Математические методы в экономике

Размещено на http://www.allbest.ru/

28

1. Введение в принятие коллективных решений на основе голосований

Голосование является одним из важнейших инструментов принятия решений. В настоящее время разработано и применяется на практике большое число систем голосования, отличающихся процедурами и способами проведения голосования и обработки их результатов для выявления победителей. Следует подчеркнуть, что способ обработки результатов голосования часто оказывает существенное влияние на конечный результат.

Отсчет исследований, связанных с системами голосования, обычно ведут от французского ученого маркиза де Кондорсе (1743-1794), который сформулировал принцип (процедуру) определения победителя в ходе демократических выборов. Принцип Кондорсе состоит в следующем: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

Сама процедура голосования состоит в том, что каждый из голосующих (будем называть их экспертами) упорядочивает (ранжирует) кандидатов (альтернативы) по степени своего желания видеть его победителем. Победитель определяется путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов экспертов, поданных за них. Принцип Кондорсе предлагался как рациональный и демократический.

Рассмотрим пример реализации принципа Кондорсе. Пусть рассматривается множество X, состоящее из десяти альтернатив: X= {х₁,… х₁₀}. Требуется выбрать лучшую альтернативу по результатам ранжировки альтернатив (голосования) пятью экспертами:



На основании полученных ранжировок для каждой пары альтернатив х_j, х_k подсчитывается n(х_j, х_k) число экспертов, считающих х_j более предпочтительной, чем х_k. Если n(х_j, х_k) > n(х_k, х_j), то альтернатива х_j признается предпочтительней х_k.

Наилучшей альтернативой (альтернативой Кондорсе) объявляется альтернатива х_j, если n(х_j, х_k) ? n(х_k, х_j) для всех j ? i.

Легко определить, что в рассмотренном выше примере альтернативой Кондорсе является х₁.

Кондорсе столкнулся с проблемой, называемой парадоксом Кондорсе, демонстрирующей недостаточность процедуры определения наилучшей альтернативы (победителя) с помощью непосредственного подсчета голосов по правилу большинства. Парадокс Кондорсе является следствием нетранзитивности коллективных предпочтений. Проиллюстрируем его на следующем простейшем примере.

Пусть три эксперта проранжировали альтернативы х₁, х₂, х₃ следующим образом:

тогда n(х₁, х₂) = 2 > n(х₂, х₁) = 1, n(х₂, х₃) = 2 > n(х₃, х₂) = 1, но n(х₁, х₃) = 1 < n(х₃, х₁) = 2. Альтернативы Кондорсе в этом случае не существует.

Отметим, что число групп ранжирований, приводящих к парадоксу Кондорсе, составляет около 9 % при фиксированном числе ранжирований (при малом числе ранжирований несколько меньше). В реальных экспертизах, когда мнения экспертов существенно различаются, вероятность возникновения парадокса Кондорсе возрастает.

2. Основные процедуры голосования

Наиболее распространенные процедуры голосования:

1. Процедура Кондорсе. Лучшей считается альтернатива, которую больше половины экспертов при попарном сравнении считает лучше любой другой из X.

2. Редактирующая процедура. Она заключается в попарном сравнении альтернатив и отбрасывании тех, которые по большинству голосов признаны худшими. Оставшиеся альтернативы снова сравнивают до тех пор, пока не останется последняя пара альтернатив, из которой выбирают лучшую.

Эту процедуру использует конгресс США, а также парламенты Швеции и Финляндии.

3. Процедура Копеланда. В этой процедуре производятся парные сравнения всех альтернатив. Альтернатива при парном сравнении, получившая большинство голосов, получает один балл. Альтернатива, набравшая большее число баллов, считается лучшей.

4. Процедура максимум. Лучшей считается альтернатива, набравшая самое большое число голосов (но не обязательно больше половины).

5. Процедура большинства голосов. Лучшей альтернативой считается та, которая первой набрала больше половины голосов.

Процедура Борда. Согласно этой процедуре, результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждой альтернативой. Пусть число альтернатив равно n. Тогда за первое место присуждается n баллов, за второе -- (n-1) и т. д., за последнее -- один балл. Далее подсчитывается число баллов для каждой альтернативы и лучшей считается альтернатива, набравшая большую сумму.

6. Мягкий рейтинг. Участники голосования могут голосовать за любое число альтернатив. Лучшей считается альтернатива, набравшая большее число голосов.

Последнюю процедуру иногда используют в Государственной Думе российского парламента.

Процесс голосования также может проходить в несколько итераций (туров), если его результаты не удовлетворяют какие-либо влиятельные группы участников, но, как правило, одного голосования бывает достаточно.

Помимо перечисленных процедур, применяются правила единогласия и квалифицированного большинства.

Квалифицированное голосование позволяет меньшинству участников (но не менее 1/3) заблокировать принятие решения.

Правило единогласия применяется, например, в процессе согласования решений членами НАТО, а квалифицированного большинства -- в Государственной Думе российского парламента при принятии конституционных законов и при преодолении veto Совета Федерации или Президента.

