Построение и анализ математических моделей экономических объектов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Содержание

• Введение
• Аннотация
• Раздел 1. Экономическая постановка задачи и характеристика объекта
• Раздел 2. Математическая постановка задачи и модель исследуемого объекта
• Раздел 3. Метод и алгоритм анализа модели
• Раздел 4. Программная реализация и конфигурация вычислительной техники
• Раздел 5. Результаты исследования экономико-математической модели и анализ полученных результатов
• Выводы
• Литература

Введение

Введение

Целью данной курсовой работы является приобретение навыков изучения методов построения и анализа математических моделей различных экономических объектов, разработки оригинальной математической модели и применения количественных методов исследования свойств таких моделей с помощью компьютера.

Необходимо так же определить необходимый набор благ, при котором значение функции полезности будет наибольшим.

В первом разделе проводится краткое описание исследуемого объекта. Данное описание является предмодельным упрощением реального объекта.

Во втором разделе проводится математическое описание исследуемого объекта (математическая модель) или решаемой задачи. Также в этом разделе делается краткое резюме относительно математической природы предложенной модели

В третьем разделе описывается метод исследования, который представляет собой перечень последовательно выполняемых процедур.

В четвертом разделе описывается программная реализация экономико-математической модели и метода ее анализа.

В пятом разделе содержится описание условий вычислительных экспериментов, изложение результатов проведенных исследований и их анализа.

Раздел 1. Экономическая постановка задачи и характеристика объекта

В основе модели поведения потребителя лежит гипотеза о том, что каждый из них, осуществляя выбор наборов благ при заданных ценах и имеющемся доходе, стремиться максимизировать, уровень удовлетворения своих потребностей. Для определения предпочтения экономических субъектов используют функцию полезности. В общем виде она выглядит так:

U=L(X,Y)

Выбирая между разными наборами благ, потребитель, очевидно, предпочтет те из них, полезность которых больше.

Основополагающим условием концепта функции полезности является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности.

Рис.1.Функция полезности в общем виде

Пусть на рынке потребителю предлагается n различных наборов благ (х1,х2,…,хn) где х1, количество i-того блага в натуральных единицах. Блага приобретаются по рыночным ценам р1,р2,…,рn соответственно. Стоимость набора благ: х1р1+х2р2+…+хnрn=хр. В распоряжении потребителя имеется ограниченное число денег R(дохода). Ясно, что существует бюджетное ограничение хр<=R.

Рассмотрим пространство двух благ (товаров). Функция полезности u=u(x,y) это субъективная числовая оценка полезности и набора товаров (х,у).

Построим модель поведения потребителя в условиях совершенной конкуренции и исследование функции спроса на ПК в зависимости от ценовой конъюктуры и дохода потребителя.

Ход построения и исследования экономико-математической модели включает в себя следующие этапы:

1. Постановка задачи. На данном этапе формируется задача построения математической модели, выявляются основные предложения и допущения, которые будут положены в основу модели.

2. Формализация модели. На данном этапе, исходя, из сделанных предложений осуществляется запись модели в виде математических соотношений.

3. Математический анализ модели. На данном этапе с помощью математического аппарата выявляются основные свойства построенной модели, а также добываются новые знания об исследуемой системе, адекватные реальности в той же мере, что и предпосылки, положенные в основу модели.

4. Численный анализ модели с помощью ЭВМ. На данном этапе с помощью вычислительной техники выявляются альтернативные сценарии поведения и развития исследуемой модели.

5. Анализ результатов моделирования. На данном этапе проверяется соответствие реальной действительности тех предложений и допущений, которые были положены в основу модели и (как следствие) возможности применения результатов моделирования на практике.

математический модель полезность потребитель

Раздел 2. Математическая постановка задачи и модель исследуемого объекта

В данном разделе осуществляем математическое описание исследуемого объекта, то есть математическая модель решаемой задачи и ее постановка.

Пусть функция полезности для потребителя имеет вид:

S(x1,x2)=a0*(x1)^b1*(x2)^b2

Она должна отвечать следующим гипотезам:

Гипотеза 1. Множество Х выпукло, замкнуто и ограниченно снизу. Оно содержит нулевой вектор. Если в нем содержится вектор х^1 оно содержит все векторы х^2 такие, что хh^2>= хh^1, для h=1,2,…,L.

