Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров.

Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных. Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики - всю эту черновую работу выполняет компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа : постановка задачи, выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей, интерпретация результатов.

Для этого необходимо иметь определенную подготовку в области статистических методов обработки данных и прогнозирования.

В современных условиях управляющие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Например, банк или совет директоров корпорации примет решение о вложении денег, в какой то проект только после тщательных расчетов, связанных с какой - то тщательных с прогнозами состояния рынка, с определением рентабельности вложений и с оценками возможных рисков.

Среди большого разнообразия экономико-математических методов, используемых для решения задач управления предприятием, особое место занимают методы и модели прогнозирования.

Следует различать два понятия, связанных с прогнозированием, -- предсказание и собственно прогнозирование.

Под предсказанием понимают суждение о будущем состоянии процесса, основанное на субъективном «взвешивании» большого числа факторов качественного и количественного характера. Прогнозирование -- это исследовательский процесс, в результате которого получают прогноз о состоянии объекта. Прогноз является вероятностным суждением о возможном состоянии объекта или об альтернативных путях его достижения. Известно большое количество методов, методик и способов прогнозирования. Все они основаны на двух крайних подходах: эвристическом и математическом.

Эвристические методы базируются на использовании явлений или процессов, не поддающихся формализации.

Для математических методов прогнозирования характерен подбор и обоснование математической модели исследуемого процесса, а также способов определения ее неизвестных параметров. Задача прогнозирования при этом сводится к решению уравнений, описывающих данную модель для заданного момента времени.

Многофакторные модели

Однофакторные модели во многих случаях являются вполне адекватными, но чаще всего они оказываются слишком прощенными и тогда приходится рассматривать зависимость от нескольких (т) факторов, т.е. линейные регрессионные модели вида:

Здесь , -- параметры, F(k) -- факторы, определяющие состояние рынка (i -- номер наблюдения).

Такими факторами могут быть, например, уровень инфляции, темпы прироста валового внутреннего продукта и др. Рассмотрим на примере ценных бумаг. Если данная ценная бумага относится к некоторому сегменту экономики, то следует рассматривать факторы, специфические для данного сектора.

Пример. В табл. 1 приведены данные за 6 лет о темпе роста, уровне инфляции и доходности акций компаний Widget.

Таблица 1

Год Темп роста ВВП, % (temp)	Уровень инфляции, % (inf)	Доходность акций %, (Widget)
1-й 5,7 2-й 6,4 3-й 7,9 4-й 7,0 5-й 5,1 6-й 2,9	1,1 4,4 4,4 4,6 6,1 ЗД	14,3 19,2 23,4 15,6 9,2 13,0

Рассматривается факторная модель вида

Widget = + 1temp + 2inf.

С помощью метода наименьших квадратов получается уравнение вида:

Widget =5, 77+2,17 temp-0,67inf.

При этом средние квадратические ошибки оценок параметров 1и 2 равны 1,125 и 1,162.

Следует стремиться к возможно меньшему количеству объясняющих переменных (факторов), поскольку кроме усложнения модели «лишние» факторы приводят к увеличению ошибок оценок. Так, в рассмотренном примере стандартная ошибка оценки параметра 2 оказалась больше ее значения по абсолютной величине. Это наводит на мысль, что четкой зависимости доходности акций компании Widget от инфляции нет. В этом случае естественно удалить фактор инфляции и рассматривать зависимости доходности Widget только от темпа роста ВВП. Соответствующее уравнение регрессии

Widget = +1 temp, оцениваемое с помощью метода наименьших квадратов, имеет вид:

Widget = 4+2 temp.

При этом ошибка параметра 1 уменьшается и становится равной 1,002. Однако в реальных ситуациях порой приходится рассматривать модели зависимости от десятков и даже сотен факторов.

Построение многофакторных моделей

Отбор факторов для построения многофакторных моделей производится на основе качественного и количественного анализа социально экономических явлений с использованием статистических и математических критериев.

Общепринятым, например, является трехстадийный отбор факторов.

На первой стадии осуществляется априорный анализ и на факторы, включаемые в предварительный состав модели, не накладывается особых ограничений. На второй стадии производятся сравнительная оценка и отсев части факторов. Это достигается анализом парных коэффициентов и индексов корреляции и оценкой их единственности (значимости). Для этого составляется матрица парных коэффициентов корреляции, измеряющих тесноту связи каждого из факторов-признаков с результативным фактором и между собой (табл. 2).