Наиболее эффективным для принятия решений считается принцип простого большинства.

Рассмотрим результаты применения различных правил коллективных решений (голосований) на следующем примерю. Пусть на голосование поставлены три альтерната вы: x₁, х₂ и х₃, и голоса 60 экспертов распределились так, как представлено в ниже:

Принцип Кондорсе. Предпочтительней считается альтернатива, которую больше половины экспертов при попарном сравнении считает лучше любой другой из x₁, х₂ и х₃.

Сравним предпочтения экспертов по отношению к парам альтернатив, рассматривая альтернативы х₁ и х₂. Альтернативу х₁ по сравнению с х₂ предпочитают n(х₁, х₂) = 23 + 10 = 33 эксперта, а альтернативу х₂ по сравнению сх₁ - n(х₂, х₁) =17 + 2 + 8 = 27 экспертов. Поскольку n(х₁, х₂) > n(х₂, х₁) , то альтернатива х₁, по мнению большинства, предпочтительнее х₂ (х₁ > х₂).

Сравнивая попарно аналогичным образом альтернативы х₂ и х₃, х_] и х₃, получаем: и х₂>x₃ (n(х₂, х₃) = 42 > n(х₃, х₂) = 18) и х₃ > х₁ (n(х₃, х₁) = 35 > n(х₁, х₃) = 25).

Переходя от индивидуальных предпочтений экспертов к коллективному, приходим к противоречивому нетранзитивному отношению предпочтения х₁> х₂ > х₃ > х₁. Таким образом, лучшая альтернатива отсутствует.

Редактирующая процедура. Заключается в попарном сравнении альтернатив и отбрасывании тех, которые по большинству голосов признаны худшими. Оставшиеся альтернативы вновь сравнивают, пока не останется последняя пара, из которой выбирают лучшую.

Выполним попарное сравнение альтернатив: для альтернатив х_] и х₂, альтернатива х₂, по мнению 33 экспертов, хуже, для альтернатив х₂ и х₃, по мнению 42 экспертов, альтернатива х₃ хуже; для альтернатив х_] и х₂ по мнению 35 экспертов, альтернатива х_] хуже. Наибольшее число экспертов (42) считают, что наихудшей является альтернатива х₃. Данная альтернатива исключается. Далее при сравнении альтернатив х₁ и х₂ альтернатива х_] признается лучшей.

Процедура Копеланда. В этой процедуре выполняются парные сравнения всех альтернатив, и альтернатива, набравшая большинство голосов, получает один балл. Лучшей считается альтернатива, набравшая наибольшее число баллов.

В данном примере альтернативы х_], х₂ и х₃ набирают по одному баллу. Лучшая альтернатива отсутствует.

Процедура максимум. Лучшей считается альтернатива, набравшая наибольшее число голосов (но не обязательно больше половины).

За альтернативу х_] подано 23 голоса, за альтернативу х₂ -- 19 голосов, за альтернативу х₃ -- 18 голосов. Лучшей считается альтернатива х_].

Процедура большинства голосов. Лучшей считается альтернатива, которая первой набрала больше половины голосов.

Лучшая альтернатива отсутствует.

Процедура Борда. Результаты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждой альтернативой. Альтернатива х_] набирает 23* 3 + (2 + 10) * 2 + (17 + 8) * 1 = 118 баллов, альтернатива х₂: (17 + 2) * 3 + (23 + 8) * 2 + 10 * 1 = 129 баллов и альтернатива х₃: 10 * 3 + 17 * 2 +(23+ 2)*1 = 89 баллов. Лучшая альтернатива -- х₂.

Мягкий рейтинг. Участники голосования могут голосовать за любое число альтернатив. Лучшей считается альтернатива, набравшая большее число голосов.

Лучшей альтернативой является х_].

Рассмотренные примеры демонстрируют, что способ определения победителя при системе голосования один человек -- один голос (называемой демократической) зависит от процедуры обработки результатов голосования.

Укажем один из способов применения рассмотренных систем голосования для многокритериального сравнения альтернатив.

Пусть сравнивается п альтернатив х₁,...,х_п, качество которых оценено по т критериям z₁,…,z_m, т.е. каждая альтернатива х_j (j = 1,…,n) описывается значениями локальных критериев: (z₁ (х_i),…,z_m (х_j)).

Для выбора лучшей альтернативы предлагается рассмотреть значения альтернатив по i-ому критерию z_i как ранжировку, данную i-ым экспертом. При такой интерпретации значений альтернатив по разным критериям можно воспользоваться системами голосования для выбора лучшей альтернативы.

Например, воспользовавшись процедурой Кондорсе, лучшей будет альтернатива, которая по числу критериев, большему, чем m/2, при попарном сравнении альтернатив окажется лучше любой другой из n альтернатив.