Гипотеза 2. Функция S, определенная на Х, является непрерывной и возрастающей функцией в том смысле, что если хh^1>= хh^, для h=1,2,…,L то S(x^1)>S(x^2).

Гипотеза 3. Функция S имеет производные второго порядка, а ее первые производные не могут быть все одновременно равны нулю.

Гипотеза 4. Функция S «строго квазивогнутая» в том смысле, что если S(x^2)>=S(x^1) для двух наборов разных наборов благ x^1 к x^2, то S(x)>=S(x^1).

Тогда математическая модель поведения потребителя представляется в следующем виде:

S(x1,х2)max

x1,x2 є Х

p1x1+p2x2=<R

x1,x2>0

b1+b2=<1

Целевая функция стремится к максимуму, т.к. потребитель хочет получить наибольшую полезность от потребления благ. Блага х1 и х2 принадлежат допустимому множеству благ и они имеют положительную величину, т.к. потребление не может быть отрицательной величиной. Потребление этих благ ограниченно имеющимся у потребителя бюджетом. Коэффициенты предпочтения благ должны быть больше нуля, а их сумма меньше единицы.

Построим модель поведения потребителя в условиях совершенной конкуренции и исследовании функции спроса на ПК в зависимости от ценовой конъюнктуры и дохода потребителя.

Эта функция полезности принадлежит к классу функций выпуклого линейного программирования.

Раздел 3. Метод и алгоритм анализа модели

Обширный класс экономико-математических моделей образуют оптимизационные модели, позволяющие выбрать из всех решений самый лучший оптимальный вариант. В математическом смысле оптимальность понимается как достижение экстремума (максимума или минимума) критерия оптимальности, именуемого также целевой функцией.

Оптимизационные задачи решаются посредством выполнения моделей с помощью методов математического программирования, реализуемых обычно с применением электронно-вычислительной техники.

К методам решения таких задач относятся: стратегии взвешенных сумм, метод ограничений, метод достижения целей, метод множителей Лагранжа, метод ветвей и границ и др.

Для решения данной задачи можно использовать метод Лагранжа, ветвей и границ или симплекс метод.

Данные методы присутствуют в средстве поиска решений Microsoft Excel, который использует алгоритм нелинейной оптимизации Generalized Reduced Gradient (GRG2).

Для реализации метода создадим новый документ в Microsoft Excel. На чистом листе создаем таблицу следующего содержания:

Далее следует определить параметры модели:

х1 - количество потребляемых благ первого вида

х2 - количество потребляемых благ второго вида

b1, b2 - коэффициенты предпочтительности благ, первого и второго видов

R - доход потребителя

S - функция полезности

р1 и р2 - цена на первое и второе блага.

Процедура поиска решений позволяет найти оптимальное значение формулы, содержащееся в ячейке, которая называется целевой. Эта процедура работает с группой ячеек, прямо или косвенно связанных с формулой в целевой ячейке. Чтобы получить по формуле, содержащейся в целевой ячейке, заданный результат, процедура изменяет значения во влияющих ячейках. Чтобы сузить множество значений, используемых в модели, применяется ограничения. Эти ограничения могут ссылаться на другие влияющие ячейки.

Раздел 4. Программная реализация и конфигурация вычислительной техники

Для решения сложных задач, требующих применения линейного и нелинейного программирования, а также исследования операций применяется надстройка Excel «Поиск решений». Чтобы использовать надстройку «Поиск решений» не обязательно знать методы программирования и исследования операций, но необходимо определять, какие задачи можно решать этими методами.

Пользователь должен уметь с помощью диалоговых окон надстройки «Поиск решений» правильно сформулировать условия задачи, и если решение существует, то «Поиск решений» отыщет его. В основе надстройки лежат итерационные методы.

Общие свойства, которые характерны для задач, решаемые с помощью надстройки «Поиск решения»:

- существует единственная целевая ячейка, содержащая формулу, значение которой должно быть сделано максимальным, минимальным или же равным, какому-то конкретному значению;

- формула в этой целевой ячейке содержит ссылки на ряд изменяемых ячеек. Поиск решения заключается в том, чтобы подобрать такие значения переменных в изменяемых ячейках, которые бы обеспечили оптимальное значение для формулы в целевой ячейке;

- может быть, задано некоторое количество ограничений - условий или соотношений, которым должны удовлетворять некоторые из изменяемых ячеек.