Анализ таблицы ведется с использованием следующих критериев:

ryi > rij, ry j > rij, rij < 0,8

Матрица парных коэффициентов корреляции множественной модели регрессии Таблица 2

	У	xI	x2	…	xj	……	xm
У	1	ryl	ry2	…..	ryj	…..	rym
x1	r1y	1	r12	…..	rlj	…..	rim
x2	r2 у	r21	1	……	r2j	…..	r2m
….	….	….	….	1	….	…..	….
xi	ri y	ri1	ri2	…..	1	…..	rim
….	….	…..	…..	….	….	1	…..
xm	r my	rm1	rm2	…..	rmj	…..	1

На третьей, заключительной стадии производят окончательный отбор факторов путем анализа значимости вектора оценок параметров различных вариантов уравнений множественной регрессии с использованием критерия Стьюдента.

Где f - число степеней свободы; а - уровень значимости.

В таблице результирующий фактор обозначен индексом у, факторные признаки x1….m соответственно индексами 1 ... т, rij - парный коэффициент корреляции.

В сквозном примере матрица парных коэффициентов корреляции имеет вид:

r =

Анализ матрицы показывает следующее:

1. Каждый из парных коэффициентов корреляции результативного признака ryi и ryj удовлетворяет неравенствам

ryi > ryj и ryi > rij, т.е. ry1 = -0,4519 >r2i = 0,4198;

ryk = 0,7096 >r12 = 0,4198.

Это означает, что между факторными признаками нет тесной линейной взаимосвязи (отсутствует явление мультиколлинеарности).

2. Коэффициенты корреляции результативного и факторных признаков (первая строка) заметно различаются, и это может послужить основанием для исключения из модели фактора х.

ry1, <ry2 (0, 4519 < 0, 7096).

3. Анализ параметров множественной регрессии был проведен выше, где было показано, что при уровне значимости 5% значимой является лишь оценка параметра регрессии для фактора x2.

t2 = 3,42 >t5%;16 = 2,12.

Подчеркнем те особенности, которые возникают при использовании множественной регрессии.

1. Решение проблемы мультиколлинеарности. Существо вопроса мультиколлинеарности заключается в том, что между факторными признаками может существовать значительная линейная связь, что приводит в конечном счете к недопустимому росту ошибок оценок параметров регрессии из-за больших ошибок обращения матрицы ХТХ.

2. Автокорреляция остатков. При исследовании статистических совокупностей приходится сталкиваться с фактом когда случайные ошибки исходных данных не являются не зависимыми. Если последовательные значения реализаций ошибок еi коррелируют между собой, то существует автокорреляция ошибок, также приводящая к росту ошибок параметров регрессии Особенно это проявляется при работе с динамическими рядами.

Простым и обоснованным методом выявления автокорреляции является метод Дарбина -Уотсона, основанный на критерии вида:

d =

Индекс t вместо i здесь применен для того, чтобы подчеркнуть, что речь идет о выявлении ошибок, связанных с временной корреляцией.

Из формулы следует, что при отсутствии автокорреляции d = 2, при полной положительной автокорреляции d = 0, при полной отрицательной автокорреляции d = 4.

Для d-статистики разработаны таблицы критических границ (du - верхняя граница, de - нижняя граница) со входами по числу испытаний и по уровню значимости =1%, 2,5%, 5%, позволяющих судить о наличии или отсутствии автокорреляции.

В заключение необходимо отметить следующее. При анализе социально-экономических явлений множественная регрессия и корреляция применяются одновременно. С помощью регрессии определяется форма связи и оцениваются параметры регрессионной модели. Посредством корреляционного анализа определяется сила связи между факторами.

При линейной связи результативного и факторных признаков параметры регрессии, частные и общие коэффициенты детерминации, частные и общие коэффициенты корреляции функционально связаны между собой. В изложенном материале эта взаимосвязь использована через уравнение регрессии, параметры которого определялись методом наименьших квадратов.

Однако частные и общие множественные коэффициенты корреляции могут быть найдены также на основе парных коэффициентов корреляции.