Для повышения объективности выбора лучшей альтернативы можно провести выбор по разным системам голосования и проанализировать альтернативы, оказавшиеся лучшими. В случае, когда лучшими оказывается небольшое число альтернатив, выбор лучших должен быть проведен Л П Р из полученных альтернатив. Предложенный способ выбора позволяет сократить исходное множество альтернатив до нескольких и дает возможность ЛПР сосредоточиться на анализе именно этих альтернатив.

Данный подход можно рекомендовать для решения задач выбора, в которых большое число критериев (m равно нескольким десяткам).

3. Задача принятия группового решения

Под задачей принятия группового решения будем понимать набор (Х= {х₁,..., х_n}, { }_i€M), где X-- конечное множество альтернативу х_j € X, j=1,…n, -- предпочтение i-го эксперта на X, порождающего определенную ранжировку альтернатив, i€ M, М={1,..., m}, m -- число экспертов. Предполагается, что является нестрогим упорядочением, приводящим к ранжировке со связанными рангами.

Под решением понимается некоторое групповое предпочтение (упорядочение, ранжировка) ? на X. Если упорядочения заменить какими-либо функциями полезности f_i, то задача принятия группового решения формально не будет отличаться от ранее рассмотренных задач принятия решений.

В групповых решениях множеством экспертов может быть некоторый комитет, законодательный орган, группа. Каждый эксперт имеет свое предпочтение на множестве альтернатив Х= {х₁,..., х_n}, являющихся проектами решений, кандидатами, альтернативами.

Требуется по некоторому правилу (процедуре голосования) выбрать предпочтение группы.

В групповых решениях оптимальность решения часто связывается с понятиями, используемыми в политике: равенства, суверенности, анонимности, нейтральности и т. п. Данные понятия отличаются от понятий, используемых в теории принятия решений при определенности или при риске.

Теорию групповых или коллективных решений активно разрабатывают и используют в социально-экономических науках. Рассмотрим часть этой теории, относящуюся к аксиоматическому определению некоторых правил групповых решений. Цель дальнейшего изложения состоит в выявлении и демонстрации основных черт и правил групповых решений.

В классической работе Кеннета Эрроу, которая во многом явилась основой теории групповых решений, поставлен вопрос о возможности создания системы голосования, являющейся одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек -- один голос) и решающей (позволяла бы осуществить выбор). Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно понятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допускали математическое выражение в виде некоторых условий. На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трем перечисленным выше принципам: рациональности, демократичности и решаемости. Им было доказано, что некоторые интуитивно приемлемые аксиомы правил голосования оказываются несовместимыми и противоречивыми в совокупности. Данный результат получил название «парадокс Эрроу».

Следует отметить, что, высказывая то или иное мнение, эксперт часто не стремится быть искренним. Например, он может стараться подобрать свое предпочтение так, чтобы групповое решение, вырабатываемое по известному правилу, оказалось как можно ближе к его истинному предпочтению. Поэтому очень важно, чтобы правило группового выбора было стратегически нейтральным, т. е. чтобы никто не был заинтересован высказывать ложное предпочтение. К сожалению, большинство правил не являются стратегически нейтральными.

4. Аксиомы и парадокс Эрроу

Эрроу были проведены аксиоматические исследования принципов выработки группового решения на основе индивидуальных предпочтений группы экспертов. Для каждой задачи принятия группового решения (Х= {х₁,..., х_n}, { }_i€M){>1 _Л/) правило группового решения порождает групповое упорядочение (предпочтение) ? на множестве альтернатив X.

На основе анализа ситуаций, возникающих при выработке группового решения, Эрроу сформулировал пять аксиом, которым должно удовлетворять результирующее предпочтение (групповое решение) ?. Каждое из этих условий представляется естественным требованием, предъявляемым к коллективному выбору. Однако совместное их выполнение невозможно, что и было установлено Эрроу:

Далее приведены сформулированные Эрроу условия.

1. Универсальность. Правило группового решения определено для всех возможных наборов индивидуальных предпочтений { }_i€M на X.

2. Положительная связь групповых и индивидуальных предпочтений. Пусть {}_i€M и {'}_i€M -- два набора индивидуальных предпочтений на X, ? и ?' -- соответствующие групповые упорядочения, х_j -- некоторая альтернатива (х_j € X). Если для каждого i€M сужения отношений и ' на X/ { х_j} совпадают, а альтернатива х_j не менее предпочтительна по ', чем по , по отношению к любой другой альтернативе х_к€ X, то из х_j > х_к и х_j ? х_к должны следовать соответственно х_j > 'х_к и х_j ?' х_к .

3. Независимость от посторонних альтернатив. Если X с X' и для каждого i€M сужения на X' индивидуальных предпочтений и ' совпадают, то должны совпадать и сужения групповых предпочтении и '.

4. Суверенность экспертов. Для каждой пары альтернатив х_j€X и х_к €X найдется набор индивидуальных предпочтений {}_i€M, доказывающий, что х_j > х_к .

5. Отсутствие диктатора. Не должно быть такого эксперта i€M, чтобы для каждой пары альтернатив х_j€X и х_к €X из х_j х_к следовало х_j > х_к при любых предпочтениях остальных экспертов.

