).

Угруповання працівників промислового підприємства за стажем:

Таблиця 3

Для графічного зображення варіаційного ряду у вигляді гістограми і кумуляти необхідно доповнити таблицю 3 декількома графами (2, 3), в яких покажемо такі елементи варіаційного ряду, як кумулятивна частота і середина інтервалу. Кумулятивна частота для даного варіанту виходить підсумовуванням частот усіх попередніх інтервалів, включаючи даний. У нашому прикладі кумулятивні частоти будуть такими:

5,

14 =5+9,

20 =14+6,

26 =20+6,

27 =26+1,

30 =27+3.

Середину інтервалу для інтервального ряду знаходимо як півусуму нижнього і верхнього значень інтервалу. Таким чином, отримуємо:

2,5=(1+4)/2;

5,5=(4+7)/2;

8,5=(7+10)/2;

11,5=(10+13)/2;

14,5=(13+16)/2;

17,5=(16+19)/2.

Таким чином, спираючись на отримані дані можна вирішити другий пункт поставлених мною завдань, тобто побудувати гістограму і кумулятивну криву. По гістограмі можна побачити тенденцію до зниження працівників з великим стажем. Для вирішення третього пункту задач, обчислимо такі характеристики центру розподілу як середня арифметична і мода. Для побудованого інтервального ряду розрахунок середньої арифметичної повинен бути виконаний за формулою середньої арифметичної зваженої. Для того, щоб формула середньої арифметичної не була занадто громіздкою, доповнимо табл.3 графою 4, де розрахуємо. А потім отриманий результат підставимо у формулу:

= роки.

Таким чином, середній стаж робітників на промисловому підприємстві становить 8,3 роки. Для інтервального варіаційного ряду модальний інтервал, тобто інтервал, що містить моду, визначається по найбільшій частоті в разі рівних інтервалів. У нашому варіанті, це найбільша кількість (дев'ять осіб) працює в інтервалі з 4 до 7 років стажу роботи. Для нашого інтервального ряду розподілу мода розраховується за наступною формулою:

років

З цього випливає, що на цьому промисловому підприємстві найбільшу кількість робітників мають стаж роботи 7,5 років. Щоб перейти до четвертого пункту поставлених завдань, необхідно додати в табл.3 кілька додаткових граф 5-7 (для зручності підставляння в формули). Для обчислення середнього лінійного відхилення використовується середній модель відхилень. Так як він не залежить від випадкових коливань і враховує всю суму відхилень конкретних варіантів від середньої. Для інтервального ряду підрахунок будемо вести за формулою середнє лінійне відхилення зважене:

= роки.

Таким чином, середнє лінійне відхилення стажу роботи робітників промислового підприємства дорівнює 3,61 роки. Щоб уникнути рівності нулю суми відхилень від середньої, використовуємо парну ступінь абсолютних значень відхилень. У нашому випадку розрахуємо дисперсію:

= років.

Однак внаслідок підсумовування квадратів відхилень дисперсія дає викривлене уявлення. Тому на основі дисперсії можна ввести ще два показники варіації: середнє квадратичне відхилення та коефіцієнт варіації. Середнє квадратичне відхилення визначається як корінь квадратний з дисперсії або за формулою:

,

= роки.

З цього випливає, що коливання ознаки приблизно становить 4,5 року. Розрахуємо коефіцієнт варіації за наступними формулами в залежності від зіставлення середнього лінійного або середнього квадратичного відхилення з середнім рівнем явища:

=,

або =

Коефіцієнт варіації використовується не тільки для порівняльної оцінки варіації, але і для характеристики однорідності сукупності. Сукупність вважається однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33% (для розподілів, близьких до нормального). З цього випливає, що чим більше коефіцієнт V, тим більша варіація.

Гістограма розподілу робітників за стажем

Склад робочих на промисловому підприємстві

Висновок

варіаційний ряд вибірка відхилення

Варіаційні ряди показують закономірність розподілу одиниць досліджуваної вибірки по ранжируваною значенням варіюючої ознаки, наприклад, проби повітря за вмістом пилових частинок.

Варіаційні ряди бувають: а)перериваним, які носять назву дискретних, або ранжируваних, тобто розташованих у порядку зростання від найменшого значення до найбільшого; та б) безупинні, звані інтервальними.

Таким чином, використання аналізу варіаційного ряду дозволило провести дослідження складу кадрів на промисловому підприємстві. Грунтуючись на отриманих висновках, можна підвищити рівень роботи з персоналом, а отже опосередковано збільшити продуктивність праці і ступінь виконання норм працівниками, що особливо важливо в умовах постійно мінливої економічної ситуації [Приклад використання варіаційного ряду на підприємстві взятий з курсової роботи студента].

Список використаних джерел

1. Теорія статистики, підручник, - третє видання, перероблене та доповнене, О.І. Кулинич, Р.О. Кулинич, Київ ”Знання”, 2006

2. Общая теория статистики,учебное пособие, - издание второе, переработанное и дополненное, под редакцией А.Я. Боярского, Г.Л. Громыко, Издательство Московского университета, 1985

3. uk.wikipedia.org/wiki/Статистичні_ряди_розподілу

Размещено на Allbest.ru