В частности, коэффициент множественной корреляции равен:

где r - вектор парных коэффициентов корреляции результативного и факторных признаков; R - матрица парных коэффициентов корреляции между факторными признаками. Коэффициент частной корреляции определяется по формуле:

Из формулы следует, что вычисление частного коэффициента корреляции порядка m вытекает из вычисления частного коэффициента корреляции порядка m - 1 и в конечном счете из вычисления парных коэффициентов. Для данных нащего примера имеем, что коэффициент множественной корреляции ryi2 равен:

Где R-1 =;

r =

ry12 = 0.73

Коэффициенты частной корреляции r1(2) и r2(1) равны:

ry1(2) = 0.24

ry2(1) = 0.64

Полученные коэффициенты частной корреляции равны соответствующим коэффициентам, рассчитанным по формуле.

Таким образом, множественный и частные коэффициенты корреляции, рассчитанные с использованием формул парной корреляции, равны соответствующим коэффициентам, рассчитанным по формулам с использованием факторной и общей дисперсии результативного признака.

Автокорреляция в многомерных рядах

Автокорреляционная функция r(). Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается, в том, что члены временного ряда являются, вообще говоря, статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Так что степень тесноты статистической связи между наблюдениями временного ряда, «разнесенными» (по времени) на единиц, определится величиной коэффициента корреляции

поскольку Ex(t) - а)2 = E(х(t +) - а)2=(0)

Коэффициент r() измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, поэтому его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины r() в зависимости от значения принято говорить об автокорреляционной функции r(). График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Заметим, что автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т. е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от --1 до +1. Кроме того, из стационарности следует, что r() = r(-), так что при анализе поведения автокорреляционных функций ограничиваются рассмотрением только положительных значений .

Выборочный аналог автокорреляционной функции (ее статистическая оценка r()) определяется формулой

Чем больше разнесены во времени члены временного ряда х(t) и x(t + ) (т. е. чем больше величина сдвига ), тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение r(). При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение 0, начиная с которого все значения r () будут тождественно равны нулю (т. е. r () = 0 для всех >0).

Частная автокорреляционная функция rчаст(). С помощью этой функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными тактами времени членами временного ряда x(t) и x(t + ), при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных (т. е. расположенных между х(t) и x(t + ) членов этого временного ряда. Так, частная автокорреляция 1-го порядка :

rчаст(2)=

Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным образом с помощью формулы по элементам обшей корреляционной (N*N) -- матрицы R, в которой rij = r(x(i), xj)) - r(|i -j|)), где i,j = 1,2,...,N (и, очевидно, r(0) = 1). Так, например, частная автокорреляция 2-го порядка (т. е. корреляция между членами временного ряда, разделенными тремя тактами времени, подсчитанная при условии, что значения двух промежуточных членов временного ряда зафиксированы на среднем уровне) может быть определена по формуле:

Спектральный анализ

Спектральная плотность p(w). Определим спектральную плотность стационарного временного ряда x(t) через его автокорреляционную функцию r() соотношением вида

где (мнимая единица). Благодаря тому, что r () = r(-), спектральная плотность р (w) может быть записана в виде:

Мы видим, что функция р (w) является гармонической и имеет период 2. Поскольку cos [(2 - w)] = cos (w), то график спектральной плотности p(w), называемый спектром, симметричен относительно w =.

Поэтому при анализе поведения функции p(w) ограничиваются значениями u, лежащими между 0 и . Так же мы убедимся в том, что спектральная плотность p(w) может принимать только неотрицательные значения. Использование свойств этой функции в прикладном анализе временных рядов определяется как «спектральный анализ временных рядов». Применительно к статистическому анализу экономических рядов динамики этот подход не получил широкого распространения, т. к. эмпирический (выборочный) анализ спектральной плотности требует в качестве своей информационной базы либо достаточно длинных стационарных временных рядов, либо по несколько траекторий анализируемого временного ряда (и та и другая ситуация весьма редки в практике статистического анализа экономических рядов динамики). Поэтому ограничимся обсуждением лишь следующих двух важных свойств спектральной плотности.

1) Выражение автокорреляций через спектральную плотность p(w). Из общей теории преобразований Фурье непосредственно следует:

2) Спектральная плотность р(w) как индикатор наличия гармонических составляющих в представлении анализируемого временного ряда х.(t).