Содержательный смысл этих аксиом частично уже отражается в их названиях, которые приняты в теории групповых решений.

Аксиома универсальности 1 требует, чтобы система голосования была достаточно обшей для возможности учета всех вариантов распределения голосов экспертов. Иногда эту аксиому называют аксиомой результативности, поскольку требуется, чтобы правило группового решения приводило к какому-то результату при любых исходных данных. Аксиому универсальности иногда формулируют в виде условия транзитивности группового предпочтения. В этом случае транзитивность не включается в определение правила группового решения.

Аксиома 2 требует, чтобы групповое решение определялось на основе индивидуальных предпочтений, т. е. если каждый эксперт меняет свое предпочтение в пользу некоторой альтернативы или предпочтение остается неизменным, то групповое предпочтение может измениться также лишь в пользу этой альтернативы. В соответствии с аксиомой необходимо, чтобы коллективный выбор в точности повторял единогласное мнение всех экспертов. Если, например, каждый из экспертов считает, что альтернатива х_j лучше альтернативы х_к, то и система группового принятия решения должна приводить к этому результату.

Необходимость использования аксиомы независимости от посторонних альтернатив З в групповых решениях обусловливается тем, что в ходе выборов список кандидатов может сокращаться. В этом случае потребуются новые выборы, если правило не удовлетворяет аксиоме независимости от посторонних альтернатив.

Пусть эксперт считает, что из пары альтернатив х₁ и х₂ лучшей является х₁. Это предпочтение не должно зависеть от отношения эксперта к другим альтернативам. Часто аксиома З нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам х₁ и х₂, они стараются учесть возможность хорошего выступления сильного кандидата х₃, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста х₃, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов х₁ и х₂. Если х₂ имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста х₁ при примерно равном их выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста х₃.

Аксиома суверенности экспертов 4 утверждает, что выборы не должны быть пустой формальностью, где результат голосования не зависит от самого голосования. Наоборот, любая альтернатива при соответствующих предпочтениях экспертов должна быть предпочтительнее по групповому упорядочению.

При выполнении аксиомы 5 предполагается отсутствие эксперта, мнение которого является определяющим независимо от мнения остальных экспертов. Данная аксиома отсутствия диктатора 5 представляется необходимым атрибутом демократичности принятия решений в обществе.

Теорема Эрроу (о невозможности). Если число экспертов не меньше двух, а число альтернатив не меньше трех, то аксиомы 1-- 5 несовместимы, т. е. нет правила группового решения, удовлетворяющего этим аксиомам.

Рассмотрение парадокса Эрроу завершим несколькими замечаниями.

Отметим, что аксиомы положительной связи (2) и суверенности граждан (4) можно заменить на одну аксиому -- оптимальности по Парето.

Формулировка теоремы о невозможности допускает различные модификации. Одна из них имеет следующий вид: аксиомы 1-5 несовместимы с конечностью множества индивидов и альтернатив.

Данное утверждение не означает, что в бесконечном случае проблема диктатора исчезает. Диктатор (индивидуум или коалиция) может не существовать, но тогда все же существует «сколь угодно точное приближение» к диктатору.

Диктаторское правило аналогично лексикографическим правилам. Если диктатору безразличны некоторые альтернативы, то по ним групповое решение будет определяться следующим по рангу диктатором и т. д.

С точки зрения реальной жизни важно знать, насколько часто нарушаются все эти три условия одновременно. При моделировании всех возможных распределений голосов экспертов и сохранении условий демократичной и решающей системы голосования было показано, что рациональность нарушается примерно в 6-9 % случаев.

5. Правила большинства

Для задачи группового решения (Х= {х₁,..., х_n}, { }_i€M) приведем аксиоматические определения различных правил большинства, из которых простое большинство и большинство в две трети являются наиболее часто применяемыми.

Простое большинство. Для любых х_j, х_k €X (через n(х_j,х_k) обозначим число экспертов, строго предпочитающих альтернативу х_j альтернативе х_k, т. е. число элементов множества {i: х_j х_k }).

Правило группового решения ? называется правилом простого большинства, если для всех х_j ,х_k €X

х_j> х_k n(х_j,х_k) > n(х_k,х_j),

х_j? х_k n(х_j,х_k) = n(х_k,х_j).

Данное правило группового решения удовлетворяет следующим аксиомам:

Б1. Определенность. При любом наборе индивидуальных предпочтений правило указывает групповое предпочтение для каждой пары альтернатив.

Б2. Анонимность. Предпочтение ? не зависит от обозначений индивидов, т. е. не меняется от перестановки индивидов.

БЗ. Нейтральность. Предпочтение ? не зависит от обозначений альтернатив, т.е. для любой перестановки ? множества X из х_j?х_k следует ?х_j? ?х_k и наоборот.

Б4. Положительная реакция. Если для некоторого набора индивидуальных предпочтений получается х_j ?х_k, а другой набор отличается от него лишь тем, что некоторый индивид изменяет свое предпочтение между х_j и х_k в пользу х_j, то при новом наборе предпочтений должно получиться х_j > х_к.

