Лінійні моделі множинної регресії

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лінійні моделі множинної регресії

Анотація

Загальна лінійна економетрична модель. Емпірична модель множинної лінійної регресії. Етапи побудови економетричної моделі. Оцінка параметрів лінійної економетричної моделі. Аналіз ступеня адекватності побудованої моделі та вибіркових даних. Дисперсійний аналіз моделі та обчислення коефіцієнта множинної детермінації.

1. Загальна лінійна економетрична модель

На будь-який економічний показник Y, як правило, впливає не один, а декілька факторів (регресорів) . Так, наприклад, попит населення на певний товар буде визначатися не тільки ціною на нього, але й цінами на його замінники, доходами споживачів й іншими факторами. У низці досліджень аналізується зв'язок доходу працівника певної галузі виробництва з його рівнем освіти, віком, стажем роботи в цій галузі.

В подібних випадках маємо справу з множинною лінійною моделлю (регресією), що описує взаємний зв'язок між залежною змінною Y та регресорами і яку можна подати такому вигляді:

Цей математичний запис інформує про функціональну залежність умовного математичного сподівання залежної змінної Y від m регресорів (незалежних, пояснюючих) змінних Х.

Отже, постає задача виявлення статистичного взаємозв'язку між Y та Х.

Загальний запис теоретичної лінійної множинної регресії може бути зроблений в такому вигляді:

(16.1)

де - теоретичні коефіцієнти регресії (часткові коефіцієнти) або параметри теоретичної регресії, які характеризують реакцію залежної змінної на зміну кожного регресора ;

- вільний член, який визначає значення за умови, коли значення регресорів дорівнюють нулеві;

- значення -го регресора при і-ому спостереженні;

- випадковий збудник при і-ому спостереженні.

Для однозначного визначення параметрів моделі (12.1) необхідно, щоб виконувалась нерівність

де n - число спостережень;

m - число регресорів в моделі.

У векторно-матричній формі теоретичну модель (12.1) можна подати так:

(16.2)

Компоненти вектора є величинами сталими (), але невідомими. Їх необхідно оцінити шляхом обробки вибірки, а тому надалі будемо мати справу із емпіричною моделлю, яка є прообразом теоретичної (16.1), (16.2):

економетричний регресія детермінація

(16.3)

Тут вектор є статистичною оцінкою теоретичного вектора лінійної множинної регресії (16.2).

Вектор похибок є статистичною оцінкою випадкового вектора цієї ж моделі.

2. Емпірична модель множинної лінійної регресії

Емпірична модель являє собою статистичний аналог теоретичної моделі (16.1). За її допомогою визначаються статистичні оцінки параметрів . При цьому використовується статистична обробка вибірки.

В загальному вигляді емпірична модель записується як:

(16.4)

У векторно-матричній формі система (16.4) має вигляд:

(16.5)

Компоненти вектора є статистичними оцінками компонент теоретичного вектора лінійної множинної регресії (16.2), а компоненти вектора похибок - статистичні оцінки випадкових збудників вектора .

Якщо теоретичний вектор є величиною сталою і нам невідомою, то емпіричний вектор ми можемо визначити шляхом обробки статистичної інформації вибірки обсягом n. Враховуючи те, що вибірка складає лише незначну частину генеральної сукупності (n?N), то інформація, яку одержимо при статистичній обробці, про регресори Xj моделі буде не повною і для кожної іншої вибірки буде потерпати певні зміни. Отже, компоненти емпіричного вектора будуть містити елемент випадковості. Таким чином, , як і сам вектор будуть випадковими величинами, які мають певні закони розподілу ймовірностей із відповідними числовими характеристиками.

Із вище наведеного можемо тепер стверджувати, що є статистичною оцінкою для теоретичного вектора . А тому постають питання математичної статистики: зміщена чи незміщена ця статистична оцінка; в якому довірчому інтервалі із заданою надійністю г можуть перебувати теоретичні компоненти (параметри) і сама функція регресії; як здійснити перевірку на статистичну значущість теоретичних параметрів по заданому рівню значущості б.

Для вирішення цих питань нам необхідно визначити числові характеристики для параметрів (j=0,1,2,...,m) і для самої функції регресії, використовуючи при цьому елементи матричної алгебри як інструментарію, застосовуючи який ми можемо без громіздких викладок отримати необхідні результати.

3. Етапи побудови економетричної моделі

Розглянемо етапи побудови та аналізу економетричних моделей на прикладі:

Приклад 16.1. Необхідно провести дослідження залежності ціни автомобіля (Y) від таких характеристик як вік авто (X1) та його об'єм двигуна (X2) на основі вибіркових даних, наведених в таблиці 16.1.

Таблиця 1

Припустимо, що між ціною та означеними технічними характеристиками існує лінійна залежність:

Необхідно:

обчислити статистичну оцінку вектора , тобто визначити для залежності між досліджуваним фактором Y (ціною автомобіля) та пояснюючими змінними X1 (вік автомобіля) і X2 (об'єм двигуна);

проаналізувати ступінь адекватності побудованої моделі та вибіркових даних;

виконати дисперсійний аналіз моделі та обчислити коефіцієнт множинної детермінації ;

перевірити статистичну значущість коефіцієнта детермінації на основі критерію Фішера;

визначити виправлені дисперсії та виправлені середньоквадратичні відхилення для статистичних оцінок ;

із заданою надійністю побудувати довірчі інтервали для параметрів ; одержати прогнозне значення та побудувати для нього із заданою надійністю довірчі інтервали;

визначити часткові коефіцієнти еластичності .

4. Оцінка параметрів лінійної економетричної моделі

Оцінки параметрів визначимо за методом найменших квадратів. Запишемо теоретичну модель у векторно-матричному вигляді:

.

Сформуємо матрицю Х, першим стовпчиком якої будуть елементи, значення яких дорівнюють одиниці, іншими - значення пояснюючих змінних, та вектор , елементи якого складаються із значень залежної змінної.

Транспонуємо матрицю Х:

Перемножимо матрицю X спочатку на матрицю X, потім на вектор :

.

Обчислимо матрицю, обернену до XХ. Ця матриця існує, якщо визначник матриці XХ не дорівнює нулю: . Тому спочатку розрахуємо визначник матриці XХ:

det(XХ)=93643,75.

Тоді:

.

Використовуючи формулу

знаходимо статистичні оцінки параметрів моделі за методом найменших квадратів:

.

Таким чином, .

Отже, залежність ціни автомобіля від його віку та об'єму двигуна має вигляд:

.

5. Аналіз ступеня адекватності побудованої моделі та вибіркових даних

Обчислимо вектор за формулою:

,

результати розрахунків наведено в табл.12.2.

Таблиця 2

Правильність виконаних розрахунків можна перевірити, порівнюючи середні значення та , де:

,

оскільки , то попередні розрахунки є вірними.

Для подальшого статистичного дослідження моделі використаємо результати таблиці 16.2.

Визначимо ступінь адекватності моделі та статистичних даних через відхилення між фактичними значеннями та значеннями, обчисленими за моделлю. Запишемо їх як елементи вектора :

.

Середнє значення , отже розбіжностей не існує, модель адекватна.

6. Дисперсійний аналіз моделі та обчислення коефіцієнта множинної детермінації

Проведемо дисперсійний аналіз побудованої моделі. Відомо, що

.

Можна довести, що й для дисперсій цих змінних виконується рівність:

.

Розрахунки табл.16.2 підтверджують цей висновок. Користуючись розрахунками, наведеними в табл.16.2, обчислимо коефіцієнт множинної детермінації:

;

.

Размещено на Allbest.ru