Рассмотрим взаимосвязь наблюденного ряда (измеренного относительно его среднего, т.е. мы полагаем, что Ex(t) = 0) с гармоническим членом, имеющим период 2/w. Пусть

Рассмотрим функцию I(w) = a2(w)+ b2(w), называемую интенсивностью. Заметим, что поскольку a(w) и b(w) прямопропорциональны величинам коэффициентов корреляции наблюденного временного ряда х(t) с гармониками, соответственно, cos(wt) и sin(wt), то интенсивность I(w) можно рассматривать как характеристику степени тесноты связи между x(t) и гармоническим членом, имеющим период 2/w. В то же время функцияI(w) может быть представлена в виде:

Где -- оцененная дисперсия анализируемого ряда, а -- несколько «испорченная» оценка автокорреляции r(k). Однако, устремив N - оо и переходя к пределу, мы получим:

что эквивалентно

(откуда, в частности, следует неотрицательность всех значений спектральной плотности, поскольку усредняемая в левой части величина I(w) неотрицательна по определению).

Таким образом, с учетом упомянутой выше интерпретации интенсивности I(w) мы получаем, что величина спектральной плотности при значении аргумента, равном w, характеризует силу взаимосвязи, существующей между анализируемым временным рядом x(t) и гармоникой с периодом 2/w. Это позволяет использовать спектр как средство улавливания периодичностей в анализируемом временном ряду: при движении вдоль спектра в заданном диапазоне частот значения ординат должны оставаться относительно малыми до тех пор, пока не достигнута частота гармонического компонента анализируемого ряда; при этой частоте на спектре обнаружится высокий пик. Соответственно, совокупность пиков спектра и будет определять набор гармонических компонентов в разложении. Отметим, что если в ряде содержится скрытая гармоника частоты w (дающая в спектре пик в точке w), то, конечно, в нем присутствуют также периодические члены с частотами w/3, w/3 и т. д. То есть, скажем, месячная периодичность порождает эффект появления пиков, соответствующих двухмесячным, трехмесячным и т. д. периодам. Это так называемое «эхо», повторяемое спектром на низких частотах.

Гребневая регрессия

Учитывая, что в условиях мультиколлинеарности дисперсии даже наилучших несмещенных оценок могут быть слишком большими, естественно попытаться отказаться от требования несмещенности, чтобы в более широком классе оценок найти те, которые будут обладать более высокой точностью.

Описание различных подходов к построению «хороших» смещенных оценок коэффициентов регрессии в условиях мультиколлинеарности можно найти в книге [Айвазян и др., 1985, пи. 8.3-8.5]. Приведем один из этих подходов, названный «ридж-регрессией» (или «гребневой регрессией»). Он основан на рассмотрении однопараметрического семейства несколько «подправленных» МНК-оценок, а именно оценок вида

Добавление к диагональным элементам матрицы (XTX) «гребня» , «хребта» ( -- некоторое небольшое положительное число) с одной стороны, делает получаемые при этом оценки смещенными, а с другой, -- превращает матрицу ХТХ из «плохо обусловленной» в «хорошо обусловленную». Соответственно в дальнейшем и, в частности, при вычислении средних квадратов ошибок для оценок мы не столкнемся с чрезмерно малыми значениями определителя матрицы XTX (теперь это будет уже определитель матрицы ХТХ + Ip+i) и связанными с этим неприятностями. Целесообразность использования этих оценок основана на теореме, утверждающей, что в условиях мультиколлинеарности найдется такое значение о, при котором средние квадраты ошибок оценок окажутся меньше соответствующих характеристик для МНК-оценок .

Универсальных рекомендаций по поводу выбора конкретного значения нет (как правило, эта величина определяется в диапазоне значений от 0,1 до 0,4).

Регрессионные модели с автокоррелированными остатками

Рассмотрим уравнение регрессии вида

где k - число независимых переменных модели.

Для каждого момента (периода) времени t=l :n значение компоненты определяется как

Рассматривая последовательность остатков как временной ряд, можно построить график их зависимости от времени. В соответствии с предпосылками МНК остатки z, должны быть случайными (рис.1 а). Однако при моделировании временных рядов нередко встречается ситуация, когда остатки содержат тенденцию (рис. 1 б) и в)) или циклические колебания (рис1 г)). Это свидетельствует о том, что каждое следующее значение остатков зависит от предшествующих. В этом случае говорят о наличии автокорреляции остатков.