Кратко сформулированный смысл приведенных аксиом состоит в следующем. Аксиома определенности обеспечивает результативность соответствующих правил. Аксиомы анонимности и нейтральности иногда используются при принятии решений под названиями симметрии, равноценности и т. п. Аксиома положительной реакции является более сильным вариантом правила положительной связи групповых и индивидуальных предпочтений 2 (в правиле 2 из х_j ?х_k вследствие изменения предпочтений не может получаться х_j > х_к).

Теорема. Правило простого большинства является единственным правилом, удовлетворяющим аксиомам Б1--Б4.

Правила ?-большинства. В случае, когда многие эксперты безразличны к рассматриваемым альтернативам, предпочтение по правилу простого большинства вовсе не означает, что большинство (более половины индивидуумов) высказывают такое предпочтение. Единогласное решение получается иногда при одном «за» и остальных воздержавшихся. Во избежание таких эффектов применяют правила действительного большинства.

Правило группового решения называется правилом ?-большинства (? > 1/2), если для любых х_j ,х_k €X:

Очевидно, в случае, когда все индивидуальные предпочтения строгие, правило простого большинства равносильно правилу ?-большинства при 1/2 < ?<(n + 1)/(2n).

Для определения правила ?-большинства вместо аксиомы положительной реакции Б4 потребуются аксиома суверенности экспертов 4 и следующая новая аксиома.

Устойчивость. Если для некоторых x_j,x_к € X и некоторого набора { }_i€M имеет место x_j > x_к, x_j > x_к сохранится и для любого другого набора, в котором все соотношения x_j > x_к сохраняются.

Аксиома устойчивости утверждает, что любое строгое групповое предпочтение в пользу x_j определяется индивидуумами, высказывающимися строго в пользу x_j независимо от предпочтений остальных.

Теорема. Правило ?-большинства является единственным правилом групповое решения, удовлетворяющим аксиомам Б1-БЗ, суверенности экспертов 4 и устойчивости.

6. Правило суммы мест альтернатив

В рассмотренных правилах большинства групповое решение определялось функцией n(х_j,х_k), в которой учитывается лишь факт, что х_j х_k, но не учитывается насколько сильно i-ый эксперт предпочитает альтернативу х_j альтернативе х_к. Эту силу можно выразить, например, числом промежуточных альтернатив a, т. е. таких, для которых х_j a х_k. Рассмотрим два правила, основанные на сравнении степеней индивидуальных предпочтений между альтернативами. Каждое индивидуальное предпочтение можно представить некоторой функцией полезности альтернатив u_i(х). Отметим, что для любого монотонно возрастающего преобразования v суперпозиция v (и(о)) также будет функцией полезности. На практике функция полезности часто определяется следующим образом. В ранжировке i-го эксперта для самой плохой альтернативы x, а также для всех эквивалентных ей альтернатив берется и_i(х) = 0. Для следующих по порядку альтернатив добавляется 1 и т. д. Полезность альтернативы определяется, таким образом, номером места, которое эта альтернатива занимает в предпочтении (ранжировке) эксперта. В этом случае в качестве группового решения можно взять упорядочение альтернатив согласно их суммарной полезности, определяемой по сумме мест, занимаемых в ранжировках всех т экспертов:

Данное правило группового решения называется правилом суммы мест альтернатив, которое далее рассмотрено подробнее.

Для любого i € М или группового упорядочения согласно ? или подмножество альтернатив Х' с X будем называть отрезком в соответствующем упорядочении, если нет таких х_j,х_k € X' и a * Х\Х', что х_j a х_k (соответственно х_j > a >х_k. для группового упорядочения).

Правилом суммы мест альтернатив (Гудмана--Марковица) называется правило группового решения, упорядочивающее альтернативы х_j €X по величине:

Данное правило дает транзитивное групповое предпочтение. Введем в рассмотрение следующие аксиомы:

А1. Единственность упорядочения. Каждому набору { }_i€M соответствует единственное транзитивное упорядочение ?.

А2. Сдвиг отрезка. Если два набора индивидуальных предпочтений различаются только предпочтением одного эксперта, а X' является отрезком относительно обоих предпочтений этого индивидуума, то для х_j,х_к € X' соотношение х_j>х_к имеет место лишь одновременно в обоих групповых решениях.

А3. Оптимальность по Парето. Если х_j х_к для всех i€M и хотя бы для одного i предпочтение строгое, то х_j>х_к.

А4. Присоединение особых альтернатив. Пусть к множеству X присоединяется такая альтернатива ?, что для каждого i€M найдется альтернатива х_j € X, для которой х_j ? ?. Тогда отношения между альтернативами из X не изменяются.

В отличие от аксиомы определенности, аксиома А1 требует, чтобы групповое решение было не только однозначно определено, но и транзитивно.