В том случае, когда оптимизационная задача содержит несколько переменных величин, для анализа сценария необходимо воспользоваться надстройкой «Поиск решения». «Поиск решения» позволяет использовать одновременно большое количество изменяемых ячеек (до 200) и задавать ограничения для задаваемых ячеек.

И так для реализации «Поиска решений» достаточно ПК с установленным MS Office или хотя бы MS Excel.

Так как при построении модели необходимо учитывать изменения цен, дохода и предпочтительности благ, то поварьируем всеми тремя показателями.

Цены изменяются от 4 до 12 единиц на первое благо и от 2 до 10 на второе. Доход от 100 до 180 единиц.

Коэффициенты предпочтительности благ примем, равными 0,65 и 0,35 для двух благ соответственно.

Теперь заполним таблицу данными:

Введем в ячейки формулы в соответствии с шапкой таблицы, после которого необходимо протянуть каждую ячейку на определенное количество строк, вследствие чего введенные формулы будут скопированы в протянутые ячейки.

Выполним поиск решений (рис. 2) по алгоритму:

1. В меню «Сервис» выберем команду «Поиск решений».

2. Если команда «Поиск решения» отсутствует в меню «Сервис», установить надстройку «Поиск решения».

3. В поле «Установить целевую ячейку» вводим ссылку на ячейку или имя конечной ячейки. Конечная ячейка должна содержать формулу.

4. Чтобы максимизировать значение конечной ячейки путем изменения значений влияющих ячеек, установите переключатель в положение максимальному значению;

В поле «Изменяя ячейки» вводим имена или ссылки на изменяемые ячейки, разделяя их запятыми. Изменяемые ячейки должны быть прямо или косвенно связаны с конечной ячейкой. Допускается задание до 200 изменяемых значений.

Добавление ограничений

1. В разделе «Ограничения» диалогового окна «Поиск решения» нажать кнопку «Параметры».

2. В поле «Ссылка на ячейку» вводим адрес или имя ячейки, на значение которой накладываются ограничения.

3. Выбираем из раскрывающегося списка условный оператор , который должен располагаться между ссылкой и ограничением.

4. В поле «Ограничения» вводим число, ссылку на ячейку или ее имя либо формулу.

5. Выполним одно из следующих действий.

6. Чтобы принять ограничения и приступить к вводу нового, нажимаем кнопку «Добавить».

7. Чтобы принять ограничения и вернуться в диалоговое окно «Поиск решения», нажимаем кнопку «ОК».

Рис. 2. Экранная форма Поиска решений

Раздел 5. Результаты исследования экономико-математической модели и анализ полученных результатов

Выполнив «Поиск решения», получим модель потребителя представленную в табл.1.

Таблица 1. Модель поведения потребителя

Далее для отбора из полученных данных самых больших значений функции полезности применим автофильтр (рис. 3) над таблицей 1.

Рис.3. Автофильтр

Таким образом, можно сделать вывод, что наибольшая полезность соответствует следующему набору благ:

Количество первого блага составляет 20,20 единиц при цене 11,00 ден.ед., количество второго блага - 30,86 единиц при цене 9,00 ден.ед., при доходе - 500,00 ден.ед. Функция полезности равна 92,44 единицы.

С помощью графиков покажем зависимость поведения потребителя от всех трех параметров, то есть, цены на первое благо, цены на второе благо и дохода самого потребителя.

Для начала, необходимо показать зависимость количества первого и второго блага от цены первого.

Зависимость представлена на рисунке 4.

Рис.4. Зависимость количества благ от цены на первое благо

При увеличении цены на первое благо, количество его потребления уменьшается. Потребление второго блага остается неизменным при неизменной цене на него.

Теперь необходимо описать зависимость количества потребляемых благ от цены на второе благо. Эта зависимость представлена на рисунке 5.

Рис.5. Зависимость количества потребляемых благ от цены на второе благо

С увеличением цены на второе благо, количество потребления первого блага не изменяется, а второго блага уменьшается, но неравномерно, а постепенно снижается интенсивность уменьшения.

При уменьшении цены на второе благо, увеличивается потребление второго блага.

Опишем зависимость количества потребляемых благ при одновременно меняющихся ценах. Зависимость представлена на рисунке 6.

Рис.6. Зависимость количества потребляемых благ при одновременно меняющихся ценах

С увеличением цен на оба блага, количество их потребления неравномерно, но постепенно снижается.

При уменьшении цены на первое благо, увеличивается потребление этого первого блага, а при уменьшении цены на второе благо, увеличивается его п...