автокорреляция спектральный анализ регрессия



Рис. 1. Модели зависимости остатков от времени: a- случайные остатки; б - возрастающая тенденция в остатках; в -убывающая тенденция в остатках; г - циклические колебания в остатках

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами,имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, в ряде случаев причину автокорреляции остатков следует искать в формулировке модели. Модель может не включать фактор, оказывающий существенное воздействие на результат, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени t. Кроме того, в качестве таких существенных факторов могут выступать лаговые значения переменных, включенных в модель. Либо модель не учитывает несколько второстепенных факторов, совместное влияние которых на результат существенно ввиду совпадения тенденций их изменения или фаз циклических колебаний.

От истинной автокорреляции остатков следует отличать ситуации, когда причина автокорреляции заключается в неправильной спецификации функциональной формы модели. В этом случае следует изменить форму связи факторных и результативного признаков, а не использовать специальные методы расчета параметров уравнения регрессии при наличии автокорреляции остатков.

Существуют два наиболее распространенных метода пределения автокорреляции остатков. Первый метод -- это построение графика зависимости остатков от времени и визуальное определение наличия или отсутствия автокорреляции. Второй метод -- использование критерия Дарбина - Уотсона и расчет величины

Таким образом, d есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии. Практически во всех статистических ППП значение критерия Дарбина -- Уотсона указывается наряду с коэффициентом детерминации, значениями t- и F-критериев.

Если в остатках существует полная положительная автокорреляция и rе1 = 1, то d = 0. Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то re1 = -1 и, следовательно, d = 4. Если автокорреляция остатков отсутствует, то rе1 = 0 d=2. Следовательно, 0<d<4.

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина - Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза Но об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы H1 и Н* 1 состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина -- Уотсона dl, и du для заданного числа наблюдений n, числа независимых переменных модели к и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток [0;4] разбивают на пять отрезков. Если фактическое значение критерия Дарбина -- Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу.

Пример: Проверка гипотезы о наличии автокорреляции в остатках. Проверим гипотезу о наличии автокорреляции в остатках для модели зависимости расходов на конечное потребление от совокупного дохода, построенной по первым разностям исходных показателей, используя данные таблицы 3.

t	yt	X,	Ay
1	7	10	-	-
2	8	12	1	2
3	8	11	0	-1
4	10	12	2	1
5	11	14	1	2
6	12	15	1	1
7	14	17	2	2
8	16	20	2	3
Коэффициент автокорреляции первого порядка	-0,109	-0,156

Было получено следующее уравнение регрессии:

Исходные данные, значения и результаты промежуточных расчетов представлены в табл. 4.

Таблица 4. Расчет критерия Дарбина - Уотсона для модели зависимости потребления от дохода

t
1	-	-	-	-	-	-	-
2	1	2	1,54	-0,54	-	-	0,2916
3	0	-1	0,25	-,25	0,29	0,0841	0,0625
4	2	1	1,11	0,89	1,4	1,2996	0,7921
5	1	2	1,54	-0,54	-1,43	2,0449	0,2916
6	1	1	1,11	-0,11	0,43	0,1849	0,0121
7	2	2	1,54	0,46	0,57	0,3249	0,2116
8	2	3	1,97	0,03	-0.43	0,1849	0,0009
Сумма	9	10	9,06	-0,06	0,57	4,1233	1,6624
Сумма не равна нулю ввиду наличия ошибок округления.

Фактическое значение критерия Дарбина - Уотсона для этой модели составляет:

d = 4, 1233/1, 6624 =2, 48

Сформулируем гипотезы:

Но - в остатках нет автокорреляции;

H1- в остатках есть положительная втокорреляция;

H*i -- в остатках есть отрицательная автокорреляция.

Зададим уровень значимости = 0,05. По таблицам значений критерия Дарбина - Уотсона определим для числа наблюдений n = 7 и числа независимых переменных модели к'=1 критические значения dl = 0,700 и du = 1,356. Получим следующие промежутки внутри интервала (0;4).

Фактическое значение d = 2,48 попадает в промежуток от dU до 4 - dU.

Следовательно, нет оснований отклонять гипотезу Но об отсутствии автокорреляции в остатках.

Есть несколько существенных ограничений на применение критерия Дарбина - Уотсона.