Аксиома 2 является слабой формой аксиомы о независимости от посторонних альтернатив: если рассматривать А с X и сужения на А, то групповое решение для А должно быть сужением на А первоначального решения для X.

Аксиома оптимальности по Парето А3 является усилением аксиомы суверенности экспертов 4. Кроме того, если из х_j?х_к для всех i€M следует х_j?х_к, то она равносильна аксиоме положительной реакции Б4.

В пользу аксиомы А4 говорит то, что степень предпочтения между альтернативами не изменяется от присоединения эквивалентных альтернатив.

Теорема. Если правило группового решения удовлетворяет аксиомам анонимности Б2, нейтральности БЗ и А1--А4, то оно является правилом суммы мест альтернатив (Гудмана -- Марковица).

7. Правило Борда

Небольшие изменения представленной системы аксиом приводят к другим аналогичным правилам, которые при строгих индивидуальных предпочтениях дают одно и то же групповое упорядочение, совпадающее с упорядочением по простому большинству в случае его транзитивности. Наиболее известным среди таких правил является правило Борда.

Правилом Борда называется правило группового решения, упорядочивающее альтернативы х_j € X по величине b(х_j):

Задача группового упорядочивания рассматривалась как задача упорядочения всех альтернатив. Рассмотрим задачу выделения подмножества лучших альтернатив.

Отображение, которое каждой задаче группового решения (X= {х₁,… х_n},{ }_i€M) ставит в соответствие множество оптимальных альтернатив opt (X, { }_i€M), называется функцией группового (общественного) выбора.

Функцию opt (X, { }_i€M) ={ х_j: х_j€X, b(х_j)= max b(х_k)} называют функцией Борда. ^хk^€Х

Пусть существует набор { }_i€M и набор { }_i€M?M', где M?М' и М?М' = 0, т. е. подразумевается, что наряду с множеством экспертов М имеется и другой экземпляр этого множества М'. Через k{ }_i€M обозначим сумму k наборов { }_i€M.

Функция Борда определяется следующими аксиомами:

В1. Нейтральность. Если ? -- перестановка множества альтернатив, а ?' -- индуцированное ею изменение в наборе предпочтений, то

opt (X, ?'{ }_i€M)= ? opt (X, { }_i€M).



Аксиома В1 означает то же самое, что и аксиома нейтральности БЗ.

Аксиома В2 является аналогом аксиомы оптимальности по Парето А3 для агрегированных предпочтений.

Аксиома ВЗ говорит, что значимость всех экспертов одинакова: если «за» и «против» каждой из альтернатив высказывается одинаковое число экспертов, то независимо от их имен альтернативы эквивалентны. В математическом смысле аксиома ВЗ является некоторым граничным условием.

Отметим, что из аксиом объединения групп В2 и равноправия ВЗ следует аксиома анонимности Б2.

Следующая теорема характеризует функцию Борда.

Теорема 4.12. Аксиомы В1--В4 определяют единственную функцию группового выбора -- функцию Борда.

8. Правило вычеркивания

Наиболее явно степень предпочтения альтернатив учитывается следующим образом. Альтернативе, занимающей первое место в индивидуальном предпочтении, приписывается r₁ очков, занимающей второе место -- r₂ очков и т. д. Потом очки каждой альтернативы суммируются по всем индивидуальным предпочтениям. Правило группового решения, упорядочивающее альтернативы согласно полученной сумме очков, можно назвать правилом очков.

Для простоты далее рассматриваются лишь строгие индивидуальные предпочтения. Для нестрогих предпочтений правило очков обычно определяется так: если альтернативы х₁,.., х_к делят с 1-го по (/+k-/)-е места, то они делят сумму соответствующих очков поровну. Последнее правило очков аналогично определению связанных рангов в экспертных оценках.

Данные правила являются частным случаем правила очков. Например, можно за первое место начислять п-1 очко, за второе место -- п-2 очка и т. д., где п -- число альтернатив. Такое правило можно назвать правилом очков по местам или правилом мест.

Рассмотрим правила групповых решений, построенные на основе правил очков и простого большинства:

1.) Правилом вычеркивания по очкам называется правило групповых решений, упорядочивающее по некоторому правилу (очков) k₁ альтернатив, потом по тому же правилу следующие k₂ среди оставшихся п-k₁ альтернатив и т. д. Упорядочение может производиться, начиная как с наилучших, так и с наихудших альтернатив.

2.) Правилом вычеркивания по местам называется правило, при котором на каждом шаге вычеркивания применяется правило очков по местам и вычеркивается ровно одна альтернатива (k₁= ... = k_n-1= 1).

3.) Правилом Кондорсе называется правило, ставящее выше альтернативы из А, чем из В (А?В = X), когда любая альтернатива из А предпочитается любой альтернативе из В по правилу простого большинства.

Теорема. Из всех правил вычеркивания (по очкам) только правило вычеркивания по местам является правилом Кондорсе.

9. Функция общественного блага

Близкой к задаче группового решения является задача построения функции общественного блага, в которой по заданным индивидуальным предпочтениям требуется построить предпочтение группы, называемой в этом случае обществом.

Особенность задачи состоит в том, что альтернативы интерпретируются не как кандидаты на выборах, а как распределения общественных благ, в частности, доходов между членами общества. Оптимальность распределения благ такой задачи должна выражать некоторые этические нормы, социальную справедливость, то или иное понимание равенства социально-экономических возможностей для членов общества и т. п. Если вместо индивидуальных предпочтений заданы функции полезности и требуется построить функцию для общества, то такую задачу можно рассматривать как задачу многокритериальной оптимизации.

Рассмотрим принцип оптимальности -- принцип Ролса, используемый в экономических и социологических приложениях.

Пусть М -- конечное множество индивидуумов, X-- множество альтернатив, в качестве которых выступают состояния общества, распределения благ и т. п., -- предпочтение индивидуума (эксперта) i на X.

Задача состоит в определении такого состояния общества, которое можно было бы интерпретировать как «социально справедливое». Для этого надо уметь сравнивать состояния общества с точки зрения межиндивидуальных сравнений, например «состояние х_j для индивидуума i более предпочтительно, чем состояние х_к индивидуума l».

Предположим, что межиндивидуальные сравнения заданы в виде упорядочения ? на МхХ. Запись (i,х_j) ? (l,х_k) имеет следующий смысл: «для i состояние х_j менее предпочтительно, чем х_к для l». Упорядочение ? связано с индивидуальными предпочтениями, но из них не выводится, так как оно содержит дополнительную информацию.

Функцией общественного блага называется правило ?, ставящее в соответствие каждому упорядочению ? на МхХ некоторое предпочтение общества ? на X: ? =?(?).

Функция общественного блага ? должна быть такой, чтобы наиболее предпочитаемое по ? состояние общества согласовалось с интуитивными представлет ми социально справедливого состояния.

Приведем набор свойств функции ? (аксиом):

Q1. Универсальность. Функция ? определена на семействе всех отношений ? МхХ.

Q2. Независимость от посторонних альтернатив. Если сужения двух упорядочений ? и ?' на некоторую пару альтернатив из X совпадают, то совпадают и сужения на эту пару предпочтений ?(?) ?(?').

Q3. Анонимность. Если ? и ?' отличаются лишь тем, что для некоторого х, всех i,l€М и некоторой перестановки ? элементов множества М:

Большинство аксиом уже использовалось ранее.

з

Аксиома Q3 сильнее обычных аксиом анонимности, ибо позволяет переставлять элементы строки, а не только столбцы. Однако в присутствии аксиомы независимости от посторонних альтернатив из обычной анонимности следует Q3.

Содержательно аксиома справедливости Q5 требует, чтобы решение общества принималось в пользу того индивида, который находится в худшем положении.

Аксиома Q6 имеет тот же смысл, что и аксиома объединения групп В2.

В приводимой ниже теореме аксиомы Q1-Q6 определяют следующий лексикографический принцип оптимальности.

Обозначим через i(x) индивид, стоящий на i-м месте в цепочке:

(j₁,x)? (j₂,x)?… ?(j_m,x), т.е. i(x)= j_i.

Если в цепочке для некоторых j_k и j_k+1 имеет место эквивалентность, то взаимное расположение j_k и j_k+1 фиксируем произвольно.

Функция общественного благосостояния ?(?)? называется лексиминной, если для любых x_j,х_к €X имеет место x_j? х_к тогда и только тогда, когда существует:

Теорема. Аксиомы Q1--Q6 однозначно определяют лексиминную функцию общественного блага ?.

10. Пример принятия коллективных решений

Принятие коллективных решений происходит не только в виде голосования избирателей на выборах. Решения принимаются в комиссиях, жюри, коллегиях, в небольших группах. В этом случае в роли ЛПР выступает группа, принимающая решения, -- коллективное ЛПР. Традиционно возникают следующие вопросы. Как организовать работу группы, принимающей решения? Где гарантии, что люди, имеющие различные предпочтения, могут прийти к соглашению?

Традиционным способом принятия группового решения является организация совещаний (заседаний), на которых члены коллектива, принимающего решения, выступают как эксперты, оценивая различные варианты решений и убеждая других членов присоединиться к их мнению. Во многих случаях эти обсуждения позволяют прийти к единому мнению, которое иногда отражает компромисс между членами коллектива, принимающего решения.

Приведем в качестве примера обобщенный алгоритм оценки и выбора лучших вариантов проектов на основе групповых решений, в котором отражены основные этапы принятия групповых решений в задаче выбора. Предполагается, что существует группа, принимающая решения (ГПР), и во главе группы или иерархически выше есть индивидуальное ЛПР, под предпочтения которого осуществляется выбор. Для оценки отдельных характеристик привлекаются эксперты. В алгоритме отмечено, какие субъекты действуют на определенных этапах. Алгоритм отражает общую схему, поэтому регламент действий субъектов не прописан.