Во-первых, он неприменим к моделям, включающим в качестве независимых переменных лаговые значения результативного признака, т. е. к моделям авторегрессии. Для тестирования на автокорреляцию остатков моделей авторегрессии используется критерий h Дарбина.

Во-вторых, методика расчета и использования критерия Дарбина - Уотсона направлена только на выявление автокорреляции остатков первого порядка.

При проверке остатков на автокорреляцию более высоких порядков следует применять другие методы.

В-третьих, критерий Дарбина -- Уотсона дает достоверные результаты только для больших выборок. В этом смысле результаты примера нельзя считать достоверными ввиду чрезвычайно малого числа наблюдений п = 7, по которым построена модель регрессии.

Адаптивные модели прогнозирования

В основе экстраполяционных методов прогнозирования лежит предположение о том, что основные факторы и тенденции, имевшие место в прошлом, сохраняются в будущем. Сохранение этих тенденций -- непременное условие успешного прогнозирования. При этом необходимо, чтобы учитывались лишь те тенденции, которые еще не устарели и до сих пор оказывают влияние на изучаемый процесс.

При краткосрочном прогнозировании, а также при прогнозировании в ситуации изменения внешних условий, когда наиболее важными являются последние реализации исследуемого процесса, наиболее эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней временного ряда.

Адаптивные модели прогнозирования - это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. Инструментом прогноза в адаптивных моделях, как и в кривых роста, является математическая модель с единственным фактором «время».

При оценке параметров адаптивных моделей в отличие от рассматриваемых ранее моделей «кривых роста» наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Все адаптивные модели базируются на двух схемах: скользящего среднего (СС-модели) и авторегрессии (АР-модели).

Согласно схеме скользящего среднего, оценкой текущего уровня является взвешенное среднее всех предшествующих уровней, причем веса при наблюдениях убывают по мере удаления от последнего уровня, т. е. информационная ценность наблюдений признается тем большей, чем ближе они к концу интервала наблюдений. Такие модели хорошо отри жают изменения, происходящие в тенденции, но в чистом виде не позволяют отражать колебания.

Реакция на ошибку прогноза и дисконтирование уровней временного ряда в моделях, базирующихся на схеме СС, определяется с помощью параметров сглаживания (адаптации), значения которых могут изменяться от нуля до единицы. Высокое значение этих параметров (свыше 0,5) означает придание большего веса последним уровням ряда, а низкое (менее 0,5) -- предшествующим наблюдениям. Первый случай соответствует динамичным быстроизменяющимся процессам, второй -- более стабильным.

В авторегрессионной схеме оценкой текущего уровня служит взвешенная сумма не всех, а нескольких предшествующих уровней, при этом весовые коэффициенты при наблюдениях не ранжированы. Информационная ценность наблюдений определяется не их близостью к моделируемому уровню, а теснотой связи между ними.

Общая схема построения адаптивных моделей может быть представлена следующим образом. По нескольким первым уровням ряда оцениваются значения параметров модели. По имеющейся модели строится прогноз на один шаг вперед, причем его отклонение от фактических уровней ряда расценивается как ошибка прогнозирования, которая учитывается в соответствии с принятой схемой корректировки модели. Далее по модели со скорректированными параметрами рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени и т.д. Таким образом, модель постоянно «впитывает» новую информацию и к концу периода обучения отражает тенденцию развития процесса, существующую в данный момент.

В практике статистического прогнозирования наиболее часто используются две базовые СС-модели -- Брауна и Хольто, первая из них является частным случаем второй. Эти модели представляют процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами.

Литература

1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. - М.: “Юнити”, 1998. - 1022 c.

2. Боровиков В.П., Ивченко Г.И. Прогнозирование в системе STATISTICA в среде Windows. Основы теории и интенсивная практика на компьютере: Учебное пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 384 c.

3. Кендэл М. Временные ряды. - М.: Финансы и статистика,

4. Кильдишев Г.С., Френкель А.А. Анализ временных рядов и прогнозирование.

5. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. - М.: Статистика, 1979.

6. Френкель А.А. Прогнозирование производительности труда: методы и модели. - М.:Экономика, 1989.

7. Экономико-математические методы и прикладные модели. (Под ред.Федосеева). - М.: Юнити, 1999.

Размещено на Allbest.ur

...