Алгоритм анализа и выбора лучших альтернатив:

1. Постановка задачи оценки и выбора лучших альтернатив (участвуют ЛПР и ГПР).

2. Формирование исходного множества альтернатив -- вариантов проектов (участвуют ЛПР и ГПР).

3. Разработка критериев и их шкал (участвуют ЛПР и ГПР).

4. Оценка альтернатив по всем критериям (участвуют эксперты и ГПР).

5. Анализ, сравнение альтернатив и выбор лучших (участвует ГПР).

5.1. Покритериальный анализ альтернатив и исключение альтернатив, не удовлетворяющих требованиям:

— определение с помощью ЛПР для каждого критерия недопустимых значений;

— проверка альтернатив на допустимость;

— исключение недопустимых альтернатив из рассмотрения (отправка альтернатив на доработку).

5.2. Проверка альтернатив на доминируемость и исключение худших: альтернативы сравниваются попарно по каждому критерию; если первая альтернатива по всем критериям не хуже второй, а хотя бы по одному критерию лучше, то она доминирует (первая альтернатива лучше, вторая исключается из дальнейшего рассмотрения).

5.3. Сравнение оставшихся альтернатив и выбор лучшей с помощью различных методов группового решения:

— процедурой редактирования;

— процедурой максимум;

— по правилу Борда;

— по правилам большинства;

— по правилу суммы мест альтернатив;

— по правилам вычеркивания;

— по процедуре Кондорсе;

— по процедуре Копеланда;

— по процедуре «мягкий рейтинг».

6. Если решения получены, то они сообщаются ЛПР, а если нет, то производится корректировка одного из предыдущих этапов.

7. ЛПР рассматривает полученные решения, и если они его не удовлетворяют, то производится корректировка одного из предыдущих этапов (прежде всего могут быть скорректированы правила п. 5.)

8. Подготовка окончательной информации, содержащей выбранные альтернативы с указанием их основных преимуществ и результатов сравнительного анализа. Окончательный выбор ЛПР лучшей альтернативы.

Приведенный алгоритм использовался при оценке качества проектов построения специализированной информационной системы (ИС).

На начальном этапе рассматривалось 15 вариантов проектов построения ИС. Каждый вариант проекта оценивался экспертами по 47 критериям.

Некоторые обобщенные критерии, использовавшиеся при оценке качества проектов ИС, приведены ниже:

— функциональные требования по назначению;

— требования по стойкости к внешним воздействиям;

— требования по надежности;

— требования по эргономике и технической эстетике;

— требования по эксплуатационному удобству технического обслуживания и ремонта;

— требования по обеспечению режима секретности;

— требования по стандартизации и унификации;

— конструктивные и технологические требования;

— технико-экономические требования;

— требования по метрологическому обеспечению;

— требования по программному обеспечению;

— требования к информационному обеспечению;

— требования к материалам и комплектующим изделиям.

Значения каждого из обобщенных критериев, в свою очередь, определялись по значениям локальных критериев, детализирующих свойства проектов (всего 47 критериев).

В результате покритериального анализа (п. 5.1 алгоритма) и проверки на доминируемость (п. 5.2 алгоритма) осталось пять проектов ИС. После сравнения оставшихся альтернатив тремя методами голосования (п. 5.3 алгоритма) осталось два лучших проекта ИС. Описание этих проектов ИТС с указанием их основных преимуществ и результаты сравнительного анализа выбранных вариантов были представлены ЛПР (п. 8 алгоритма), которое, проанализировав процедуру выбора лучших проектов, сделало выбор лучшего проекта ИС.

Блочная структура алгоритма позволяет его легко модифицировать. Дальнейшее усовершенствование алгоритма может быть достигнуто за счет введения более сложных решающих правил (п. 5 алгоритма).



Список используемых источников

голосование кондорсе эрроу

1. Модели и методы системного анализа: принятие решений, А.С. Рыков ; Федер. агентство по образованию, Исслед. центр проблем качества подгот. специалистов Моск. гос. ин-та стали и сплавов (Технол. ун-та). - М. : [б. и.], [2000], стр. 171-187

2. Балдин К.В., Быстров О.Ф. Математические методы в экономике. Теория, примеры, варианты контрольных работ: Учеб. пособие. - М.: Издательство Московского психолого-социального института; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 2003.- 112с.

3. http://www.vernikov.ru/content/view/555/126/

4. Варфоломеев В.И., Назаров С.В. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум: Учеб. пособие. - 2-е изд., доп. и перераб. /Под ред. С.В. Назарова.- М.: Финансы и статистика, 2004. - 264с.

5. Рыков А.С. Модели и методы системного анализа: принятие решений и оптимизация: Учебное пособие для вузов.- М.:»МИСИС», Издательский дом «Руда и металлы», 2005.-352с.

6. Системный анализ в управлении: Учебное пособие/В.С. Анфилатов, А.А. Емельянов, А.А. Кукушкин; Под ред. А.А. Емельянова.- М.: Финансы и статистика, 2005.- 368с.

Размещено на Allbest.ru

...